10
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Metode Karakteristik
Pada bagian ini akan dijelaskan metode karakteristik untuk persamaan diferensial. Persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis sebagai
(2.1.1)
Perhitungan yang sederhana menunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat difaktorkan dengan dua cara:
( ) ( ) (2.1.2) ( ) ( ) (2.1.3)
karena turunan campuran keduanya tidak ada pada keduanya. Jika kita memisalkan (2.1.4) (2.1.5)
Kita melihat bahwa persamaan gelombang satu dimensi hasilnya adalah dua persamaan gelombang tingkat satu:
11
Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial Tingkat Satu
Kita mulai dengan mendiskusikan salah satu dari persamaan diferensial parsial yang sederhana:
(2.1.6)
Metode yang akan kita kembangkan akan membantu dalam menganalisa persamaan gelombang dimensi satu (2.1.1). Kita mempertimbangkan laju perubahan dari yang diukur oleh pengamat yang bergerak, . Aturan rantai menunjukkan bahwa
(2.1.7)
Di sini menampilkan perubahan pada pada posisi yang tetap, sementara
menampilkan perubahan berdasarkan fakta bahwa pengamat bergerak ke daerah yang kemungkinan memiliki yang berbeda. Bandingkan (2.1.7) dengan persamaan diferensial parsial untuk , persamaan (2.1.6). Ini jelas bahwa jika pengamat bergerak dengan kecepatan , yaitu jika
(2.1.8) maka
12
(2.1.9)
Jadi, adalah konstan pada kurva .
Karakteristik
Dengan cara ini, persamaan diferensial parsial (2.1.6) telah diganti dengan dua persamaan diferensial biasa, (2.1.8) dan (2.1.9). Dengan mengintegralkan persamaan (2.1.8) hasilnya
(2.1.10)
persamaan untuk keluarga dari karakteristik paralel dari persamaan (2.1.6). Perhatikan bahwa , . Variabel adalah konstan sepanjang garis ini. Variabel menyebar sebagai gelombang dengan kecepatan gelombang .
Penyelesaian umum. Jika diberi nilai pada saat awal
(2.1.11)
maka mari kita menentukan pada titik . Karena adalah konstan sepanjang karakteristik,
diberikan dan , parameter diketahui dari karakteristik, , dan
2.1.12
13
Kita dapat menganggap sebagai fungsi sembarang. Untuk memastikan ini, kita substitusi (2.1.12) kembali pada persamaan diferensial parsial (2.1.6). Menggunakan aturan rantai,
dan
Jadi ini menunjukkan bahwa persamaan (2.1.6) memenuhi persamaan (2.1.12). penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu mengandung fungsi sembarang, sementara penyelesaian umum terhadap persamaan diferensial biasa mengandung sembarang konstan.
Contoh 1. Perhatikan
Persamaan terhadap kondisi awal
{
Kita telah menunjukkan bahwa adalah konstan sepanjang karakteristik , menjaga pada bentuk yang sama bergerak dengan kecepatan 2. Karakteristik yang penting, dan , seperti yang
14
digambarkan pada Gambar 2-1. jika . Dinyatakan dengan menggeser,
Untuk menurunkan penyelesaian analitik, kita menggunakan karakteristik yang mulai pada :
Sepanjang karakteristik ini, adalah konstan. Jika , maka
( )
seperti sebelumnya. Ini valid jika atau, secara ekuivalen
.
Gambar 2-1 (perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu) diambil dari buku Richard Haberman Applied Partial Differential Equation hal 540
Secara umum, . Pada yang tetap, penyelesaian dari persamaan gelombang tingkat pertama digeser dengan jarak (jarak= kecepatan
15
dikali waktu). Contoh 2: Untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan menemukan penyelesaian umum.
Perhatikan (2.1.13)
dengan kondisi awal . Dengan metode karakteristik,
(2.1.14) maka (2.1.15) karakteristik tidak berupa garis lurus tetapi memenuhi
(2.1.16)
di mana karakteristik dimulai ( ) pada . Sepanjang karakteristik, dengan mengintegralkan persamaan diferensial biasa (2.1.15), kita mendapatkan
(2.1.17)
Untuk memenuhi kondisi awal pada , , kita mempunyai , sehingga penyelesaian masalah nilai awal dengan metode karakteristik adalah
16
Karena adalah fungsi sembarang dari , persamaan (2.1.18) adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial (2.1.13). Metode karakteristik dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian umum dengan cara yang berbeda. Sembarang konstan yang menyelesaikan persamaan diferensial biasa adalah fungsi sembarang untuk satu sama lain. Dengan cara ini, dalam persamaan (2.1.17) adalah fungsi sembarang dari , dan kita mendapatkan langsung dari persamaan (2.1.17) penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial :
(2.1.19)
di mana adalah fungsi sembarang dari . Masalah nilai awal sekarang dapat diselesaikan dari penyelesaian umum (2.1.19).
B. Persamaan Cauchy-Euler
Titik biasa adalah suatu titik dalam suatu domain di mana fungsi variabel kompleks yang diberikan analitik. Nilai disebut titik singular regular dari persamaan diferensial biasa
(2.2.1) Jika dan mempunyai deret Taylor yang konvergen di sekitar . Sebagai contoh dan dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam ( ):
17
dengan dan konstan, dan maka bukan merupakan faktor persekutuan dari koefisien. Sembarang titik yang bukan merupakan titik biasa dan bukan titik singular regular disebut sebagai titik singular irregular. Di sini, kita hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa yang paling sederhana dengan titik singular regular pada . Persamaan diferensial biasa ini disebut persamaan Cauchy-Euler, dan memiliki bentuk
(2.2.2)
dengan dan konstan. Catat bahwa (2.2.1) tereduksi menjadi persamaan Cauchy Euler ketika kita hanya memandang suku terdepan dalam ekspansi deret Taylor dari fungsi dan .
Ansatz yang tepat untuk (2.2.2) adalah , ketika dan ketika , dengan konstan. Sesudah substitusi menjadi (2.2.2), kita mendapatkan untuk positif dan negatif
| | | | | |
Dan kita meneliti bahwa ansatz kita mengalami kanselasi dari | | . Kita mendapat persamaan kuadrat berikut untuk :
18
yang mana bisa diselesaikan dengan rumus kuadratik. Kemudian tiga kasus langsung muncul: (i) akar real yang berbeda, (ii) akar kompleks, (iii) akar berulang. Pembaca biasanya sudah terbiasa menemui situasi yang sama ketika menyelesaikan persamaan diferensial biasa homogen linear orde kedua dengan koefisien konstan. Sesungguhnya, ini memungkinkan untuk langsung membentuk persamaan Cauchy-Euler menjadi persamaan dengan koefisien konstan.
Ide untuk mengubah variabel adalah aturan pangkat ansatz menjadi suatu eksponen ansatz. Untuk , jika kita memisalkan dan , maka ansatz menjadi ansatz Y( , tepat jika
memenuhi koefisien konstan persamaan diferensial biasa. Jika , maka perubahan yang tepat adalah . Karena kita hanya perlu mempertimbangkan dan kemudian menggeneralisasi hasil kita dengan mengganti di mana-mana dengan nilai mutlaknya.
Kita kemudian merubah persamaan diferensial (2.2.2) untuk menjadi persamaan diferensial untuk , menggunakan , atau ekuivalen, . Dengan menggunakan aturan rantai,
19
Jadi secara simbolik,
Turunan keduanya menjadi
( ) ( )
Atas substitusi dari turunan dari ke dalam (2.2.2), dan menggunakan , kita mendapatkan
( ) ( )
Seperti yang diperkirakan, persamaan diferensial biasa untuk memiliki koefisien konstan, dan dengan , persamaan karakteristik untuk diberikan dengan (2.2.3).
Akar Real yang Berbeda
Kasus paling sederhana tidak memerlukan perubahan. Jika
,
maka dengan akar real dari (2.2.3), penyelesaian umumnya adalah
20
Akar Kompleks
Jika , kita dapat menulis akar kompleks dari (2.2.3) sebagai Ingat kembali penyelesaian umum untuk diberikan dengan
Dan atas perubahan, dan mengganti dengan | |,
| | ( | | | | )
Akar Berulang
Jika , ada satu akar real dari persamaan (2.2.3). Penyelesaian umumnya untuk adalah
Hasilnya
| | | |
Kita sekarang memberikan contoh ilustrasi ketiga kasus ini.
Contoh 3: Selesaikan untuk Dengan kondisi dua titik batas dan .
Karena , kita mencoba dan mendapatkan persamaan karakteristik
21
Karena persamaan karakteristik mempunyai dua akar real, penyelesaian umumnya diberikan dengan
Kita sekarang menjumpai kondisi dua titik batas untuk pertama kalinya, yang mana dapat digunakan untuk menentukan koefisien dan . Karena , kita harus mempunyai . Diterapkan pada kondisi yang ada , kita mendapatkan penyelesaian tunggal
√
Perhatikan bahwa disebut titik singular dari persamaan diferensial biasa karena penyelesaian umumnya adalah singular pada ketika . Kondisi batas kita menyebabkan adalah berhingga pada menghilangkan penyelesaian singular. Namun, tetap singular pada . Inilah mengapa kita menggunakan kondisi dua titik batas dari pada menentukan nilai dari .
Contoh 4: Temukan penyelesaian umum dari dengan kondisi dua titik batas dan √ .
Dengan ansatz , kita mendapatkan
22
Sehingga . Oleh karena itu, dengan kita mempunyai
, dan penyelesaian umum untuk adalah
Kondisi batas yang pertama hasilnya . Kondisi batas yang kedua √ hasilnya .
Contoh 5: Temukan penyelesaian umum dari dengan kondisi dua titik batas dan .
Dengan ansatz , kita mendapatkan
Jadi ada akar yang berulang . Dengan , kita mempunyai
, sehingga penyelesaian umumnya adalah
Kondisi batas pertama hasilnya . Kondisi batas keduanya hasilnya . Penyelesaiannya adalah
23
C. Kecepatan Individu Dan Medan Kecepatan
Mari bayangkan sebuah mobil bergerak sepanjang jalan tol. Jika posisi dari mobil ditentukan sebagai , maka kecepatannya pasti dan percepatannya adalah . Posisi dari mobil ditentukan pada tengah-tengah dari mobil. Pada situasi jalan raya dengan banyak mobil yang ditentukan sebagai seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-2.
Gambar 2-2 (kondisi jalan, posisi mobil ditandai dengan ) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 260
Ada dua cara untuk menghitung kecepatan. Cara yang paling umum untuk menghitung kecepatan dari tiap mobil adalah . Dengan banyak mobil maka terdapat kecepatan yang berbeda, yang setiap kecepatannya bergantung pada waktu, Terdapat banyak situasi dimana jumlah mobilnya sangat banyak sehingga akan sangat sulit untuk mengikuti tiap-tiap mobil. Daripada menghitung kecepatan dari tiap-tiap-tiap-tiap mobil, kita menghubungkan setiap titik pada suatu jarak sebagai kecepatan tunggal, , yang bernama medan kecepatan. Ini akan menjadi penghitungan kecepatan pada waktu dengan seorang pengamat tetap pada . Kecepatan ini (pada dan di waktu ) adalah kecepatan dari suatu mobil pada tempat tersebut (jika ada sebuah
24
mobil pada tempat itu). Pertanyaan ini akan disampaikan dalam bentuk matematika, medan kecepatan pada mobil yang berada pada pasti adalah kecepatan mobil ,
(2.3.1)
Keberadaan dari medan kecepatan menunjukkan bahwa pada setiap dan ada . Jadi model ini mobil satu tidak diperbolehkan untuk melewati satu sama lain (karena pada titik di saat akan melewati maka pasti akan muncul dua kecepatan yang berbeda).
Sebagai contoh perhatikan dua mobil pada jalan tol, yang diberi tanda mobil 1 dan mobil 2, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-3. Andaikan mobil 1 bergerak pada kecepatan mil/jam dan mobil 2 pada kecepatan mil/jam. Juga asumsikan bahwa mobil 1 berada pada pada , sementara mobil 2 berada pada pada . Jadi
Gambar 2-3 (Kondisi dua mobil yang berada pada posisi 0 dan L) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261
25
Mengintegralkan persamaan ini akan menghasilkan posisi setiap mobil sebagai fungsi dari waktu;
Pergerakan ini akan menghasilkan bagian tiap mobil seperti yang digambarkan pada Gambar 2-4. Dengan cara ini medan kecepatan dapat dibentuk; adalah fungsi dari dan . Tetapi, pada jalan raya dengan dua mobil, kecepatan tidak terdefinisi pada hampir semua waktu pada posisi yang tetap sepanjang jalan raya. Suatu medan kecepatan penting digunakan jika ada banyak mobil dalam suatu jalan raya.
Gambar 2-4 (Kondisi jalan yang digambarkan secara vertical) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261
Andaikan bahwa medan kecepatan yang kontinu terdefinisi di manapun (untuk dan ) ada. Sebagai contoh
26
(2.3.2)
Perhatikan bahwa ketika , maka dari persamaan (2.3.2) , dan ketika , maka . Terdapat banyak medan kecepatan yang memiliki sifat seperti ini. Sebagai model yang sederhana, asumsikan bahwa ada tak berhingga banyak mobil yang setiap mobil ditandai dengan angka . Misalkan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kiri dan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kanan. Jika mobil yang ditandai dengan bergerak pada kecepatan , , dan berada pada posisi , maka kecepatan mobil sebagai yang berkisar dari ke menggambarkan kisaran dari sampai , dan posisi awalnya berkisar dari sampai , seperti yang digambarkan pada Gambar 2-5.
27
Gambar 2-5 (Posisi mobil dengan kecepatan yang berbeda) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 262
Berdasarkan pada aplikasi lalu lintas tertentu, perlu diperhatikan medan kecepatan atau kecepatan dari mobil secara individu. Kecepatan dari mobil sama dengan
Kedua konsep dari kecepatan tersebut digunakan dalam mendiskusikan aliran lalu lintas.
D. Aliran Lalu lintas dan Kepadatan Lalu lintas
Apa variabel lalu lintas yang membuat pengamat dengan mudah menghitung pertambahan kecepatan mobil? Pengamat tetap pada posisi tertentu sepanjang
28
Jalan sehingga dapat menghitung jumlah mobil yang melewati posisi tersebut pada waktu tertentu. Pengamat dapat menghitung rata-rata jumlah mobil yang lewat tiap jam. Jumlah ini disebut sebagai aliran lalu lintas yang dilambangkan dengan . Andaikan penghitungan berikutnya diambil pada suatu tempat dalam interval setengah jam:
Gambar 2-6 (Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu waktu) data diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265
Sebagai contoh, aliran lalu lintas terbesar terjadi pada periode 7:30-8.00 pagi hari. Jadi aliran bergantung pada waktu, , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-7. Pada posisi yang berbeda sepanjang jalan, alirannya bisa berbeda. Jadi aliran juga bergantung pada , dan kita tulis .
29
Gambar 2-7 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265
Dengan menghitung aliran lalu lintas sepanjang interval setengah jam, kita tidak dapat membedakan variasi dalam aliran yang terjadi selama waktu yang lebih pendek. Sebagai contoh, kita tidak dapat memberitahukan bahwa periode dari 7:45-8:00 AM bisa jadi memiliki lalu lintas yang lebih padat dari pada dari 7:30-7:45 AM. Penghitungan dari aliran lalu lintas dapat diambil bahkan dengan interval waktu yang lebih pendek. Tetapi, jika penghitungan dibuat dalam interval yang sangat singkat, sebagai contoh dalam interval detik, maka data yang ditemukan akan seperti ini:
30
Pada penghitungan ini, catat bahwa aliran yang dihitung berfluktuasi liar seperti fungsi pada waktu. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita asumsikan bahwa ada penghitungan interval seperti:
1. Interval cukup panjang sehingga banyak mobil yang melewati pengamat dalam interval penghitungan ( menghilangkan fluktuasi liar);
2. Interval cukup pendek sehingga variasi dalam aliran lalu lintas tidak mulus rata-ratanya untuk periode waktu yang panjang.
Jika penghitungan seperti ini ada, maka kurva untuk aliran lalu lintas, Gambar 2-7, dapat diperkirakan dengan fungsi kontinu dari waktu yang diilustrasikan dalam Gambar 2-8.
31
Gambar 2-8 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinudari waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266
Penghitungan lalu lintas standar lainnya terjadi pada waktu yang tetap. Jumlah mobilyang berada di antara dua titik dapat dihitung, sebagai contoh, dengan menggunakan foto; seperti yang digambarkan pada Gambar 2-9. Prosedur sistematik yang digunakan tidak dapat menentukan secara pasti mobil itu berada pada daerah yang mana pada suatu waktu yang tetap. Dalam menentukan letak mobil sebaiknya menggunakan estimasi dari potongan mobil atau diasumsikan mobil dapat dihitung hanya jika tengah mobil berada pada daerah tersebut. Penghitungan ini yakni jumlah mobil pada suatu panjang jalan yang diberikan, yang dapat dikonversi menjadi jumlah mobil per mil, jumlahnya disebut kepadatan dari mobil dan diberi lambang . Di sini semua kendaraan diperlakukan sama, kata “mobil” digunakan untuk menampilkan kendaraan apapun.
Jika kepadatan lalu lintas dihitung setiap mil dari jalan pada waktu yang tetap, maka tipe penghitungannya menjadi:
32
Gambar 2-9 (Kepadatan lalu lintas sama dengan invers dari jarak) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266
Sebagai contoh lain, bayangkan sebuah situasi di mana mobil berjarak sama. Untuk kenyamanan sekarang diasumsikan bahwa semua kendaraan mempunyai panjang yang sama, . Untuk menggunakan satu unit panjang dalam masalah lalu lintas, dihitung dalam kilometer dan bukan meter. Jika jarak antar mobil adalah ( jarak disebut ruang), seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2-10, maka kepadatannya, jumlah mobil per kilometer adalah
ρ =
. (2.4.1)
Gambar 2-10 (Jarak dua mobil dan panjang mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 267
33
Seperti aliran lalu lintas, ada kesulitan dengan kepadatan lalu lintas jika penghitungan dibuat pada interval yang terlalu pendek. Andaikan jarak yang digunakan untuk penghitungan kepadatan sangatlah pendek
kilometer ; maka situasi lalu lintas yang masuk akal digambarkan pada Gambar 2-11. Penghitungan data (menggunakan perkiraan potongan mobil) menjadi:
Gambar 2-11 (Penghitungan data menggunakan potongan mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268
Jika kepadatan lalu lintas digambarkan sebagai fungsi posisi (pada waktu yang tetap), maka kita mendapat Gambar 2-12. Penghitungan kepadatan ini adalah fungsi yang sangat diskontinu. Di sisi lain, jika penghitungan kepadatan diambil hanya pada jarak yang besar (sebagai contoh mil), maka hanya rata-rata kepadatan yang dihitung. Variabel real lokal dari kepadatan lalu lintas tersebut menjadi mulus.
34
Gambar 2-12 (Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268
Jika kita berharap untuk memperkirakan kepadatan sebagai fungsi kontinu dari , kita mendapat Gambar 2-13 dan kepadatannya harus dihitung sepanjang interval yang jaraknya tidak terlalu pendek dan tidak terlalu panjang. Jika jarak penghitungannya terlalu panjang, maka rata-rata kepadatannya yang dihitung tidak tepat untuk diambil sebagai variasi kepadatan. Di sisi lain, jika jarak penghitungan terlalu kecil, maka variabel panjang dari data lalu lintas terlalu halus. Jarak penghitungan harus cukup panjang untuk banyak mobil yang termasuk di dalamnya, tapi cukup pendek sehingga variasi kepadatannya dapat dihitung.
Gambar 2-13 (Contoh signifikan interval hitungan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269
35
Mari kita mengilustrasikan dengan contoh signifikan dari interval penghitungan. Anggap
mil dari bagian jalan, ke depannya akan dibagi menjadi seratus interval yang lebih kecil dengan panjang yang sama, dengan batas dari sampai . Andaikan sebuah foto diambil dan dari situ kita menentukan bahwa mobil berada pada posisi berikut:
1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9,20.1,21.5,23.5,
25.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1,43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,
51.6,53.3,54.8,56.6,58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,
66.6,69.5,72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3.
Setiap mobil diilustrasikan dalam Gambar 2-14 sabagai “dot”.
Gambar 2-14 (Diagram jarak-jarak mobil) Gambar diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269
Dari data atau diagram kita melihat bahwa dekat dengan tanda mobil diperkirakan terpisah interval. Sepanjang jalan mobil menyebar ke sekitar unit terpisah (dekat tanda ) sebelum menjadi dekat kembali antara tanda dan (jarak terpisah menjadi sekitar unit terpisah). Kita akan menghitung kepadatan pada tanda ke- sepanjang jalan. Untuk mudahnya, mari kita bayangkan mobil mempunyai panjang nol. Mobil dekat tanda ke- sedikit
36
lebih besar dari pada unit terpisah dan oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya kurang dari 1 mobil tiap unit panjang. Kepadatan lalu lintas kurang dari mobil tiap mil, karena tiap tanda adalah
dari
dari suatu mil. Untuk lebih jelasnya mari kita melihat bagaimana menghitung kepadatan pada tanda ke- bergantung pada interval penghitungan. Jika kita menggunakan panjang suatu jalan dari unit dipusatkan sekitar tanda ke- , maka kepadatan pada ditetapkan menjadi jumlah mobil antara dan dibagi dengan panjang . Dengan dasar ini kita dapat membuat bagan penghitungan kepadatan:
Ini lebih jelas diilustrasikan dengan menggambar kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari interval penghitungan, seperti pada Gambar 2-15. Untuk penghitungan yang lebih berarti, banyak mobil harus berada dalam interval penghitungan, tetapi tidak terlalu banyak karena dapat menyebabkan hilangnya rata-rata lokal. Tiga mobil terlalu sedikit, tetapi untuk mendapatkan mobil memerlukan jarak yang panjang. Interval antara dan unit panjang sepertinya cocok untuk masalah ini, hasilnya kepadatannya antara dan
37
mobil per mil. Untuk interval penghitungan yang pendek, akan terjadi fluktuasi yang kasar. Dengan meningkat, akhirnya mobil ditemukan dan rata-rata kepadatan meningkat secara dramaatis. Kepadatannya lalu berkurang secara bertahap (dengan meningkatnya) kembali hingga mobil selanjutnya ditemukan. Amplitudo dari fluktuasi berkurang dengan interval penghitungan yang semakin panjang. Untuk jarak penghitungan yang sangat panjang.
Gambar 2-15 (Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 271
38
Aliran sama dengan kepadatan dikali kecepatan
Pada bagian sebelumnya kita mendiskusikan tiga variabel dasar lalu lintas: kecepatan, kepadatan, aliran. Kita akan menunjukkan bahwa ada hubungan yang dekat antara tiga variabel tersebut. Pertama-tama kita perhatikan satu dari kemungkinan paling sederhana dari situasi lalu lintas. Andaikan pada jalan yang sama, lalu lintas bergerak dengan kecepatan konstan dengan kepadatan konstan , seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-16. Karena setiap mobil bergerak pada kecepatan yang sama, jarak antara mobil masih konstan.
Gambar 2-16 (Pergerakan mobil dari pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273
Oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya tidak berubah. Apakah aliran mobil itu? Untuk menjawab itu, perhatikan pengamat menghitung aliran lalu lintas ( jumlah mobil per jam yang melalui pengamat). Dalam jam setiap mobil bergerak sejauh ( bergerak dengan kecepatan konstan, jarak yang ditempuh sama dengan kecepatan dikalikan dengan waktu), jadi jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam adalah jumlah mobil dalam jarak , lihat Gambar 2-17. Karena adalah jumlah mobil per kilometer dan ada kilometer,
39
Gambar 2-17 (Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam jam) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273
maka adalah jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam. Jadi jumlah mobil per jam yang kita miliki disebut aliran lalu lintas, adalah
Meskipun ini telah diturunkan dari kasus yang telah disederhanakan, kita akan menunjukkan bahwa ini adalah hukum dasar. Aliran lalu lintas=(kepadatan lalu lintas)(medan kecepatan). Jika variabel lalu lintas bergantung pada dan sebagai contoh , lalu kita masih menujukkan bahwa
(2.4.2)
Langkah yang mudah untuk menunjukkan ini adalah untuk memperhatikan jumlah mobil yang melalui dalam waktu yang sangat kecil, sebagai contoh antara dan . Dalam waktu yang kecil mobil tidak dapat berjalan jauh dan karenanya (jika dan adalah fungsi kontinu dari dan ) dan dapat diperkirakan sebagai konstan, nilai mereka pada dan . Dalam waktu kecil , mobil yang menempati ruang yang kecil, kira-kira , akan melalui pengamat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-18. Jumlah mobil yang melewati kira-kira . Aliran lalu lintasnya
40
diberikan pada persamaan (2.4.2). Jadi hasil untuk konstan dan tidak memerlukan modifikasi untuk dan yang tak seragam. Karenanya, tiga variabel dasar lalu lintas, kepadatan , kecepatan dan aliran , terhubung dalam persamaan (2.4.2).
Gambar 2-18 (Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 274
E. Konservasi Jumlah Mobil
Pada bagian ini, kita akan memformulasikan model deterministik dari aliran lalu lintas. Andaikan bahwa densitas dan medan kecepatan diketahui untuk suatu aliran lalu lintas yang tak terhingga panjangnya. Dapatkah kita memprediksi densitas dan kecepatan pada masa depan? Sebagai contoh jika lampu hijau menjadi merah dan sesaat kemudian menjadi hijau, lalu apakah pola lalu lintasnya dapat diprediksi?
Kita dapat menganggap variabel dasar lalu lintas adalah dan . Tetapi andaikan kita tahu kepadatan lalu lintasnya adalah dan kecepatan lalu lintasnya untuk setiap waktu . Maka pergerakan dari setiap mobil akan memenuhi persamaan diferensial:
41
dengan
Menyelesaikan persamaan ini dapat menentukan di mana posisi mobil-mobil beberapa saat kemudian. Pada beberapa waktu kemudian, kita dapat menghitung