Regresi Fuzzy

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Metode Taguchi

2.3 Regresi Fuzzy

Model regresi pada metode Taguchi menggunakan S/N Ratio sebagai responnya. Misalkan 𝜂_𝑗𝑟 adalah S/N Ratio untuk pengulangan ke- 𝑟 dari respon 𝑗. Model regresi linier untuk kombinasi level faktor menggunakan nilai 𝜂𝑗𝑟 ^{adalah sebagai} berikut.

(

1, 2,...,

)

jr f x x xk η = (2.7) b 1 0 c a x F 𝜇_𝛾(𝑥) 𝜇_𝛾(𝑥) = _𝑥−𝑏 𝑐−𝑏 ^untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 ^untuk 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 0 untuk 𝑥 < 𝑎 0 untuk 𝑥 > 𝑐

11 Dalam pembentukan model regresi konvensional diperlukan proses estimasi parameter, pengujian signifikansi parameter model dan asumsi identik, independen dan berdistribusi normal atau asumsi IIDN(0, 𝜎2) pada residual (Montgomery, 2001). 1. Estimasi Parameter Model Regresi

Model yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara variabel independen dan variabel dependen adalah model linier dan model orde kedua. Model linier ditunjukkan pada Persamaan 2.8, sedangkan untuk model orde kedua ditunjukkan pada Persamaan 2.9.

0 1 v jr r fr f f x = η = β +

∑

β + ε (2.8) 2 0 1 1 v v v jr r fr f ffr f fgr f g f f g f x x x x = = < η = β +

∑

β +

∑

β +

∑∑

β + ε (2.9) 𝑟 = 1,2, … , 𝑘

dimana 𝑥_𝑓, 𝑥_𝑓², dan 𝑥_𝑓𝑥_𝑔 adalah faktor independen, dan 𝛽_𝑓, 𝛽_𝑓𝑔, 𝛽_𝑓𝑓 adalah crisp values, dan 𝜀 adalah variabel random error dalam nilai respon. Kemudian menentukan model paling sesuai untuk memodelkan hubungan antara S/N Ratio untuk respon 𝑗 dan faktor proses. Metode Ordinary Least Square (OLS) digunakan untuk menaksir parameter regresi agar Sum Square

Error kecil. Estimasi parameter ditunjukkan pada Persamaan

2.10.

( )

1 ˆ T T b X X X − β = = η (2.10) Keterangan:

𝑏 : vektor taksiran koefisien regresi berukuran 𝑚𝑥1 𝑋 : matrik level dari variabel prediktor berukuran 𝑚𝑥𝑛 𝜂 : vektor respon berukuran 𝑛𝑥1

2. Pengujian Signifikansi Model a. Uji Serentak

Uji serentak adalah penguian signifikansi parameter regresi secara keseluruhan untuk mengetahui apakah terdapat minimal satu variabel prediktor yang berpengaruh terhadap nilai respon.

H0 : 𝛽₁= 𝛽₂= ⋯ = 𝛽_𝑝 = 0 (pengaruh prediktor ke-i sampai ke-p tidak bermakna).

H1 : minimal ada satu nilai 𝛽_𝑖 ≠ 0; i= 1, 2, ..., p (minimal ada satu prediktor bermakna).

Statistik Uji:

𝐹

_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔}

=

^𝑀𝑆𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖

𝑀𝑆_{𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙} ^(2.11) Kriteria penolakan: Tolak H0 jika 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} > 𝐹_{𝛼(𝑝;𝑛−𝑝−1)} dengan p=jumlah parameter regresi dan n= banyak pengamatan.

b. Uji Individu

Pengujian paremeter regresi secara individu dilakukan untuk mengetahui apakah masing-masing prediktor memberikan pengaruh terhadap respon.

H0 : 𝛽_𝑖 = 0; (pengaruh prediktor ke-i tidak bermakna). H1 : 𝛽_𝑖 ≠ 0; i= 1,2,...,p (pengaruh prediktor bermakna). Statistik Uji:

𝑡

ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔

=

^𝑏𝑖

𝑠𝑒(𝑏_𝑖) ^(2.12) Kriteria penolakan: Tolak H0 jika �𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔� > 𝑡𝛼/2(𝑛−𝑝) ^. 3. Pengujian Asumsi IIDN

a. Asumsi identik. Pengujian identik digunakan untuk menguji keidentikan varians residual, sehingga dapat diketahui penyebaran residual telah sama (homogen) atau belum. Pengujian keidentikan varians residual dapat dilakukan dengan uji Levene. Uji Levene digunakan untuk mengetahui kehomogenan varians residual tanpa harus memenuhi asumsi normal (Noguchi & Gel, 2010). Pada metode ini digunakan jarak nilai median sampel pada observasi sehingga uji ini lebih robust untuk sampel kecil. Hipotesis yang digunakan pada uji ini adalah

H0 : Varians residual bersifat homogen H1 : Varians residual bersifat tidak homogen Berikut ini adalah statistik uji untuk Uji Levene :

13

( )

2 .. 1 2 1 1 ( ) ( 1) ( ) i k i i i n k ij i i j n k n m m L k e m = = = − − = − −

∑

∑∑

(2.13) Keterangan :

n : banyaknya data (residual)

ni : banyaknya data (residual) pada kelompok ke-i (i = 1, 2, …, k)

k : banyaknya kelompok residual

mi : median dari residual kelompok ke-i

m.. : median dari residual secara keseluruhan

𝑒𝑖𝑗 ^{: residual ke-j pada kelompok ke-i (j = 1, 2, …, n}i) Daerah kritis : Tolak H0 jika p-value < 𝛼 atau L > F(k-1, n-k)(𝛼). b. Asumsi independen. Pengujian asumsi independen

digunakan untuk mengetahui apakah terdapat korelasi antar residual atau tidak. Secara visual dapat terlihat dalam plot

Autocorrelation Function (ACF) yaitu plot yang

menunjukkan korelasi atar residual pada lag yang berbeda (Wei, 2006). Residual dikatakan memenuhi asumsi independen jika semua nilai korelasi antar residual berada di dalam batas signifikan.

c. Asumsi berdistribusi normal. Pengujian asumsi residual normal (0, 𝜎2) dapat dilakukan melalui pengujian Kolmogorov-Smirnov (Daniel,1989). Hipotesis yang di-gunakan adalah sebagai berikut.

H0 : Residual berdistribusi normal H1 : Residual tidak berdistribusi normal

Statistik uji: 𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠|𝐹₀(𝑥) − 𝑆_𝑁(𝑥)| (2.14) 𝐹₀(𝑥) adalah fungsi distribusi komulatif sedangkan 𝑆_𝑁(𝑥) = 𝑖/𝑛 merupakan fungsi peluang kumulatf pengamatan dari sampel dengan 𝑖 adalah pengamatan dan 𝑛 banyaknya pengamatan. Daerah keputusan: jika |𝐷| > 𝑞_(1−𝛼) atau p-value kurang dari 𝛼 maka tolak H0.

Untuk menjelaskan ketidakpastian dalam model regresi bisa menggunakan probabilitas dan juga bilangan fuzzy yang disebut regresi fuzzy. Keanggotaan fuzzy memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan, sedangkan probabilitas mengindikasikan proporsi terhadap keseringan suatu hasil bernilai benar dalam jangka panjang (Kusumadewi,S & Purnomo,H, 2010).

Regresi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Tanaka, dkk (1982). Regresi fuzzy mencerminkan sifat samar dari hubungan antara variabel dependen dan independen. Parameter regresi fuzzy merupakan sebuah bilangan fuzzy. Batas-batas nilai fuzzy digunakan dalam model regresi untuk menangkap variabilitas variabel dependen. Regresi fuzzy dinyatakan sebagai berikut.

2 0 1 1 , v v v jr f f ff f fgr f g f f g f x x x x = = < η = β +_ 

∑

β

∑

β +

∑ ∑

β + ε (2.15) ∀𝑗, ∀𝑓

dimana 𝛽� merupakan vektor parameter regresi fuzzy yang anggotanya merupakan batas-batas bilangan fuzzy. Nilai parameter fuzzy 𝛽� berdasarkan fungsi keanggotaan segitiga pada Gambar 2.1. Misalkan 𝛽� = (𝛽𝑎, 𝛽𝑏, 𝛽𝑐) adalah koefisien fuzzy segitiga. Maka 𝛽𝑎, 𝛽𝑏, dan 𝛽𝑐 _{memiliki nilai sebagai berikut.}

(

1 2 ...

)

fg fg fg fg fg fg fg m r a m fg b m fg c m fg mean s s β = β + β + + β  β = β −  β =  β = β  _{β = β +}    ^(2.16)

dimana 𝑠 adalah standar deviasi parameter regresi. 2.4 Fungsi Desirability

Derringer dan Suich (1980) memperkenalkan konsep dari

desirability, dimana setiap fungsi respon ditranformasikan ke

dalam bentuk fungsi desirability yang memiliki skala nilai dari nol sampai satu. Langkah dalam tranformasi desirability yaitu setiap variabel respon 𝑦_𝑖 dikonversikan ke dalam bentuk fungsi individual desirability 𝑑𝑖^{, dengan} 𝑑𝑖 = 0 menunjukkan nilai

15 respon yang tidak diinginkan atau nilai respon berada di luar batas spesifikasi. untuk nilai 𝑑𝑖= 1 menyatakan nilai respon ideal. Berdasarkan karakteristik dari variabel respon, fungsi

desirability dibedakan menjadi 3 macam.

1. Larger the better (LTB)

𝑑_𝑖(𝑥) =

(2.17)

2. Nominal is the best (NTB)

𝑑_𝑖(𝑥) =

(2.13)

3. Smaller the better (STB)

𝑑_𝑖(𝑥) =

(2.19) dimana 𝑦_𝑖∗ adalah nilai minimum respon berdasarkan 𝑦�_𝑖(𝑥), 𝑦_𝑖∗ adalah nilai target dari 𝑦�_𝑖(𝑥), untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚. Kemudian dibentuk fungsi composite desirability berdasarkan fungsi-fungsi individual desirability dengan menggunakan mean geometrik (Park,1996).

𝐷(𝑥) = [𝑑₁(𝑥) 𝑥 𝑑₂(𝑥) 𝑥 … 𝑥 𝑑_𝑚(𝑥) ]1/𝑚 _(2.20) 2.5 Algoritma Fuzzy Programming

Salah satu cara untuk optimasi multirespon dengan percobaan dengan 𝑟 kali pengulangan adalah dengan pendekatan fungsi desirability. Dalam rangka memperoleh level yang optimum diselesaikan dengan menggunakan algoritma fuzzy

programming. Al-Refaie, dkk (2013) mengemukakan sebuah

0 𝑦�_𝑖(𝑥) < 𝑦_𝑖∗ �^𝑦�𝑖−𝑦𝑖∗ 𝑦_𝑖^∗−𝑦𝑖∗� 𝑦_𝑖∗≤ 𝑦�_𝑖(𝑥) < 𝑦_𝑖∗ 1 𝑦�_𝑖(𝑥) ≥ 𝑦_𝑖∗ �^𝑦�𝑖−𝑦_𝑖∗ 𝑡_𝑖−𝑦_𝑖∗�^𝑠 𝑦𝑖∗ ≤ 𝑦�𝑖(𝑥) < 𝑡𝑖 �^𝑦�𝑖(𝑥)−𝑦_𝑖^∗ 𝑡𝑖−𝑦_𝑖^∗ �^𝑐 𝑡_𝑖 ≤ 𝑦�_𝑖(𝑥) ≤ 𝑦_𝑖∗ 0 𝑦�_𝑖(𝑥) < 𝑦_𝑖∗ atau 𝑦�_𝑖(𝑥) > 𝑦_𝑖∗ (2.18) 0 𝑦�_𝑖(𝑥) > 𝑦_𝑖∗ �^𝑦�𝑖−𝑦𝑖∗ 𝑦_𝑖^∗−𝑦𝑖∗� 𝑦_𝑖∗ ≤ 𝑦�_𝑖(𝑥) < 𝑦_𝑖∗ 1 𝑦�_𝑖(𝑥) ≤ 𝑦_𝑖∗

algoritma fuzzy programming untuk optimasi multirespon dengan metode Taguchi sebagai berikut.

1. Mendesain eksperimen multirespon Taguchi dengan 𝑟 kali pengulangan.

Eksperimen multireson Taguchi melibatkan lebih dari satu respon dan menggunakan aturan orthogonal array. Eksperimen dilakukan untuk 𝑟 kali pengulangan agar diperoleh hasil eksperimen yang tidak bias. Berikut ini struktur data design eksperimen Taguchi L9 (3⁴ ) untuk 𝑟 kali pengulangan.

Tabel 2.2 Struktur Data Eksperimen Taguchi dengan 𝑟 kali pengulangan

Eks

Level Faktor Respon

𝑋₁ 𝑋₂ 𝑋₃ 𝑒 ^𝑌1 ^... 𝑌_𝑚 𝑦𝑖11 ^... 𝑦_𝑖1𝑟 ... 𝑦𝑖𝑚1 ^... 𝑦_𝑖𝑚𝑟 1 -1 -1 -1 -1 𝑦111 ... 𝑦11𝑟 ^... 𝑦1𝑚1 ^... 𝑦1𝑚𝑟 2 -1 0 0 0 𝑦₂₁₁ ... 𝑦_21𝑟 ... 𝑦_2𝑚1 ... 𝑦_2𝑚𝑟 3 -1 1 1 1 𝑦₃₁₁ ... 𝑦_31𝑟 ... 𝑦_3𝑚1 ... 𝑦_3𝑚𝑟 4 0 -1 0 1 𝑦411 ... 𝑦41𝑟 ^... 𝑦4𝑚1 ^... 𝑦4𝑚𝑟 5 0 0 1 -1 𝑦₅₁₁ ... 𝑦_51𝑟 ... 𝑦_5𝑚1 ... 𝑦_5𝑚𝑟 6 0 1 -1 0 𝑦611 ... 𝑦61𝑟 ^... 𝑦6𝑚1 ^... 𝑦6𝑚𝑟 7 1 -1 1 0 𝑦₇₁₁ ... 𝑦_71𝑟 ... 𝑦_7𝑚1 ... 𝑦_7𝑚𝑟 8 1 0 -1 1 𝑦₈₁₁ ... 𝑦_81𝑟 ... 𝑦_8𝑚1 ... 𝑦_8𝑚𝑟 9 1 1 0 -1 𝑦911 ... 𝑦91𝑟 ^... 𝑦9𝑚1 ^... 𝑦9𝑚𝑟 Keterangan:

𝑖 = banyak eksperimen, dengan 𝑖 = 1,2, … ,9 𝑗 = banyak respon, dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 𝑘 = banyak level faktor, dengan 𝑘 = 1,2,3

𝑟 = replikasi, dengan 𝑟 = 1,2, … , 𝑟 2. Menghitung nilai S/N Ratio untuk respon.

Berdasarkan karakteristik masing-masing respon maka ditentukan nilai S/N Ratio untuk masing-masing nilai respon. Nilai SN Ratio dihitung untuk masing-masing pengamatan dan replikasi. Sehingga diperoleh 𝜂_𝑖𝑗𝑟 sebagai S/N Ratio untuk eksperimen ke-𝑖 pengulangan ke- 𝑟 dari respon 𝑗.

3. Menentukan level optimum berdasarkan S/N Ratio.

Level optimum ditentukan berdasarkan nilai rata-rata S/N ratio paling maksimum.

17 4. Membuat model regresi berganda dengan variabel respon

S/N Ratio tiap replikasi.

Model regresi dibentuk berdasarkan nilai S/N Ratio tiap replikasi. Sehingga untuk 𝑟 pengulangan dan 𝑗 respon akan menghasilkan model regresi sebanyak 𝑟𝑥𝑗. Estimasi parameter regresi dilakukan dengan metode Ordinary Least Square (OLS). Model yang dijadikan alternatif adalah model linier dan model orde dua (Myers & Montgomery, 2002).

5. Menentukan model regresi fuzzy pada masing-masing respon.

Pada tahap pembentukan regresi fuzzy, koefisien regresi

fuzzy diperoleh berdasarkan parameter regresi masing-masing

model regresi pada 𝑟 pengulangan. Kemudian dilakukan perhitungan berdasarkan persamaan (2.16) dari perhitungan tersebut diperoleh parameter regresi fuzzy.

6. Menentukan level faktor fuzzy yang optimum.

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada langkah 3, level faktor optimum pada respon ke- 𝑗 adalah 𝑥_1𝑗𝑘^∗ , … , 𝑥_𝑟𝑗𝑘^∗ .

7. Membuat matriks pay-off untuk nilai respon berdasarkan level faktor fuzzy optimum.

Matrik pay-off dibentuk berdasarkan nilai level faktor fuzzy optimum yang dihubungkan dengan nilai respon. Misalkan 𝑋�(𝑗) adalah level fuzzy optimum dimana 𝑗 = 1,2, . . , 𝑚 dan 𝜂�_𝑖𝑗(𝑋) adalah nilai S/N Ratio respon ke- 𝑗 yang ditentukan berdasarkan nilai 𝑋�(𝑗) _{sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.}

Tabel 2.3 Matrik pay-off untuk nilai respon 𝜂�₁(𝑋) ... 𝜂�_𝑚(𝑋) 𝑋�(1) 𝜂�₁₁(𝑋) ... 𝜂�_1𝑚(𝑋)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑋�(𝑚) 𝜂�𝑚1(𝑋) ... 𝜂�𝑚𝑚(𝑋) 8. Membuat matriks pay-off untuk nilai desirability.

Matrik pay-off dibentuk berdasarkan nilai level faktor fuzzy optimum yang dihubungkan dengan nilai desirability. Fungsi

desirability digunakan untuk optimasi multirespon. Pada kasus

digunakan adalah Larger the better. Fungsi desirabiity untuk LTB adalah sebagai berikut.

𝑑̃_𝑗�𝜂�𝑗(𝑋)� =

(2.21) dimana 𝜂�_𝑗(𝑋) adalah nilai desirability untuk respon 𝑗 dengan memasukkan level faktor fuzzy optimum. Selanjutnya dibentuk matrik pay-off antara level fuzzy optimum dengan nilai

desirability. Pembentukan matrik pay-off desirability bertujuan

untuk menentukan nilai desirability minimum yang akan dijadikan batasan dalam proses optimasi.

Tabel 2.4 Matrik pay-off untuk nilai desirability 𝑑̃1(𝑋) ... 𝑑̃𝑚(𝑋) 𝑋�(1) 𝑑̃₁₁(𝑋) ... 𝑑̃_1𝑚(𝑋)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑋�(𝑚) 𝑑̃𝑚1(𝑋) ... 𝑑̃𝑚𝑚(𝑋)

Berdasarkan matrik pay-off nilai desirability ditentukan nilai 𝑈�_𝑗= �𝑈_𝑗𝑎, 𝑈_𝑗𝑏, 𝑈_𝑗𝑐� = 𝑑̃𝑗𝑗^{. Selain itu diperoleh nilai} 𝐿�_𝑗 = �𝐿𝑗^𝑎, 𝐿_𝑗^𝑏, 𝐿_𝑗^𝑐� = 𝑀𝑖𝑛 (𝑑̃1𝑗, … , 𝑑̃_𝑚𝑗). (2.22) 9. Menentukan fungsi deviasi dan membuat matriks pay-off

untuk nilai deviasi.

Fungsi deviasi dinotasikan sebagai 𝐷_𝑗(𝑥) yang diharapkan bernilai kecil, dimana 𝐷_𝑗(𝑥) dihitung berdasarkan persamaan (2.23).

𝐷_𝑗(𝑥) = 𝜂_𝑗𝑏(𝑥) − 𝜂_𝑗𝑐(𝑥) (2.23) Sehingga diperoleh bentuk matrik pay-off sebagai berikut.

Tabel 2.5 Matrik pay-off untuk nilai fungsi deviasi 𝐷�₁(𝑋) ... 𝐷�_𝑚(𝑋) 𝑋�(1) 𝐷�₁₁(𝑋) ... 𝐷�_1𝑚(𝑋) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑋�(𝑚) 𝐷�_𝑚1(𝑋) ... 𝐷�_𝑚𝑚(𝑋) 0 𝜂�_𝑗< 𝜂_𝑚𝑖𝑛 �^𝜂�𝑗(𝑋)−𝜂_𝑚𝑖𝑛 𝜂𝑚𝑎𝑥−𝜂𝑚𝑖𝑛� 𝜂_𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜂�_𝑗(𝑋) < 𝜂_𝑚𝑎𝑥 1 𝜂�_𝑗≥ 𝜂_𝑚𝑎𝑥

19 Berdasarkan matrik pay-off nilai fungsi deviasi ditentukan nilai 𝑃�_𝑗 = �𝑃_𝑗𝑎, 𝑃_𝑗𝑏, 𝑃_𝑗𝑐� = 𝐷�𝑗𝑗^{.Selain itu diperoleh nilai} 𝑄�_𝑗= �𝑄_𝑗𝑎, 𝑄_𝑗^𝑏, 𝑄_𝑗^𝑐� = 𝑀𝑎𝑥 (𝐷�_1𝑗, … , 𝐷�_𝑚𝑗) . (2.24) 10. Membentuk dua model objektif untuk permasalahan multi

respon.

Model objektif yang terbentuk adalah sebagai berikut. 𝑀𝑎𝑥 (𝑑̃_𝑖𝑗(𝑋))

𝑀𝑖𝑛(𝐷�𝑖𝑗(𝑋)) (2.25) dengan 𝑋𝜖𝑅_{𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙}.

Berdasarkan dua fungsi objektif pada langkah 10 maka dibentuk satu fungsi objektif dengan menggunakan fungsi derajat kepuasan

desirability dan robustness.

𝑆̃𝑗(𝑋) = (𝑆_𝑗𝑎(𝑋), 𝑆_𝑗𝑏(𝑋), 𝑆_𝑗𝑐(𝑋)) (2.26) 𝑇�_𝑗(𝑋) = (𝑇_𝑗𝑎(𝑋), 𝑇_𝑗𝑏(𝑋), 𝑇_𝑗𝑐(𝑋)) (2.28) Estimasi nilai 𝑆̃_𝑗(𝑋) dan 𝑇�_𝑗(𝑋) diperoleh berdasarkan persamaan (2.29) dan persamaan (2.30). 𝑆̃_𝑗(𝑋) = (2.29) 𝑇�_𝑗(𝑋) = (2.30) Sehingga fungsi objektif memaksimumkan 𝑆̃𝑗(𝑋) dan 𝑇�𝑗(𝑋) untuk 𝑗 = 1,2, . . , 𝑚

Dengan menggunakan operator Zimmerman Max-Min dua fungsi objektif dijadikan satu fungsi objektif dengan memaksimumkan derajat kepuasan.

Misalkan 𝑀𝑖𝑛 𝑆̃_𝑗(𝑋) = 𝑆̃ (2.31) dan 0 𝑑̃_𝑗(𝑋) < 𝐿�_𝑗 �^𝑑�𝑗(𝑋)−𝐿�𝑗 𝑈�_𝑗−𝐿�_𝑗 � 𝐿�𝑗 ≤ 𝑑̃_𝑗(𝑋) < 𝑈�_𝑗 1 𝑑̃_𝑗(𝑋) ≥ 𝑈�_𝑗 1 𝐷�𝑗(𝑋) ≤ 𝑃�𝑗 �^𝑄�𝑗−𝐷�𝑗(𝑋) 𝑄�_𝑗−𝑃�_𝑗 � 𝑃𝑗< 𝐷�𝑗(𝑋) ≤ 𝑄�𝑗 0 𝐷�𝑗(𝑋) > 𝑄�𝑗

𝑀𝑖𝑛 𝑇�𝑗(𝑋) = 𝑇� (2.32) Model final diformulasikan sebagai berikut.

Max 𝑆̃(X) Max 𝑇�(𝑋) (2.33) 𝑆̃ ≤^𝑑�𝑗_𝑈�^{(𝑋)−𝐿�𝑗} 𝑗−𝐿�_𝑗 ^{, kemudian} 𝑑̃𝑗(𝑋) − 𝑆̃(𝑈�_𝑗− 𝐿�𝑗) ≥ 𝐿�𝑗 𝑇� ≤^𝑄�𝑗_𝑄�^{−𝐷�𝑗(𝑋)} 𝑗−𝑃�_𝑗 ^{, kemudian} 𝐷�𝑗(𝑋) + 𝑇�(𝑄�_𝑗− 𝑃�𝑗) ≤ 𝑄�𝑗 Selanjutnya dibentuk satu model objektif yaitu

𝑀𝑎𝑥 𝑤₁𝑆̃ + 𝑤₂𝑇� dengan batasan, 𝑑̃_𝑗(𝑋) − 𝑆̃(𝑈�_𝑗− 𝐿�_𝑗) ≥ 𝐿�_𝑗 𝐷�𝑗(𝑋) + 𝑇�(𝑄�𝑗− 𝑃�𝑗) ≤ 𝑄�𝑗 𝑤₁+ 𝑤₂= 1 0 ≤ 𝑆̃ ≤ 1 0 ≤ 𝑇� ≤ 1 𝑋𝜖 [𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙] (2.34) Menyelesaikan model 𝑎, 𝑏, 𝑐 untuk mendapatkan level faktor optimum.

11. Menentukan level faktor fuzzy optimum dengan penyelesaian model objektif.

Berdasarkan penyelesaian model 𝑎, 𝑏, 𝑐 secara terpisah maka level faktor optimum diperoleh dengan ketentuan sebagai berikut. 𝑋_𝑎∗= (𝑥₁𝑎∗, … , 𝑥_𝑘𝑎∗), 𝑋_𝑏∗= �𝑥₁𝑏∗, … , 𝑥_𝑘𝑏∗�, dan 𝑋𝑐^∗= (𝑥₁𝑐∗, … , 𝑥_𝑘𝑐∗), dengan k= jumlah level faktor. Jadi level faktor fuzzy optimum dinyatakan sebagai berikut.

𝑋�∗= (𝑥�₁, … , 𝑥�_𝑘) = ��𝑥₁𝑎∗, 𝑥₁𝑏∗, 𝑥₁𝑐∗�, … , �𝑥𝑘^𝑎∗, 𝑥_𝑘𝑏∗, 𝑥_𝑘𝑐∗�� (2.35) 2.6 Penentuan Level Faktor Optimum Penelitian Damaris

(2011)

Penelitian yang dilakukan oleh Damaris (2011) tentang batako dengan judul optimasi kuat tekan dan daya serap air dari batako yang menggunakan bottom ash dengan pendekatan respon serentak. Metode yang digunakan adalah metode Taguchi dengan pendekatan Total Loss Function. Definisi batako berdasarkan

21 SNI 03-0348-1989 adalah bata yang dibuat dengan mencetak dan memelihara dalam suasana lembab, campuran trass, kapur dan air dengan atau tanpa bahan tambahan lainnya. Damaris (2011) meneliti salah satu jenis batako yaitu batako berlubang sebagai produk dari PT. X. Batako berlubang adalan batako yang memepunyai luas penampang lubang dan isi lubang, masing-masing tidak melebihi 25% dari seluruh luas penampang dan seluruh isi batanya. Pada definisi berdasarkan SNI 03-0348-1989, terdapat istilah tras. Tras adalah suatu bahan bangunan secara visual mirip pasir tetapi mempunyai kandungan zat mendekati semen, sehingga tras dengan kapur menghasilkan suatu bahan pengikat yang baik. Dewasa ini, penggunaan tras sering diganti dengan bahan lain seperti bottom ash. Penggunaan

Bottom ash bertujuan untuk menghemat pemakaian semen

sehingga biaya lebih sedikit. Penentuan level optimal bertujuan untuk menghasilkan batako yang sesuai dengan syarat mutu batako menurut SNI 03-0348-1989. Syarat fisik Batako menurut SNI 03-0348-1989 adalah sebagai berikut.

Tabel 2.6 Mutu Batako berdasarkan SNI 03-0348-1989 No Syarat fisik Satuan ^{mutu batako}

A1 A2 B1 B2 1 Kuat tekan bruto min Kg/cm² 17 30 45 65 2 Penyerapan air rata-rata maks % - - 35 25

Kuat tekan bruto adalah beban tekan keseluruhan pada waktu benda uji pecah dibagi dengan luas ukuran nyata dari batako termasuk luas lubang serta cekungan tepi. Dalam pembuatan produk batako berlubang PT. X dilakukan pengujian terhadap masing-masing benda uji sehingga digunakan ukuran mutu kuat tekan bruto masing-masing benda uji minimal untuk mutu B1. Tingkat mutu tersebut dipilih berdasarkan jenis produk PT.X yang merupakan batako khusus untuk pemasangan dinding rumah sehingga cocok dengan klasifikasi tingkat mutu batako B1 yaitu konstruksi yang memikul beban tetapi penggunaannya

hanya untuk konstruksi yang terlindung dari cuaca luar (di bawah atap).

Adapun proses pembuatan batako yang dilakukan oleh Damaris (2011) memiliki tahapan sebagai berikut.

1. Pasir diayak untuk mendapatkan pasir yang halus dengan menngunakan mesin.

2. Pasir yang diayak dan semen diaduk sampai rata dengan menngunakan mesin pengaduk dan setelah merata ditambahkan air.

3. Adonan pasir, semen, air dan bahan tambahan lainnya diaduk kembali sehingga didapat campuran yang homogen. 4. Adukan yang siap pakai ditempatkan di mesin pencetak

batako dengan menngunakan sekop dan di atasnya boleh ditambahkan pasir halus hasil ayakan.

5. Dengan menggunakan lempengan besi khusus tersebut dipres atau ditekan sampai padat dan rata mekanisme tekan pada mesin cetak.

6. Batako mentah yang sudah jadi tersebut kemudian dikeluarkan dari cetakan dengan menempetkan potongan papan di atas seluruh permukaan alat cetak.

7. Berikutnya alat cetak dibalik dengan hati-hati sehingga batako mentah tersebut keluar dari alat cetaknya.

8. Proses berikutnya adalah mengeringkan batako mentah dengan cara diangin-anginkan atau di jemur.

9. Sebelum tahap pengujian batako disimpan ditempat yang lembab atau dalam air.

Hasil produksi batako sebelum dipasarkan harus mengalami pengujian mutu meliputi:

a. Pengujian ukuran dan tampak luar b. Pengujian daya serap, dan

c. Pengujian kuat tekan

Berdasarkan penelitian Damaris (2011) tentang optimalisasi level faktor pembuatan batako menunjukkan bahwa FAS dan

bottom ash adalah faktor-faktor yang mempunyai kontribusi

besar dalam menghasilkan batako dengan mutu yang tinggi. Berdasarkan analisis yang telah divalidasi dalam eksperimen konfirmasi, kombinasi level faktor yang memaksimumkan kuat

23 tekan serta meminimumkan daya serap air adalah FAS dengan

setting 0,4, bottom ash 5 bagian dan agregat halus 2 bagian.

Metode yang digunakan dalam analisis tersebut adalah metode Taguchi dengan pendekatan Total Loss Function. Dalam analisis menggunakan pendekatan Total Loss Function diperlukan adanya pembobotan untuk menentukan prioritas dari respon yang ingin dicapai. Pembobotan dilakukan dengan menggunakan metode

fuzzy scoring sehingga diperoleh tiga skenario bobot untuk kuat

tekan dan daya serap air yaitu skenario pertama 𝑤₁= 0,8338:0,1662, skenario dua 𝑤₂= 0,7170:0,2830 dan skenario tiga 𝑤₃= 0,885:0,115. Masing-masing bobot menghasilkan level optimal yang sama. Rata-rata S/N Rasio Multirespon untuk masing-masing skenario adalah 0,2498, 0,1911, dan 0,2606. Respon kuat tekan maksimum yang diperoleh berdasarkan skenario satu, dua dan tiga yaitu 61,34 kg/cm², 60,37 kg/cm² dan 63,29 kg/cm². Sedangkan untuk respon daya serap air adalah 22,76%, 22,82% dan 23,12%.

Optimalisasi dengan menggunakan metode Taguchi dengan pendekatan Total Loss Function memiliki kelebihan dalam mengukur performa dari karakteristik kualitas namun dalam menentukan level optimum berdasarkan nilai rata-rata S/N Ratio multirespon maksimum sehingga tidak dilakukan pemodelan antara nilai respon dengan faktor-faktor yang terlibat selama proses eksperimen. Selain itu terdapat batasan masalah yaitu interaksi diabaikan karena jika interaksi diperhatikan maka jumlah eksperimen akan bertambah dan akan menimbulkan biaya lebih banyak.

25 BAB III

METODOLOGI PENELITIAN