Misalkan graf G adalah graf terhubung dengan p titik dan q sisi. Pada G kita dapat melenyapkan satu sisi x, sehingga G-x masih tetap merupakan graf terhubung. Graf G-x disebut subgraf perentang. Hal ini telah disinggung pada beberapa minggu yang lalu. Selanjutnya, jika G memuat siklus dan kemudian dilakukan pelenyapan satu sisi pada siklus tersebut dan seterusnya sehingga subgraf yang terakhir tidak memuat lagi siklus, maka subgraf terakhir tersebut disebut pohon perentang. Jika dilakukan lagi hal yang sama yakni menyelenyapkan beberapa sisi lagi dan berbeda dengan yang sebelumnya akan
40
diperoleh lagi pohon perentang yang lain. Jika proses pelenyapan sisi-sisi dilakukan berulang-ulang akan diperoleh beberapa pohon perentang dari G. Banyaknya pohon perentang yang diperoleh dapat dihitung dengan menggunakan teorema matriks pohon
Teorema Matriks Pohon
Misalkan G adalah graf berlabel terhubung dengan matriks ketetanggaan A. Matriks M adalah matriks yang diperoleh dari –A dengan mengganti elemen diagonal ke – i dengan derajat vi. Maka semua kofaktor dari matriks M adalah sama dan nilainya sama dengan banyaknya pohon perentang dari G.
Bukti.
1. Kita akan memulai pembuktian ini dengan membuat matriks baru E=(eij) dari G, yakni diperoleh dari matriks keterkaitan B dengan mengganti salah satu angka 1 pada setiap kolmnya dengan -1. Anggota baris ke-i dan kolom ke-j dari EET adalah ei1ej1+ei2ej2+...+eiqejq, yang jumlahnya sama dengan derajat vi jika vi=vj. Apabila vi bertetangga dengan vj nilainya -1, dan 0 untuk hal lainnya. Akibatnya EET=M.
2. Pandanglah suatu submatriks dari E yang memuat p-1 kolom.submatriks berorde px(p-1) ini bersesuaian dengan suatu subgraph perentang H dari graph tersambung G yang memiliki p-1 rusuk. Apabila sebarang baris dari submatriks tersebut dikeluarkan, katakanlah baris ke-k, maka akan diperoleh suatu matriks bujur sangkar F yang berorde (p-1) x (p-1). Jika subgraph perentang H bukan pohon, berarti H memiliki jalan lingkar, sebab H memiliki p titik simpul dan p-1 rusuk.menurut teorema 4, | det F | = 0. Jika subgaraph perentang H merupakan pohon, maka menurut teorema 5, | det F | = 1. Dengan demikian | det F | sama dengan | det FT | = 1.
Untuk memudahkan mengikuti jalan pikiran di atas diberikan suatu contoh sebagai berikut:pandanglah graph G pada berikut.
41 V1 X4 V4 X1 X3 G: V2 X2 V3 Gambar 5.1. Gambar G = K4-x
Matriks keterkaitan dari G adalah
x1 x2 x3 x4 x5 V1 1 0 0 1 1 V2 -1 1 0 0 0 E = v3 0 -1 1 0 -1 V4 0 0 -1 -1 0 Dan 3 -1 -1 -1 -1 2 -1 0 EET = -1 -1 3 -1 -1 0 -1 2
Jika kolom ke-2 dan kolom ke-3 pada matriks E dihilangkan, diperoleh suatu submatriks E1 yang memuat p-1 kolom. Karena p=4, maka submatriks E1 yang berorde px(p-1) adalah
42
1 1 1 -1 0 0 E1 = 0 0 -1 0 -1 0
Subgraf E1 bersesuaian dengan satu subgraf perentang dari G. Sekarang kita akan membentuk matriks bujursangkar F dengan menghilangkan salah satu baris E1, katakanlah baris ke-2. Bentuk matriks F adalah
1 1 1 F = 0 0 -1 0 -1 0
Pada matriks F dapat dilihat bahwa F=1. Karena F=1, maka subgraf perentang dari G yang bersesuaian dengan E1 merupakan pohon. Bentuk subgraf pohonnya dapat dilihat seperti berikt.
v1 x4 v4 x1 x5 H: v2 v3
Subgraf perentang H diperoleh dengan menghilangkan sisi x2 dan x3 pada graf G. Hal ini bersesuaian dengan menghilangkan kolom ke 2 dan kolom ke-3 matriks E.
43
3. Pembuktian terakhir teorema matriks pohon adalah menggunakan teorema Binet –Cauchy tentang hukum determinan matriks.
Teorema binet-cauchy mengatakan bahwa “Jika A dan B adalah dua matriks yang berorde nxn, dan jika k = n, maka det (AKxN BNxK) = det AKx]. Det BIxK”. Dengan K=1, 2, 3 . . . , k . Jika k=m, maka determinan pada teorema ini adalah determinan perkalian dua matriks bujursangkar.
Suatu graph tersambung dengan titik simpul V1, V2, . . . , V3, . . . , Vm, dan rusuk X1, X2, . . . , Xn ; m = n . sehingga matriks E dari graph tersebut adalah berorde mxn. Dari matriks EMxN , kita membuat submatriks E1 yang berorde m x (m-1) . jika salah satu baris dari E1 dilenyapkan diperoleh matriks bujursangkar F yang berorde x (m-1) . untuk teorema Binet-Cauchy: AKxI = F, sedangkan BIxK = FT . dengan mengingat bahwa penghilangan salah satu baris dan kolom pada matriks M adalah bersesuaian dengan FFT . berarti sebarang kofaktor dari M sama dengan det FFT . menurut Binet-Cauchy: det(FFT) = det F . det FT . hal ini menunjukkan bahwa jumlah perkalian dari semua determinan utama F dan FT sama dengan nilai kofaktor elemen utama dari M sedang F bersesuaian dengan pohon perentang dari G, jika |det F| = 1 . Jadi terbukti bahwa banyaknya pohon perentang dari G sama dengan nilai sebarang kofaktor dari M.
Pada gambar 3.1 . Matriks M dari graph tersebut adalah
M =
. . . (4)
Kofaktor dari elemen 2, 3, pada matriks M adalah
-
= 8 . Jadi bayaknya pohon perenrentang dari graph G pada
44
gambar berikut ini.
Enumerasi graf adalah menghitung banyaknya graf berlabel yang tidak isomorfik. Konsep enumerasi ini penting karena banyak masalah nyata dapat diselesaikan melalui konsep ini. Misalnya; berapa banyak molekul kimia yang rumusnya C8H18? Berapa banyak rencana arsitektur lantai gedung yang memenuhi sifat-sifat tertentu? Dan lain-lain.
Contoh enumerasi atau menghitung banyaknya graf berlabel yang tidak isomorfik untuk graf degan tiga titik simpul dapat dilihat sebagai berikut.
1 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1
45
Menghitung banyaknya graf sederhana berlabel dengan n titik dapat dilakukan yakni menggunakan konsekwensi Lema Jabatan Tangan . Banyaknya sisi yang mungkin adalah n(n-1)/2 dan setiap sisi ada atau tidak ada mengatakan ada 2 kemungkinan. Jadi banyaknya graf sederhana berlabel yang tidak isomorfik adalah 2n(n-1)/2 . Sedangkan banyaknya graf tak berlabel yang tidak isomorfik lebih kecil karena labelnya tidak berpengaruhlagi. Contoh, banyaknya graf sederhana tak berlabel dengan 3 titik simpul hanya 4 yakni:
Soal. Hitungberapa banyakpohon perentang dari graf K7-e, e sisi di graf lengkap
K7.
Umpan Balik.
Banyaknya pohon perentang dari suatu graf lengkap sama dengan banyaknya pohon berlabel berorde tertentu yang tidak isomorf. Banyaknya pohon berlabel yang tidak isomorf dapat dihitung dengan menggunakan teorema Caylay. Ini akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
Soal-Soal
1. Hitung berapa banyak graf dengan 4 titik, dan gambarkan grafnya.
2. Hitung berapa banyak graf berlabel dengan 4 titik, kemudian gambar grafnya.
3. Hitung berapa banyak pohon berlabel dengan 4 titik. Gambar grafnya.
Bacaan yang dianjurkan
1. Gary Chartrand, Ortrud R. Oellermann, (1993), Applied and algorithmic Graph Theory, McGRAW-HILL.
2. Harary, Frank (1972) “Graph Theory”, Addison-Wesley Publishing Company.
46
3. Hasmawati, Bilangan Ramsey untuk graf gabungan bintang, Disertasi Jurusan Matematika FMIPA ITB, tahun 2008.
4. Reinhard Diestel (2000), Graph Theory: Graduste Texts In Mathematics, Springer.
47