Dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan dalam bilangan bulat (sering juga disebut persamaan Diophantine) tentu akan lebih mudah, karena kita hanya dibatasi penyelesaian dalam bilangan bulat. Sebagai contoh jika kita akan mencari pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi
xy = 2, tentu akan ada tak hingga banyaknya yaitu semua pasangan bilangan real x,x2
untuk setiap bilangan real tak nol x, pasti merupakan solusixy = 2.Akan tetapi jika kita akan mencari pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan xy = 2, maka solusinya hanya ada 4 yaitu (1,2),(2,1),(−1,−2),dan (−2,−1).Mengapa demikian? Untuk lebih jelasnya simak uraian berikut:
4.1 Persamaan Diophantine Linear
Persamaan ini adalah persamaan yang paling sederhana, karena kita bisa langsung mencari solusi umumnya.
Definisi 1
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat. Persamaan Diophantine berbentukax+
by = c disebut Persamaan Diophantine linear dan setiap pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ax+by=c disebut solusi.
Teorema 1
Persamaan Diophantine ax+by=c mempunyai solusi jika dan hanya jika gcd (a, b)|c.
Bukti:
=⇒)
Diketahui persamaanax+by=cmempunyai solusi, artinya ada bilangan bulatx0 dany0 yang
memenuhiax0+by0=c.Andaikan gcd (a, b) tidak membagic.Perhatikan bahwa ruas kiri terbagi
oleh gcd (a, b) tetapi ruas kanan tidak terbagi oleh gcd (a, b) yang jelas ini tidak mungkin. Jadi haruslan gcd (a, b) membagic.
⇐=)
Diketahui gcd (a, b)|c,artinya terdapat bilangan bulat ksehingga c=kgcd (a, b).
Menurut identitas Benzout terdapat bilangan bulat m dan n yang memenuhi am +bn = gcd (a, b).Dengan mengambilx=km dany =knkita akan punya
ax+by=akm+bkn=k(am+bn) =k(gcd (a, b)) =c
yang berarti persamaan ax+by=cmempunyai solusi yaitu (km, kn).
Contoh 2
Hitung banyak bilangan bulat 1 ≤ n ≤ 100 yang dapat dinyatakan dalam bentuka 6x+ 8y
untuk suatu bilangan bulatx dan y.
Jawab:
Perhatikan bahwa gcd (6,8) = 2.Oleh karena itu menurut teorema di atas, hanya bilangan yang terbagi oleh 2 yang dapat dinyatakan dalam bentuk 6x+ 8y untuk suatu bilangan bulat x dan y. Dalam hal ini, 1≤n≤100 yang terbagi oleh 2 ada tepat 50 bilangan.
Teorema 2
Jika Persamaan Diophantine ax+by=c mempunyai solusi (x0, y0) maka persamaan tersebut
mempunyai tak hinga banyaknya solusi dan setiap solusinya berbentuk
x(k) =x0+k
b
gcd (a, b) dan y(k) =y0−k
a
gcd (a, b) untuk sebarang bilangan bulat k.
Bukti:
Diketahui (x0, y0) solusi dari ax+by=c,artinyaax0+by0 =c. Jika (x(k), y(k)) kita substi-
tusikan ke persamaan akan kita peroleh
ax(k) +by(k) =ax0+k
ab
gcd (a, b)+by0−k
ab
yang berarti (x(k), y(k)) juga merupakan solusi.Nah, untuk bukti bahwa solusi persamaan ax+
by = c hanyalah (x(k), y(k)) akan kita bahas setelah kita membahas kongruensi bilangan bulat (pada modul ini tidak dibahas).
Pertanyaannya adalah bagaimana cara kita menentukan solusi awal (x0, y0) ini? Ingat kembali
waktu kita membahas Algoritma Euclide. Kita bisa mencari bilangan bulat m dan n sehingga
am+bn= gcd (a, b).Karena persamaanax+by =cpunya solusi jika dan hanya jika gcd (a, b)|c
maka terdapat k sehingga c = kgcd (a, b). Dengan demikian kita bisa mengambil solusi awal
x0 = km dan y0 = kn. (Pada umumnya, bukan pekerjaan yang sulit untuk mencari salah satu
solusi dari persamaan ax+by=c).
Contoh 3
Tentukan semua solusi dari Persamaan Diophantine linear 6x+ 8y = 12.
Jawab:
Kita punya gcd (6,8) = 2 dan 2|12,yang berarti persamaan ini punya solusi. Mudah dipahami bahwa salah satu solusinya adalah (2,0).Dengan demikian solusi umumnya adalah x(k) = 2 + 4k
dan y(k) =−3kuntuk sebarang bilangan bulat k.
Contoh 4
Ada berapa banyak pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi persamaan 4x+ 6y= 48? Jawab:
Untuk menyelesaikan soal ini kita selesaikan seperti biasa yaitu kita cari solusi umumnya, selan- jutnya kita batasi nilaikagar solusinya merupakan bilangan asli. Salah satu solusi dari persamaan ini adalah (12,0), sehingga solusi umumnya adalah x = 12 + 3k dan y = −2k untuk sebarang bilangan bulatk. Sekarang akan kita batasi nilaiksehinggax, y >0.Dari 12 + 3k >0 kita peroleh
k > −4 dan dari −2k > 0 kita peroleh k < 0, atau dengan kata lain kita peroleh −4 < k < 0.
Akan tetapi, karena kbilangan bulat maka −3≤k≤ −1.Dengan demikian ada tepat 3 pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi 4x+ 6y = 48.
4.2 Persamaan Diophantine Non Linear
Persamaan ini sangat banyak bentuknya, kita tidak mungkin mengkarakteristik satu persatu. Di sini kita hanya memaparkan dengan beberapa teknik melalui contoh-contoh soal:
Contoh 5 (teknik pemfaktoran)
Tentukan solusi bulat dari persamaan xy = 2x−y.
Jawab:
Perhatikan bahwa soal di atas ekivalen denganxy−2x+y = 0, dengan menambahkan masing- masing ruas dengan−2, akan diperoleh xy−2x+y−2 =−2 dan ini dapat difaktorkan menjadi (x+ 1) (y−2) =−2.Karenaxdan y bilangan bulat, maka demikian juga denganx+ 1 dany−1.
Dengan demikian, ada 4 kejadian yang mungkin
(i). x+ 1 =−1 dan y−2 = 2.Dari sini diperoleh solusix=−2,y= 4,
(ii). x+ 1 = 1 dan y−2 =−2.Dari sini diperoleh solusix= 0, y = 0,
(iii). x+ 1 = 2 dan y−2 =−1.Dari sini diperoleh solusix= 1, y = 1,
Mudah dicek bahwa keempat pasang solusi memenuhi persamaan yang diberikan. Jadi semua solusinya dapat kita nyatakan dalam pasangan (−2,4),(0,0),(1,1),dan (−3,3).
Cotoh 6 (teknik pembatasan)
Tentukan bilangan asli a, b, c sehingga 1a+ 1b +1c = 1.
Jawab:
Perhatikan bahwa persamaan di atas simetri, artinya jika a kita tukar dengan b dan b kita tukar dengan a persamaan tidak berubah. Sehingga dapat kita asumsikana≥b≥c. Akibatnnya 1 = 1a+1b +1c ≤ 1c +1c +c1 = 3c ⇔c≤3.Dari sini kita hanya cukup mengecek untukc= 1,2,3.
• c= 1, kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh 1a+1b = 0,dan ini tidak punya penyelesaian bilangan asli.
• c= 2, kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh 1a+1b = 12
Karena a≥b, maka kita peroleh 12 = 1a+1b ≤ 2b ⇔b≤4.dan juga kita punyab≥c= 2.
. • b= 2 tidak adaayang memenuhi. . b= 3, kita peroleha= 6.
. b= 4, kita peroleha= 4.
• c= 3,kita substitusikan ke persamaan awal akan kita peroleh a1 +1b = 23.
Karena a≥b, maka kita peroleh 23 = 1a+1b ≤ 2b ⇔b≤3.dan juga kita punyab≥c= 3 jadi b= 3, sehingga kita peroleh a= 3.
Kita peroleh pasangan solusi (6,3,2),(4,4,2),(3,3,3). Perhatikan bahwa awalnya kita asum- sikan a ≥ b ≥ c, padahal bisa saja a ≥ c ≥ b atau yang lainnya. Tetapi karena persamaan- nya simetris, maka solusi yang lainnya tingal diubah urutannya. Jadi semua solusinya adalah (6,3,2),(6,2,3),(3,2,6),
(3,6,2),(2,3,6),(2,6,3),(4,4,2),(4,2,4),(2,4,4),dan (3,3,3).
Contoh 7 (teknik keterbagian)
Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulatx dan y yang memenuhi pesamaan (x+ 1)2+ (x+ 2)2+...+ (x+ 99)2 =y2
Jawab:
Andaikan terdapat bilangan bulat xdan yyang demikian. Kita jabarkan yang ruas kiri, yakni: (x+ 1)2+ (x+ 2)2+...+ (x+ 99)2 = 99x2+ 99 (100)x+99.100.199
6 = 99 x
2+ 100x
+ 33.50.199 dengan demikian kita punya 99 x2+ 100x
+ 33.50.199 = y2. Perhatikan bahwa ruas kiri habis dibagi 3, akibatnya ruas kanan juga habis dibagi 3. Akan tetapi, karena ruas kanan merupakan kuadrat sempurna maka ruas kanan juga kan dibagi 9. Tentu saja ruas kiri juga havis dibagi 9, akibatnya 33.50.199 habis dibagi 9 yang jelas ini tidak mungkin.
Contoh 8 (teknik parameter)
Tunjukkan bahwa persamaan x2+y2=x3 mempunyai tak hingga banyaknya solusi asli.
Jawab:
Persamaan di atas dapat kita tulis sebagai y2 =x3−x2 atau ekivalen dengany2 =x2(x−1).
Oleh karena itu, agar persamaan tersebut punya solusi, kita harus punyax−1 merupakan kuadrat sempurna. Dengan mengambilx=n2+ 1 dany=n n2+ 1
untuk sebarang bilangan aslin,maka mudah ditunjukkan bahwa pasangan n2+ 1, n n2+ 1
merupakan solusi yang banyaknya jelas ada tak hingga.
4.3 Sistem Persamaan Diophantine
Telah kita bahas beberapa jenis dan contoh Persamaan Diophantine serta cara menyelesaikannya. Nah, untuk menyelesaikan sistem persamaan Diophantine kita dapat membawa ke dalam bentuk Persamaan Diophantine seperti yang telah kita kenal. Pada dasarnya, kita akan mencari solusi bilangan asli yang memenuhi semua persamaan yang diberikan secara simultan.
4.4 Soal-soal Latihan
1. Ada berapa banyak pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi persamaan 2x+3y= 1000? 2. Banyak pasangan bilangan asli (x, y) yang memnuhi persamaan 1x−y1 = 13 adalah...
3. Banyaknya bilangan asli nsehingga 3n+ 81 merupakan kuadrat sempurna adalah..
4. Bilangan bulat positif terkecilnsehingga 31 membagi 5n+nadalah...
5. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang menyebabkan 1a +1b +1c merupakan bilangan asli.
6. Tentukan semua pasangan bilangan bulat non negatif yang memenuhi persamaan (xy−7)2 =x2+y2
7. Diketahui x, y, z, dan nadalah bilangan-bilangan asli yang memenuhi
xn+yn=zn
Tunjukkan bahwa x, y,dan z semuanya lebih besar darin.
8. Tentukan semua bilangan real asehingga persamaan kuadrat x2+ax+ 6a= 0 mempunyai dua solusi yang keduanya bulat.
9. Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi
x4+x3+x2+x+ 1 =y2
10. Carilah semua bilangan prima psehingga sistem persamaan
p+ 1 = 2x2
p2+ 1 = 2y2
mempunyai solusi bulat.