Rancangan Faktorial 2 k

Rancangan 22 dan 23 yang telah dibahas dapat diperluan untuk rancangan 2k untuk k >3. Pada rancangan 22 terdapat 2 faktor utama dan ²₂

= 1 faktor interaksi; pada rancangan 23 terdapat 3 faktor utama, ³₂

= 3 faktor interkasi dua faktor dan ³₃

= 1 faktor interaksi tiga faktor. Jika diperluas ke rancangan 2k, maka akan mencakupk faktor utama, ^k₂

faktor interaksi dua faktor, ^k₃ faktor interaksi tiga faktor, dan seterusnya hingga satu faktor interaksi k fak-tor. Untuk rancangan faktorial 2k, faktor utama kita beri label berturut-turut A, B, C, D,· · ·.

Untuk perhitungan secara manual, maka menjadi tidak mudah jika k se-makin besar. Namun demikian masih bisa dilakukan dengan menuliskan kontras setiap efek. Kontras efekAB· · ·K dapat dicari dengan

Kontras_AB···K = (a±1)(b±1)· · ·(k±1) (8.10) Sebagai contoh, untuk rancangan 23, maka

KontrasAC= (a−1)(c−1)(b+ 1) =abc+ac−ab−a−bc−c+ (1) ,

untuk rancangan 2⁴, maka

KontrasABC = (a−1)(b−1)(c−1)(d+ 1)

= abcd−abd−acd−bcd+abc+ad+bd+cd −ab−ac−bc+a+b+c−d−(1)

UM

Palangk

ara^ya

8.3. RANCANGAN FAKTORIAL2K 85 Selanjutnya jika kontras sudah diperoleh, maka efek kombinasi faktor dan jumlah kuadrat bisa dihitung dengan

AB· · ·K= ²

n2k(Kontras_AB···K) (8.11) J KAB···K = ¹

n2k(KontrasAB···K)² (8.12) dimananadalah banyaknya ulangan.

Dalam prakteknya, akan sangat membantu jika kita menggunakan program statistika untuk melakukan analisis rancangan faktorial 2^k.

UM

Palangk

UM

Palangk

ara^ya

Bab 9

Model Efek Random

Semua rancangan yang telah dibahas telah kita asumsikanfaktor tetap, karena dalam model linear perlakuan merupakan suatu kontanta. Dalam model demikian, level setiap perlakuan dipilih tertentu. Ini berakibat kesimpulan hasil analisis varian hanya berlaku untuk level perlakuan yang diamati. Jika banyaknya level yang mungkin dari suatu populasi adalah tak hingga atau sangat banyak, maka menjadi tidak mudah untuk menentukan level-level yang akan diamati agar kesimpulan tentang populasi tersebut bermakna. Untuk mencapai kesimpulan tentang populasi tersebut, kita bisa mengambil secara random level perlakuan yang akan diteliti, yang berarti efek perlakuan adalah random. Efek perlakuan demikian dinamakan efek random. Dalam efek random, tidak relevan jika kita membahas efek setiap level perlakuan, tetapi akan relevan jika yang diba-has adalah variabilitas efek tersebut pada populasi.

Sebagai contoh, suatu industri makanan ringan ingin mengetahui kadar air ba-han baku jagung yang dikumpulkan dari petani. Ada banyak karung jagung di gudangnya yang berasal dari banyak petani. Untuk menguji kadar air se-tiap asal jagung tentu tidak mudah. Oleh karena itu diambil secara random beberapa karung untuk dianalisis.

9.1 Satu Faktor Random

Model linear untuk efek random dengan satu faktor tidaklah berbeda dengan rancangan satu faktor dengan efek tetap, yang membedakan kedua rancangan adalah pada asumsi model. Pada rancangan dengan satu efek random diasim-sikan sebagai berikut.

yij=µ+τi+ij (9.1) i= 1,2,· · ·, adanj = 1,2,· · ·, ndimanaτidanijmerupakan variabel random. Jika τi danij independen maka varian setiap observasi adalah

V ar(y_ij) =σ²_τ+σ² (9.2) 87

UM

Palangk

ara^ya

dengan σ2

τ danσ2 berturut-turut adalah varianτ_i dan varian_ij. Selanjut-nyaσ2

τ dan σ2 dinamakan komponen varian; model 9.1 dinamakanmodel komponen varianataumodel efek random. Di dalam model efek random, diasumsikan bahwa_ij berdistribusi normal indendepnden dengan mean 0 dan varianσ2, bahwaτiberdistribusi normal indendepnden dengan mean 0 dan var-ianσ2

τ, dan bahwaτi danij independen.

Karena dalam model efek random kita tertarik pada efek perlakuan terhadap keseluruan populasi, maka himpotesisnya adalah tentang komonen varian yang bersumber dari perlakuanσ2

τ.

Ho:σ2 τ = 0

H1:σ_τ²>0 ^(9.3)

JikaH₀diterima maka berarti semua perlakuan adalah indentik, sedangan jika H₁ diterima berarti ada variabilitas antar perlakuan. Untuk menguji hipotesis di atas, seperti biasanya diguanakan analisis varian. Jumlah kuadrat untuk model ini tentu tidak berbeda dengan model efek tetap yaitu

J K_T =J K_P+J K_E (9.4) dengan kata lain jumlah kuadrat total merupakan jumlah dari jumlah kuadrat perlakuan dan jumlah kuadrat kesalahan random.

Dengan asumsi distribusi σ2

τ danσ2 yang telah dikemukakan di atas, maka KT_P berdistribusi chi-square dengan derajat bebasa−1 danK_E berdistribusi chi-square dengan derajat bebasN−adan kedua variabel random adalah in-dependen. Dengan demikian statistik penguji untuk hipotesis di atas adalah

F0= ^KTP

KT_E ^(9.5)

yang berdistribusiF dengan derajat bebas pembilanga−1 dan derakat bebas penyebutN−a.

Kriteria untuk menerima H0 perlu dikembangkan dengan mengamati nilai harapan kuadrat tengah. Dapat ditunjukan bahwa nilai harapan kuadrat tengah untuk perlakuan dan kesalahan berturut-turut adalah

E(KTP) =σ²+nσ²_τ

E(KT_E) =σ^{2 (9.6)}

Dari kedua nilai harapan ini, kita bisa menerimaH−0 jika hasil bagi kuadrat tengan perlakuan dan kuadrat tengah error tidak berbeda jauh denganσ2, seba-liknya kita menerimaH1jika hasil bagi kedua kuadrat tengah tersebut berbeda dengan σ². Dengan demikian kriteria untuk menolak H0 pada tingkat sig-nifikansiαadalah jika F0> Fα,a−1,N−a.

Dalam uji hipotesis model efek random, kita menguji varian faktor. Oleh karena itu akan berguna jika kita menggali informasi tentang varian dengan cara mengestimasi komponen varianσ2 danσ2

UM

Palangk

ara^ya

9.1. SATU FAKTOR RANDOM 89 σ2danσ2

τdinamakanmetode analisis varian. Prosedur ini dilakukan dengan menyamakan nilai observasi kuadrat tengah dengan nilai harapannya. Dengan demikian untuk model yang sedang kita bahas, berdasarkan 9.6 diperoleh

KT_P =σ²+nσ_τ² dan

KTE=σ².

(9.7)

Dengan demikian estimasi komponen variannya adalah ˆ σ²=KTE dan ˆ σ_τ²=^KTP+KTE n (9.8)

Jika banyaknya sampel tidak sama, maka n pada persamaan 9.8 diganti dengan n0= ¹ a−1 a X i=1 ni− Pa i=1n2 i Pa i=1ni ! . (9.9)

Contoh 21. Dengan pertimbangan bahan baku jagung diperoleh dari berbagai petani, diduga ada variasi kadar air jagung pipilan yang diterima oleh perusana-haan makanan ringan. Untuk menguji dugaan tersebut, dialkukan pengukuran kadar air jagung yang ada di gudang dengan cara mengambil sampel dari berba-gai karung secara random. Data observasi diberikan pada tabel berikut.

Observasi Karung 1 2 3 4 1 17 16 18 16 2 14 13 13 12 3 16 15 17 15 4 15 16 18 16

Perhitungan jumlah kuadrat untuk rancangan ini tentu tidak berbeda den-gan rancanden-gan random lengkap. Tabel 21 menyajikan hasil analisis varian. Berdasarkan tabel ini, kita simpulkan terdapat pengaruh asal jagung (karung) pada variasi kadar air keseluruhan jagung yang ada di gudang. Dengan metode analisis varian, estimasi komponen varinnya adalah

ˆ

σ2= 1.021 ˆ

σ2

τ= ^11.229₄^−1.021 = 2.552

Dengan demikian varian kadar air jagung setiap observasi dapat diestimasi den-gan

UM

Palangk

ara^ya

Sumber Variasi Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah ^{F0 p} Karung 3 33.688 11.229 11.00 0.001 Error 12 12.250 1.021 Total 15 45.938

Varian ini merupakan variabilitas kadar air jagung yang disebabkan dari perbe-daan karung.