3. PEMBAHASAN
3.3. Rumus untuk Menghitung Jumlah Subgraf
Seperti yang telah dijabarkan sebelumnya bahwa suatu graf G dapat dipecah – pecah menjadi graf – graf yang lebih kecil atau maksimalnya sama dengan graf G mula – mula, yang biasa disebut dengan subgraf. Adapun berdasarkan informasi pada sub bab 2.1, didapati bahwa suatu graf dapat dikatakan sebagai subgraf dari graf G hanya apabila graf yang menjadi subgraf tersebut memenuhi beberapa syarat diantaranya adalah semua verteks maupun rusuk dari subgraf tersebut adalah merupakan himpunan bagian dari himpunan verteks maupun himpunan rusuk dari graf G dan kemudian setiap rusuk dari subgraf tersebut yang bersesuaian dengan rusuk dari graf G haruslah keduanya memiliki verteks – verteks ujung yang sama.
Contoh 3.3.1 : Berikut adalah contoh sebuah graf G (4,7)
𝒗𝟏
𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟓
𝒗𝟑
𝒆𝟑 𝒆𝟒 𝒆𝟔
𝒗𝟐 𝒆𝟕
𝒗𝟒 Gambar 3.2 : Graf dengan 4 verteks dan 7 rusuk
Pada contoh 3.3.1 ini, graf G (4,7) memiliki himpunan verteks V yang terdiri dari 4 unsur yaitu V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} sedangkan himpunan rusuk E terdiri dari 7 unsur yaitu E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7}. Kemudian daftar pasangan-pasangan verteks ujung untuk setiap rusuk dari G (4,7) adalah 𝑒1 = {𝑣1, 𝑣2}, 𝑒2 = {𝑣1, 𝑣2},
𝑒3 = {𝑣2, 𝑣2}, 𝑒4 = {𝑣2, 𝑣3}, 𝑒5 = {𝑣3, 𝑣3}, 𝑒6 = {𝑣3, 𝑣4}, 𝑒7 = {𝑣3, 𝑣4}.
Karena graf G (4,7) pada contoh 3.3.1 adalah graf tak berarah, maka pasangan – pasangan verteks ujung tersebut tidak terurut sehingga boleh saja dibolak – balik dan akan tetap dianggap sama.
Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh subgraf dari suatu graf yang dalam hal ini diambil dari graf G (4,7) pada contoh 3.3.1. Selain itu, juga akan ditunjukkan bukti – bukti bahwa graf – graf tersebut adalah benar merupakan subgraf dari G (4,7).
Contoh 3.3.2 : Berikut beberapa contoh subgraf dari G (4,7)
1. 𝒗𝟑 3. 𝒗𝟏
2. 𝒗𝟏 𝒆𝟓 𝒆𝟒
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒗𝟑 𝒆𝟑
𝒆𝟔 𝒗𝟒
𝒗𝟒
Gambar 3.3 : Beberapa contoh subgraf dari G (4,7)
Ketiga graf di atas adalah beberapa contoh subgraf yang dapat dibentuk dari graf G (4,7) pada contoh 3.3.1. Adapun ketiga graf tersebut menjadi subgraf dari G (4,7) adalah karena ketiganya telah memenuhi seluruh syarat yang harus dimiliki untuk menjadi subgraf dari suatu graf dalam hal ini dari G (4,7), dimana syarat – syarat tersebut telah dijabarkan sebelumnya. Graf nomor 1 adalah graf berverteks satu yaitu 𝑣3 dan berusuk kosong, sedangkan 𝑣3 adalah salah satu himpunan bagian dari himpunan verteks V dari G (4,7) dan begitu juga rusuk kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan rusuk E dari G (4,7) karena himpunan rusuk boleh berupa himpunan kosong. Selain itu, karena graf (1) tidak memiliki rusuk maka untuk syarat mengenai setiap rusuk yang bersesuaian dari suatu graf dengan subgrafnya harus memiliki verteks – verteks ujung yang sama, dapat diabaikan. Pada graf (2), himpunan verteks V memiliki unsur – unsur V = {𝑣1, 𝑣3, 𝑣4} yang juga merupakan himpunan bagian dari himpunan verteks V di G (4,7), kemudian himpunan rusuk E memiliki unsur – unsur E = {𝑒5, 𝑒6} yang juga merupakan himpunan bagian dari himpunan rusuk E di G (4,7). Selain itu, graf (2) memiliki pasangan – pasangan verteks ujung 𝑒5 = {𝑣3, 𝑣3}, 𝑒6 = {𝑣3, 𝑣4} dan kesemua pasangan verteks – verteks ujung ini ternyata tepat sama untuk setiap rusuk – rusuk yang bersesuaian pada rusuk di G (4,7) seperti yang telah tertera dalam daftar pasangan – pasangan verteks ujung pada rusuk
di G (4,7) sebelumnya. Maka graf (2) adalah subgraf dari G (4,7) karena kesemua syarat – syaratnya telah terpenuhi. Selanjutnya cara – cara seperti pada graf (1) dan (2) juga diterapkan pada graf (3) untuk menunjukkan bahwa graf (3) adalah juga subgraf dari G (4,7) pada contoh 3.3.1. Pada graf (3), himpunan verteks V memiliki unsur – unsur V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} yang juga merupakan himpunan bagian dari himpunan verteks V di G (4,7), kemudian himpunan rusuk E memiliki unsur – unsur E = {𝑒3, 𝑒4} yang juga merupakan himpunan bagian dari himpunan rusuk E di G (4,7). Selain itu, graf (3) memiliki pasangan – pasangan verteks ujung 𝑒3 = {𝑣2, 𝑣2}, 𝑒4 = {𝑣2, 𝑣3} dan karena kesemua pasangan verteks – verteks ujung itu tepat sama untuk setiap rusuk – rusuk yang bersesuaian pada rusuk di G (4,7). Maka graf (3) adalah subgraf dari G (4,7) karena kesemua syarat – syaratnya telah terpenuhi.
Selanjutnya akan diberikan beberapa graf yang hampir mirip dengan ketiga graf pada gambar 3.3, namun ketiga graf tersebut ternyata bukanlah subgraf dari G (4,7).
Sehingga menunjukkan bahwa kemiripan gambar beberapa graf belum tentu menjadikannya graf yang sama yaitu dalam hal ini adalah sama – sama subgraf dari G (4,7).
Contoh 3.3.3 : Berikut beberapa contoh subgraf dari G (4,7)
1. 𝒗𝟕 3. 𝒗𝟒
2. 𝒗𝟏 𝒆𝟓 𝒗𝟑 𝒆𝟒 𝒗𝟐
𝒗𝟑
𝒗𝟑 𝒆𝟒 𝒆𝟑 𝒗𝟒
𝒗𝟏
Gambar 3.4 : Beberapa contoh graf yang bukan subgraf dari G (4,7)
Graf (1) bukanlah subgraf dari G (4,7) karena himpunan verteks V pada G (4,7) tidak memiliki unsur 𝑣7, atau dengan kata lain verteks 𝑣7 bukan himpunan bagian dari himpunan verteks V pada G (4,7). Selanjutnya, graf (2) bukan merupakan subgraf dari G (4,7) walaupun semua unsur – unsur verteks maupun unsur – unsur rusuknya adalah
merupakan himpunan bagian dari G (4,7). Hal ini karena ada syarat lain yang tidak dipenuhinya yaitu rusuk 𝑒4 tidak memiliki verteks – verteks ujung yang sama dengan verteks – verteks ujung di 𝑒4 pada G (4,7). Pada rusuk 𝑒4 dari gambar 3.4 ini, himpunan verteks ujungnya adalah {𝑣3, 𝑣4}, sedangkan rusuk 𝑒4 pada G (4,7) memiliki himpunan verteks ujung yaitu {𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya, graf (3) bukan merupakan subgraf dari G (4,7) walau semua unsur – unsur verteks maupun unsur – unsur rusuknya adalah merupakan himpunan bagian dari G (4,7) sama halnya seperti yang terjadi pada graf (2). Dan juga hal ini bukan dikarenakan susunan verteks – verteks dari graf (3) yang tersusun secara acak atau dalam hal ini tersusun terbalik karena penyusunan seperti itu tidak merubah kesamaan graf. Namun, hal ini terjadi karena ada syarat yang tidak dipenuhi oleh graf (3) yaitu rusuk 𝑒3 pada graf ini memiliki himpunan verteks – verteks ujung {𝑣3, 𝑣3} sedangkan rusuk 𝑒3 pada G (4,7) memiliki himpunan verteks – verteks ujung {𝑣2, 𝑣2} sehingga artinya kedua rusuk yang bersesuaian ini justru memiliki verteks – verteks ujung yang berbeda.
Pada keterangan sebelumnya yaitu dari contoh 3.3.2 telah diberikan contoh – contoh graf yang memenuhi syarat untuk menjadi subgraf dari suatu graf dan telah pula ditunjukkan pembuktian – pembuktian tentang kebenaran subgraf tersebut.
Sebaliknya, dari contoh 3.3.3 telah diberikan pula contoh – contoh graf yang bukan merupakan subgraf dari suatu graf disertai dengan pembuktian – pembuktiannya.
Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh jenis graf yaitu dari graf sederhana (simple graph), graf ganda (multi graph), dan graf semu (pseudo graph) beserta dengan data – data subgraf dari masing – masing graf tersebut secara lengkap.
Adapun pemilihan ketiga graf tersebut adalah karena sesuai dengan penelitian yang sedang penulis kerjakan ini yang menyangkut mengenai semua graf sembarang, yang mana ketiga graf tersebut dapat mewakili seluruh graf yang ada di dunia ini tanpa terkecuali.
Contoh 3.3.4 : Berikut merupakan contoh sebuah graf sederhana : 𝒗𝟏
𝒆𝟏 𝒆𝟐
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟑
Gambar 3.5 : Contoh graf sederhana G (3,3)
Pada contoh 3.3.4 di atas terdapat graf sederhana dengan 3 verteks dan 3 rusuk.
Adapun himpunan verteks – verteksnya adalah V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}, sedangkan himpunan rusuk – rusuknya adalah E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3}. Selanjutnya akan dibuat subgraf – subgraf dari graf sederhana G (3,3) ini secara lengkap. Kemudian subgraf – subgraf itu dikelompokkan berdasarkan aturan pengelompokkan tertentu, selanjutnya di dalam masing – masing kelompok dibuat semacam pengurutan pada unsur – unsur dari kelompok tersebut sedemikian hingga tercipta urutan yang teratur mengikuti pola tertentu di dalam urutan – urutan unsur dari masing – masing kelompok. Adapun pola pengurutan unsur – unsur di masing – masing kelompok haruslah sama sehingga dapat ditemukan suatu pola secara keseluruhan. Akhirnya pola secara keseluruhan yang telah ditemukan akan diuji untuk dapat dipakai dalam mencari, menyusun dan menghitung jumlah subgraf dari graf sederhana. Adapun subgraf – subgraf dari graf sederhana G (3,3) tersebut adalah antara lain :
1. 𝒗𝟏 5. 𝒗𝟏 8. 𝒗𝟏
𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒗𝟑
𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑
𝒗𝟐 6. 𝒗𝟏 9. 𝒗𝟑
10. 𝒗𝟏 2. 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒆𝟐
7. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 3. 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒆𝟏
11. 𝒆𝟑 𝒗𝟑 4. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐
12. 𝒗𝟏 14. 𝒗𝟏 16. 𝒗𝟏
𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟏
𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑 𝒗𝟑
13. 𝒗𝟏 15. 𝒗𝟏 17. 𝒗𝟏
𝒆𝟐 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑
Gambar 3.6 : Seluruh subgraf dari graf sederhana G (3,3)
Apabila melihat daftar subgraf – subgraf dari G (3,3) dari gambar 3.6 di atas, maka akan terlihat bahwa penyusunan subgraf – subgraf tersebut tidak teratur mengikuti suatu pola tertentu. Pada graf yang memiliki sedikit verteks dan rusuk, penyusunan subgraf – subgraf tanpa memakai suatu pola tertentu mungkin masih tidak menimbulkan masalah yang berarti. Namun pada graf yang berukuran besar ataupun yang lebih kompleks maka masalah bisa saja timbul karena bisa jadi ada subgraf – subgraf yeng ditulis berulang ataupun bisa saja ada subgraf – subgraf yang tidak tercantum pada susunan daftar. Disamping itu, ketiadaan pola dalam penyusunan mempersulit seseorang untuk menemukan suatu rumusan yang berguna untuk menghitung banyaknya jumlah total subgraf dari suatu graf. Pada penelitian ini, penulis mengajukan suatu metode pola untuk mengurutkan subgraf – subgraf dari suatu graf. Selanjutnya penulis akan membuat suatu pembuktian untuk menunjukkan bahwa pola tersebut adalah tepat untuk dipakai dalam usaha pencarian suatu rumus untuk menghitung banyaknya jumlah subgraf dari suatu graf. Adapun metode yang penulis ajukan adalah sebagai berikut :
1. Subgraf – subgraf dibagi – bagi dan disusun berdasarkan jumlah verteks yang dimiliki. Misalkan subgraf – subgraf berverteks satu berada di kelompok subgraf berverteks satu, subgraf berverteks dua di kelompok berverteks dua, dan seterusnya.
2. Setiap subgraf dari kelompok subgraf pada poin 1 di atas dibagi – bagi dan disusun lagi menjadi sub – sub kelompok berdasarkan jumlah rusuk yang dimiliki oleh subgraf yang bersangkutan, yang dimulai dari subgraf tersebut
yang berusuk kosong kemudian yang berusuk 1 dan seterusnya sampai kepada yang berusuk maksimalnya.
Berdasarkan metode tersebut, maka subgraf – subgraf dari graf sederhana G (3,3) pada gambar 3.6 dapat disusun sebagai berikut :
I. Subgraf berverteks 1 : i).
II. Subgraf berverteks 2 : i).
III. Subgraf berverteks 3 : i).
Dari data susunan subgraf di atas, dapat dilihat bahwa menyusun subgraf – subgraf dapat menjadi teratur dengan menyusunnya secara berkelompok yang dimulai dari pengelompokkan berdasarkan jumlah verteks yaitu seperti pada nomor urut romawi besar I, II dan III di atas. Selanjutnya disusul dengan
1. 𝒗𝟏 ii). 1. 𝒗𝟐 iii). 1. 𝒗𝟑
1. 𝒗𝟏
𝒗𝟐
2. 𝒗𝟏 𝒆𝟏 𝒗𝟐
ii).
𝒗𝟑
1. 𝒗𝟏 2. 𝒗𝟏 𝒆𝟐
𝒗𝟑
iii). 1.
𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒆𝟑
1. 𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒗𝟑
2. 𝒗𝟏
𝒆𝟏
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟐 3. 𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒗𝟑
4.
𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒆𝟑𝒗𝟑
𝒆𝟐
𝒗𝟐
5. 𝒗𝟏
𝒆𝟏
𝒗𝟑 6.
𝒆𝟏 𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑
𝒆𝟐
𝒆𝟑 7.
𝒗𝟏
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟑
8.
𝒗𝟏 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟑
masing – masing susunan subgraf di tiap kelompok bernomor romawi besar tersebut dikelompokkan dan disusun kembali menjadi sub – sub kelompok berdasarkan susunan kombinasi dari verteks – verteksnya yaitu misalkan kelompok subgraf berverteks 2 yang ditandai dengan nomor romawi II yang dibagi – bagi lagi menjadi sub kelompok subgraf dengan kombinasi verteks {𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, dan {𝑣2, 𝑣3}, dimana sub – sub kelompok ini dilambangkan dengan nomor urut romawi kecil i, ii dan iii dimana subgraf – subgraf dengan kombinasi verteks yang sama berada pada subkelompok yang sama yang kemudian disusun kembali berdasarkan jumlah rusuknya yang dimulai dari rusuk kosong lalu rusuk 1 dan seterusnya sampai kepada rusuk maksimal yang dipunyai oleh subgraf dengan kombinasi verteks bersangkutan.
Keterangan ini akan lebih diperinci sebagai berikut :
1. Subgraf berverteks satu :
Hanya terdiri dari C (3,1) buah subgraf yaitu dari 3 verteks yang tersedia hanya diambil 1 verteks. Adapun pemakaian kombinasi karena pada himpunan verteks V tentu saja tidak mementingkan urutan penulisan verteks dan akan menghasilkan gambar graf yang sama jika unsur – unsur verteksnya sama. Selanjutnya, karena pada subgraf ini tidak memiliki rusuk satupun maka tidak ada tambahan perhitungan dari rusuk. Sehingga jumlah subgraf dengan 1 verteks adalah C (3,1) = 3 buah subgraf.
2. Subgraf berverteks dua :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,2) buah subgraf yaitu dari 3 verteks yang tersedia hanya diambil 2 verteks, yaitu subgraf yang berverteks {𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, dan {𝑣2, 𝑣3}. Namun, karena pada subgraf – subgraf ini ada rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Pada bagian ini, masing – masing subgraf dilihat berapa jumlah maksimal rusuknya sehingga penyusunan subgraf tersebut dapat dimulai dari subgraf tersebut yang berusuk kosong, berusuk 1, berusuk 2, dan seterusnya sampai kepada berusuk maksimalnya. Misalnya pada subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣1, 𝑣3} yang memiliki maksimal 1 rusuk, maka pada subgraf ini ada 2 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣1, 𝑣3} yang memiliki rusuk kosong dan subgraf {𝑣1, 𝑣3} yang memiliki rusuk 1.
Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 2 subgraf dari graf {𝑣1, 𝑣3} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (1,0) + C (1,1) = 1 + 1 = 2, yaitu C (1,0) memberi arti dari 1 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong sedangkan C (1,1) memberi arti dari 1 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk. Maka secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 2 adalah sebanyak {C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)} = 21 + 21 + 21 = 6 buah subgraf. Adapun nilai C (1,0) + C (1,1) = 21 adalah berdasarkan pada Teorema 2.1 yang telah dijabarkan sebelumnya. Kemudian perhitungan ini memiliki tiga bagian perhitungan karena kelompok subgraf berverteks 2 tersebut memiliki C (3,2) = 3 susunan kombinasi verteks sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
3. Subgraf berverteks tiga :
Jika hanya dipandang dari susunan kombinasi verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,3) = 1 macam susunan kombinasi verteks, yaitu subgraf dari 3 verteks yang tersedia dan diambil 3 verteks semuanya, yaitu subgraf yang berverteks {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}. Namun, karena pada subgraf – subgraf ini ada terdapat rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Cara perhitungan yang dipakai adalah sama dengan cara pada subgraf yang berverteks 2 di atas.
Subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki maksimal 3 rusuk, maka pada subgraf ini ada 8 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk kosong, subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk 1, dan seterusnya sampai yang memiliki rusuk 3. Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 8 subgraf dari graf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (3,0) + C (3,1) + C (3,2) + C (3,3) = 1 + 3 + 3 + 1 = 8, yaitu C (3,0) memberi arti dari 3 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong sedangkan C (3,1) memberi arti dari 3 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk, dan seterusnya. Maka secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 3 adalah sebanyak C (3,0) + C (3,1) + (C (3,2) + C (3,3) = 23 = 8 buah subgraf. Adapun hanya terdapat satu bagian perhitungan saja, tidak seperti pada graf berverteks 2 sebelumnya,
karena kelompok subgraf berverteks 3 hanya memiliki C (3,3) = 1 susunan verteks sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
Maka secara keseluruhan, jumlah total banyaknya subgraf dari graf sederhana G (3,3) pada contoh 3.3.4 adalah sebagai berikut :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +[{C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)}] + [{C (3,0) + C (3,1) + C (3,2) + C (3,3)}]
= [{20} + {20} + {20}] + [{21} +{21}+{21}] + [{23}]
= (1 + 1 + 1) + (2 + 2 + 2) + 8 = 17 buah subgraf.
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh graf ganda beserta subgraf – subgrafnya secara lengkap.
Contoh 3.3.5 : Berikut merupakan contoh sebuah graf ganda :
𝒗𝟏 𝒆𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑
𝒆𝟐 𝒆𝟒
Gambar 3.7 : Contoh graf ganda G (3,4)
Pada contoh 3.3.5 di atas terdapat graf ganda dengan 3 verteks dan 4 rusuk.
Adapun himpunan verteks – verteksnya adalah V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}, sedangkan himpunan rusuk – rusuknya adalah E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4}. Graf ini memiliki rusuk ganda 𝑒1 dan 𝑒2
yang menghubungkan himpunan verteks {𝑣1, 𝑣2} dan rusuk ganda 𝑒3 dan 𝑒4 yang menghubungkan himpunan verteks {𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya akan dibuat subgraf – subgraf dari graf ganda G (3,4) ini secara lengkap dan karena sudah didapatkan pola
yang tepat untuk menyusun subgraf ini yang sebelumnya didapat dari graf sederhana maka subgraf – subgraf ini dikelompokkan dengan cara yang sama dengan yang terjadi pada subgraf – subgraf graf sederhana pada contoh 3.3.4 sebelumnya. Adapun subgraf – subgraf dari graf ganda G (3,4) tersebut adalah antara lain :
I. Subgraf berverteks 1 :
i). 1. 𝒗𝟏 ii). 1. 𝒗𝟐 iii). 1. 𝒗𝟑
II. Subgraf berverteks 2 :
i). 1. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 ii). 1. 𝒗𝟏 𝒗𝟑 iii). 1. 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟏
2. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 2. 𝒗𝟐 𝒆𝟑𝒗𝟑
3. 𝒆𝟐 3. 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟏
4. 𝒆𝟐 4. 𝒗𝟐𝒆𝟑 𝒗𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
III. Subgraf berverteks 3 : 𝒆𝟏 i). 1. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 7. 𝒆𝟏 12. 𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑 𝒗𝟏 𝒆𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
2. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 8. 𝒆𝟏 𝒗𝟑 13. 𝒆𝟐 𝒗𝟑
3. 𝒆𝟐 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟒
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 9. 𝒆𝟐 𝒆𝟑 𝒆𝟏
4. 𝒗𝟏𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 14. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟑𝒗𝟑
10. 𝒆𝟐 𝒗𝟐𝒗𝟑 𝒆𝟒 5. 𝒗𝟏 𝒗𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟏 𝒆𝟒 15. 𝒗𝟏𝒆𝟐 𝒗𝟐𝒆𝟑 𝒗𝟑
𝒆𝟒 11. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑 𝒆𝟏 𝒆𝟒 6. 𝒆𝟏 𝒆𝟒 16. 𝒆𝟐 𝒆𝟑𝒗𝟑
𝒗𝟏 𝒆𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
Keterangan ini akan lebih diperinci sebagai berikut : 1. Subgraf berverteks satu :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,1) = 3 macam susunan kombinasi verteks, yaitu subgraf yang memiliki kombinasi susunan verteks {𝑣1}, {𝑣2}, {𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf ini tidak memiliki rusuk satupun maka tidak ada tambahan perhitungan dari rusuk. Sehingga jumlah subgraf dengan 1 verteks adalah C (3,1) = 3 buah subgraf.
2. Subgraf berverteks dua :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,2) = 3 macam kombinasi susunan verteks, yaitu subgraf yang memiliki susunan kombinasi verteks {𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, dan {𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf – subgraf ini ada memiliki rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Pada bagian ini, masing – masing subgraf dilihat berapa jumlah maksimal rusuknya sehingga penyusunan subgraf tersebut dapat dimulai dari subgraf tersebut yang berverteks kosong, berverteks 1, berverteks 2, dan seterusnya sampai kepada berverteks maksimalnya. Misalnya pada subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣2, 𝑣3} yang memiliki maksimal 2 rusuk, maka pada subgraf ini ada 3 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk kosong, subgraf yang memiliki rusuk 1, dan subgraf {𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk 2. Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 3 macam subgraf dari graf berverteks {𝑣2, 𝑣3} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (2,0) + C (2,1) + C (2,2) = 1 + 2 + 1 = 4 = 22, yaitu C (2,0) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong lalu C (2,1) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk sedangkan C (2,2) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 2 buah rusuk. Karena ternyata masing – masing subkelompok subgraf berverteks 2 ini memiliki jumlah rusuk maksimal yang berbeda – beda maka harus dihitung satu persatu. Pada subgraf dengan himpunan verteks {𝑣1, 𝑣2} memiliki maksimal 2 rusuk, maka
jumlah subgraf dari subgraf ini adalah sebanyak 22 = 4 buah subgraf. Pada subgraf dengan himpunan verteks {𝑣1, 𝑣3} tidak memiliki rusuk satupun, maka jumlah subgraf dari subgraf ini adalah sebanyak 20 = 1 buah subgraf.
Sehingga secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 2 adalah subgraf berverteks {𝑣1, 𝑣2} + subgraf berverteks {𝑣1, 𝑣3} + subgraf berverteks {𝑣2, 𝑣3} = {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (0,0)} + {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} = 22 + 20 + 22 = 4 + 1 + 4 = 9 buah subgraf. Adapun terdapat tiga bagian perhitungan karena kelompok subgraf berverteks 2 memiliki C (3,2) = 3 macam kombinasi susunan verteks sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
3. Subgraf berverteks tiga :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdapat C (3,3) = 1 macam kombinasi susunan verteks yang berasal dari 3 verteks yang tersedia dan diambil 3 verteks semuanya, yaitu subgraf yang berverteks {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf ini ada terdapat rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Cara perhitungan yang dipakai adalah sama dengan cara pada subgraf yang berverteks 2 di atas. Subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} dengan memiliki maksimal 4 rusuk, maka pada subgraf ini ada 24 subgraf yaitu sama dengan 16 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk kosong, subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk 1, dan seterusnya sampai yang memiliki rusuk 4.
Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 16 subgraf dari graf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, dimana C (4,0) memberi arti dari 4 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong sedangkan C (4,1) memberi arti dari 4 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk, dan seterusnya. Sehingga secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 3 adalah sebanyak C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4) = 24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 buah subgraf. Adapun hanya terdapat satu bagian perhitungan saja, tidak seperti pada graf berverteks 2 sebelumnya, karena kelompok
subgraf berverteks 3 memiliki C (3,3) = 1 macam kombinasi susunan verteks seperti yang telah disebutkan sebelumnya.
Maka secara keseluruhan, jumlah total banyaknya subgraf dari graf ganda G (3,4) pada contoh 3.3.5 adalah sebagai berikut :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +[{C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)}
+ {C (0,0)} + {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)}] + [{C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4)}].
= {(20) + (20) + (20)} + {(22 +20 + 22)} + {24}
= (1 + 1 + 1) + (4 + 1 + 4) + 16 = 28 buah subgraf.
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh graf semu beserta subgraf – subgrafnya secara lengkap.
Contoh 3.3.6 : Berikut merupakan contoh sebuah graf semu : 𝒆𝟏
𝒗𝟏
𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟒
Gambar 3.8 : Contoh graf semu G (3,4)
Pada contoh 3.3.6 ini terdapat graf semu dengan 3 verteks dan 4 rusuk. Adapun himpunan verteks – verteksnya adalah V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}, sedangkan himpunan rusuk – rusuknya adalah E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4}. Adapun graf ini memiliki gelang di 𝑒1. Selanjutnya akan dibuat subgraf – subgraf dari graf semu G (3,4) ini secara lengkap dan karena sudah didapatkan pola yang tepat untuk menyusun subgraf ini yang sebelumnya didapat dari graf sederhana maka subgraf – subgraf ini dikelompokkan dengan cara yang sama dengan yang terjadi pada subgraf – subgraf graf sederhana pada contoh 3.3.4 sebelumnya. Adapun subgraf – subgraf dari graf semu G (3,4) tersebut adalah antara lain :
I. Subgraf berverteks 1 :
i). 1. 𝒗𝟏 ii). 1. 𝒗𝟐 iii). 1. 𝒗𝟑
II. Subgraf berverteks 2 :
i). 1. 𝒗𝟏 ii). 1. 𝒗𝟏 iii). 1.
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒗𝟐
𝒗𝟑
2. 𝒆𝟏 2. 𝒆𝟏 2. 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟏
𝒆𝟒
𝒗𝟐 𝒗𝟑
3. 𝒗𝟏 3. 𝒗𝟏
𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑
4. 𝒆𝟏 4. 𝒗𝟏 𝒆𝟏
𝒗𝟏 𝒆𝟑
𝒆𝟐
𝒗𝟐 𝒗𝟐
III. Subgraf berverteks 3 : 𝒆𝟏
i). 1. 𝒗𝟏 7. 𝒗𝟏 12. 𝒆𝟏 𝒗𝟏
𝒆𝟑 𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑
2. 𝒗𝟏 𝒆𝟏 8. 𝒆𝟏 13. 𝒆𝟏 𝒗𝟏
𝒗𝟏
𝒆𝟐
𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟒 𝒆𝟒
𝒗𝟏
3. 𝒆𝟐 9. 𝒗𝟏 14. 𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒆𝟑
𝒗𝟑 4. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟑
𝒗𝟐 10. 𝒗𝟏 15. 𝒗𝟏
𝒗𝟑 𝒆𝟐
𝒆𝟐 𝒆𝟑
5. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟒 𝒆𝟒
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟒 16. 𝒆𝟏 𝒗𝟏
11. 𝒗𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 6. 𝒆𝟏 𝒆𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒆𝟒
𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒆𝟒
Keterangan ini akan lebih diperinci sebagai berikut : 1. Subgraf berverteks satu :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,1) = 3 macam susunan kombinasi verteks, yaitu subgraf yang memiliki kombinasi susunan verteks {𝑣1}, {𝑣2}, {𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf ini tidak memiliki rusuk satupun maka tidak ada tambahan perhitungan dari rusuk. Sehingga jumlah subgraf dengan 1 verteks adalah C (3,1) = 3 buah subgraf.
2. Subgraf berverteks dua :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdiri dari C (3,2) = 3 macam kombinasi susunan verteks, yaitu subgraf yang memiliki susunan kombinasi verteks {𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, dan {𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf – subgraf ini ada memiliki rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Pada bagian ini, masing – masing subgraf dilihat berapa jumlah maksimal rusuknya sehingga penyusunan subgraf tersebut dapat dimulai dari subgraf tersebut yang berverteks kosong, berverteks 1, berverteks 2, dan seterusnya sampai kepada berverteks maksimalnya. Misalnya pada subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣1, 𝑣2} yang memiliki maksimal 2 rusuk, maka pada subgraf ini ada 3 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣1, 𝑣2} yang memiliki rusuk kosong, subgraf yang memiliki rusuk 1, dan subgraf {𝑣1, 𝑣2} yang memiliki rusuk 2. Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 3 macam jenis subgraf dari graf berverteks {𝑣1, 𝑣2} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (2,0) + C (2,1) + C (2,2) = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 yaitu C (2,0) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong sedangkan C (2,1) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk lalu C (2,2) memberi arti dari 2 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 2 buah rusuk. Karena ternyata masing – masing subgraf berverteks 2 ini memiliki jumlah rusuk maksimal yang berbeda – beda maka harus dihitung satu per – satu. Pada subgraf dengan himpunan verteks {𝑣1, 𝑣3} memiliki maksimal 2 rusuk, maka jumlah
subgraf dari subgraf ini adalah sebanyak 22 = 4 buah subgraf. Pada subgraf dengan himpunan verteks {𝑣1, 𝑣3} memiliki rusuk maksimal sebanyak 2 rusuk, maka jumlah subgraf dari subgraf ini adalah sebanyak 22 = 4 buah subgraf. Pada subgraf dengan himpunan verteks {𝑣2, 𝑣3} memiliki maksimal 1 rusuk, maka jumlah subgraf dari subgraf ini adalah sebanyak 21 = 2 buah subgraf. Sehingga secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 2 adalah sebanyak {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)}
+ {C (1,0) + C (1,1) = 22 + 22 + 21 = 4 + 4 + 2 = 10 buah subgraf. Adapun terdapat tiga bagian perhitungan karena kelompok subgraf berverteks 2 memiliki C (3,2) = 3 susunan verteks sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
3. Subgraf berverteks tiga :
Jika hanya dipandang dari susunan verteks – verteksnya maka terdapat
C (3,3) = 1 macam kombinasi susunan verteks yang berasal dari 3 verteks yang tersedia dan diambil 3 verteks semuanya, yaitu subgraf yang berverteks {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}. Selanjutnya, karena pada subgraf – subgraf ini ada terdapat rusuk maka tentu saja rusuk juga harus dihitung. Cara perhitungan yang dipakai adalah sama dengan cara pada subgraf yang berverteks 2 di atas.
Subgraf dengan himpunan verteks V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} dengan memiliki maksimal 4 rusuk, maka pada subgraf ini ada 24 subgraf yaitu sama dengan 16 bentuk subgraf yaitu subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk kosong, subgraf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} yang memiliki rusuk 1, dan seterusnya sampai yang memiliki rusuk 4. Jika diperhatikan secara seksama maka dapat dilihat bahwa jumlah 16 subgraf dari graf {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} ini sebenarnya bernilai sama dengan C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, dimana C (4,0) memberi arti dari 4 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 0 buah rusuk atau rusuk kosong sedangkan C (4,1) memberi arti dari 4 buah rusuk maksimal dari subgraf dan hanya dipakai sebanyak 1 buah rusuk, dan seterusnya. Sehingga secara keseluruhan jumlah subgraf yang berverteks 3 adalah sebanyak C (4,0) + C (4,1) + (C (4,2) + C (4,3) + C (4,4) = 24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 buah subgraf.
Adapun hanya terdapat satu bagian perhitungan saja, tidak seperti pada graf berverteks 2 sebelumnya, karena kelompok subgraf berverteks 2 memiliki C (3,3) = 1 macam kombinasi susunan verteks sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
Maka secara keseluruhan, jumlah total banyaknya subgraf dari graf semu G (3,4) pada contoh 3.3.6 adalah sebagai berikut :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +[{C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)}
+ {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (1,0) + C (1,1)}] + [{C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4)}].
= [{20} + {20} + {20}] + [{22}+{22}+{21}] + [{24}]
= (1 + 1 + 1) + (4 + 4 + 2) + 16 = 29 buah subgraf.
Dari ketiga contoh graf beserta pembentukan subgraf – subgrafnya di atas, ternyata semua graf tersebut membentuk suatu pola tertentu yang sama dalam pembentukan dan pengurutan subgraf – subgrafnya dan hal itu tidak berbeda walaupun merupakan graf sederhana atau graf tak sederhana. Adapun pola pembentukan dan pengurutan subgraf yang dimaksud adalah :
1. Pertama sekali, seluruh subgraf dikelompokkan berdasarkan jumlah verteksnya yang dimulai dari kelompok subgraf – subgraf berverteks 1 kemudian berverteks 2 dan seterusnya sampai berverteks n sesuai dengan jumlah verteks pada graf tersebut. Adapun pengelompokkan ini akan menghasilkan jumlah banyaknya macam kombinasi susunan verteks – verteks dari graf yang memiliki jumlah banyaknya kombinasi 1 verteks, 2 verteks, 3 verteks dan seterusnya sampai jumlah banyaknya kombinasi susunan n verteks.
2. Untuk poin yang kedua, pengurutan difokuskan pada masing – masing kelompok tersebut yang sudah dibentuk tadi. Pada setiap kelompok dibentuk subkelompok – subkelompok dimana pengurutan di dalam subkelompok
difokuskan pada jumlah rusuk dari subgraf tersebut. Adapun di sini juga diperhatikan jumlah rusuk maksimal yang terhubung (incident edges) pada semua verteks dari subgraf yang berkaitan. Misalkan contohnya dari suatu graf berverteks n, pada kelompok subgraf – subgrafnya yang berverteks 2 dari graf tersebut, maka akan ada C (n,2) kemungkinan susunan kombinasi verteks yang berbeda. Selanjutnya, dibentuk subkelompok – subkelompok sebanyak C (n,2) buah subkelompok dimana subgraf yang memiliki kombinasi verteks yang sama berada pada subkelompok yang sama. Akhirnya dari masing – masing subkelompok tersebut disusun subgraf – subgraf dengan urutan berdasarkan jumlah rusuknya yaitu dari subgraf berverteks 2 dengan 0 rusuk, subgraf berverteks 2 dengan 1 rusuk, subgraf berverteks 2 dengan 2 rusuk, dan seterusnya sampai kepada subgraf berverteks 2 dengan jumlah rusuk maksimal dari subkelompok subgraf tersebut.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa metode ini dapat dipakai pada berbagai macam bentuk graf baik graf yang sederhana maupun graf tak sederhana.
Misalkan semua graf yang dipakai sebelumnya dipakai lagi, Yaitu :
𝒗𝟏
Graf ini memiliki : V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}
E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3}
𝒆𝟏 𝒆𝟐 = {(𝑣1, 𝑣2), (𝑣1, 𝑣3), (𝑣2, 𝑣3)}
𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑
Graf Sederhana
Graf ini memiliki : V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} 𝒆𝟏 E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4}
𝒗𝟏 𝒆𝟐 𝒗𝟐 𝒆𝟑 𝒗𝟑 = {(𝑣1, 𝑣2), (𝑣1, 𝑣2), (𝑣2, 𝑣3), (𝑣2, 𝑣3)}
𝒆𝟒 Graf Ganda
𝒆𝟏 𝒗𝟏
Graf ini memiliki : V = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} E = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒2}
= {(𝑣1, 𝑣1), (𝑣1, 𝑣2), (𝑣1, 𝑣3), (𝑣2, 𝑣3)}
𝒆𝟐 𝒆𝟑
𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒆𝟒
Graf Semu
1). Jumlah total subgraf dari graf sederhana :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{Subgraf berverteks satu (𝑣1) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣2) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣3) rusuk 0}] +
[{subgraf berverteks dua (𝑣1, 𝑣2) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1} + {subgraf berverteks dua (𝑣1, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf
berverteks 2 rusuk 1} + {(subgraf berverteks dua (𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1} +
[{subgraf berverteks tiga (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 3 rusuk 1 + subgraf berverteks 3 rusuk 2 + subgraf berverteks 3 rusuk 3}]
= [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +
[{C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)} + {C (1,0) + C (1,1)}] + [{C (3,0) + C (3,1) + C (3,2) + C (3,3)}]
= [{1} + {1} + {1}] + [{1 + 1} + {1 + 1} + {1 + 1}] + [{1 + 3 + 3 + 1}]
= [{1} + {1} + {1}] + [{2} + {2} + {2}] + [{8}]
= [{20} + {20} + {20}] + [{21} + {21} + {21}] + [{23}]
= 17 buah subgraf.
2). Jumlah total subgraf dari graf ganda :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{Subgraf berverteks satu (𝑣1) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣2) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣3) rusuk 0}] +
[{subgraf berverteks dua (𝑣1, 𝑣2) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1 + subgraf berverteks 2 rusuk 2} + {subgraf berverteks dua
(𝑣1, 𝑣3) rusuk 0} + {(subgraf berverteks dua (𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1 + subgraf berverteks 2 rusuk 2}] +
[{subgraf berverteks tiga (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 3 rusuk 1 + subgraf berverteks 3 rusuk 2 + subgraf berverteks 3 rusuk 3 + subgraf berverteks 3 rusuk 4}]
= [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +
[{C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (0,0)} + {C (2,0) + C (2,1) +C (2,2)}] + [{C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) + C (4,4)}]
= [{1} + {1} + {1}] + [{1 + 2 + 1} + {1} + {1 + 2 + 1}] + [{1 + 4 + 6 + 4 + 1}]
= [{1} + {1} + {1}] + [{4} + {1} + {4}] + [{16}]
= [{20} + {20} + {20}] + [{22} + {20} + {22}] + [{24}]
= 28 buah subgraf.
3). Jumlah total subgraf dari graf semu :
Total subgraf = Subgraf berverteks 1 + subgraf berverteks 2 + subgraf berverteks 3 = [{Subgraf berverteks satu (𝑣1) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣2) rusuk 0} + {Subgraf berverteks satu (𝑣3) rusuk 0}] +
[{subgraf berverteks dua (𝑣1, 𝑣2) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1 + subgraf berverteks 2 rusuk 2} + {subgraf berverteks dua
(𝑣1, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1 + subgraf berverteks 2 rusuk 2} + {(subgraf berverteks dua (𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 2 rusuk 1}] +
[{subgraf berverteks tiga (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) rusuk 0 + subgraf berverteks 3 rusuk 1 + subgraf berverteks 3 rusuk 2 + subgraf berverteks 3 rusuk 3 + subgraf berverteks 3 rusuk 4}]
= [{C (0,0)} + {C (0,0)} + {C (0,0)}] +
[{C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (2,0) + C (2,1) + C (2,2)} + {C (1,0)} + {C (1,1)}] +
[{C (4,0) + C (4,1) + C (4,2) + C (4,3)} + C (4,4)]
= [{1} + {1} + {1}] + [{1 + 2 + 1} + {1 + 2 + 1} + {1 + 1}] + [{1 + 4 + 6 + 4 + 1}]
= [{1} + {1} + {1}] + [{4} + {4} + {2}] + [{16}]
= [{20} + {20} + {20}] + [{22} + {22} + {21}] + [{24}]
= 29 buah subgraf.
Dari perhitungan subgraf dari ketiga graf yang berbeda tersebut, didapatkan suatu pola umum yang sama untuk ketiga – tiganya, yaitu sebagai berikut:
Apabila terdapat suatu graf G (𝑣,𝑒), maka total jumlah subgraf yang dapat dibentuk dari graf tersebut adalah :
Total subgraf = [Kelompok subgraf berverteks 1] + [Kelompok subgraf berverteks 2]
+ [Kelompok subgraf berverteks 3] + … + [Kelompok subgraf berverteks n]
= [Subkelompok subgraf berverteks 1 dengan kombinasi verteks yang ke-1 + subkelompok subgraf berverteks 1 kombinasi ke-2 + ... + subkelompok subgraf berverteks 1 kombinasi ke-k] + [Subkelompok subgraf berverteks 2 dengan kombinasi verteks yang ke-1 + subkelompok subgraf berverteks 2 kombinasi ke-2 + ... + subkelompok subgraf berverteks 2 kombinasi ke-k] + [Subkelompok subgraf berverteks 3 dengan kombinasi verteks yang ke-1 + subkelompok subgraf berverteks 3 kombinasi ke-2 + ... + subkelompok subgraf berverteks 3 kombinasi ke-k] +
...
+ [Subkelompok subgraf berverteks n dengan kombinasi verteks ke-1 + subkelompok subgraf berverteks n kombinasi ke-2 + ... + subkelompok subgraf berverteks n kombinasi ke-k
= [{Subgraf berverteks 1 kombinasi verteks ke-1 berusuk 0 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-1 berusuk 1 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-1 berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-1 berusuk e maksimal} + {subgraf berverteks 1 kombinasi ke-2 berusuk 0 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-2 berusuk 1 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-2 berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-2 berusuk e maksimal} + ... + {Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-k berusuk 0 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-k berusuk 1 + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-k berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks 1 kombinasi ke-k berusuk e maksimal}] + [{Subgraf berverteks 2 kombinasi verteks ke-1 berusuk 0 + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-1 berusuk 1 + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-1 berusuk 2 + ... + Subgraf
berverteks 2 kombinasi ke-1 berusuk e maksimal} + {subgraf berverteks 2 kombinasi ke-2 berusuk 0 + Subgraf berverteks 2
kombinasi ke-2 berusuk 1 + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-2 berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-2 berusuk e maksimal} + ... + {Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-k berusuk 0 + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-k berusuk 1 + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-k berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks 2 kombinasi ke-k berusuk e maksimal}] +
...
+ [{Subgraf berverteks kombinasi verteks ke-1 berusuk 0 + Subgraf berverteks kombinasi ke-1 berusuk 1 + Subgraf berverteks n
kombinasi ke-1 berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks n kombinasi ke-1 berusuk e maksimal} + {subgraf berverteks n kombinasi ke-2 berusuk 0 + Subgraf berverteks n kombinasi ke-2 berusuk 1 + Subgraf berverteks n kombinasi ke-2 berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks n kombinasi ke-2 berusuk e maksimal} + ... + {Subgraf berverteks n kombinasi ke-k berusuk 0 + Subgraf berverteks
n kombinasi ke-k berusuk 1 + Subgraf berverteks n kombinasi ke-k berusuk 2 + ... + Subgraf berverteks n kombinasi ke-k berusuk e maksimal}]
= [{C (emaks(1,1),0) + C (emaks(1,1),1) + C (emaks(1,1),2) + ... + C (emaks(1,1),emaks(1,1))} + {C (emaks(1,2),0) + C (emaks(1,2),1) +
C (emaks(1,2),2) + ... + C (emaks(1,2),emaks(1,2))} + ... + {C (emaks(1,k),0) + C (emaks(1,k),1) + C (emaks(1,k),2) + ... + C (emaks(1,k),emaks(1,k))}] +
[{C (emaks(2,1),0) + C (emaks(2,1),1) + C (emaks(2,1),2) + ... + C (emaks(2,1),emaks(2,1))} + {C (emaks(2,2),0) + C (emaks(2,2),1) +
C (emaks(2,2),2) + ... + C (emaks(2,2),emaks(2,2))} + ... + {C (emaks(2,k),0) + C (emaks(2,k),1) + C (emaks(2,k),2) + ... + C (emaks(2,k),emaks(2,k))}] +
...
+ [{C (emaks(p,1),0) + C (emaks(p,1),1) + C (emaks(p,1),2) + ... + C (emaks(p,1),emaks(p,1))} + {C (emaks(p,2),0) + C (emaks(p,2),1) +
C (emaks(p,2),2) + ... + C (emaks(p,2),emaks(p,2))} + ... + {C (emaks(p,k),0) + C (emaks(p,k),1) + C (emaks(p,k),2) + ... + C (emaks(p,k),emaks(p,k))}]
= [{2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,1)} + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,2)} + ... + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,𝑘)}] + [{2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,1)} + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,2)} + ... + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,𝑘)}] +
...
+ [{2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,1)} + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,2)} + ... + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘)}]
=
[
∑𝐶(𝑛,1)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,𝑘)]
+[
∑𝐶(𝑛,2)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,𝑘)]
+ ... +[
∑𝐶(𝑛,𝑝)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘)]
= ∑𝑛𝑝=1∑𝐶(𝑛,𝑝)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘)
Dimana notasi – notasi dari rumus tersebut pada graf G (V,E) dengan n verteks dan e rusuk memberi arti sebagai berikut :
1). Tanda kurung siku [] memisahkan subgraf – subgraf berdasarkan jumlah verteks yang dimilikinya. Yaitu dimulai dari kurung siku pertama adalah kumpulan subgraf – subgraf berverteks 1, kurung siku kedua adalah kumpulan subgraf berverteks 2, dan seterusnya sampai berakhir pada kurung siku ke – n adalah kumpulan subgraf berverteks n. Misalnya kurung siku memisahkan antara kumpulan subgraf – subgraf yang memiliki 1 verteks dengan kumpulan subgraf – subgraf yang memiliki 2 verteks.
2). Tanda kurung kurawal {} memisahkan subgraf – subgraf berdasarkan kemungkinan – kemungkinan susunan kombinasi verteks – verteks yang berbeda yang dimilikinya. Yaitu dimulai dari kurung kurawal pertama adalah kumpulan subgraf – subgraf dengan kombinasi verteks yang pertama, kurung kurawal kedua adalah kumpulan subgraf – subgraf dengan kombinasi verteks yang kedua, kurung kurawal ketiga adalah kumpulan subgraf – subgraf dengan kombinasi verteks yang ketiga, dan seterusnya sampai berakhir pada kurung kurawal ke – C (n,k) adalah kumpulan subgraf – subgraf dengan
kombinasi verteks yang ke – C (n,k) dimana k = 1, 2, 3, …, n. Misalnya kurung kurawal yang memisahkan antara kumpulan subgraf – subgraf yang memiliki
verteks (𝑣1, 𝑣3) dengan kumpulan subgraf yang memiliki verteks (𝑣2, 𝑣3) dimana subgraf – subgraf tersebut memiliki jumlah verteks yang sama sehingga berada pada kurung siku yang sama namun merupakan kombinasi verteks yang berbeda sehingga dapat dibedakan menjadi sebutan kombinasi verteks yang pertama (k = 1) lalu kombinasi verteks yang kedua (k = 2) dan seterusnya.
3). Masing – masing kurung kurawal {} di dalamnya terdapat subgraf – subgraf dengan kombinasi susunan verteks yang sama pada kelompok kurung kurawal yang sama dan diurutkan berdasarkan jumlah rusuk dari subgraf tersebut, dimulai dari subgraf berusuk 0, berusuk 1, dan seterusnya sampai kepada subgraf berusuk maksimal yang jumlah maksimal rusuknya bergantung pada subgraf tersebut.
Misalnya pada suatu kurung kurawal terdapat subgraf yang memiliki rusuk maksimal 3 rusuk, maka di dalam kurung kurawal itu ditulis dari subgraf berusuk 0, subgraf berusuk 1, subgraf berusuk 2, sampai subgraf berusuk 3.
4). Notasi emaks(p,k) menunjukkan jumlah maksimal dari rusuk – rusuk yang terhubung pada verteks – verteks (incident edges) yang terdapat pada subgraf, dimana subgraf – subgraf tersebut memiliki p verteks dan kombinasi verteks – verteksnya merupakan urutan kombinasi yang ke-k dari keseluruhan kombinasi yang dapat dibentuk dengan p verteks tersebut. Adapun pengurutan kombinasi verteks pada dasarnya dapat dilakukan secara sembarang, namun untuk menghindari kesalahan dalam pengurutan kombinasi maka dapat digunakan teknik lexicographic order (urutan kamus). Yaitu pengurutan kombinasi unsur yang dimulai dari lambang/
bilangan terkecil kepada yang terbesar. Misalkan dari himpunan verteks
V = {(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6} akan dibuat kombinasi 4 verteks (p = 4) maka urutan kombinasi verteksnya (k) adalah sebanyak C (6,4) = 15 kombinasi, yaitu:
1). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4 5). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣4, 𝑣6 9). 𝑣1, 𝑣3, 𝑣5, 𝑣6 13). 𝑣2, 𝑣3, 𝑣5, 𝑣6 2). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣5 6). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣5, 𝑣6 10). 𝑣1, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6 14). 𝑣2, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6 3). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣6 7). 𝑣1, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5 11). 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5 15). 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6 4). 𝑣1, 𝑣2, 𝑣4, 𝑣5 8). 𝑣1, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣6 12). 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣6
Akhirnya berdasarkan pada data – data di atas dari penelitian terhadap beberapa graf yang berbeda yang mewakili keseluruhan bentuk graf yang mungkin dapat dibentuk dari graf – graf di seluruh dunia, maka didapat rumus untuk menghitung banyaknya jumlah subgraf dari suatu graf sembarang yaitu :
Andaikan suatu graf G (V,E) dengan V adalah himpunan verteks pada graf dan E adalah himpunan rusuk pada graf dimana v ∈ V dan e ∈ E, maka rumus untuk menghitung jumlah seluruh subgraf dari graf G (V,E) adalah ∑𝒏𝒑=𝟏∑𝑪(𝒏,𝒑)𝒌=𝟏 𝟐𝒆𝒎𝒂𝒌𝒔(𝒑,𝒌) dengan emaks(p,k) adalah jumlah rusuk maksimal yang terhubung (incident edges) pada verteks dari suatu subgraf dimana subgraf tersebut memiliki verteks sebanyak p dan kombinasi verteksnya berada pada urutan kombinasi ke-k dari keseluruhan kombinasi yang memungkinkan untuk dibentuk dari p verteks tersebut.
Jumlah subgraf dari suatu graf = ∑ 𝑺g = ∑𝒏𝒑=𝟏∑𝑪(𝒏,𝒑)𝒌=𝟏 𝟐𝒆𝒎𝒂𝒌𝒔(𝒑,𝒌)
Contoh 3.3.7 : Berikut adalah cara menghitung jumlah seluruh subgraf dari graf G (2,4) :
𝒆𝟐
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟑
Gambar 3.9 : Contoh graf G (2,4)
Jumlah subgraf dari graf G (2,4) di atas adalah dicari dengan : 1). Subgraf berusuk 1 (p = 1) :
Memiliki kombinasi susunan verteks sebanyak C (2,1) = 2 Yaitu dari 2 verteks diambil 1 verteks.
I). 𝒆𝟏 𝒗𝟏 II). 𝒗𝟐 𝒆𝟒
Pada subgraf I jelas terlihat ada maksimal 1 buah rusuk, sedangkan pada subgraf II juga terdapat 1 buah rusuk maksimal. Sehingga :
I). Rusuk maksimal = emaks(1,1) = 1
𝒆𝟏 𝒗𝟏 Jumlah seluruh subgraf yang mungkin dari kombinasi verteks ini = 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,1) = 21 = 2.
Adapun 2 subgraf tersebut adalah antara lain: 1. 𝒗𝟏 2. 𝒆𝟏 𝒗𝟏
II). 𝒆𝟒 Rusuk maksimal = emaks(1,2) = 1
𝒗𝟐 Jumlah seluruh subgraf yang mungkin dari kombinasi verteks ini = 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,2)= 21 = 2.
Adapun 2 subgraf tersebut adalah antara lain : 1. 𝒗𝟐 2. 𝒗𝟐 𝒆𝟒
2). Subgraf berusuk 2 (p = 2):
Memiliki kombinasi susunan verteks sebanyak C (2,2) = 2 Yaitu dari 2 verteks diambil 2 verteks.
𝒆𝟐
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒 𝒆𝟑
Pada subgraf di atas jelas terlihat ada maksimal 4 buah rusuk, Sehingga : 𝒆𝟐 Rusuk maksimal = emaks(2,1) = 4
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒 Jumlah seluruh subgraf yang mungkin dari 𝒆𝟑 kombinasi verteks ini = 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,1)= 24 = 16.
Adapun 16 subgraf tersebut adalah antara lain :
1. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 7. 13. 𝒆𝟐
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒 𝒆𝟑
2. 𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 8. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 14. 𝒆𝟏𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟏 𝒆𝟒 𝒆𝟑
𝒆𝟐 𝒆𝟐 𝒆𝟐
3. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 9. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 15.
𝒆𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟐 𝒆𝟑
4. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 10. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 16. 𝒆𝟐
𝒆𝟑 𝒆𝟒 𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒆𝟑 5. 𝒆𝟒 11. 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟒
𝒗𝟐 𝒆𝟑
𝒆𝟐 𝒆𝟐
6. 12. 𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐
𝒆𝟏 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒆𝟑
Dari penjabaran tersebut maka didapat bahwa jumlah banyaknya subgraf dari graf G (2,4) pada contoh 3.3.7 adalah :
Jumlah subgraf = ∑ 𝑆g = ∑𝑛𝑝=1∑𝐶(𝑛,𝑝)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘)
= ∑2𝑝=1∑𝐶(2,𝑝)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘)
=
[
∑𝐶(2,1)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,𝑘)]
+[
∑𝐶(2,2)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,𝑘)]
=[
∑2𝑘=12𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,𝑘)]
+[
∑1𝑘=12𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,𝑘)]
=
[
{2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,1)} + {2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(1,2)}]
+[
{2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(2,1)}]
= [{21} + {21}] + [{24}]
= [{2} + {2}] + [{16}]
= 20 buah subgraf
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari hasil penelitian pada bab sebelumnya dan selanjutnya akan diberikan pula saran untuk riset lanjutan.
4.1 Kesimpulan
Andaikan suatu graf G (V,E) dengan V adalah himpunan verteks pada graf dengan beranggotakan sebanyak n buah verteks dan E adalah himpunan rusuk pada graf dimana v ∈ V dan e ∈ E, maka rumus untuk menghitung jumlah seluruh subgraf dari graf G (V,E) adalah ∑𝑛𝑝=1∑𝐶(𝑛,𝑝)𝑘=1 2𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑝,𝑘) dengan emaks(p,k) adalah jumlah rusuk maksimal yang terhubung (incident edges) pada suatu subgraf dimana subgraf tersebut dibentuk dari p buah verteks dan kombinasi verteksnya berada pada urutan ke-k dari keseluruhan kombinasi verteks dengan p verteks tersebut.
Jumlah subgraf dari suatu graf = ∑ 𝑺g = ∑𝒏𝒑=𝟏∑𝑪(𝒏,𝒑)𝒌=𝟏 𝟐𝒆𝒎𝒂𝒌𝒔(𝒑,𝒌)
4.2 Saran
Penelitian ini telah memberikan suatu rumus untuk menghitung jumlah subgraf dari suatu graf sembarang. Diperlukan penelitian lanjutan untuk menemukan rumus – rumus baru lainnya yang berguna untuk menemukan suatu pola dan rumusan tertentu dari subgraf – subgraf yang bersifat khusus dari suatu graf dan akhirnya dapat juga ditemukan suatu rumus untuk menghitung jumlah subgraf – subgraf khusus tersebut.
Misalkan untuk menghitung banyaknya subgraf yang berbentuk graf terhubung (connected graph) dari suatu graf, subgraf yang berbentuk graf teratur (regular graph), subgraf yang berbentuk bipartit (bipartite graph), subgraf – subgraf yang isomorfik, subgraf – subgraf yang planar, maupun juga untuk menemukan rumus