Respon Struktur pada Gelombang Reguler

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

2.2 DASAR TEORI

2.2.3 Respon Struktur pada Gelombang Reguler

B. Momen Gelombang Orde-2

Momen gelombang orde-2 dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut :

𝑀̅ = − ∬ 𝑝. (𝑋′_𝑆 ̅ × 𝑁̅).𝑑𝑆 (2-52)

Penurunan persamaan untuk mendapatkan momen dilakukan dengan metode yang sama untuk mendapatkan persamaan gaya gelombang orde-2 sehingga persamaan akhir momen gelombang orde-2 dapat dituliskan sebagai

𝑀̅(2) = − ∫_𝑊𝐿¹₂𝜌𝑔𝜁𝑟⁽¹⁾². (𝑥̅ × 𝑛̅) . 𝑑𝑙 + 𝛼(1)× (𝐼. 𝛼̅̈(1)) +

− ∬ {−_𝑆0 ¹₂𝜌⌈∇̅𝜙(1)⌉²− 𝜌𝜙_𝑡⁽²⁾− 𝜌 (𝑋̅(1). ∇̅𝜙_𝑡⁽¹⁾)} . (𝑥̅ × 𝑛̅) . 𝑑𝑆 +

− ∬ −𝜌𝑔𝑋_𝑆0 3⁽²⁾. (𝑥̅ × 𝑛̅) . 𝑑𝑆 (2-53)

2.2.3 Respon Struktur pada Gelombang Reguler

Struktur apung pada gelombang reguler jika ditinjau dari permasalahan hidrodinamisnya terdiri dari dua bagian : gaya dan momen yang berosilasi pada kondisi air tenang dan gaya dan momen struktur yang berosilasi akibat eksitasi gelombang, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-3.

Gambar 2-3 Permasalahan hidrodinamika : gaya dan momen struktur yang berosilasi akibat eksitasi gelombang (kiri), gaya dan momen yang berosilasi pada air tenang (tengah) dan gabungan

dari-2nya (kanan). (Faltinsen, 1990)

2.2.3.1 Gaya dan Momen Struktur yang Berosilasi pada Kondisi Still Water Struktur bangunan apung yang berosilasi terhadap dirinya sendiri akan mempengaruhi fluida di sekelilingnya dan interaksi fluida yang terpengaruh akan menghasilkan gaya dan momen yang bekerja pada struktur. Total gaya pada

22

struktur didapatkan dari hasil integrasi tekanan yang mengenai luasan permukaan struktur yang dikenainya. Berdasarkan persamaan gerak, koefisien massa tambah dan redaman (damping) pada gerakan harmonik dapat ditentukan. Gaya pengembali dan momen dapat dihitung berdasarkan perhitungan hidrostatis dan massa.

Struktur apung yang berosilasi pada kondisi air tenang akan menghasilkan gaya inersia yang berkorelasi dengan percepatan gerakan, gaya redaman berkorelasi dengan kecepatan gerakan dan gaya pengembali berkorelasi dengan perpindahan gerakan. Gaya-gaya tersebut jika diformulasikan ke dalam persamaan gerak akan menjadi :

(𝑀 + 𝐴)𝜂̈ + 𝐵𝜂̇ + 𝐶𝜂 = 0 (2-54)

dengan,

M = massa struktur (generalized mass) A = massa tambah (added mass) B = koefisien redaman (redaman) C = koefisien pengembali (restoring)

2.2.3.2 Gaya dan Momen Struktur yang Berosilasi akibat Eksitasi Gelombang

Pada kondisi ini dijelaskan behwa struktur apung berosilasi akibat eksitasi gelombang. Gaya dan momen yang bekerja dikenal dengan gaya dan momen Froude-Kriloff dan difraksi. Gaya Froude-Kriloff dihasilkan dari area yang dikenai tekanan yang tidak terganggu pola alirannya (undisturbed). Sedangkan gaya difraksi diperoleh dari perubahan area yang dikenai tekanan yang terganggu pola alirannya akibat difraksi. Gaya eksitasi gelombang secara umum diformulasikan sebagai :

𝐹𝑒−𝑖𝑤_𝑒𝑡 = 𝑒𝑘𝑠𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑒𝑘𝑠𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑙𝑜𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 (2-55)

2.2.3.3 Periode Natural Struktur Tertambat (Tanker Tertambat)

Periode natural struktur tertambat, berupa kapal tanker yang tertambat menurut standar DNV RP F205 (2010) ditunjukkan pada Tabel 2-1.

23

Tabel 2-1 Periode natural tanker tertambat (DNV, 2010)

Gerakan Surge Sway Heave Roll Pitch Yaw

Periode

natural ^{>100 s >100 s 5} – 12 s 5 – 30 s 5 – 12 s >100 s Berdasarkan tabel 2-1 ditunjukkan bahwa gerakan vertikal yang terdiri dari

heave, roll dan pitch memiliki periode natural sekitar 5 – 30 detik yang bersesuaian dengan frekuensi gelombang orde-1(3 – 20 detik). Sedangkan gerakan horizontal :

surge, sway dan yaw memiliki periode cenderung panjang yang bersesuaian dengan frekuensi gelombang orde-2, low frequency wave. Meninjau tabel tersebut dapat disimpulkan juga bahwa gerakan dalam rentang frekuensi tinggi tidak cukup signifikan dalam kasus tanker tertambat karena periode natural gerakannya tidak ada yang menyerupai periode gelombang frekuensi tinggi (high-frequency wave), yang berkisar antara 2 – 4 detik.

2.2.3.4 Response Amplitude Operator (RAO)

Persamaan gerak gabungan dari-2 kondisi permasalahan hidrodinamika yang telah dijelaskan sebelumnya menghasilkan total persamaan gerak sebagai berikut :

(𝑀 + 𝐴)𝜂̈ + 𝐵𝜂̇ + 𝐶𝜂 = 𝐹𝑒−𝑖𝑤𝑒𝑡 _(2-56)

dengan mendefinisikan :

𝜂 = 𝜂₀sin (𝜔𝑡 − 𝜀) (2-57)

Sehingga didapatkan :

−(𝑀 + 𝐴)𝜔2𝜂₀sin (𝜔𝑡 − 𝜀) + 𝐵𝜔𝜂₀cos (𝜔𝑡 − 𝜀) + 𝐶𝜂₀sin (𝜔𝑡 − 𝜀) =

𝐹𝑒−𝑖𝑤𝑒𝑡 _(2-58)

Karena persamaan tersebut harus berlaku untuk semua harga t, dengan pertimbangan bahwa-2nya saling berkorelasi ortoginal, maka suku sin 𝜔𝑡 dan cos 𝜔𝑡 dapat diambil sama dengan nol (Djatmiko,2012 ), sehingga persamaan 2-58 menjadi :

24 dan

(𝑀 + 𝐴)𝜔2𝜂₀sin 𝜀 + 𝐵𝜔𝜂₀cos 𝜀 + 𝐶𝜂₀sin 𝜀 = 0 (2-60)

Penyelesaian-2 persamaan ini untuk 𝜂₀ memberikan :

𝜂₀ = _{√[{𝐶−(𝑀+𝐴)𝜔}^{𝐹𝑒−𝑖𝑤𝑒𝑡}_{2}2+(𝐵𝜔)2]} (2-61)

Dalam hal ini amplitudo gaya eksitasi 𝐹𝑒−𝑖𝑤_𝑒𝑡_{, kekakuan} 𝐶 dan massa (𝑀 + 𝐴) memiliki harga tetap, sehingga intensitas amplitudo respon gerakan 𝜂₀ bervariasi bergantung pada nilai redaman 𝐵 dan frekuensinya 𝜔. Jika dalam hal ini nilai redaman 𝐵 diasumsikan tetap, maka amplitudo respon gerakan hanya dipengaruhi oleh frekuensinya.

Jika sistem tersebut dikenai gaya statis searah dengan sumbu vertikal, maka sistem tersebut akan terdefleksi searah sumbu vertikal 𝜂_𝑠 yang memiliki harga :

𝜂_𝑠 = ^{𝐹𝑒−𝑖𝑤𝑒𝑡}_𝐶 (2-62) Dengan memperhatikan hubungan persamaan 2-62 dan juga persamaan frekuensi alami 𝜔𝑛 = √𝐶/(𝑀 + 𝐴), faktor redaman 𝐵𝑓= 𝐵/𝐵𝑐 ^dengan 𝐵𝑐 = 2(𝑀 + 𝐴)𝜔_𝑛 persamaan 2-61 dapat dituliskan kembali menjadi :

𝜂₀ 𝜂_𝑠 = ^{𝐹𝑒−𝑖𝑤𝑒𝑡/𝐶} √{1−((_𝜔𝑛^𝜔)) 2 } 2 +{2𝐵_𝑓(𝜔 𝜔⁄ )}_𝑛 ² (2-63)

Persamaan 2-63 dikenal dengan transfer function atau Response Amplitude Operator (RAO). RAO merupakan fungsi respon gerakan dinamis struktur yang disebabkan oleh gelombang dengan rentang frekuensi tertentu. RAO merupakan alat untuk mentransfer gaya gelombang menjadi respon gerakan dinamis struktur. RAO dapat diilustrasikan sebagai grafik perbandingan amplitudo respon dengan amplitudo gelombang terhadap frekuensi gelombang, seperti terlihat pada Gambar 2-4. Berdasarkan gambar tersebut ditunjukkan kurva RAO heave pada sebuah silinder tercelup. Kurva RAO memiliki bagian-bagian yang dipengaruhi oleh komponen kekakuan, redaman dan massa. Meninjau pada Gambar 2-4 bagian-bagian RAO terdiri dari tiga daerah, yaitu :

25 1. Daerah frekuensi rendah, 𝜔2 ≪ 𝑐/(𝑚 + 𝑎), dengan gerakan heave yang didominasi oleh komponen kekauan. Pada daerah ini gerakan silinder mengikuti pergerakan gelombang dengan semakin rendahnya frekuensi, sehingga rasio amplitudo gerakan heave dengan amplitudo gelombang bernilai 1,00 dan sudut fasenya cenderung bernilai 0. Pada daerah frekuensi rendah, panjang gelombang terlalu panjang jika dibandingkan dengan panjang struktur (diameter silinder), sehingga silinder akan mengikuti pergerakan gelombang.

2. Daerah frekuensi alami, 𝜔2 ≈ 𝑐/(𝑚 + 𝑎), dengan gerakan heave yang didominasi oleh komponen redaman. Pada daerah ini terjadi resonansi gerakan sehingga gerakan mengalami magnifikasi karena kecilnya redaman. Sudut fase sebesar – 𝜋 terjadi pada daerah ini dan pergantiannya cukup curam.

3. Daerah frekuensi tinggi, 𝜔2 ≫ 𝑐/(𝑚 + 𝑎), dengan gerakan heave

didominasi oleh komponen massa. Pada daerah ini pergerakan gelombang kehilangan pengaruhnya terhadap struktur (silinder). Semakin tinggi frekuensinya maka semakin rapat antara puncak gelombang yang bersebelahan, sehingga seolah-olah struktur bergerak pada air yang relatif datar.

26

2.2.3.5 Quadratic Transfer Function (QTF)

Dalam pembahasan sebelumnya dijelaskan bahwa persamaan gaya dan momen akibat gelombang orde-2 low frequency didapatkan dari metode pengintegralan langsung dari komponeb tekanan orde-2 yang bekerja pada elemen permukaan struktur tercelup. Tetapi penyelesaian tersebut relatif sulit untuk diaplikasikan pada penyelesaian numerik. Dalam bab ini akan dijelaskan penyelesaian gaya dan momen akibat gelombang orde-2 low frequency yang relatif lebih mudah untuk diaplikasikan pada perhitungan numerik, yaitu sebagai

Quadratic Transfer Function (QTF). QTF ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan dinamis dalam ranah frekuensi (frequency domain) maupun dalam ranah waktu (time domain).

Komponen QTF, transfer function pada orde-2 yang bergantung pada komponen-komponen orde-1 didapatkan dengan metode komputasi berdasarkan konsep teori potensial 3 dimensi linier. Pengaruh dari potensial orde-2 dihitung berdasarkan metode yang sama dengan potensial orde-1.

Dalam pembahasan ini, QTF total dibagi berdasarkan komponen pembentuk yang menyusunnya (Pinkster,1980), yaitu :

1. Elevasi gelombang relatif orde-1

−¹₂𝜌𝑔 ∫ 𝜁_𝑊𝐿 𝑟⁽¹⁾². 𝑛̅. 𝑑𝑙 (2.64)

2. Penurunan tekanan akibat kecepatan orde-1

− ∬ −_𝑆0 ¹₂𝜌|∇̅𝜙(1)|². 𝑛̅. 𝑑𝑆 (2-65)

3. Tekanan akibat produk kemiringan tekanan orde-1 dan gerakan orde-1

− ∬ −𝜌 (𝑋̅_𝑆0 (1). ∇̅𝜙𝑡⁽¹⁾) . 𝑛̅. 𝑑𝑆 (2-66)

4. Pengaruh akibat produk gerakan rotasional orde-1 dan gaya inersia

𝛼̅(1)× (𝑀. 𝑋̅̈_𝑔⁽¹⁾) (2-67)

5. Pengaruh akibat potensial orde-2

27 Metode yang digunakan untuk mendapatkan QTF gaya yang bergantung pada komponen orde-1 (1, 2, 3 dan 4) yaitu dengan mempertimbangkan bagian gaya

low frequency dari komponen longitudinal struktur terhadap elevasi gelombang relatif :

𝐹₁⁽²⁾= 𝐹₁⁽²⁾(𝑡) = − ∫_𝑊𝐿¹₂𝜌𝑔𝜁_𝑟⁽¹⁾²(𝑡, 𝑙). 𝑛₁(𝑙).𝑑𝑙 (2-69) dengan,

𝜁_𝑟⁽¹⁾(𝑡, 𝑙) = elevasi gelombang relatif pada titik “l” sepanjang garis air dalam fungsi waktu

𝑛₁(𝑙) = jarak panjang elemen dl pada arah longitudinal

Elevasi gelombang reguler dengan komponen orde-1 dapat dituliskan sebagai berikut :

𝜁(1)(𝑡) = ∑ 𝜁𝑁 𝑖⁽¹⁾. cos(𝜔𝑖𝑡 + 𝜀𝑖)

𝑖=1 ^(2-70)

Elevasi gelombang orde-1 reguler pada kelompok gelombang yang terdiri dari dua gelombang reguler dengan frekuensi dan dapat dituliskan sebagai berikut :

𝜁(1)(𝑡) = ∑ 𝜁2 _𝑖(1). cos(𝜔_𝑖𝑡 + 𝜀_𝑖)

𝑖=1 ^(2-71)

= 𝜁₁⁽¹⁾. cos(𝜔₁𝑡 + 𝜀₁) + 𝜁₂(1). cos(𝜔₂𝑡 + 𝜀₂) (2-72) Sehingga gaya gelombang orde-2 pada kelompok gelombang tersebut dapat dituliskan sebagai : 𝐹(2)= ∑ ∑2 𝜁_𝑖⁽¹⁾𝜁_𝑗⁽¹⁾ 𝑗=1 2 𝑖=1 𝑃_𝑖𝑗. 𝑐𝑜𝑠{(𝜔_𝑖− 𝜔_𝑗)𝑡 + (𝜀𝑖− 𝜀_𝑗)} + ∑ ∑2 𝜁_𝑖⁽¹⁾𝜁_𝑗⁽¹⁾𝑄_𝑖𝑗. 𝑠𝑖𝑛{(𝜔_𝑖 − 𝜔_𝑗)𝑡 + (𝜀𝑖 − 𝜀_𝑗)} 𝑗=1 2 𝑖=1 ^(2-73) = 𝜁₁⁽¹⁾²𝑃₁₁ + 𝜁₂⁽¹⁾²𝑃₂₂ + 𝜁₁⁽¹⁾𝜁₂⁽¹⁾(𝑃₁₂+ 𝑃₂₁) . 𝑐𝑜𝑠{(𝜔_𝑖 − 𝜔𝑗)𝑡 + (𝜀𝑖− 𝜀𝑗)} + 𝜁1⁽¹⁾𝜁2⁽¹⁾(𝑄₁₂+ 𝑄21) . 𝑠𝑖𝑛{(𝜔_𝑖 − 𝜔𝑗)𝑡 + (𝜀_𝑖 − 𝜀_𝑗)} (2-74)

dengan P dan Q merupakan komponen in-phase dan out-phase dari transfer function dalam fungsi waktu :

𝑃_𝑖𝑗 = 𝑃_{(𝜔𝑖,𝜔𝑗)} = ∫ ¹₄𝜌𝑔𝜁′ 𝑟𝑖(𝑙).

𝑊𝐿 𝜁′

𝑟𝑗(𝑙).cos (𝜀_𝑟𝑖(𝑙) − 𝜀_𝑟𝑗(𝑙)) 𝑛_𝑙(𝑙).𝑑𝐿 (2-75)