BAB 3 PERSOALAN PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU
3.6. Program Kuadratik
Berikut ini pemaparan mengenai pemrograman kuadratik. Program kuadratik merupakan permasalahan optimisasi tak linear berkendala yang paling sederhana. Pada permasalahan pemrograman kuadratik melibatkan fungsi objektif berbentuk kuadratik dan kendala-kendala berbentuk linear. Program kuadratik mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
minimumkan Q(x) = xTGx+ gTx (3.1)
dengan kendala aTi x= bi, i∈ E, (3.2)
aTi x≥ bi, i∈ I (3.3)
Di mana G merupakan matriks simetri berukuran n × n, E dan I masing-masing sebagai himpunan indeks dari kendala-kendala persamaan dan kendala-kendala pertidaksamaan, E = {1, ..., me} dan I = {me+ 1, ..., m}. Jika matriks Hessian G merupakan semidefinit positif, maka (3.23)-(3.25) merupakan permasalahan pemrograman kuadratik konveks dan solusi lokal x∗
merupakan suatu solusi glob-al. Jika G merupakan definit positif, maka (3.23)-(3.25) merupakan pemrogra-man kuadratik konveks sempurna (strict convex) dan x∗
merupakan solusi global tunggal. Jika G bersifat tak definit (indefinite), maka (3.23)-(3.25) merupakan
16 permasalahan program kuadratik tak konveks di mana penyelesaian permasala-han tersebut akan menjadi lebih sulit, karena memiliki beberapa titik stasioner dan minimum lokal.
17 Teorema 3.2.3 (Karush-Kuhn-Tucker) dapat diterapkan pada (3.23)-(3.25) dengan menyatakan dalam fungsi Lagrange, yakni
L(x∗ , λ∗ ) = xTGx+ xTc− X i∈I∪E λi(aT i )
Sebagaimana pada Definisi 3, yakni A(x∗
) mengandung indeks dari kendala-kendala persamaan berlaku pada x∗
: A(x∗
) = {i ∈ E ∪ I|aTix∗
= bi}
dengan mengkhususkan syarat KKT (3.2.3) untuk permasalahan ini, dapat dite-mukan suatu solusi x∗
dari (3.23)-(3.25) yang memenuhi syarat optimalitas order pertama, untuk beberapa pengali-pengali Lagrange λ∗
i, i ∈ A(x∗ ) : g+ Gx∗ = m X i=1 λ∗ iai (3.4) aTi x∗ = bi, i∈ E (3.5) aTi x∗ ≥ bi, i∈ I (3.6) λ∗ i(aT i x∗ − bi) = 0, i ∈ I (3.7) λ∗ i ≥ 0, i ∈ I (3.8)
Syarat-syarat (3.26)-(3.30) disebut juga sebagai syarat optimalitas untuk per-masalahan (3.23)-(3.25).
18 3.7. Metode Himpunan Aktif
Berikut pemaparan mengenai metode himpunan aktif (Maes, 2010). Metode himpunan aktif untuk pemrograman kuadratik merupakan suatu algoritma iteratif yang menghasilkan rangkaian dari estimasi solusi dan menjaga kelayakkan serta memperbaharui perkiraan himpunan optimal dari kendala-kendala aktif dan tidak aktif. Suatu kendala pertidaksamaan ci merupakan aktif pada titik x jika berlaku ci(x) = 0. Sedangkan pada kendala persamaan merupakan kendala aktif.
Algoritma dari metode himpunan aktif menghasilkan rangkaian titik xkyang merupakan estimasi solusi dari (3.35)-(3.37). Subskrip k digunakan untuk meny-atakan iterasi ke-x dari algoritma.
Pada metode himpunan aktif primal mengklasifikasikan proses pengerjaan menjadi dua tahapan. Tahap pertama atau tahap kelayakan (feasibility phase), merupakan suatu tahapan yang mencoba untuk menemukan suatu titik dengan mempertahankan kelayakan (feasibility). Tahap 2 merupakan tahap optimalitas, yakni mencoba menemukan suatu titik yang menghasilkan nilai optimal dengan tetap mempertahankan kelayakkan.
Pada metode himpunan aktif, langkah atau pergerakkan iterasi xk diny-atakan
xk+1 = xk+ αkpk
di mana arah pencarian (search direction) merupakan suatu vektor yang meru-pakan arah menurun (direction of descent) untuk fungsi objektif, dan skalar dari panjang langkah (step length) αk bernilai tak negatif.
Arah pencarian p dihitung dengan menyelesaikan permasalahan berkendala persamaan, yakni
minp f(x + p) dengan kendala Ap = 0, pN = 0 (3.1)
di mana f(x) merupakan fungsi objektif kuadratik cTx+12xTHx. Kendala Ap = 0 dipilih sehingga A(x + αp) = b untuk setiap α ≥ 0. Jika dikembangkan fungsi
19 objektif dan menghapus istilah cTx dan xTHx, permasalahan menjadi
minpgTp+1 2p
Tp (3.2)
dengan kendala Ap= 0, P N = 0 (3.3)
BAB 4
TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN PROGAM KUADRATIK NOL-SATU
4.1. Teknik Linierisasi Sherali dan Smith
Permasalahan pemrograman kuadratik merupakan salah satu permasalahan optimisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berbagai aspek, termasuk dalam aspek perekonomian, sains terapan, komputasi, dan komunikasi. Banyak ilmuan meneliti program kuadratik, akan tetapi, untuk kasus persoalan program kuadratik nol-satu, teknik linierisasi Sherali dan Smith lebih efektif untuk menyelesaikan proram kuadratik satu. Karena solusi yang dibatasi oleh nol-satu membuat fungsi kuadratik menjadi permasalahan yang baru. Berikut ini adalah bentuk program kuadratik nol-satu
M inimumkan CTx+ XTQx (4.1)
Kendala hTx+ xTGx≥ g (4.2)
x∈ X ⊆ {x : x adalah bilangan biner} ⊆ Bn (4.3)
Dimana Q dan G adalah matriks dimensi n × n.
Misalkan program kuadratik di transformasi menjadi perkalian antara fungsi linier. Sehingga dapat dinyatakan dalam proses sebagai berikut
γmin/maxi = min max Qix: x ∈ ¯X ,∀i (4.4)
Dan Qi merupkan Q baris ke i, dan ¯Xadalah sebuah relaksasi dari X seperti yang ditunjukkan pada persamaan (4.4). Andaikan didefinisikan γi
min/max seba-gai vektor yang mempunyai anggota-anggota γi
min/max = 1, . . . , n dan misalkan
21 Γmin/max = diag{γi
min/max}. Dan didefinisikan pula bahwa
λimax/min = min max Gix: x ∈ ¯X ,∀i Misalkan
λimax/min= (λimax/min)T dan Γimin/max = diag
λimax/min, i= 1, . . . , n
Maka di reformulasikan persoalan program kuadratik adalah QP yang juga meru-pakan bentuk fungsi Bilinear Problem (BP). Maka persoalan QP dapat dinyatakan kedalam persoalan BP, maka diperoleh persamaan yang dapat dituliskan sebagai berikut BP : Minimumkan CTx+ xTγ (4.5) Kendala Qx= γ (4.6) hTx+ xTγ ≥ g (4.7) Gx= λ (4.8) x∈ X (4.9)
Dan diketahui juga bahwa
γmin/max ≤ γmin, λmin ≤ λ ≤ λmax (4.10)
Selanjutnya, proses dilinierisasi kondisi xTγ dan xTλ dengan perkalian per-samaan (4.10) dengan xi dan (1 − xi), dimana persamaan (4.10)i adalah baris ke i dari salah satu bagian vektor pertidaksamaan di persamaan (4.10), ∀i = 1, . . . , n. Sehingga diperoleh untuk
xiγi = Si, dan xiλi = Z0
i,∀i = 1, . . . , n (4.11)
Misalkan e mempresentasikan sebuah vektor. Maka, BP dapat di transfor-masikan mengikuti persamaan
22 BP : Minimumkan CTx+ eTs0 Kendala Qx= γ hTx+ eTZ0 ≥ g Gx= λ (4.12) γ0
minxi ≤ si ≤ γminxi dan γ0
min(1 − xi) ≤ (γi− si) ≤ γ0
max(1 − xi), ∀i
λ0
minxi ≤ zi ≤ λminxi dan λ0
min(1 − xi) ≤ (λi − zi) ≤ λ0
max(1 − xi), ∀i
Perhatikan bahwa persamaan (4.11) menjamin bahwa persamaan (4.12) berlaku untuk x bilangan biner. Dengan memperhatikan struktur pertidaksamaan pada persamaan (4.12) yang dapat dinyatakan sebagai berikut
si= s0 i− γmini xi,∀i yi = γi− s0 i− γmini (1 − xi), ∀i zi= z0 i− λiminxi,∀i (4.13)
Sehingga transformasi persamaan yang baru berdasarkan persamaan (4.13) dapat dinyatakan sebagai berikut
BP : Minimumkan CTx+ eTs+ γminT x (4.14)
Kendala Qx= y + s + Γmine (4.15)
hTx+ eTz+ λTminx≥ g (4.16)
Gx= λ (4.17)
0 ≤ si ≤ (γmaxi − γmini )xi dan
0 ≤ yi ≤ (γmaxi − γmini )(1 − xi), ∀i (4.18) 0 ≤ zi ≤ (λimax− λimin)xi dan
λimin ≤ yi ≤ (λimax− λimin)(1 − xi), ∀i (4.19)
x∈ X (4.20)
Kemudian, persoalan BP ditunjukkan oleh persamaan (4.14) disederhanakan den-gan menghapus batas atas pertidaksamaan untuk si di persamaan (4.18) dan
23 untuk (λi − zi) di persamaan (4.19). λ adalah batas bawah pertidaksamaan λ≥ z + λmin dimana λ = Gx di persamaan (4.17). Sehingga dapat ditulis
Gx≥ z + λmin
Sehingga bentuk relaksasi BP ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
BP : Minimumkan cTx+ eTs+ γminT x Kendala Qx= y + s + Γmine 0 ≤ y ≤ [γmax− Γ](e − x), s ≥ 0 hTx+ eTz+ λTminx≥ g Gx≥ z + λmin 0 ≤ z ≤ [Λmax− Λmin]x x∈ X (4.21)
Maka transformasi persamaan linierisasi program kuadratik nol-satu selesai. 4.1..1 Representasi Pendekatan Program Kuadratik nol-satu
Berdasarkan definisi pada subbab (4.1), maka dapat mempresentasikan hubun-gan antara persoalan program kuadratik umumnya denhubun-gan persoalan program kuadratik nol-satu.
Lemma 4.1 Andaikan x ∈ X ⊆ {0, 1} untuk i = 1, . . . , n. xiQix= max
γmini xi, Qix+ γmaxi xi− γmaxi
(4.22) xiQix= min
γmaxi xi, Qix+ γmini xi− γmini
(4.23) memiliki hubungan yang sama antara program kuadratik nol satu dengan program kuadratik umumnya.
Bukti Andaikan xi = 0, maka xiQix pada persamaan (4.22) jelas bernilai 0 dan sisi kanan max
γmini xi, Qix+ γi maxxi− γi max menjadi max{0, Qix− γi max} =
24 0. Dan dalam kaasus lainnya, andaikan xi 6= 0, dengan kata lain xi = 1 maka sisi kanan persamaan (4.22) dapat dituliskan menjadi max{γi
min, Qix} = Qix dimana sama dengan sisi kirinya yaitu Qix. Dan begitu juga dapat dilakukan pada persaamaan (4.23)
Akibat 4.2 Andaikan x ∈ X ⊆ {0, 1} max{γmini xi, Qix+ γmaxi xi− ymaxi } ≤ s0
i ≤ min{γmaxi xi, Qix+ γmini xi− ymini } (4.24) jika dan hanya jika
S0
i = xiQix (4.25)
Bukti disubtitusikan persamaan (4.22) dan (4.23), maka dapat diperoleh dan dinyatakan sebagai berikut
xiQx= max{γmini xi, Qix+ γmaxi xi− ymaxi } = min{γmaxi xi, Qix+ γmini xi− ymini } (4.26)
Hasil diatas berlaku untuk Gi dan λ yang telah dinyatakan sebelumnya. Linierisasi berdasarkan Akibat 4.2 merupakan persoalan BP persamaan (4.21), di-mana pertidaksamaan liner persamaan (4.21) tidak lain adalah persamaan (4.24). Sebenarnya, tidak semua pertidaksamaan persamaan (4.24) yang diperlukan dalam model akhir linierisasi. Untuk menunjukkan ini, pertama diperkenalkan berikut prinsip merumuskan program kuadratik nol-satu kedalam program linear piece-wise.
25 Proposisi 4.3 Setiap program linier convex atau piece-wise fungsi tujuan linear piece-wise dan kendala sama dengan program linier dalam arti bahwa ada proyeksi one-to-one antara kedua solusi layak.
Bukti Ditunjukkan bahwa
M inimumkan f(x) Adalah sama untuk
M inimumkan t
Kendala t− f(x) ≥ 0
Diasumsikan bahwa fungsi tujuan merupakan linear. Himpunan kendala merupakan convex dan dikarakteristik dengan pertidaksamaan linier piece-wise. Sehingga persamaan tersebut berbentuk polyhedral convex, yang harus memiliki ekspresi linear. Itu menunjukkan bahwa persamaan Proposisi 4.1 berlaku jika variabel dibatasi oleh nol atau satu. Selanjutnya ditunjukkan adanya persamaan program linier piece-wise convex untuk masalah minimisasi kuadratik nol-satu.
Proposisi 4.4 Untuk masalah minimisasi kuadratik nol-satu, ada persamaan pro-gram linier piece-wise dengan fungsi tujuan dan kendala convex.
Bukti. Maksimum beberapa fungsi linear adalah convex dan minimum con-cave. Kemudian persamaan (4.22) dan persamaan (4.4) pada Lemma 4.1 menya-jikan masing-masing formulasi convex dan concave. Oleh karena itu, untuk setiap diberikan persoalan minimisasi kuadratik nol-satu, maka dapat diperoleh per-samaan program linier piece-wise convex dengan menggunakan perper-samaan (4.22) dan (4.23). Perhatikan bahwa persamaan (4.22) dan persamaan (4.23) digunakan secara bersamaan ketika memenuhi persamaan kendala.
Maka sekarang dapat ditunjukkan bahwa persamaan (4.1) - (4.3) mengikuti formulasi persamaan
26
M inimumkan cTx+
n
X
i=1
max{γmini xi, Qix+ γmaxi xi− γmaxi } (4.27)
Kendala hTx+
n
X
i=1
min{λimaxxi, Gix+ λiminxi− λimin} ≥ g (4.28)
x∈ X ⊆ {0, 1} (4.29)
Linierisasi persamaan (4.27) - (4.29) dapat di tunjukkan dibawah ini. Per-samaan (4.28) adalah setara dengan
Kendala hTx+ n X i=1 zi ≥ g (4.30) zi ≤ λimaxxi (4.31) zi ≤ Gix+ λiminxi− λimin (4.32)
Karena persamaan (4.30) - (4.32) adalah relaksasi persamaan (4.27) dan persamaan (4.30) - (4.2.32) juga terkandung dalam persamaan (4.27). Sekarang dapat diperoleh linierisasi untuk persamaan (4.26) (4.29), yang setara dengan
¯
BP. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa non-necessity pertidaksamaan seperti y ≥ 0 dan z ≥ 0 yang juga telah di teliti oleh Adam dan Forrester (2005,2007). Sehingga linierisasi yang diperoleh dengan pendekatan piece-wise convex adalah tepat.
4.1..2 Contoh Persoalan dan Penyelesaian Program Kuadratik
Nol-Satu
Persoalan program kuadratik nol-satu adalah persoalan optimisasi untuk menyelesaikan persoalan yang terkendala yang memiliki kendala fungsi kuadratik dan fungsi tujuan berbentuk kuadratik. Dengan solusi yang dibatasi nol dan satu.
27 Berikut diberikan contoh persoalan program kuadratik nol-satu
M inimumkan f(x) = x21− 3x22+ x1+ 2x2
Kendala 2x2
1+ x2 ≤ 2 x1, x2 ∈ {0, 1}
Berdasarkan dari soal tersebut, sudah terlihat x = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} merupakan titik layak bagi seluruh kendala serta merupakan solusi dari persoalan program kuadratik nol-satu.
Persoalan kuadratik diatas dilinierisasi dengan mentranformasikan persamaan kuadrat pada fungsi tujuan dengan menambah kendala. Sehingga persamaan pro-gram kuadratik nol-satu menjadi
M inimumkan s1− s2+ x1+ 2x2 Kendala z+ x2 ≤ 2 x1, x2∈ {0, 1} s1 = x21 s2 = 3x22 z= 2x2 1
Variabel kuadrat pada fungsi objektif diubah menjadi variable berorde satu. Sehingga persamaan pada fungsi tujuan bertranformasi menjadi persamaan linier. Dan diperlukan penambahan persamaan pada fungsi kendala. Variabel berorde dua pada persamaan fungsi kendala juga di ubah menjadi variabel berde satu sehingga berimplikasi langsung pada penambahan variabel pada fungsi kendala.
Berdasarkan transformasi persamaan diatas, karena nilai xi merupakan bi-langan biner maka diperoleh rentang s1, s2, dan z sebagai berikut
28 oleh karena itu
0 ≤ s1 ≤ 1 0 ≤ s2 ≤ 3 0 ≤ z ≤ 2 s1, s2, dan z merupakan bilangan bulat.
Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
M inimumkan s1− s2+ x1+ 2x2 Kendala z+ x2 ≤ 2 0 ≤ s1 ≤ 1 0 ≤ s2 ≤ 3 0 ≤ z ≤ 2 x1, x2∈ {0, 1}
Berdasarkan kendala diatas maka kombinasi solusi layak untuk persoalan kuadratik nol-satu diatas adalah (0, 0), (1, 0), (0, 1). Oleh karena itu pula dapat diperoleh titik x1, x2, s1, s2, dan z sebagai berikut:
(x1, x2, s1, s2, z) f(x) (0, 0, 0, 0, 0) 0 (1, 0, 1, 0, 2) 2 (0, 1, 0, 3, 0) -1
Berdasarkan tabel diatas solusi minimum dari persoalan kuadratik nol-satu adalah −1 dengan titik layak x1 = 0, x2= 1, s1 = 0, s2 = 3, z = 0
BAB 5 KESIMPULAN
Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu merupakan suatu permasala-han untuk mengoptimalkan suatu fungsi objektif dan kendala berbentuk kuadratik dengan solusi nol atau satu. Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu merupakan salah satu permasalahan optimisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berbagai aspek, termasuk dalam perekonomian, sains tera-pan, dan teknik. Aplikasi-aplikasi penting dari pemrograman kuadratik termasuk analisis portofolio, pendukung vektor mesin, analisis struktur, dan pengendalian optimal.
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasala-han pemrograman kuadratik nol satu adalah dengan melinierisasi persamaan yang berbentuk kuadratik. Teknik linierisasi program kuadratik lebih efektif untuk menyelesaikan persoalan program kuadratik nol-satu. Dimana nantinya diper-lukan penambahan variabel dan kendala.
Tulisan ini menunjukkan bahwa variabel yang berorde dua bergantung pada variabel berorde satu. Dan metode ini lebih efektif dalam menyelesaikan program kuadratik nol-satu. Sebab nilai variabel yang berbentuk kuadratik bernilai nol atau satu dan dipengaruhi oleh variabel berorde satu. Serta tulisan ini juga mampu menambah referensi untuk menyelesaikan persoalan kuadratik nol-satu.
DAFTAR PUSTAKA
Adams W., and Forrester R. 2005. A Simple Approach for Generating Concise Lin-ear Representations of Mixed 0-1 Polynomial Programs. Operations ResLin-earch Letters, vol. 33, no. 1, pp. 55-61.
Adams W., and Forrester R. 2007. Linear Forms of Nonlinear Expressions: New Insights on Old Ideas. Operations Research Letters, vol. 35, no. 4, pp. 510-518.
Burer S. , Monteiro R. D. C. , dan Y. Zhang Y. 2001. Rank-two relaxation heuris-tics for MAX-CUT and other binary quadratic programs. SIAM Journal on Optimization, 12:503-521.
Caprara, A, Pisinger, D. dan Toth, P. 1999. Exact solution of the qudratic knapsack problem. INFORMS Journal on Computing, 11(2):125-137.
Chaovalitwongse, W, Pardalos, P. M., Iasemidis, L.D., Shiau, D. S. dan Sackellares J. C. 2005.Dynamical approaches and multi-quadratic integer programming for seizure prediction. Optimization Methods and Software, 20(2-3): 389-400 Chardaire, P and Dan Sutter A. 1995. A decomposition method for quadratic
zero-one programming. Management Science, 41(4):704-712.
De Santis M dan Rinaldi F . 2011.Continuous Reformulations for ZeroOne Pro-gramming Problems. Springer Science and Business Media, LLC.
Furini F dan Traversi E. 2013.Extended Linear Formulation for Binary Quadratic Problems. Paris: Universite de Paris Dauphine.
Gharibi W. 2012.Improved Balas and Mazzola Linearization for Quadratic 0-1 Pro-grams with Application in a New Cutting Plane Algorithm. Dept. of Computer Science, College of Computer Science and Information Systems, Jazan Uni-versity, Jazan 82822-6694, KSA.
Gharibi W dan Xia Y. 2012.A tight linearization strategy for zero-one quadratic programming problems. International Journal of Computer Science Issues: 294-299
Kochenberger G, Alidaee B, dan Rego C. 2005.An unconstrained quadratic binary programming approach to the vertex coloring problem. Annals of Operations Research, 139(1):229241.
Loiola, E.M, de Abreu, N.MM, Boaventura-Netto, P. O., Hahn, P dan Querido T. 2006.A Survey for the quadratic assignment problem. European Journal Operation Research.
Maes, M. M. (2010). A Regularized Active-Set Method for Sparse Convex Quadratic Programming.(PhD Dissertation). University of Standford.
31 Pardalos P. M. dan Rodgers G. P. 1990. Computational aspects of a branch and bound algorithm for quadratic zero-one programming. Computing, 45:131-144. Sherali, H.D dan Smith, J.C. 2007.An Improved Linierization Strategy for
Zero-One Quadratic Problems. Optimization Letters, vol.1, pp. 33-47.
Sun, W. dan Yuan Y. 2006. Optimization Theory and Methods. New York: Springer Thoa, N. V. 1998.Global Optimization Technique for Solving the General Quadrat-ic Integer Programming Problem. Computational Optimization and ApplQuadrat-ica- Applica-tions, 10(2):149-163.