IV. PEMBAHASAN
4.7 Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas
4.7. Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas dan Analisis Hasil Penyelesaian
4.7.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase) Minimalkan
r = R1 + R2 + R3
= 236 - 10x1 - 9x2 - 7x3 - 6x4 - 6x5 - 5x6 - 5x7 - 4x8 - 3x9 + x10 + x11 + x12
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 - x10 + R1 = 140 x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 - x11 + R2 = 64 x4 + x6 + x8 + 2x9 - x12 + R3 = 32 x1, x2, ..., x12, R1, R2, R3 > 0 dan bilangan bulat.
xxxii
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan pada Lampiran 3.
Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter 50–79 cm adalah x2 = 13,94; x7 = 12,52; x9 = 16; Z = 42,45.
Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode pencabangan dan pembatasan.
Ditetapkan Z* = ∞ Iterasi 1
Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.1), variabel yang
dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah x7 = 12,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini
membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 1 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 < 12.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140 x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64 x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32 x7 < 12 x1, x2, ..., x9 > 0 dan bilangan bulat.
Submasalah 2 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 > 13.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 140 x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 ≥ 64 x4 + x6 + x8 + 2x9 ≥ 32 x7 ≥ 13 x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat.
xxxiii 0
1 2
3 4
1
Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.1
x7 £12 x7 ³13
Gambar 4.1 Iterasi pertama Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03; 15.48); dengan nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16); dengan nilai Z = 42,50.
Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus dicabangkan lagi.
Iterasi 2
Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah x9 = 15,48; sehingga x9 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 < 15
Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 > 16 Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.2
x9 £15 x9 ³16
Gambar 4.2 Iterasi kedua
xxxiv 5 6
3 Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 12; 15); dengan nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16); dengan nilai Z = 42,48.
Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus dicabangkan lagi.
Iterasi 3
Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah x7 = 11,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 < 11
Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 > 12 Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.3
x7 £11 x7 ³12
Gambar 4.3 Iterasi ketiga
Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03; 14,48); dengan nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15); dengan nilai Z = 42,48.
xxxv
Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Iterasi selanjutnya
Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal bilangan bulat untuk masalah (4.1). Hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan pada masalah (4.1) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak dicabangkan.
Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan untuk kayu dengan diameter 50–79 cm (ada sebanyak 41 iterasi) diberikan pada Lampiran 4 dan Lampiran 5.
Berdasarkan hasil pada Lampiran 4 dan Lampiran 5, Incumbent 1 (Z* baru) diperoleh dari submasalah 58 dalam iterasi 29 dan tidak ada incumbent yang baru (yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 3 penyelesaian optimal, yaitu pada submasalah 58 dalam iterasi 29, submasalah 75 dalam iterasi 38 dan submasalah 81 dalam iterasi 41. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm yang paling minimal.
Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter 50-79 cm yang menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z
Keterangan
58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer,Incumbent 1 (Z* = 43)
xxxvi
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 13(4 cm) + 1(64 cm) + 24(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 52 + 64 + 1056 + 176 ) cm
= 1372 cm = 13,72 m.
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z
Keterangan
75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 10(4 cm) + 3(84 cm) + 1(64 cm) + 2(64 cm) + 22(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 40 + 252 + 64 + 128 + 968 + 176 ) cm = 1652 cm = 16,52 cm.
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z
Keterangan
81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 8(4 cm) + 5(84 cm) + 1(64 cm) + 5(64 cm) + 19(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 32 + 420 + 64 + 320 + 836 + 176 ) cm = 1872 cm = 18,72 cm.
Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm paling minimal diperoleh dari dari submasalah 59. Jadi untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm diperoleh dari melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak 4 buah.
4.7.2 Pola Pemotongan untuk Diameter ≥ 80 cm Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase) Minimalkan
r = R1 + R2 + R3 + R4
= 106 - 11x1 - 10x2 - 9x3 - 8x4 - 8x5 - 7x6 - 7x7 - 7x8 - 7x9 - 6x10 - 6x11 - 6x12
- 6x13 - 5x14 - 4x15 - 5x16 - 5x17 - 4x18 - 5x19 - 4x20 - 4x21 - 3x22 + x23 + 5x24 + x25 + x26
xxxvii kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 + 2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 - x23 + R1 = 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21 + x22 - x24 + R2 = 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 - x25 + R3 = 18 x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 - x26 + R4 = 12
x1, x2 , ..., x26, R1, R2, R3, R4 ≥ 0 dan bilangan bulat
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan pada Lampiran 6.
Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter ≥ 80 cm adalah x9 = 0,29; x11 = 12; x17 = 2,86; x19 = 3,54; Z = 18,69.
Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode pencabangan dan pembatasan.
Ditetapkan Z* = ∞ Iterasi 1
Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.2), variabel yang
dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah x19 = 3,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini
membuat dua submasalah baru,yaitu :
Submasalah 1 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 < 3.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 + 2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18 x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
xxxviii 1 2
0 x19 < 3
x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat
Submasalah 2 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 > 4.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 + 2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18 x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
x19 > 4
x1, x2, ..., x22 > 0 dan bilangan bulat.
Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.4
x9 £3 x9 ³4
Gambar 4.4 Iterasi pertama Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54);
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,73.
xxxix 3 4
1
Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus dicabangkan lagi.
Iterasi 2
Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah x22 = 3,54; sehingga x22 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 < 3
Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 > 4 Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.5
x22 £3 x22 ³4
Gambar 4.5 Iterasi kedua Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 );
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 );
dengan nilai Z = 18,73.
Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus dicabangkan lagi.
Iterasi 3
Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah x19 = 0,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan.
xl 5 6
3
Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 < 0
Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 > 1 Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.6
x19 £0 x19 ³1
Gambar 4.6 Iterasi ketiga Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,73.
Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Iterasi selanjutnya
Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal bilangan bulat untuk masalah (4.2). Hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan pada masalah (4.2) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan
xli
lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak dicabangkan.
Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm (ada sebanyak 31 iterasi) diberikan pada Lampiran 7 dan Lampiran 8.
Berdasarkan hasil pada Lampiran 7 dan Lampiran 8, Incumbent 1 (Z* baru) diperoleh dari submasalah 48 dalam iterasi 24 dan tidak ada incumbent yang baru (yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 4 penyelesaian optimal, yaitu pada submasalah 48 dalam iterasi 24, submasalah 50 dalam iterasi 25, submasalah 56 dalam iterasi 28 dan submasalah 59 dalam iterasi 30. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm yang paling minimal.
Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm yang menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah
NILAI
xlii NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z
Keterangan
56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0;
1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(25 cm) + 8(5 cm) + 3(5 cm) + 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 25 + 40 + 15 + 50 + 20 + 40 + 90 ) cm = 280 cm = 2,8 m.
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z
Keterangan
59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0;
2; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(60 cm) + 8(5 cm) + 2(5 cm) + 2(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 60 + 40 + 10 + 100 + 20 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m.
Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm paling minimal diperoleh dari submasalah 48. Jadi untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm diperoleh dari melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak 2 buah dan pola pemotongan 22 sebanyak 3 buah.
xliii