BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS
A. Ruang Fungsi
Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.
Definisi 3.1.1
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk Cartesian × dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan ( , ) dari ∈ dan ∈ , yaitu :
× = , | ∈ , ∈
Contoh 3.1.1
Jika = 1,2,3 dan = 2,6 , maka
× = 1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6 × = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3
Definisi 3.1.2
Misalkan adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner ∗ pada adalah pemetaan ∗: × → dimana untuk setiap ( , )∈ × terdapat tunggal ∈ sehingga ∗ , = , atau dapat ditulis ∗ = ∈ .
Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:
1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan ( , ) dalam × dikawankan dengan tepat satu nilai ∗ .
2. tertutup di terhadap operasi ∗ , yaitu untuk setiap pasangan berurutan ( , ) dalam × maka ∗ masih dalam .
Contoh 3.1.2
Diketahui himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan ∗ dengan aturan
∗ = + (operasi penjumlahan pada bilangan bulat). Operasi penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat. Operasi ∗ terdefinisikan dengan baik karena rumus + akan memberikan hasil tunggal untuk setiap ( , ) dalam × (ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu, operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.
Definisi 3.1.3
Suatu grup ( ,∗) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat berikut :
1. Operasi biner ∗ bersifat tertutup, yakni ∗ ∈ .
2. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif, yakni ∗ ∗ = ∗ ∗ , untuk semua , , ∈ .
3. Terdapat ∈ sedemikian sehingga ∗ = ∗ = , untuk semua
∈ .
disebut elemen identitas dari .
4. Untuk setiap ∈ , terdapat −1 ∈ sedemikian sehingga ∗ −1 =
−1∗ = .
−1 disebut invers dari .
Contoh 3.1.3
1. ( , +), dengan adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus + , merupakan suatu grup.
Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat penjumlahan bilangan real. Rumus + akan memberikan hasil tunggal untuk setiap ( , ) dalam × . Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat
asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga + 0 = 0 + = untuk semua ∈ , dan untuk setiap ∈ terdapat invers yaitu – sedemikian sehingga + − = − + = 0. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka ( , +) adalah grup.
2. ( − 0 ,∙) merupakan suatu grup, dengan −{0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus ∙ .
Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat perkalian bilangan real. Rumus ∙ akan memberikan hasil tunggal untuk setiap ( , ) dalam × . Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat : operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 1 sehingga ∙1 = 1∙ = untuk semua ∈ , dan untuk setiap ∈ kecuali 0 terdapat invers yaitu 1 sedemikian sehingga
∙1 =1∙ = 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka ( − 0 ,∙) adalah grup.
Definisi 3.1.4
Diberikan suatu grup ( ,∗). Grup ( ,∗) disebut grup komutatif atau Grup Abelian jika untuk semua , ∈ berlaku ∗ = ∗ .
Contoh 3.1.4
1. ( , +), dengan adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus + , merupakan suatu grup abelian.
( , +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, ( , +) merupakan grup abelian.
2. ( −{0},∙), dengan −{0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus
∙ , merupakan suatu grup abelian.
( −{0},∙) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, ( −{0},∙) merupakan grup abelian.
Definisi 3.1.5
Suatu ring ( , +,∙) adalah himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (∙) sedemikian sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :
1. ( , +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga disebut elemen 0 dalam .
2. Terhadap operasi perkalian (∙) :
a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap , ∈ maka . ∈
b. Bersifat asosiatif, yaitu ∙ ∙ = ∙ ∙ , untuk semua , , ∈
c. Bersifat distributif kanan (operasi (∙) bersifat distributif kanan terhadap operasi (+)), yaitu ∙ + = ∙ + ∙ , untuk semua , , ∈
d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap operasi (+)), yaitu + ∙ = ∙ + ∙ , untuk semua
, , ∈
Untuk selanjutnya ∙ akan ditulis sebagai .
Contoh 3.1.5
( , +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring.
( , +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,
dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, ( , +,∙) adalah suatu ring.
Definisi 3.1.6
Ring ( , +,∙) disebut ring komutatif jika dan hanya jika = untuk semua , ∈ .
Contoh 3.1.6
( , +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.
(R, +,∙)adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6.
Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat komutatif yaitu = untuk setiap , ∈ . Oleh karena itu, ( , +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, ( , +,∙) adalah suatu ring komutatif.
Definisi 3.1.7
Diberikan suatu ring ( , +,∙). Ring ( , +,∙) disebut lapangan jika : 1. Ring ( , +,∙) adalah ring komutatif.
2. Terdapat elemen satuan 1∈ sedemikian sehingga 1 = 1 = , untuk setiap ∈ .
3. Untuk setiap ∈ yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu
−1 sedemikian sehingga −1 = −1 = 1.
Contoh 3.1.7
( , +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
( , +,∙) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat elemen identitas yaitu 1 sehingga ∙1 = 1∙ = untuk semua ∈ sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan ( , +,∙), dan untuk setiap
∈ kecuali 0 terdapat invers yaitu 1 sedemikian sehingga ∙1 = 1∙ = 1. Oleh karena itu, ( , +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.
Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.
Definisi 3.1.8
Diberikan suatu himpunan ℛ dan lapangan real . Suatu ruang linear atas lapangan real adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang menghubungkan setiap elemen , ∈ ℛ dan dinotasikan + . Operasi yang kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan ∈ ℛ dan setiap
∈ dan dinotasikan . Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma- aksioma berikut:
1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam ℛ, maka + berada dalam
ℛ (tertutup terhadap penjumlahan)
2. Untuk sembarang bilangan real ∝, jika ∈ ℛ maka ∝ ∈ ℛ 3. + = + ;
4. + + = + ( + ) ;
5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga + 0 = untuk setiap
∈ ℛ ;
6. Untuk setiap ∈ ℛ terdapat suatu elemen – sedemikian sehingga + (− ) = 0 ;
7. 1∙ = ;
8. = ;
9. + = + ;
Contoh 3.1.8
Misal , adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval , , dan diberikan lapangan real . Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan + =
+ ( ), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu = ( ). Maka dari itu, , adalah ruang linear atas lapangan real .
Misal , , dan adalah sembarang fungsi kontinu anggota , . Misal , adalah sembarang bilangan real dalam .
1. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [ , ], sehingga ) ( ) ( lim f x f c c
x , untuk setiap dalam [ , ].
( ) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [ , ], sehingga ) ( ) ( limg x g c c
x , untuk setiap dalam [ , ].
( ) ( )
lim ( ) lim ( ) lim f x g x f x g x c x c x cx (menurut hukum penjumlahan limit)
( ) ( )
( ) ( )lim f x g x f c g c c
x , untuk setiap dalam [ , ]. ) )( ( ) )( ( lim f g x f g c c
x , untuk setiap dalam [ , ]. (menurut definisi penjumlahan fungsi).
Oleh karena itu, + ( ) kontinu pada interval [ , ]. Jadi, [ , ] tertutup terhadap operasi penjumlahan.
) ( ) ( lim f x f c c
x , untuk setiap dalam [ , ].
adalah sembarang bilangan real dalam lapangan .
( )
lim ( )lim f x f x c x c
x (menurut hukum perkalian konstanta pada limit)
( )
( )lim f x f c c
x , untuk setiap dalam [ , ].
( ) ( ( ))lim f x f c c
x , untuk setiap dalam [ , ]. (menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)
Oleh karena itu, ( ) kontinu pada interval [ , ]. Jadi, = ( ) ∈ [ , ].
3. , , dan adalah sembarang fungsi kontinu anggota , . Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ] , , , ( ) terdefinisi (dari definisi 2.3.1).
+ = + ( ), untuk setiap dalam [ , ]. (menurut sifat komutatif bilangan real).
Oleh karena itu, dapat ditulis + = + ( ), untuk setiap dalam [ , ].
4. + + = + ( + ), untuk setiap dalam [ , ]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis + + = + ( + ), untuk setiap dalam [ , ].
Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], ( ) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi 0, yaitu = 0, untuk setiap dalam [ , ]. (diketahui bahwa fungsi = 0 adalah fungsi yang kontinu pada
= (−∞,∞) sehingga = 0 ada dalam [ , ]). Oleh karena itu, didapat :
= 0 ,untuk setiap dalam [ , ].
+ = + 0 = , untuk setiap dalam [ , ]. (elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis + 0 = , untuk setiap dalam [ , ].
Fungsi = 0 adalah elemen 0 dalam [ , ]. 6. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu anggota [ , ].
Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], ( ) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)
+ − = 0, untuk setiap dalam [ , ]. (invers dalam penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis + − = 0, untuk setiap dalam [ , ].
7. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu anggota [ , ].
Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], ( ) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)
Terdapat fungsi = 1, untuk setiap dalam [ , ]. (diketahui bahwa fungsi = 1 adalah fungsi yang kontinu pada = (−∞,∞) sehingga = 1 ada dalam [ , ]).
Oleh karena itu, didapat :
= 1 ,untuk setiap dalam [ , ].
. = 1∙ = ( ), untuk setiap dalam [ , ]. (elemen identitas dalam perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis 1∙ = ( ), untuk setiap dalam [ , ].
Fungsi = 1 adalah elemen satuan dalam [ , ]. 8. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu anggota [ , ].
Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], ( ) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
, adalah sembarang bilangan real dalam lapangan .
( ) = ( ), untuk setiap dalam [ , ]. (menurut sifat asosiatif perkalian bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis ( ) = ( ), untuk setiap dalam [ , ].
9. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu anggota [ , ].
Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], ( ) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)
+ = + ( ), untuk setiap dalam [ , ]. (menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis + = + ( ), untuk setiap dalam [ , ].
10. ( ), dan ( ) adalah sembarang fungsi kontinu anggota [ , ]. Oleh karena itu, untuk setiap dalam [ , ], , ( ) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)
adalah sembarang bilangan real dalam lapangan .
+ ( ) = + ( ), untuk setiap dalam [ , ]. (menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan bilangan real)
Oleh karena itu, dapat ditulis + ( ) = + ( ), untuk setiap dalam [ , ].
Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka , adalah ruang linear atas lapangan real .
Definisi 3.1.9
Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi : × → yang memenuhi sifat-sifat berikut :
a) ( , ) 0, untuk setiap , ∈ b) , = 0, jika dan hanya jika = c) , = ( , ), untuk setiap , ∈
d) , , + ( , ), untuk setiap , ∈
Definisi 3.1.10
Suatu ruang metrik ( , ) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan suatu metrik pada himpunan .
Contoh 3.1.9
1. ( , ) dengan adalah himpunan semua bilangan real dan adalah jarak antara dua elemen pada yaitu , : − , untuk setiap
, ∈ adalah ruang metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
a) − 0, untuk setiap , ∈ . (menurut definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui − = 0, maka jika kita memisalkan − ≠ 0 akan didapat –( − ) ≠0.
Oleh karena itu, − ≠0. Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu − = 0. Karena itu pemisalan − ≠0 adalah salah. Oleh karena itu,
− = 0 =
Jadi, jika − = 0 maka = .
Oleh karena itu, didapat − = 0. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Jadi, jika = maka − = 0. c) − = − , untuk setiap , ∈ .
d) − = − + ( − ) , untuk setiap , , ∈ .
− + − , untuk setiap , , ∈ . (dari ketaksamaan segitiga)
Karena memenuhi keempat aksioma maka ( , ) dengan adalah himpunan semua bilangan real dan adalah jarak antara dua elemen pada
yaitu , : − , untuk setiap , ∈ adalah ruang metrik.
2. ( , , ) dengan [ , ] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval , dan adalah jarak antara dua fungsi pada [ , ] yaitu , : − = max − ( ) , untuk setiap , ∈ [ , ] adalah ruang metrik.
Misal ( ) dan ( ) adalah sembarang anggota , .
( ) dan ( ) adalah fungsi yang kontinu pada [ , ], sehingga
− = − ( ) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [ , ]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, − ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak − = − ( ) pada suatu bilangan dalam , .
Karena itu , untuk setiap ( ), ( )∈ [ , ], − = − ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan dalam , .
a) max − ( ) 0 , untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui max − ( ) = 0.
Jika dimisalkan − ( )≠ 0, untuk setiap dalam , , maka akan didapat –( ( )− ( ))≠ 0, untuk setiap dalam [ , ].
Oleh karena itu, didapat ( )− ( ) ≠0, untuk setiap dalam [ , ], sehingga max − ( ) ≠0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu max − ( ) = 0 . Karena itu pemisalan − ( )≠0 adalah salah. Oleh karena itu,
− = 0
= ( )
Jadi, jika max − ( ) = 0 maka ( ) = ( ).
Kemudian, jika = ( ), untuk setiap dalam [ , ] maka
− = 0, untuk setiap dalam [ , ].
Oleh karena itu, didapat ( )− ( ) = 0, untuk setiap dalam [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, max − ( ) = 0.
c) max − ( ) = max − ( ), untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
d) max − ( ) = max − + ( − ( ) , untuk setiap , , ∈ [ , ].
max − + ( − ( ) max − ( ) + max − ( ) ,untuk setiap , , ∈ [ , ]. (dari ketaksamaan segitiga)
Oleh karena itu, max − ( ) max − ( ) + max − ( ) .
Karena memenuhi keempat aksioma, maka ( , , ) dengan [ , ] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval , dan adalah jarak antara dua fungsi pada [ , ] yaitu , : −
= max − ( ) , untuk setiap , ∈ [ , ] adalah ruang metrik.
Definisi 3.1.11
Andaikan ( , ) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk > 0, persekitaran- dari suatu titik 0 pada adalah himpunan 0 = { ∈ : ( 0, ) < }.
Definisi 3.1.12
Andaikan ℛ adalah ruang linear. Suatu pemetaan → dari ℛ ke disebut norma pada ℛ, jika untuk setiap elemen ∈ ℛ memenuhi sifat-sifat berikut : a) 0 b) = 0↔ = 0 c) = d) + + Definisi 3.1.13
Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Jika pada ℛ dapat didefinisikan suatu norma, maka ℛ disebut ruang linear bernorma.
Contoh 3.1.10
Misal [ , ] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval [ , ].
Didefinisikan suatu norma = max b ( ) , untuk setiap ∈ [ , ].
Maka [ , ] adalah suatu ruang linear bernorma.
Misal adalah sembarang anggota [ , ].
( ) adalah fungsi yang kontinu pada [ , ]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak ( ) pada suatu bilangan dalam , .
Karena itu, untuk setiap ( )∈ [ , ], ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan dalam , .
a) u = max ( ) 0 , untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
b) Jika diketahui u = max ( ) = 0.
Jika dimisalkan ( )≠ 0, untuk setiap dalam [ , ], maka akan didapat –( ( ))≠ 0, untuk setiap dalam [ , ].
Oleh karena itu, akan didapat ( ) ≠0, untuk setiap dalam [ , ], sehingga max ( ) ≠0.
Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu u = max ( ) = 0. Karena itu pemisalan ( )≠0 adalah salah.
Oleh karena itu, ( ) = 0
Jadi, jika u = max ( ) = 0 maka = 0.
Kemudian, jika = 0 untuk setiap dalam [ , ] maka didapat ( ) = 0, untuk setiap dalam [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, max − ( ) = 0.
Jadi, jika ( ) = ( ) maka u = max − ( ) = 0. c) Misalkan adalah sembarang bilangan real.
= max b ∝ ( ) , untuk setiap ( )∈ [ , ].
= max
b ( ) , untuk setiap ( )∈ [ , ]. (dari sifat-sifat
= , untuk setiap ( )∈ [ , ].
d) u + v = max + ( ) max ( + ( ) ), untuk setiap , ( )∈ [ , ]. (dari ketaksamaan segitiga) max ( + ( ) )= max ( ) + max ( ) , untuk setiap , ( )∈ [ , ].
Oleh karena itu,
u + v = max + ( ) max ( ) + max ( ) , untuk setiap , ( )∈ [ , ]. Oleh karena itu,
u + v u + v , untuk setiap , ( )∈ [ , ].
Karena memenuhi keempat aksioma, maka [ , ] dengan norma yang
= max b ( ) , untuk setiap ∈ [ , ], adalah suatu ruang linear
bernorma.
Andaikan pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu : − , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu metrik.
Buktinya adalah sebagai berikut :
Karena ℛ merupakan ruang linear bernorma, maka ℛ juga ruang linear sehingga untuk setiap ∈ ℛ terdapat suatu elemen – sedemikian sehingga
+ (− ) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang , ∈ ℛ didapat ( + (− ))∈ ℛ, oleh karena itu didapat ( − ) ∈ ℛ.
Karena ℛ adalah ruang linear bernorma maka didapat : 1. − 0
2. − = 0↔( − ) = 0, sehingga dapat ditulis :
− = 0↔ =
Karena ( − )∈ ℛ maka terdapat − − = ( − ) sehingga
− + − = 0.
− = −( − ) 0 maka − = −
Untuk sembarang , , ∈ ℛ didapat ( − )∈ ℛ, ( − )∈ ℛ, ( − ) ∈
ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma, maka didapat − 0,
− 0, − 0.
Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga.
− = − + ( − ) − + −
Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu : − , maka jarak tersebut adalah suatu metrik.
Karena itu (ℛ, ) juga meruipakan ruang metrik.
Definisi 3.1.14
Kelas 0 , adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi ( ) yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup , .
Norma dari fungsi dalam kelas 0 , didefinisikan sebagai nilai maksimum dari nilai mutlak ( ) untuk , yakni
0 = max ( )
Dalam kelas 0 , , jarak antara ( ) dan ( ) didefinisikan sebagai berikut : − 0 = max − ( ) .
Dalam kelas 0 , , jarak antara dan dekat satu sama lain, yakni
berada di persekitaran- dari sehingga − 0 < , maka
max − ( ) < .
Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari ( ) dalam daerah berlebar 2 (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi ( ), dengan kata lain ( ) berada dalam daerah yang dibatasi grafik + dan grafik − . Oleh karena itu,
− < < + , untuk semua .
− < − < , untuk semua .
− ( ) < , untuk semua .
− ( ) < untuk semua .
Contoh 3.1.11
1. Fungsi polinom dengan daerah asal = (−∞,∞) termasuk dalam
0[−3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu
2. = sin ,dengan daerah asal { |0 2�} termasuk dalam
0[0,2�], karena = sin kontinu pada daerah asalnya yaitu
[0,2�].
3. = ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } termasuk dalam
0[0,10], karena = kontinu pada daerah asalnya yaitu
{ | 0, ∈ }. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal { | 0, ∈ }.
Definisi 3.1.15
Kelas 1 , adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang terdefinisi di interval tertutup , yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan pertama yang kontinu.
Norma dari fungsi dalam kelas 1 , didefinisikan dengan rumus :
1 = max ( ) + max ′( )
Dalam kelas 1 , , jarak antara dan ( ) didefinisikan sebagai berikut:
− 1 = max − ( ) + max ′( )− ′( )
Dalam kelas 1 , , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain ( ( ) pada persekitaran- dari ( )) yakni − 1 < , jika kedua fungsi itu sendiri dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa − ( ) < , dan ′ − ′( ) < untuk semua .
Contoh 3.1.12
1. Fungsi polinom dengan daerah asal = (−∞,∞) termasuk dalam
1[−3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya
yaitu = (−∞,∞). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah asal = (−∞,∞).
2. = sin ,dengan daerah asal { |0 2�} termasuk dalam
1[0,2�], karena = sin terdifirensialkan pada daerah asalnya
yaitu [0,2�]. = sin juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada [0,2�], yaitu ′ = cos .
3. = ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } termasuk dalam
1[1,10], karena = terdiferensialkan pada { | > 0, ∈ } .
= juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada { | > 0, ∈ } yaitu ′ = 1
2 . Interval [1,10] berada dalam
{ | > 0, ∈ }.
4. = ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } tidak termasuk dalam 1[0,10], karena ′ = 1
2 tidak terdefinisi pada = 0.
Oleh karena itu, = ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } merupakan anggota dari 0[0,10], namun bukan anggota dari
5. =2
3
3 ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } termasuk dalam 1[0,10], karena =2 3 3 terdiferensialakan pada { | 0, ∈ }. =2 3
3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada
{ | 0, ∈ } yaitu ′ = . Interval [0,10] berada dalam { | > 0, ∈ }.
Definisi 3.1.16
Kelas , adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi ( ) yang terdefinisi di interval tertutup , yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan ke-
, dengan bilangan bulat tidak negatif.
Norma dari fungsi dalam kelas , didefinisikan dengan rumus :
= =0max ( ) ,
dimana = ( ) dan 0 ( ) adalah fungsi itu sendiri. Dalam kelas , , jarak antara ( ) dan ( ) didefinisikan sebagai berikut : − = =0max − ( ).
Dalam kelas , , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain ( ( ) pada persekitaran- dari ( )) ( yakni − < , jika fungsi-fungsi itu sendiri dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa
− ( ) < , ′ − ′( ) < , " − "( ) < , …, dan
( ) − ( )( ) < untuk semua .
Contoh 3.1.13
1. Fungsi polinom dengan daerah asal = (−∞,∞) termasuk dalam [−3,8], dengan bilangan bulat tidak negatif. Karena fungsi polinom terdifersialkan tak hingga kali pada daerah asalnya yaitu = (−∞,∞), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke akan kontinu.
2. = ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } tidak termasuk dalam [0,10] (untuk > 0). Ini karena ′ = 1
2 tidak
terdefinisi pada = 0. Oleh karena itu, ′ = 1
2 tidak dapat
diturunkan. 3. =2
3
3 ,dengan daerah asal { | 0, ∈ } tidak termasuk
dalam [0,10] (untuk > 1). Ini karena ′′ = 1
2 tidak
terdefinisi pada = 0. Sehingga ′′ = 1
2 tidak dapat diturunkan.
Oleh karena itu, =2
3
3 ,dengan daerah asal { | 0, ∈ }
merupakan anggota dari 1[0,10], namun bukan anggota dari [0,10] (untuk > 1).
Contoh 3.1.14
= , 0
0, < 0
( ) termasuk dalam kelas 0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam 1[−6,6].
Untuk < 0, = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan turunannya yaitu ′( ) = 0 juga kontinu untuk < 0.
Untuk > 0, = adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan turunannya yaitu ′( ) = 1 juga kontinu untuk > 0.
Untuk = 0 h f h f f h ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ' 0
, asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1)
Hitung limit kanan terlebih dahulu.
1 1 lim lim 0 ) 0 ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0 h h h h h h h h h f h f
Sekarang kita hitung limit kiri
0 0 lim 0 lim 0 0 lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0 h h h h h h h f h f h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0 h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0
Oleh karena itu,
h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0
tidak ada. Maka dari itu, tidak
Untuk = 0, maka 0 = 0, sehingga 0 terdefinisi. (0 berada pada daerah asal ( )) 0 lim ) ( lim 0 0 f x x x x 0 0 lim ) ( lim 0 0 x x x f ) 0 ( 0 ) ( lim ) ( lim 0 0 f x x f x f x Oleh karena itu,
) 0 ( ) ( lim 0 f x f x
Maka dari itu , kontinu pada = 0.
Karena itu, ( ) termasuk dalam kelas 0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam
1[−6,6].
Setiap anggota 1[ , ] merupakan anggota dari 0[ , ], karena setiap anggota dari 1[ , ] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 1[ , ]⊆ 0[ , ].
Ada anggota 1[ , ] yang bukan merupakan 0[ , ] ( dari contoh 3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, 1[ , ]⊂ 0[ , ].
Setiap anggota [ , ] (dengan > 1) merupakan anggota dari
1[ , ], karena setiap anggota dari [ , ] (dengan > 1) juga merupakan
fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari teorema 2.4.1). Oleh karena itu, [ , ]⊆ 1[ , ] (untuk > 1).
Ada anggota [ , ] (dengan > 1) yang bukan merupakan 1[ , ] ( dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, [ , ]⊂ 1[ , ] (untuk > 1).
Maka dari itu, didapat : [ , ]⊂ 1[ , ]⊂ 0[ , ] (untuk > 1). Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas , (dengan bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas 0[ , ] sudah dibuktikan pada contoh 3.1.9
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa ( , , ) untuk bilangan bulat lebih dari 0, dengan adalah jarak antara dua fungsi pada [ , ] yaitu , : − = =0max − ( ) , untuk setiap , ∈ [ , ] adalah ruang metrik. (dimana = ,
= , 0 ( ) adalah fungsi itu sendiri, dan 0 ( )
adalah fungsi itu sendiri)
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal ( ) dan ( ) adalah sembarang fungsi anggota , (dengan bilangan bulat lebih dari 0).
( ) dan ( ) adalah fungsi yang kontinu pada [ , ], sehingga −
= − ( ) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [ , ]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, − = − ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan dalam , .
Karena itu , untuk setiap ( ), ( ) ∈ [ , ], − = − ( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan dalam , .
( ) dan ( ) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [ , ] sampai turunan ke- (dengan bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,
′( ) dan ′( ) adalah fungsi yang kontinu pada [ , ], sehingga ′ −
′ = − ′( ) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [ , ]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, − ′( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak − ′ = ′ − ′( ) pada suatu bilangan dalam , .
Karena itu , untuk setiap ( ), ( )∈ 1[ , ], − ′ = ′ − ′( ) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan dalam , . Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) dan ( ) sampai turunan yang ke- .
a) max − ( ) 0, untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
max ′ − ′( ) 0, untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) dan ( ) sampai turunan yang ke- .
Oleh karena itu,
max − ( )
=0 0 , untuk setiap , ∈
[ , ].
b) Jika diketahui =0max − ( ) = 0.
Karena itu, didapat max − ( ) + max ′( )−
Padahal max − ( ) 0, max ′ −
′( ) 0,… max ( ) − ( ) 0. (tidak mungkin negatif)
Karena max − ( ) + max ′( )− ′( ) +
⋯+max ( ) − ( ) = 0.
(ruas kanan sama dengan nol)
Maka dari itu, max − ( ) = max ′ −
′( ) =⋯= max ( ) − ( ) = 0.
Karena itu, − = ( ′ − ′ =⋯ = ( −
( ) = 0. (menurut contoh 3.1.10)
Jadi, jika =0max − ( ) = 0 maka − ( ) = 0.
Jika =0max − ( ) = 0 maka = ( ). Kemudian, jika = ( ), untuk setiap dalam [ , ] maka
− = 0, untuk setiap dalam [ , ].
Karena itu, didapat ( )− ( ) = 0, untuk setiap dalam [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
Oleh karena itu, didapat max − ( ) = 0.
= ( ), untuk setiap dalam [ , ] maka ′ = ′( ). Oleh karena itu, ′( )− ′( ) = + ′( ) = 0, untuk setiap dalam [ , ].
Didapat ′( )− ′( ) = 0, untuk setiap dalam [ , ] (dari definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga max ′ −
′( ) = 0.
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) dan ( ) sampai turunan yang ke- . Oleh karena itu,
max − ( )
=0 = 0.
Jadi, jika ( ) = ( ) maka akan didapat max − ( )
=0 = 0.
c) max − ( ) = max − ( ), untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)
max ′ − ′( ) = max ′ − ′( ), untuk setiap , ∈ [ , ]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) dan ( ) sampai turunan yang ke- .
Oleh karena itu,
max −
=0 = =0max −
.
d) max − ( ) = max − + ( − ( ) , untuk setiap , , ∈ [ , ].
max − + ( − ( ) max − ( ) + max − ( ) ,untuk setiap , , ∈ [ , ]. (dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, max − ( ) max − ( ) + max − ( ).
max ′ − ′( ) = max ′ − ′ + ( ′ − ′( ) , untuk setiap , , ∈ [ , ].
max ′ − ′ + ( ′ − ′( )
max ′ − ′( ) + max − ( ) ,untuk setiap , , ∈ [ , ]. (dari ketaksamaan segitiga)
Karena itu, max ′ − ′( ) max ′ −
′( ) + max ′ − ′( ) .
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) dan ( ) sampai turunan yang ke- .
Oleh karena itu,
max −
=0 =0max −
+ max −
=0
Karena memenuhi keempat aksioma, maka ( , , ) untuk adalah bilangan bulat lebih dari 0, dengan adalah jarak antara dua fungsi
pada [ , ] yaitu , : − = =0max − ( ) , untuk setiap , ∈ [ , ] adalah ruang metrik.
Kali ini akan ditunjukkan bahwa , (dengan adalah bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan bahwa , adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas 0[ , ] merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10.
Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa ( , , ) untuk bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real . Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan
+ = + ( ), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu = ( ). Maka dari itu, , , untuk
bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real .
Buktinya adalah sebagai berikut :
Misal ( ) dan ( ) adalah sembarang fungsi anggota , (dengan bilangan bulat lebih dari 0).
( ) dan ( ) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan- turunan yang kontinu pada [ , ] sampai turunan ke- (dengan bilangan bulat lebih dari 0).
1. ( ) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan- turunan yang kontinu pada [ , ] sampai turunan ke- (dengan bilangan bulat lebih dari 0), sehingga
h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0
ada, untuk setiap dalam [ , ]
h c f h c f c f h ) ( ' ) ( ' lim ) ( ' ' 0
ada, untuk setiap dalam [ , ].
Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ( ) sampai turunan
