BAB II KAJIAN TEORI
B. Ruang Metrik
Sub-bab ini menjelaskan definisi-definisi dasar tentang ruang metrik dan topologi. Beberapa teorema yang dipelajari dalam ruang metrik dan topologi juga dijelaskan dan diberi contoh.
Definisi 2.2.1 (Davis, 2005)
Diberikan suatu himpunan tidak kosong �, suatu fungsi �: � × � → ℝ yang memenuhi kondisi berikut, untuk setiap , , ∈ �,
(i) � , ;
(ii) � , = jika dan hanya jika = ; (iii) � , = � , ;
(iv) � , � , + � , ;
Maka � disebut metrik pada � dan �, � disebut ruang metrik.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Umur (tahun) N ila i f un gs i k ea ng go ta an
Irisan himpunan fuzzy muda dan himpunan fuzzy tua
Tua Muda
Selanjutnya, dua contoh ruang metrik berikut ini diberikan agar definisi ruang metrik dapat lebih dipahami.
Contoh 2.2.2
Himpunan bilangan real ℝ dengan fungsi � yang didefinisikan dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan suatu ruang metrik, sebab
(i) � , = | − | ;
(ii) � , = | − | = jika dan hanya jika = ; (iii) � , = | − | = | − | = � , ;
(iv) � , = | − | = | − + − | � , + � , .
Jadi terbukti bahwa ℝ, � merupakan ruang metrik. Contoh 2.2.3
Misalkan � suatu himpunan tidak kosong dan � : � × � → ℝ didefinisikan dengan � , = { , = ≠
untuk setiap , ∈ �, maka �, � merupakan suatu ruang metrik, sebab
(i) � , ;
(ii) � , = jika dan hanya jika = ; (iii) � , = � , ;
(iv) Jika = maka � , + � , = � , = � , = � ,
Jika = maka � , + � , = � , = � , � ,
Untuk yang lain, � , + � , = + = > , . Jadi terbukti bahwa �, � merupakan ruang metrik.
Definisi 2.2.4 (Parzynski, 1987)
Misal �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian tidak kosong dari �. disebut terbatas jika terdapat bilangan real positif � sehingga � , �, ∀ , ∈ .
Contoh 2.2.5
Misalkan ruang metrik ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Maka = [ , ] ⊂ ℝ merupakan himpunan terbatas karena terdapat bilangan real positif � = sehingga � , = | − | � = , ∀ , ∈ [ , ].
Beberapa konsep dasar dalam topologi seperti bola terbuka, himpunan terbuka, himpunan tertutup, dan titik limit akan dijelaskan dan diberi contoh.
Definisi 2.2.6 (Davis, 2005)
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan � suatu bilangan real dengan � > . Bola terbuka pada �, � dengan jari-jari � dan pusat ∈ � didefiniskan dengan
�� , � = { ∈ � ∶ � , < �}.
Contoh 2.2.7
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik.
Bola terbuka pada ℝ, � dengan jari-jari . 5 dan pusat ∈ ℝ didefinisikan dengan �� , . 5 = { ∈ ℝ ∶ | | < . 5}
Teorema berikut menjelaskan bahwa dua bola terbuka dengan pusat yang sama maka salah satunya merupakan himpunan bagian dari yang lain.
Teorema 2.2.8 (Aphane, 2009)
Misalkan �� , � dan �� , � bola terbuka dengan pusat yang sama yaitu ∈ �, dengan � , � > . Maka �� , � ⊆ �� , � atau �� , � ⊆ �� , � .
Bukti:
i) Jika � = � , maka �� , � = �� , � , sehingga �� , � ⊆ �� , � atau �� , � ⊆ �� , � .
ii) Jika � ≠ � , tanpa mengurangi kemumuman diasumsikan � > � . Misalkan ∈ �� , � , maka � , < � .
Karena � > � maka � , < � .
Sehingga ∈ �� , � . Jadi �� , � ⊆ �� , � .
Selanjutnya dengan mengasumsikan � > � dan dengan langkah-langkah yang sama dapat dibuktikan bahwa �� , � ⊆ �� , � .
Jadi untuk sebarang �� , � dan �� , � bola terbuka dengan pusat yang
sama maka �� , � ⊆ �� , � atau �� , � ⊆ �� , � .
Contoh 2.2.9
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik. Misalkan �� , � dan �� , � merupakan bola terbuka
�� , � = { ∈ ℝ ∶ � , < � } = { ∈ ℝ ∶ | − | < � }, �� , � = { ∈ ℝ ∶ � , < � } = { ∈ ℝ ∶ | − | < � } Jika � = � maka �� , � = { ∈ ℝ ∶ | − | < � = � } = �� , � . Jika � < � maka �� , � = { ∈ ℝ ∶ | − | < � < � } ⊂ �� , � . Jika � < � maka �� , � = { ∈ ℝ ∶ | − | < � < � } ⊂ �� , � . Maka �� , � ⊆ �� , � atau �� , � ⊆ �� , � .
Jika Definisi 2.2.6 menjelaskan pengertian bola terbuka, maka Definisi 2.2.10 di bawah ini menjelaskan pengertian bola tertutup dalam suatu ruang metrik. Selanjutnya diberikan contoh bola tertutup melalui Contoh 2.2.11.
Definisi 2.2.10 (Davis, 2005)
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan � suatu bilangan real dengan � > . Bola tertutup dengan jari-jari � dan pusat ∈ � didefiniskan dengan
��[ , �] = { ∈ � ∶ � , �}.
Contoh 2.2.11
Dari Contoh 2.2.2 diketahui ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ merupakan ruang metrik. Bola tertutup pada ℝ, � dengan jari-jari dan pusat ∈ ℝ didefiniskan dengan
Konsep tentang titik interior yang dijelaskan melalui Definisi 2.2.12 di bawah ini berkaitan dengan konsep himpunan terbuka dalam suatu ruang metrik yang akan dijelaskan melalui Definisi 2.2.14.
Definisi 2.2.12 (Davis, 2005)
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian dari �. Suatu titik ∈ disebut titik interior dari jika terdapat � > sedemikian sehingga �� , � ⊂ .
Himpunan dari semua titik interior dituliskan dengan � � .
Contoh 2.2.13
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika = { ∈ ℕ: < } ⊂ � maka � � = { ∈ ℕ: } = { , }.
Definisi 2.2.14 (Davis, 2005)
Misalkan �, � suatu ruang metrik. ⊂ � disebut terbuka jika untuk setiap ∈ maka terdapat � > sedemikian sehingga �� , � ⊆ .
Contoh 2.2.15
Jika �, � adalah ruang metrik diskret dan { } ⊂ �, maka { } merupakan himpunan terbuka, sebab terdapat � = > sehingga bola terbuka dengan pusat ∈ { }, jari-jari � = yaitu �� , = { ∈ � ∶ � , < } ⊆ { }.
Teorema 2.2.16 di bawah ini menjelaskan bahwa setiap bola terbuka merupakan suatu himpunan terbuka.
Teorema 2.2.16 (T.W. Korner, 2014)
Setiap bola terbuka �� , � = { ∈ ∶ � , < �} merupakan himpunan terbuka,
untuk setiap ∈ � dan � > . Bukti:
Misalkan ∈ �, � > dan ∈ �� , � . Pilih � > dengan � = � − � , . Misalkan ∈ �� , � , maka � , < � . Sehingga berdasarkan
pertidaksamaan segitiga diperoleh
� , � , + � , < � , + � = � , + � − � , = �. Karena � , < � maka ∈ �� , � . Sehingga �� , � himpunan terbuka.
Teorema 2.2.17 (T.W. Korner, 2014) Diketahui suatu ruang metrik �, � . Maka:
(1) ∅ dan � terbuka.
(2) Jika terbuka untuk setiap ∈ � maka ∈� terbuka. (3) Jika terbuka untuk setiap maka = terbuka. Bukti:
(1) Jelas bahwa tidak terdapat suatu elemen di ∅, sehingga pernyataan untuk setiap ∈ ∅ maka terdapat � > sedemikian sehingga �� , � ⊆ ∅ bernilai benar. Sehingga ∅ terbuka.
(2) Misalkan ∈ ∈� , kemudian pilih ∈ � sedemikian sehingga ∈ . Karena terbuka, maka dapat dipilih � > sehingga �� , � ⊆ .
Karena ⊂ ∈� maka �� , � ⊆ ∈� . Sehingga ∈� terbuka.
(3) Karena terbuka, maka untuk setiap ∈ � terdapat � > sedemikian sehingga �� , � ⊆ untuk setiap .
Misalkan � = min{� , � , … , � , … , � }, maka �� , � ⊆ untuk setiap
. Sehingga �� , � ⊆ = . Akibatnya, = terbuka.
Contoh 2.2.18
Diketahui suatu ruang metrik ℝ, � . Maka: (1) ∅ dan ℝ terbuka.
(2) Misalkan = �� , dan = { ∈ ℝ ∶ − < < }, maka dan
terbuka. Sehingga ∪ = { ∈ ℝ ∶ − < < } terbuka.
(3) Misalkan = �� , dan = { ∈ ℝ ∶ − < < }, maka dan terbuka. Sehingga = { ∈ ℝ ∶ − < < } terbuka.
Definisi 2.2.19 (Davis, 2005)
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan himpunan bagian dari �. Suatu titik ∈ � disebut titik limit dari jika untuk setiap � > , terdapat ∈ �� , � − { }. Atau dapat ditulis {�� , � − { }} ≠ ∅. Himpunan semua titik limit dari ditulis
Contoh 2.2.20
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika = { ∈ ℝ: < } ⊂ � maka dan ∈ adalah titik limit dari . Jika = { ∈ ℕ: < } ⊂ � maka , ∈ , ∈ bukan titik limit dari .
Definisi 2.2.21 (Davis, 2005)
Suatu himpunan bagian � dari ruang metrik �, � disebut tertutup jika � memuat setiap titik limitnya.
Contoh 2.2.22
Diketahui ruang metrik ℝ, � dengan � , = | − | untuk setiap , ∈ ℝ. Jika = { ∈ ℝ: < } ⊂ � maka tidak tertutup karena adalah titik limit dari . Jika = { ∈ ℝ: } ⊂ � maka tertutup karena memuat semua titik limitnya.
Teorema 2.2.23 (Parzynski, 1987)
Suatu himpunan bagian � dari ruang metrik �, � tertutup jika dan hanya jika � − � merupakan himpunan terbuka.
Bukti:
Misalkan � tertutup. Terdapat dua kemungkinan, yaitu
(1) � − � = ∅. Berdasarkan Teorema 2.2.17, ∅ merupakan himpunan terbuka, sehingga ∅ = � − � terbuka.
(2) � − � ≠ ∅. Ambil sebarang ∈ � − �, sehingga �. Karena � tertutup maka � memuat semua titik limitnya. Sehingga bukan titik limit �. Maka terdapat � > sehingga �� , � − { } � = ∅. Akibatnya �� , � ⊂
� − �. Jadi untuk setiap ∈ � − � terdapat � > sehingga �� , � ⊂
� − �. Maka � − � terbuka.
Misalkan � − � terbuka dan ∈ � − �. Maka terdapat �� , � ⊂ � − �. Sehingga terdapat �� , � dengan �� , � � = ∅. Sehingga bukan titik
limit �. Akibatnya, jika titik limit � maka ∈ �. Artinya, � memuat semua titik limitnya. Sehingga � tertutup.
Teorema 2.2.24 (T.W. Korner, 2014) Diketahui suatu ruang metrik �, � . Maka:
(1) ∅ dan � tertutup.
(2) Jika � tertutup untuk setiap ∈ maka ∈ � tertutup. (3) Jika � tertutup untuk setiap maka = � tertutup. Bukti:
(1) ∅ adalah himpunan tertutup, sebab � − ∅ = � adalah himpunan terbuka. � adalah himpunan tertutup, sebab � − � = ∅ adalah himpunan terbuka. (2) Karena � tertutup, maka � − � terbuka untuk setiap ∈ .
Sehingga � − ∈ � = ∈ � − � merupakan himpunan terbuka. Akibatnya ∈ � tertutup.
(3) Karena � tertutup maka � − � terbuka untuk setiap . Akibatnya � − = � = = (� − � ) merupakan himpunan terbuka. Sehingga
�
= merupakan himpunan tertutup.
Teorema 2.2.14 menjelaskan bahwa setiap bola terbuka merupakan suatu himpunan terbuka, sedangkan Teorema 2.2.25 di bawah ini menjelaskan bahwa setiap bola tertutup merupakan himpunan tertutup.
Teorema 2.2.25 (Davis, 2005)
Setiap bola tertutup dalam sebarang ruang metrik �, � merupakan himpunan tertutup. Bukti:
Misalkan diketahui sebarang bola tertutup ��[ , �] = { ∈ � ∶ � , �}. Akan dibuktikan bahwa ��[ , �] himpunan tertutup dengan cara menunjukkan
bahwa � − ��[ , �] merupakan himpunan terbuka.
Misalkan ∈ � − ��[ , �], maka � , > �. Misalkan = � , − � > ,
maka ��[ , ] ⊂ � − ��[ , �].
Misalkan ∈ �� , , maka � , � , + � , sehingga
� , � , − � , > � , − = �. Akibatnya ∈ � − ��[ , �].
Sehingga � − ��[ , �] merupakan himpunan terbuka.
Jadi terbukti bahwa setiap bola tertutup dalam sebarang ruang metrik �, � merupakan himpunan tertutup.
Definisi 2.2.26 (Cain, 1994)
Misalkan � sebarang himpunan. Didefinisikan � koleksi himpunan bagian � yang memenuhi kondisi berikut:
(i) ∅ ∈ � dan � ∈ �.
(ii) Jika ∈ � untuk setiap ∈ � maka ∈� ∈ �. (iii) Jika ∈ � untuk setiap maka = ∈ �. Maka � disebut topologi pada � dan �, � disebut ruang topologi.
Contoh 2.2.27
a. Misalkan � = { , , } dan � = {∅, { }, { , , }}. Maka � merupakan topologi pada �.
b. Misalkan � = { , , } dan � = {∅, { }, { }, { , , }}. Maka � bukan merupakan topologi pada � sebab { } ∪ { } = { , } �.
c. Misalkan � = { , }, maka � = {∅, { , }, { }} merupakan topologi pada �.
Teorema 2.2.28 (T.W. Korner, 2014)
Misalkan �, � suatu ruang metrik maka koleksi dari himpunan bagian terbuka membentuk suatu topologi.
Bukti: Sesuai dengan Teorema 2.2.17.
Teorema 2.2.29 di bawah ini menjelaskan bahwa suatu metrik dapat menginduksi suatu topologi metrik.
Teorema 2.2.29 (Aphane, 2009)
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan didefinisikan �� sebagai berikut:
�� = { ⊂ � ∶ ∈ ∃� > ℎ �� , � ⊆ }. Maka �� adalah suatu topologi pada �.
Bukti:
(i) Jelas bahwa ∅ ∈ �� dan � ∈ ��.
(ii) Misalkan , , , … , � ∈ �� dan = �∈� �.
Akan ditunjukkan bahwa ∈ ��.
Misalkan ∈ �∈� �, maka ∈ � untuk suatu ∈ �.
Karena � ∈ ��, maka terdapat � > ℎ �� , � ⊆ �. Sehingga �� , � ⊆ � ⊆ �∈� � = . Jadi ∈ ��.
(iii) Misalkan ∈ �� untuk setiap dan = = . Akan ditunjukkan bahwa ∈ ��.
Misalkan ∈ = , maka ∈ untuk setiap . Sehingga untuk setiap terdapat � > , ℎ ��( , � ) ⊆ �.
Misalkan � = min{� } dengan . Sehingga � � untuk setiap .
Akibatnya �� , � ⊆ untuk setiap . Sehingga �� , � ⊆ = = . Jadi ∈ ��.
Definisi 2.2.30 (T.W. Korner, 2014)
Suatu ruang topologi �, � disebut ruang Hausdorff jika untuk setiap , ∈ � dengan ≠ , maka terdapat dua himpunan terbuka dan dengan = ∅ sedemikian sehingga ∈ dan ∈ .
Contoh 2.2.31
Misalkan diketahui suatu ruang topologi �, � dengan � = { , , , �} dan � = �.
Maka �, � merupakan suatu ruang Hausdorff sebab ∀ , ∈ � dengan ≠ , maka terdapat = { } dan = { } sehingga ∈ , ∈ dan = ∅.
Contoh 2.2.32
Misal ruang topologi �, � dengan � = { , , , �} dan � = {{ , }, { , �}, �, ∅}. Maka �, � bukan ruang Hausdorff sebab ∃ , ∈ � dengan ≠ , sehingga terdapat = { , } dan = { , , , �} dengan ∈ , ∈ dan = { , }.
Teorema 2.2.33 (T.W. Korner, 2014)
Setiap ruang metrik merupakan ruang Hausdorff. Bukti:
Misalkan �, � suatu ruang metrik dan , ∈ � dengan ≠ . Misalkan = { } dan = { }, maka = ∅ dengan ∈ dan ∈ .
