Prinsip Energi Potensial Stationer

III. LANDASAN TEORI

3.2 Prinsip Energi Potensial Stationer

Pengembangan teori Energi Potensial Stasioner yang diberikan disini mengikuti penurunan teori yang dikembangkan oleh Hoff (1956). Teori yang diberikan disini tidak seluruhnya dan hanya diambil garis – garis besarnya saja.

3.2.1 Prinsip Perpindahan Virtual

Sebuah partikel kecil dengan massa Q diberi sejumlah n gaya F, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.1. Kemudian partikel tersebut mengalami perpindahan kecil sebesar r. Perpindahan tersebut hanya perpindahan hayalan, yang tidak berhubungan dengan perpindahan yang mungkin terjadi akibat adanya gaya – gaya F yang bekerja pada partikel tersebut. Besar dan arah dari gaya – gaya yang bekerja pada partikel tersebut diasumsikan tidak mengalami perubahan selama terjadi perpindahan.

r F1

F_i F₂

Gambar 3.1 Perpindahan virtual dari partikel massa Q

Selama terjadinya perpindahan virtual, setiap gaya yang bekerja pada partikel tersebut akan melakukan sejumlah usaha yang besarnya sama dengan perpindahan dan komponen gaya pada arah yang sama dengan perpindahan virtual tersebut. Usaha ini disebut usaha virtual. Komponen gaya pada arah yang sama dengan perpindahan virtual disebut Fir, maka usaha virtual total, W, yang terjadi akibat seluruh gaya yang bekerja pada partikel adalah :

W = F1r r + F2r r + . . . + Fnr r W = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

₌n i ir F 1 r (3.1)

Bila partikel berada dalam keadaan setimbang, resultan dari semua gaya yang bekerja pada partikel tersebut harus hilang. Nilai ∑ F_ir, yang merupakan komponen dari resultan pada arah r, harus sama dengan nol. Dengan hal ini dapat diambil kesimpulan bahwa usaha virtual harus sama dengan nol bila partikel dalam keadaan setimbang. Karena sebuah partikel yang tidak dalam keadaan setimbang juga dapat memberikan resultan yang bernilai nol pada suatu arah, tapi tidak pada semua arah, Keadaan setimbang dnyatakan dengan jelas bahwa hanya terjadi bila W = 0 pada setiap perpindahan virtual yang ada. Prinsip dari perpindahan virtual dapat disimpulkan dan dinyatakan dengan pernyataan berikut; sebuah partikel massa berada dalam keadaan setimbang bila total usaha virtual yang dilakukan oleh setiap gaya yang bekerja pada partikel tersebut adalah sama dengan nol untuk setiap perpindahan

Pengembangan prinsip perpindahan virtual dari prinsip untuk satu buah partikel ke prinsip untuk sebuah badan elastis juga diungkapkan oleh Hoff (1956). Sebuah model digunakan untuk menggambarkan badan elastis tersebut. Model tersebut dapat dilihat pada gambar 3.2a, terdiri atas beberapa partikel massa yang dihubungkan satu dengan lainnya dengan pegas yang tidak bermassa.Bila sistem tersebut dalam keadaan setimbang dengan sejumlah gaya yang bekerja sistem tersebut, maka setiap partikel massa juga dalam keadaan setimbang dengan gaya – gaya nya masing – masing. Gaya yang bekerja pada setiap partikel dapat juga berupa gaya yang dapat dikatakan gaya eksternal untuk seluruh sistem dan juga gaya pegas, namun gaya – gaya tersebut dinyatakan sebagai gaya internal bila badan secara keseluruhan diperkirakan (gambar 3.2b)

Model (a) Gaya – gaya partikel (b) Gambar 3.2 Model pegas – massa dari badan elastis

Prinsip perpindahan virtual dari suatu partikel massa dapat diaplikasikan pada salah satu dari partikel – partukel ini. Karena partikel berada dalam keadaan setimbang,

usaha virtual akibat gaya – gaya yang bekerja pada partikel tersebut harus hilang pada setiap perpindahan virtual yang diaplikasikan pada sistem keseluruhan. Usaha virtual akibat seluruh gaya yang bekerja pada seluruh partikel nilainya juga sama dengan nol, adalah hal yang memungkinkan untuk menganggap total usaha virtual terdiri atas dua bagian, yang pertama akibat gaya – gaya luar yang diaplikasikan pada badan secara keseluruhan, dan yang kedua akibat gaya pegas internal yang bekerja pada masing – masing partikel.

Prinsip perpindahan virtual untuk badan elastis dengan dimensi terhingga dapat dinyatakan bahwa; suatu badan elastis dengan ukuran yang terhingga berada pada keadaan setimbang bila usaha virtual yang dilakukan oleh gaya – gaya luar ditambah dengan usaha virtual yang dilakukan oleh gaya – gaya dalam adalah sama dengan nol untuk setiap perpindahan virtual. Pernyataan ini dapat dinyatakan secara analitis sebagai :

W_i + W_e = 0 (3.2)

Dimana Wi dan We adalah pertambahan dari usaha virutal internal dan eksternal yang dihasilkan dari perpindahan virtual.

3.2.2 Prinsip Energi Potensial Stasioner

Struktur yang mengalami n buah gaya Pi, dan suatu perpindahan virtual r, usaha virtual eksternal W_e, dapat dinyatakan sebagai :

W_e =

∑

n ir

Dimana P_ir adalah komponen dari setiap gaya P_i yang bekerja pada arah perpindahan virtual. Usaha virtual internal bisa didapatkan dengan cara persamaan yang sama bila memungkinkan untuk mengisolasi semua gaya – gaya internal. Namun untuk sebagian besar struktur hal ini tidak mungkin untuk dilakukan, dan harus dipakai cara alternatif untuk menghitung usaha internal.

Gambar 3.3 Perpindahan virtual sebuah partikel pada model pegas – massa Suatu perpindahan virtual yang terdiri dari pergerakan vertikal r pada partikel paling atas dari keempat partikel yang ada diaplikasikan pada suatu sistem pegas – massa. Oleh karena usaha virtual internal dari sistem adalah sama dengan gaya tersebut dikalikan dengan perpindahannya, maka :

Wi = - P1 r (3.4)

Sebagai hasil dari perpindahan virtual, energi regangan dari pegas yang melekat pada partikel paling atas berubah dengan jumlah U, yang nilainya sama dengan :

U = P₁ r (3.5)

Dengan membandingkan persamaan (3.5) diatas dengan persamaan (3.4), maka didapat :

Wi = - U (3.6)

Dengan kata lain, usaha virtual internal Wi adalah sama besarnya dengan energi regangan U namun berbeda dalam tanda. Usaha virtual total pada badan elastis didapatkan dengan mengombinasikan usaha virtual eksternal dengan negatif dari perubahan energi rengangan, dan persamaan (3.2) dapat dituliskan kembali dengan :

Wi + We =

∑

₌n i ir p 1 r – U = 0 (3.7)

Adalah suatu hal yang lazim pada teori mekanika teknik untuk manyatakan pertambahan usaha eksternal We akibat perpindahan virtual sebagai energi potensial, dan dengan - V untuk menyatakan nilai ini, maka :

V = -

∑

₌n i ir p 1 r (3.8)

Berdasarkan hal ini, maka persamaan (3.7) dapat ditulis menjadi : U + V = 0

Nilai U + V terdiri atas energi regangan dan energi potensial dari gaya – gaya luar menunjukkan total energi potensial dari sistem, dan simbol melambangkan perubahan jumlah ini yang disebabkan oleh perpindahan virtual.

Prinsip yang dinyatakan pada persamaan (3.9) dikenal sebagai teori energi potensial stasioner. Teori itu dapat dinyatakan dengan; sebuah struktur elastis berada pada keadaan setimbang bila tidak ada perubahan yang timbul pada energi potensial total dari sistem bila perpindahannya berubah dengan jumlah yang kecil.

Bila suatu sistem memiliki jumlah derajat kebebasan yang sangat banyak, kesetimbangan diperoleh dengan pasti hanya jika telah dapat dilihat bahwa energi potensial total tidak berubah untuk kemungkinan perubahan perpindahan yang sangat banyak juga. Namun untuk sistem yang hanya memiliki satu derajat kebebasan, kesetimbangan dapat diperoleh dengan pasti hanya jika tidak ada perubahan pada parameter perpindahan, dan hal ini dapat diperoleh dengan kalkulus yang sederhana. Makna dari prinsip energi potensial stasioner lebih mudah untuk dimengerti jika hanya memperkirakan sistem dengan satu derajat kebebasan. Untuk sistem seperti itu, bila derajat kebebasan tunggal itu adalah sumbu x, maka energi potensial total akan berbentuk sebagai fungsi x, dan turunannya akan ditentukan dari :

(U + V) = x dx V U d δ ) ( + _(3.10)

Karena x adalah suatu perumpamaan, maka turunan dari energi potensial total dapat dinyatakan sama dengan nol hanya jika :

dx V U

d( + ) _{= 0 (3.11)}

Persamaan (3.11) menandakan bahwa sebuah kurva U + V yang digambarkan terhadap sumbu x akan memiliki garis singgung yang horizontal pada nilai x yang menunjukkan kesetimbangan. Dengan kata lain, kesetimbangan berhubungan dengan nilai minimum atau maksimum dari total energi potensial sistem. Karena suatu kesetimbangan menjadi stabil bila suatu energi harus ditambahkan kedalam untuk sistem untuk merubah bentuknya, dan menjadi tidak stabil ketika energi dilepas ketika telah terjadi perubahan bentuk, kesetimbangan yang stabil berhubungan dengan nilai minimum dari energi potensial total dan ketidakstabilan berhubungan dengan nilai maksimum. Karakter dari kesetimbangan dapat dilihat secara analitis dari tanda turunan kedua energi potensial total. Tanda positif menyatakan kesetimbangan yang stabil, sedangkan tanda negatif menyatakan kesetimbangan yang tidak stabil.

3.2.3 Evaluasi Beban Kritis

Dari pembahasan sebelumnya kita mendapatkan dua kesimpulan, yang pertama kesetimbangan diperoleh jika turunan pertama dari total energi potensial menghilang. Yang kedua tanda dari turunan kedua menentukan apakah kesetimbangan tersebut stabil atau tidak. Beban kritis dari suatu sistem dapat diketahui dengan menggunakan kedua kesimpulan tersebut. Karena beban kritis

kedua dari energi potensial total berubah dari positif ke negatif, yaitu beban dimana 2

(U + V) = 0. Pendekatan kedua untuk mendapatkan beban kritis adalah dengan menemukan beban dimana keadaan kesetimbangan netral dimungkinkan, yaitu beban dimana kesetimbangan pada bentuk terdeformasi dimungkinkan. Pada kasus ini, tidak perlu untuk memeriksa kestabilan dari sistem. Yang diperlukan hanya menemukan kesetimbangan pada bentuk yang terdeformasi, dan hal ini bisa didapatkan dengan syarat (U + V) = 0 untuk bentuk yang terdeformasi.

3.3 METODE PENYELESAIAN UNTUK APLIKASI PRINSIP ENERGI