Bab 3 Getaran
C. Persamaan Gerak Harmonik Sederhana
Sebelumnya kita telah membahas getaran suatu benda pada pe-gas dan ayunan. Seperti disebutkan sebelumnya, getaran pada pepe-gas dan ayunan merupakan gerak harmonik sederhana. Kali ini kita akan mempelajari persamaan-persamaan yang berlaku pada gerak harmonik sederhana. Tahukah kamu bahwa proyeksi dari suatu gerak melingkar beraturan menghasilkan gerak harmonik sederhana? Untuk lebih jelas-nya, pelajarilah pembahasan berikut!
1. Persamaan Simpangan Gerak Harmonik Sederhana
Simpangan dari pegas dan bandul dapat digambarkan dalam suatu fungsi sinusoidal. Persamaan tersebut juga dapat dilukiskan dari sebuah proyeksi gerak melingkar beraturan.
Perhatikan gambar 3.8 berikut ini!
me-menjadi:
θ = ω . t = 2 π . f . t = . t . . . (3.11)
Keterangan:
θ : sudut fase (rad atau derajat) ω : kecepatan sudut (rad/s)
t : waktu titik tersebut telah bergetar (s)
Dari gambar 3.8 kita peroleh persamaan simpangan dari gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
y = A sin θ y = A sin (ω . t) y = A sin (2 . π . f . t) y = A sin . . . (3.12) Keterangan: π : 180° atau 3,14
Jika benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan sudut awal θo maka persamaan simpangannya menjadi:
y = A sin (θ + θo) y = A sin (ω . t + θo) y = A sin (2 . π . f . t + θo) y = A sin y = A sin 2 π y = A sin 2 πϕ . . . (3.13) Keterangan:
ϕ : fase getaran (tidak bersatuan) =
Gambar 3.8 Benda bermassa m berputar berlawanan arah gerak jarum jam membentuk lingkaran dengan jari-jari A, dengan laju konstan v
v v v θ Y X
nempuh sudut fase sebesar θ. Besar sudut fasenya dapat diuraikan
A
Dengan demikian, jika suatu benda telah bergetar dari t1 ke t2
dengan t2 > t1 maka beda fase yang dialami benda yang bergetar tersebut adalah:
Δϕ = ϕ2 –ϕ1 = . . . (3.14)
Keterangan:
Δϕ : beda fase
Dua kedudukan suatu benda dikatakan sefase jika Δϕ = 0, 1, 2, 3, . . . n. Sebaliknya, jika Δϕ = , , , . . . (n + ) maka dua kedudukan suatu benda dikatakan berlawanan fase. n adalah bilangan cacah.
Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana diten-tukan dengan menurunkan persamaan simpangan gerak harmonik sederhana dan dirumuskan sebagai berikut.
Persamaan simpangan:
y = A sinω . t dengan y
maks = A . . . (3.15)
Persamaan kecepatan:
v = = ω A cos ω . t dengan vmaks = A ω . . . (3.16) Persamaan percepatan:
a = = -ω2 A sin ω . t dengan amaks = A ω2 . . . (3.17)
Keterangan:
v : kecepatan suatu benda pada gerak harmonik sederhana (m/s)
a : percepatan pada suatu benda pada gerak harmonik sederhana (m/s2)
Jika sudut fase gerak harmonik sederhana berada di titik kes-etimbangan (θ = 0°) maka y = 0, v = vmaks, dan a = 0. Jika sudut fase berada di titik simpangan terbesar (θ= 90°) maka y = ymaks = A, v = 0, dan a = amaks.
Dalam gerak harmonik sederhana bekerja gaya F = -k . Δy. Menurut hukum Newton: F = m . a. Jika kedua persamaan tersebut disubstitusikan maka diperoleh:
m . a = -k . y m (-ω2 . y) = -k . y
-mω2 . y = -k . y k = m . ω2
Keterangan:
k : konstanta gerak harmonik (N/m)
2. Persamaan Energi Gerak Harmonik Sederhana
Semua benda yang bergerak mempunyai energi kinetik dan energi potensial. Benda yang bergerak harmonik sederhana juga
mempunyai energi kinetik dan energi potensial. Energi kinetik gerak harmonik sederhana dirumuskan sebagai berikut.
Ek= m . v 2
Ek= m (ω . A cos ω t) 2
Ek= m ω2 A2 cos 2 ω t
Ek= k A2 cos 2 ω t . . . (3.18) Energi potensial gerak harmonik sederhana adalah energi yang dimiliki oleh benda yang bergetar harmonik sederhana karena simpan-gannya. Energi potensial gerak harmonik sederhana dirumuskan:
Ep= k y 2
Ep= k (A sin ω t) 2
Ep= k A2 sin 2 ω t . . . (3.19) Energi total yang dimiliki oleh benda yang bergerak harmonik sederhana berasal dari energi potensial dan energi kinetik. Energi ini disebut energi mekanik. Energi mekanik gerak harmonik sederhana dapat dirumuskan:
E = Ep+ Ek
E = k A2 sin 2 ω t + k A2 cos 2 ω t E = k A2 (sin 2 ω t + cos 2 ω t)
E = k A2 . . . (3.20)
Dalam setiap getaran, besar energi potensial dan energi ki-netik selalu berubah tetapi jumlahnya tetap. Pada gerak harmonik sederhana terjadi pertukaran energi potensial menjadi energi kinetik atau sebaliknya, tetapi energi mekaniknya (energi totalnya) tetap. Pernyataan ini disebut hukum kekekalan energi mekanik.
Pada titik kesetimbangan (θ = 0°), energi kinetik mencapai nilai maksimum dan energi potensial mencapai nilai minimum (Ep = 0). Kecepatan di titik ini adalah:
Em= Ek+ Ep Em= Ek+0
Em= Ek
k . A2
= m . v 2
v = A
Adapun kecepatan getar benda pada sembarang titik dapat ditentukan dengan rumus berikut.
Em= Ek+ Ep . k . A2 = . m . v 2 + . k . y 2 k . A2 = m . v2 + k . y 2 m . v 2 = k . A2 – k . y 2 m . v 2 = k (A2 – y 2) v 2= (A2 – y 2) v = v = v = . . . (3.21)
Agar kamu lebih mudah memahami tentang gerak harmonik sederhana, pelajarilah contoh soal di bawah ini dengan cermat! Setelah itu kerjakan pelatihan di bawahnya bersama temanmu! Contoh Soal
1. Sebuah pegas melakukan gerak harmonik sederhana dengan persamaan: y = 8 sin 6 π t, y dalam cm dan t dalam sekon. Tentukan: a. amplitudo, b. periode, c. kecepatan saat t = s, d. percepatan saat t = s. Penyelesaian: Diketahui: y = 8 sin 6 π t Ditanyakan: a. A = . . .? b. T = . . .? c. v = . . .? d. a = . . .? Jawab:
a. Bentuk umum persamaan gerak harmonik sederhana y = A sin sehingga amplitudonya A = 8 cm b. 6 π = maka T = sekon c. v = = 48 π cos 6 π t Saat t = s v = 48 x 3,14 cos (6 x 180° x ) v = 150,72 cos 216 v = – 121,9 cm/s = – 1,219 m/s d. a = = – 288 π2sin 6 π t Saat t = s a = – 288 (3,14)2sin (6 x 180°x ) a = 1669,05 cm/s2 = 16,6905 m/s2
2. Suatu titik materi melakukan gerak harmonik sederhana dengan amplitudo 10 cm dan periode 2 sekon. Jika saat t = 0 simpangan titik materi maksimum, tentukan fase getaran saat simpangan getarannya 5 cm.
Penyelesaian: Diketahui: A = 10 cm T = 25 y = 5 cm Ditanyakan: ϕ = . . .? Jawab: Langkah 1:
Menentukan sudut awal.
y = A sin 2π A = A sin 2π
1 = sin 2π
sin = sin 2π
= 2π
=
θ = Langkah 2:
Menentukan fase saat simpangannya 5 cm.
y = A sin 2π 5 = 10 sin 2π = sin 2π sin 30° = sin 2π sin = sin 2π = 2π = t = Langkah 3:
Menentukan fase getaran
ϕ =
ϕ =
ϕ =
ϕ =
Kerjakan bersama teman sebangkumu!
1. Suatu partikel melakukan getaran harmonik dengan amplitudo sebesar 2 cm dan periodenya 1 sekon. Jika gerak dimulai dari titik kesetimbangan, hitunglah:
a. kecepatan dan waktu saat mencapai fase pertama kali,
b. percepatan dan waktu saat mencapai fase pertama kali.
2. Suatu pegas digantung vertikal. Jika pegas diberi beban 1 kg, panjangnya
bertam-bah cm. Kemudian pegas ditekan ke atas sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitung
energi potensial saat t = sekon!
Kerja Berpasangan 2
3. Suatu benda melakukan gerak harmonik sederhana dengan amplitudo 10 cm. Jika gerak dimulai dari titik kesetimbangan, hitunglah:
a. percepatan saat Ek = Ep pertama kali. Pada saat itu geraknya ke bawah dan simpangan berada di atas titik kesetimban-gan.
b. kecepatan saat Ek = Ep pertama kali. Pada saat itu geraknya ke atas dan simpangan berada di bawah titik kesetimban-gan.
Diketahui bahwa waktu untuk mencapai keadaan di atas adalah
sekon.
4. Suatu benda melakukan gerak harmonik sederhana. Pada saat simpangannya 10 cm di atas titik kesetimbangan, percepatannya 1.000 π2 cm/s2 dengan arah percepatan menuju titik kesetim-bangan dan arah geraknya ke bawah. Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan itu jika saat itu kelajuannya
π cm/s!
5. Benda yang bermassa 100 gram bergetar harmonik vertikal dengan amplitudo 5 cm dan frekuensi 10 Hz. Pada suatu ketika
fasenya . Jika percepatannya 100 π2 cm/s2 dengan gerak dimulai dari titik kesetimbangan, tentukanlah:
a. simpangan saat itu,
c. energi potensial pada saat itu, d. kelajuan pada saat itu,
e. energi kinetik pada saat itu.