Saran - Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application

Komputasi dalam penelitian ini menggunakan Mathematica 8.0 dengan pemrograman berbasis struktural sehingga memerlukan waktu komputasi yang lama. Disarankan untuk penelitian lanjutan pemrogramannya berbasis fungsional sehingga waktu komputasi menjadi lebih cepat. Disarankan pula menyusun suatu pemrograman yang menghasilkan ketepatan dugaan barisan observasi yang baik tetapi tidak bergantung pada nilai awal parameter. Fungsi utilitas yang dikaji untuk optimasi portofolio adalah fungsi logaritmik, selanjutnya dapat dikaji fungsi utilitas lainnya. Penelitian lanjutan dapat dikembangkan untuk optimasi portofolio PF pada beberapa saham dan melakukan prediksi pergerakan harga saham.

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1997. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-3. Silaban P, Penerjemah; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra, 3rd Edition.

Ardana NKK. 2004. Buku 1 Panduan Penggunaan Mathematica. Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB.

Argesti A, Finlay B. 1999. Statistical Methods for the Social Sciences. New Jersey: Prentice Hall.

Bartle RG. 1976. The Elements of Real Real Analysis. New York: John Willey & Sons.

Billingsley P. 1991. Probability and Measure. New York: John Willey & Sons. Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investmens. Ed ke-5. Boston: Mc Graw

Hill.

Campbell SD. 2002. Regime Switching in Economics [Dissertation]. University of Pennsylvania.

Cassela G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. California: Wadsworth & Brooks.

Dorsey TJ. 2007. Point and Figure Charting. Ed ke-3. New York: John Willey & Sons.

Elliott RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models. Estimation and Control. New York: Springer–Verlag.

Elliott RJ, Van der Hoek J. 1997. An Application of Hidden Markov Model to Asset Allocation Problems. Journal Finance and Stochastics.1:229-238. Elliott RJ, Hinz J. 2002. Portfolio optimization, hidden Markov models, and

technical analysis of P&F–Charts. International Journal of Theoretical and Applied Finance. 5:385-399

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastic Process. New Jersey: Pearson Prentice Hall.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: University Press.

Hogg RV, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statisics. New Jersey: Prentice Hall.

Jamal. 2008. Kajian Model Hidden Markov Diskret dan Aplikasinya pada Harga gabah Kering Panen [Tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

Karatzas I, Shreve SE. 1987. Brownian Motion and Stochastic Calculus. New York: Springer-Verlag.

Korn R. 1997. Optimal Portfolios. Singapore: World Scientific.

Landen C. 2000. Bond Pricing in a Hidden Markov Modelof the Short Rate. Journal Finance and Stochastics. 4:371-389.

Purcell EJ, Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis, Ed ke-2. Susila IN, Kartasasmita B, Rawuh, Terjemahan; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Calculus With Analytic Geometry, 2nd Edition.

Rabiner LR. 1989. A tutorial on hidden Markov Models and selected applications in speech recognition. Proceedings of the IEEE Vol 77 No. 2.

Ross SM. 2000. Stochastic Process. New York: John Willey & Sons.

Royden HL. 1988. Real Analysis. Ed ke-3. New York: Macmillan Publishing Company.

Salim L. 2003. Analisis Teknikal dalam Perdagangan Saham. Jakarta: PT. Elex Media Komputindo Kelompok Gramedia.

Setiawaty B, Kristina L. 2005. Pendugaan Parameter Model Hidden Markov.

Jurnal Matematika dan Aplikasinya 4: 23-39.

Shreve SE. 2004. Stochastic Calculus for Finance . New York: Springer-Verla. Wei WWS. 1994. Time Series Analysis. California: Addison Wesley Publishing

Company.

Williams D. 1991. Probability with Martingales. Cambridge: Cambridge University Press.

Lampiran 1 Perhitungan untuk Masalah 1

Misalnya ( ) = [ ( , ) ] , ∀ ( ) dan ( ∗) = sup _{( )} [ ( , ) ]. Berdasarkan persamaan (5.1), maka berlaku

( ∗) = sup _{( )} S , . (1) Misalnya (Θ) = [ ( ( ) ) ] , ∀Θ ( ).

Karena perubahan optimasi kekayaan dari waktu kontinu T menjadi waktu acak diskret , ℕ sebagimana ide pokok diagram PF, maka berlaku

(Θ) = [ ( ( ) ) ], ∀Θ ( ) .

Berdasarkan Definisi 3.2.2, Proses kekayaan yang bersesuaian dengan Θ( . ) adalah

( ) = ∑ Θ( ) ( ) ,∀ 0.

Berdasarkan sampling waktu, maka proses kekayaan pada waktu acak adalah

( ) = ∑ Θ( ) ( )

= Θ ( ) ( ) + Θ ( ) ( )

= Θ S + Θ S . Dengan menggunakan persamaan (5.2) diperoleh

( ) = , − S + S = S , + ( S −S ) = S , + ( S −S )

= S , + S −1 . (2) Berdasarkan persamaan (2) diperoleh

(Θ) = [ ( ( ) ) ) ] ⟺ ( ) = S , + S −1 . (3) Akibatnya berlaku sup Θ ( ) (Θ) = sup ( ) ( ) = sup ( ) S , + S −1 . (4)

Misalnya ( . ) adalah portofolio PF pada Definisi 3.2.6 dengan Θ ∶= , − , Θ ∶= ,dan horison waktu ℕ maka

(Θ) = Θ + Θ ( ) = , − +

Akibatnya diperoleh ( ∗) = , ∗. (5) Berdasarkan persamaan (1), (4), dan (5) diperoleh bahwa jika ∗ adalah

supremum ↦ [ ( , ) ] pada ( ), maka ( ∗) adalah supremum Θ ⟼ ( ) pada himpunan ( ).

Lampiran 2 Pembuktian Proposisi 2

1. Jika ( ) = ln( ), maka

( ) = 1 = ( ) ( ) = .

Berdasarkan Proposisi 1(3) diperoleh

( ) = [Φ( ′) ( Φ) ] = [Φ( Φ) ] = [ΦΦ ] = [ ] = . Sehingga diperoleh ( ) = .

Berdasarkan Proposisi 1(4) diperoleh

, ∗

= ( ) ( ( )Φ) = ( ) ( Φ) = ( Φ)

= Φ

= | dengan Q adalah ukuran peluang dari Proposisi 1(1). Berdasarkan persamaan (4.16) diperoleh

( 1) = [Λ | ]

= |

= | |

= | dengan Q adalah ukuran peluang dari Proposisi 1(1). Sehingga diperoleh

, ∗

= |

Berdasarkan hasil tersebut diperoleh ( 1) = , ∗ = , ∗ Sehingga diperoleh ( 1) = ,∗ , untuk > 0, sedangkan ( 1) = 1.

Selain itu, { ( 1) : 0 } adalah martingale- pada ruang peluang (Ω,ℱ, )

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.29 terdapat proses { : 0 −1} yang

adapted- sehingga berlaku

( 1) = ( 1) + −1 (6) , ∗ = 1 + −1 , ∗ = 1 + − , ∗ = + − .

Berdasarkan persamaan (5.1) diperoleh

= + ∗ − .

Akibatnya diperoleh

∗ ₌ _atau ∗ ₌ _, _{= 0,1, …,} ₋_1. Berdasarkan persamaan (6) diperoleh

( 1) = ( 1) + −1

= ( 1) + −1 + ( −1) = ( 1) + ( −1) .

Sehingga diperoleh

( −1) = ( 1) − ( 1). Berdasarkan persamaan (4.18) diperoleh

( −1) = 1, ( ) − 1, ( ) . (7) Selanjutnya berdasarkan persamaan (4.22) diperoleh

( ) = ( ) ( ) , . Sehingga berlaku ( −1) = 1, ( ) − 1, ( ) = 1, ( ) ( ) , − 1, ( ) = ( ) , ( ) 1, − , ( ) = ( ) , ( ) ( 1) − ( ) , = ( ) , ( ) − = ( ) , ( )−1 .

Berdasarkan proposisi 1(1) diketahui bahwa proses ∶ 0 membentuk pohon biner dan sebaran proses observasi ( , , …, ) terhadap ukuran peluang

Q adalah ⊗ ( + ( 1− ) ) di mana , adalah fungsi indikator,

= , dan ⊗ menyatakan perkalian sebanyak n kali. Karena ruang state

proses observasi { : 1 } adalah = { , }, maka diperoleh

( −1) = ( ) , + 1− −1 = ( ) , ( − ) 1− + ( − ) −1 −1

= ( ) , ( − ) 1− + ( − ) −1 − ₁( 1₋− )+ ( −1) −1 = ( ) , ( −1) 1− + ( 1− ) −1 = ( ) , ( −1) 1− − ( −1) −1 = ( ) , 1− ( −1)− −1( −1) = ( ) , 1− − −1 ( −1) = ( ) , 1− − −1 ( −1) . Jadi diperoleh = ( ) , 1− − −1 .

Akibatnya dari ∗ = , maka diperoleh

∗ ₌ ∑ ( ) , 1− − −1 _■

2. Jika ( ) = , maka

( ) =

( ) ( ) = .

Berdasarkan Proposisi 1(3) diperoleh

( ) = [Φ( ′) ( Φ) ] = Φ( Φ)

= ΦΦ = Φ = Φ = ( ) Φ . Sehingga diperoleh = ( ) Φ ⟺ ( ) = Φ .

Berdasarkan Proposisi 1(4) diperoleh

, ∗ = ( ) ( ( )Φ) = ( ( )Φ) = Φ Φ = Φ Φ . Karena Φ = | = ( 1) , maka , ∗ = ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) . Akibatnya diperoleh , ∗ = , ∗

= ( 1) ( 1)

Selain itu, { ( 1) : 0 } adalah martingale- pada ruang peluang (Ω,ℱ, )

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.29 terdapat proses { : 0 −1} yang

adapted- sehingga berlaku

( 1) = ( 1) + −1 = 1 + −1 . Sehingga diperoleh ( 1) ( 1) = 1 + ∑ −1 1 + ∑ −1 = 1 + ∑ −1 1 + ∑ −1 = 1 + −1 . Sehingga diperoleh , ∗ = + −1 = + −1 = + − . Berdasarkan persamaan (5.1) , = + ∗ − ,sehingga berlaku ∗ = , = 0, …, −1. ■

Komputasi Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov

Sampling Waktu dan Harga Saham Bumi Resources Tbk

 Menentukan barisan observasi yang mengambil nilai pada u,d 

K LengthSprice; Z;

Fori1, iK , i,

IfSprice_i Sprice_i1, AppendTo Z, "u", AppendTo Z, "d"; ClearSprice, Stime, Y, Z;

dataImport"E:databumi.txt", "List"; nLengthdata;

fInterpolationdata, InterpolationOrder1; Sprice data_1; Stime 0;

u1.045; d0.955;

 Menentukan sampling harga saham dan sampling waktu 

m 1;

Fori2, i n, i, Forj1, j10 , j,

m Length Sprice;

IfSprice_md datai Spricemu, End , Ifdata_iSpricemu,

AppendTo Sprice , Sprice_mu, AppendTo Stime , FindRoot ftSprice_m1, t, i1, i__1,2_,

AppendTo Sprice , Sprice_md, AppendTo Stime , FindRoot ftSprice_m1,t, i1, i_1,2

 Mencetak hasil 

TableForm Tablei, NumberForm Stime_i1,5, 2,

NumberForm Sprice_i1,6, 2, Zi, MatrixForm Yi,i, 1, 55,

TableHeadings None,"k", "Waktuk", "Harga SahamSk1", "updown", "Yk", TableAlignmentsCenter

 Menentukan barisan observasi Yk yang mengambil nilai 1  Up dan 2  Down 

Y;

Fori1, iK, i,

IfSprice_i Spricei1, AppendToY, 1, AppendToY, 2;

Lampiran 3 Komputasi optimasi portofolio point and figure menggunakan model

k Waktuk Harga SahamSk1 updown Yk 1 12.59 950.95 u 1 2 14.09 993.74 u 1 3 16.46 1038.46 u 1 4 20.17 1085.19 u 1 5 27.67 1036.36 d 2 6 30.86 1082.99 u 1 7 32.04 1131.73 u 1 8 33.63 1182.66 u 1 9 43.79 1235.88 u 1 10 44.66 1180.26 d 2 11 55.34 1233.37 u 1 12 61.72 1288.88 u 1 13 70.56 1346.88 u 1 14 83.55 1407.48 u 1 15 86.08 1470.82 u 1 16 95.31 1537.01 u 1 17 95.88 1606.17 u 1 18 96.73 1678.45 u 1 19 98.84 1602.92 d 2 20 102.75 1675.05 u 1 21 104.00 1750.43 u 1 22 104.47 1829.20 u 1 23 104.95 1911.51 u 1 24 108.86 1825.50 d 2 25 113.35 1907.64 u 1 26 114.49 1993.49 u 1 27 115.33 2083.19 u 1 28 118.62 2176.94 u 1 29 124.00 2274.90 u 1 30 124.58 2377.27 u 1 31 127.79 2484.25 u 1 32 128.77 2596.04 u 1 33 129.59 2712.86 u 1 34 131.84 2590.78 d 2 35 138.10 2707.37 u 1 36 146.76 2585.53 d 2 37 149.25 2469.19 d 2 38 150.68 2358.07 d 2 39 151.46 2464.19 u 1 40 151.90 2575.07 u 1 41 156.46 2459.20 d 2 42 156.91 2348.53 d 2 43 157.47 2242.85 d 2 44 158.70 2343.78 u 1 45 167.42 2449.25 u 1 46 168.19 2559.46 u 1 47 170.43 2674.64 u 1 48 172.16 2795.00 u 1 49 173.83 2920.77 u 1 50 179.18 3052.21 u 1 51 180.12 3189.56 u 1 52 181.44 3333.08 u 1 53 186.42 3483.07 u 1 54 189.72 3639.81 u 1 55 192.79 3476.02 d 2

Perkalian Dalam antara Dua Vektor In[18]:= fsKaliDalamu_,v_:u.v;

Verktor 1 (semua elemennya 1) In[19]:= fsVektor1n_:Table1,n;

Perkalian Dalam antara Vektor u dengan Vektor 1pada RN

In[20]:= fsKaliVektor1u_,n_:fsKaliDalamu, fsVektor1n; Fungsi cjYk1MiM1ci,jYk i denganY_ki Yk,fi In[21]:= fsCYj_,M_,c_,Y_:M i1 M

ci,jfsKaliDalamUnitVectorM,Y,UnitVectorM,i;

Solusi Persamaan A =  di mana i 1

In[22]:= fsSolPiA_,n_:TransposeEigenvectorsA, 1fsKaliVektor1EigenvectorsA, 1,n_1; Matriks Peluang Transisi A Berukuran N x N

In[23]:= transisiAn_:Blocka,b,c,aRandomReal0, 1,n,n;bPlus a;

cTransposeTransposeab; Matriks Peluang Transisi C Berukuran M x N

In[24]:= transisiCm_,n_:Blocka,b,c,aRandomReal0, 1,m,n;bPlus a;

cTransposeTransposeab;

Pendugaan Parameter

fungsiPendugaA_,Y_,Cy_,T_,W_,M_:

ModulependugaX, pendugaLompatan,pendugaWaktu,pendugaProsesY,pendLompatan,

pendWaktu,pendProsesY,pendA,pendugaA,pendugaC,penduga, pdgX,pendugaXn,

pendugaX1pi; pendugaLompatan1Table0,W; pendugaWaktu1Table0,W; pendugaProsesY1  Table0,W; pendugaXk_: pendugaXk j1 W

fsCYj,M,Cy,Y_k1.fsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,jA_All,j;  Pendugaan Parameter Model Hidden Markov dan Optimasi Portofolio Point and Figure

pendugaLompatank_:

pendugaLompatank

 j1 W

fsCYj, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaLompatank1, UnitVectorW,jAAll,j  TableTablefsCYr, M,Cy, Y_k1.fsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,r

pendLompatanTableTransposeTablefsKaliVektor1pendugaLompatank__i_, W,i, 1, W, k, 2, T1;

pendWaktuTableTablefsKaliVektor1pendugaWaktuk__i_, W,i, 1, W,k, 2, T1;

pendProsesYTableTablefsKaliVektor1pendugaProsesYk__i_, W,i, 1, W,k, 2, T1;

pendATablependLompatan__n_pendWaktu__n_,n, 1, T;

pendugaATableTransposependA__n_1 pendA__n_.Table1,W,n, 1, T;

pendugaCTableTransposependProsesY__n_pendWaktu__n_,n, 1, T;

pendugaTablefsSolPiTransposependugaA__n_, W,n, 1, T;

pdgXTablependugaXn,n, 1, T;pendugaA,pendugaC,penduga,pdgX;

pendugaProsesYk_:

pendugaProsesYk

 j1 W

fsCYj, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaProsesYk1, UnitVectorW,jAAll,j  TableTableMfsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,r

fsKaliDalamUnitVectorM, Yk1, UnitVectorM,sCys,rAAll,r,s, 1, M,r, 1, W;

Penduga Barisan Observasi, Galat, Ketepatan Dugaan, dan Optimasi Portofolio pendugaWaktuk_:

pendugaWaktuk

 j1 W

fsCYj, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaWaktuk1, UnitVectorW,jAAll,j  TablefsCYr, M,Cy, Y_k1.fsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,rAAll,r,

r, 1, W;

fungsiHMMA_,c_,W_:

ModuleT, As,Cs,piBaru,qkBaru, penduga1, piK,Xover, TLengthY; AsfungsiPendugaA, Y,c,T,W, M_1; CsfungsiPendugaA, Y,c,T,W, M_2; piBarufungsiPendugaA, Y,c,T,W, M_3; qkBarufungsiPendugaA, Y,c,T,W, M_4; YdugaTable j1 M  i1 W

Cs_k,j,iqkBaru_k.UnitVectorW,ijUnitVectorM,j,k, 1, T;

KTableRandomChoiceYduga_k,1,1TotalYdugak,1, Ydugak,1,2TotalYdugak,11, 2, 9973,

k, 1, T;

YdFlattenTableCommonestKi,i, 1, T;

penduga1k_:penduga1kfsKaliVektor1qkBaru_k, W;

piKk_:piKk i1 W fsKaliDalam qkBaruk penduga1k, CsT,1,i 1d  CsT,2,i u1 UnitVectorW,i; Xover1:1; Xoverk_:

XoverkXoverk1penduga1k1piKk1Sprice_kSpricek1 Spricek1; XovTableXovern,n, 1, T;

 Perhitungan Galat 

galat  TableY_kYdk,k, 1, T;

persentasegalatTableAbs100galat_kYk,k, 1, T;

MAPEMeanpersentasegalat;

 Perhitungan Ketepatan Dugaan Observasi  P ;

Fori1, iT, i,

IfYdi  Yi, AppendTo P, 1, AppendTo P, 0; pdugabenar NTotalP T100;

KekayaanCountNonNegativeXov, True;

Fori1, iT, i,

IfYdi Yi&&Yi1, AppendTo updown , 1, AppendTo updown , 0 ;

Fori1, iT, i,

IfYd_i Y_i&&Y_i2, AppendTodownup , 1, AppendTo downup , 0 ;

 Perhitungan Ketepatan Dugaan terhadap Barisan Observasi 

upup;updown ; downup; downdown;

Fori1, iT, i,

IfYd_i  Y_i&&Y_i1, AppendTo upup , 1, AppendTo upup , 0 ;

Fori1, iT, i,

IfYd_i Yi&&Yi 2, AppendTodowndown , 1, AppendTo downdown , 0

;

 Mencetak Hasil 

ColumnGrid"Ketepatan Dugaan Barisan Observasi", "", pdugabenar, "", "Mean Absolute Percentage Error", "", NMAPE, "",

"Waktu", "", TimeUsed, "detik", "Banyaknya Iterasi", "", iterasi, Grid"Nilai Awal",

"A", "", MatrixFormA0, "C", "", MatrixFormC0,

"phi", "", MatrixFormpiN, Frame True, Grid"Nilai Dugaan",

"A", "", MatrixFormAs_T,

"C", "", MatrixFormCs_T,

 Input Nilai Awal

ClearAllT, W, A0, C0, pi, hasil TLengthY;

W5; banyaknya state penyebab kejadian 

M2; proses observasi hanya mengambil nilai u,d  SeedRandom1234;

pdugabenar0; iterasi 1;

Whilepdugabenar85  Kekayaan T, A0transisiAW;

C0transisiCM , W;

piFlattenfsSolPiA0, W; hasilfungsiHMMA0, C0, W; iterasiiterasi1;; Printhasil

Ketepatan Dugaan Barisan Observasi  93.6264 

Mean Absolute Percentage Error  3.62637 

Waktu  1039.06 detik Banyaknya Iterasi  53 Nilai Awal A 0.219239 0.265296 0.00269254 0.0592465 0.0919489 0.0260482 0.00482551 0.382789 0.287271 0.313777 0.389637 0.471724 0.251329 0.061809 0.199585 0.219043 0.21496 0.361164 0.257371 0.149265 0.146033 0.043194 0.0020262 0.334302 0.245424 C 0.43372 0.113953 0.689629 0.685286 0.149391 0.56628 0.886047 0.310371 0.314714 0.850609  phi 0.113555 0.223327 0.260343 0.254544 0.148231

TableForm Tablei, NumberForm Stime_i1,5, 2, NumberForm Sprice_i1,6, 2, NumberForm penduga1 i,6, 5, NumberForm piKi,7, 5,

NumberFormSprice_i1Sprice_iSpricei,6, 5, NumberFormXoveri1,6, 5, i, 1, 55,

TableHeadings None,"k", "k", "Sk1", "k11", "k1", "Sk1Sk11S1k1", "Xkx,", TableAlignmentsCenter

Grid"Observasi", Grid"Dugaan",Grid"Up", "Down", Spacings2,

"Up", GridTotalupup, Totalupdown, Spacings2,

"Down", GridTotaldownup, Totaldowndown, Spacings2, Spacings2, DividersTrue, True,True, True, FrameTrue

Nilai Dugaan A 1.03019 1057 1.71829 1057 9.99785 1060 7.24894 1058 1.32787 1057 3.51199 1048 5.31457 1049 8.07139 1047 2.67619 1046 8.56062 1047 1. 1. 1. 1. 1. 2.23031 1013 1.7603 1013 5.65081 1013 1.59551 1012 2.87977 1013 9.25183 1058 4.11117 1058 1.01321 1059 6.19077 1057 5.19749 1057 C 0.185505 0.467836 0.968799 0.960989 0.0988463 0.814495 0.532164 0.0312014 0.039011 0.901154  phi 6.25318 108 1. 6.25318 108 6.25318 108 6.46132 108 Observasi Dugaan Up Down Up 241 4 Down 25 185

k k S_k1 k11 k1 Sk1Sk11Sk11 Xkx , 1 12.59 950.95 1.00000 6.09031 0.04500 1.27406 2 14.09 993.74 0.90164 5.89674 0.04500 1.51332 3 16.46 1038.46 0.76088 4.97345 0.04500 1.68361 4 20.17 1085.19 0.62357 4.81281 0.04500 1.81866 5 27.67 1036.36 0.50991 4.83836 0.04500 1.70764 6 30.86 1082.99 0.60231 5.92010 0.04500 1.86810 7 32.04 1131.73 0.57042 6.68759 0.04500 2.03976 8 33.63 1182.66 0.49381 5.12243 0.04500 2.15359 9 43.79 1235.88 0.40567 4.79561 0.04500 2.24113 10 44.66 1180.26 0.33139 4.82643 0.04500 2.16916 11 55.34 1233.37 0.39153 5.91760 0.04500 2.27342 12 61.72 1288.88 0.37076 6.68768 0.04500 2.38500 13 70.56 1346.88 0.32097 5.12255 0.04500 2.45899 14 83.55 1407.48 0.26368 4.79563 0.04500 2.51589 15 86.08 1470.82 0.21540 4.82642 0.04500 2.56267 16 95.31 1537.01 0.17631 4.85142 0.04500 2.60116 17 95.88 1606.17 0.14441 4.85394 0.04500 2.63270 18 96.73 1678.45 0.11828 4.85289 0.04500 2.65854 19 98.84 1602.92 0.09688 4.85256 0.04500 2.63738 20 102.75 1675.05 0.11441 5.92296 0.04500 2.66787 21 104.00 1750.43 0.10837 6.68758 0.04500 2.70049 22 104.47 1829.20 0.09381 5.12230 0.04500 2.72211 23 104.95 1911.51 0.07707 4.79559 0.04500 2.73874 24 108.86 1825.50 0.06296 4.82643 0.04500 2.72507 25 113.35 1907.64 0.07438 5.91760 0.04500 2.74487 26 114.49 1993.49 0.07043 6.68768 0.04500 2.76607 27 115.33 2083.19 0.06098 5.12255 0.04500 2.78013 28 118.62 2176.94 0.05009 4.79563 0.04500 2.79094 29 124.00 2274.90 0.04092 4.82642 0.04500 2.79982 30 124.58 2377.27 0.03349 4.85142 0.04500 2.80714 31 127.79 2484.25 0.02743 4.85394 0.04500 2.81313 32 128.77 2596.04 0.02247 4.85289 0.04500 2.81804 33 129.59 2712.86 0.01840 4.85256 0.04500 2.82206 34 131.84 2590.78 0.01507 4.85256 0.04500 2.81876 35 138.10 2707.37 0.01780 5.92297 0.04500 2.82351 36 146.76 2585.53 0.01686 6.68758 0.04500 2.81843 37 149.25 2469.19 0.01913 6.32220 0.04500 2.81299 38 150.68 2358.07 0.01985 6.34281 0.04500 2.80733 39 151.46 2464.19 0.02103 6.35320 0.04500 2.81334 40 151.90 2575.07 0.01988 6.49605 0.04500 2.81915 41 156.46 2459.20 0.01708 5.06551 0.04500 2.81526 42 156.91 2348.53 0.02015 5.96053 0.04500 2.80985 43 157.47 2242.85 0.02117 6.31799 0.04500 2.80384 44 158.70 2343.78 0.02242 6.35962 0.04500 2.81025 45 167.42 2449.25 0.02120 6.49674 0.04500 2.81645 46 168.19 2559.46 0.01822 5.06528 0.04500 2.82060 47 170.43 2674.64 0.01495 4.79566 0.04500 2.82383 48 172.16 2795.00 0.01221 4.82985 0.04500 2.82648 49 173.83 2920.77 0.01000 4.85201 0.04500 2.82867 50 179.18 3052.21 0.00819 4.85384 0.04500 2.83045 51 180.12 3189.56 0.00671 4.85284 0.04500 2.83192 52 181.44 3333.08 0.00549 4.85255 0.04500 2.83312 53 186.42 3483.07 0.00450 4.85256 0.04500 2.83410 54 189.72 3639.81 0.00369 4.85258 0.04500 2.83491 55 192.79 3476.02 0.00302 4.85259 0.04500 2.83425

TableForm Tablei, NumberForm Stime_i1,5, 2, NumberForm Spricei1,6, 2, Zi, MatrixForm Yi, MatrixFormYdi,i, 1, 55,

TableHeadings None,"k", "k", "Sk1", "UpDown", "Yk", "Yk",

TableAlignmentsCenter k k Sk1 UpDown Yk Yk 1 12.59 950.95 u 1 1 2 14.09 993.74 u 1 1 3 16.46 1038.46 u 1 1 4 20.17 1085.19 u 1 1 5 27.67 1036.36 d 2 1 6 30.86 1082.99 u 1 1 7 32.04 1131.73 u 1 1 8 33.63 1182.66 u 1 1 9 43.79 1235.88 u 1 1 10 44.66 1180.26 d 2 1 11 55.34 1233.37 u 1 1 12 61.72 1288.88 u 1 1 13 70.56 1346.88 u 1 1 14 83.55 1407.48 u 1 1 15 86.08 1470.82 u 1 1 16 95.31 1537.01 u 1 1 17 95.88 1606.17 u 1 1 18 96.73 1678.45 u 1 1 19 98.84 1602.92 d 2 1 20 102.75 1675.05 u 1 1 21 104.00 1750.43 u 1 1 22 104.47 1829.20 u 1 1 23 104.95 1911.51 u 1 1 24 108.86 1825.50 d 2 1 25 113.35 1907.64 u 1 1 26 114.49 1993.49 u 1 1 27 115.33 2083.19 u 1 1 28 118.62 2176.94 u 1 1 29 124.00 2274.90 u 1 1 30 124.58 2377.27 u 1 1 31 127.79 2484.25 u 1 1 32 128.77 2596.04 u 1 1 33 129.59 2712.86 u 1 1 34 131.84 2590.78 d 2 1 35 138.10 2707.37 u 1 1 36 146.76 2585.53 d 2 1 37 149.25 2469.19 d 2 2 38 150.68 2358.07 d 2 2 39 151.46 2464.19 u 1 1 40 151.90 2575.07 u 1 1 41 156.46 2459.20 d 2 2 42 156.91 2348.53 d 2 2 43 157.47 2242.85 d 2 2 44 158.70 2343.78 u 1 1 45 167.42 2449.25 u 1 1 46 168.19 2559.46 u 1 1 47 170.43 2674.64 u 1 1 48 172.16 2795.00 u 1 1 49 173.83 2920.77 u 1 1 50 179.18 3052.21 u 1 1 51 180.12 3189.56 u 1 1 52 181.44 3333.08 u 1 1 53 186.42 3483.07 u 1 1 54 189.72 3639.81 u 1 1 55 192.79 3476.02 d 2 1

KASTOLAN. Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application on the Stock of Bumi Resources Tbk. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA.

The problem of portfolio optimization is to select a trading strategy which maximizes the expected terminal wealth. Since in a real-world market the stocks are traded at discrete random times, we are interested in a time sampling method. The time sampling process obtains sampling of stock price used in point and figure chart. Point and figure chart only displays up or down movements of unbalanced stock price. The basic idea is to describe essential movements of the unbalance stock price using a hidden Markov model. Parameters of this model are transition probability matrices. They are estimated using maximum likelihood method and expectation maximization algorithm. The estimation procedure involves change of measure. The estimation of parameters uses computer algebraic systems on the Mathematica 8.0. The model is then applied to the stock price of Bumi Resources Tbk from January 2nd 2007 until January 31st 2011. The estimated parameters are used to calculate the optimal portfolio using a recursive algorithm. The results of this study show that the discrete hidden Markov model can be applied to describe essential movements of the stock price. The best result gives 93.63% accuracy of the estimate of observation sequence with mean absolute percentage error (MAPE) 3.63% and 5 factors causing the event. The numerical calculation shows that the optimal logarithmic PF-portfolio increases the wealth.

Keywords: point and figure portfolio, optimization portfolio, discrete hidden Markov model, expectation maximization algorithm.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Keputusan investasi pada dasarnya menyangkut masalah pengalokasian aset pada periode tertentu dengan tujuan memaksimumkan return (imbal hasil) dengan tingkat risiko yang dapat diterima. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh perorangan atau institusi disebut portofolio (Bodie et al. 2005). Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Portofolio terdiri atas aset bebas risiko dan aset berisiko (saham). Masalah optimasi portofolio (tanpa konsumsi) adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan

return pada tingkat risiko yang dapat diterima.

Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu atau institusi atas suatu perusahaan (Salim 2003). Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Tingkat return tersebut berupa dividen dan keuntungan jika harga jual sahamnya melebihi harga belinya. Sedangkan risiko investasi saham diakibatkan oleh fluktuasi naik-turunnya harga saham yang berakibat pada ketidakpastian tingkat return.

Dalam pasar dunia, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi dalam kenyataannya investor mengambil keputusan untuk menjual atau membeli suatu saham berada dalam waktu diskret. Oleh karena itu, perlu proses diskretisasi waktu, yaitu sampling waktu yang menghasilkan harga saham tidak seimbang (naik atau turun). Pada setiap sampel waktu berkorespondensi dengan sampel harga saham saat itu. Sampel harga saham tersebut dapat digambarkan dalam diagram yang disebut point and figure chart (diagram PF).

Diagram PF hanya menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Kriteria naik-turunnya harga saham bergantung pada suatu interval harga saham yang ditetapkan. Portofolio yang hanya mendasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan

sahamnya pada sampel waktu dan keputusan investor hanya didasarkan pada sampel harga yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut.

Permasalahan optimasi portofolio adalah salah satu contoh permasalahan proses stokastik, yaitu permasalahan yang terkait dengan peluang suatu kejadian, di mana kejadian pada waktu yang akan datang tidak dapat diprediksi dengan pasti. Setiap kejadian tentu ada penyebabnya dan terkadang penyebab kejadian tersebut tidak diamati secara langsung. Penyebab suatu kejadian dapat membentuk berbagai model matematika, salah satunya adalah model rantai Markov. Pasangan kejadian dan penyebab kejadian yang tidak diamati (hidden) dan membentuk rantai Markov disebut model hidden Markov.

Pergerakan harga saham juga diakibatkan oleh suatu penyebab yang dapat berupa faktor ekonomi, politik, keamanan dan sebagainya. Misalnya, ketika pemerintah melakukan perubahan kebijakan ekonomi, maka pelaku pasar akan meninjau kembali strategi perdagangannya untuk mengambil keputusan menjual, membeli, atau mempertahankan saham yang dimilikinya. Kejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Jadi, karena penyebab kejadian pergerakan harga saham tersebut membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati, maka masalah pergerakan harga saham dapat dimodelkan dengan model hidden Markov.

Karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter, yaitu matriks peluang transisi dari penyebab kejadian serta beberapa parameter dari proses observasi. Parameter tersebut diduga dengan metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximization (EM). Hasil pendugaan parameter berbentuk pendugaan rekursif. Parameter yang diperoleh kemudian dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau dengan data baru.

Model hidden Markov memiliki banyak struktur matematis dan dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Aplikasi yang sudah dikaji antara lain masalah alokasi asset (Elliott &Vander Hoek 1997), penetapan harga

bond (Landen 2000), penetapan harga opsi (Campbell 2002), portfolio optimization (Elliott & Hinz 2002), dan spech recognition (Rabiner 1989).

200 400 600 800 1000 2000

4000 6000 8000

Pada penelitian ini, optimasi portofolio PF dengan menggunakan model

hidden Markov diaplikasikan pada saham Bumi Resources Tbk. Data input penelitian berupa harga saham harian (close-to-close) Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011. Sumber data dari http://www.duniainvestasi.com/bei/prices/stock dengan sebaran sebagai berikut.

Gambar 1 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.

Dengan menggunakan data tersebut dapat diduga parameter modelnya. Sebelum melakukan pendugaan parameter, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang yang kemudian diinterpretasikan kembali dengan menggunakan peluang asal. Perubahan ukuran peluang ini dibatasi oleh turunan Radon- Nikodym. Pendugaan parameter tersebut berupa pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyak loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu, dan penduga untuk proses observasi.

Selanjutnya dibuat suatu program Komputasi Aljabar Matematika untuk melakukan pendugaan parameter model hidden Markov tersebut. Software yang digunakan adalah Mathematica 8.0. Penyusunan program komputasi menggunakan buku panduan penggunaan Mathematica (Ardana 2004).

Keuntungan menggunakan program tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta memudahkan analisis data yang cukup banyak.

Waktu Pengamatan per Hari (2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011)

H ar ga S aha m ( R upi ah)

1.2 Tujuan Penelitian

Dalam penelitian ini ada tiga tujuan yang akan dicapai, ketiganya adalah sebagai berikut.

1. Mengkaji optimasi portofolio point and figure menggunakan model hidden

Markov.

2. Melakukan pendugaan parameter model hidden Markov.

3. Mengaplikasikan model hidden Markov untuk optimasi portofolio point and figure pada saham Bumi Resources Tbk.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1 Teori Peluang

Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.

Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005)

Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

Definisi 2.1.3 (Medan- ) (Ghahramani 2005)

Medan- ( -field) adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut.

1. ∅ ℱ;

2. Jika , , … ℱ,maka ⋃ ℱ;

3. Jika ℱ maka ℱ, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A.

Definisi 2.1.4 (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005)

Suatu ukuran peluang P pada (Ω,ℱ) adalah suatu fungsi ∶ ℱ →[ 0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut.

1. (∅) = 0 dan (Ω) = 1;

2. Jika , , … ℱ adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu

= ∅, untuk setiap , dengan ≠ , maka

 

         



1 



1 i i i i P A P A .

Definisi 2.1.5 (Kejadian Saling Bebas) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan , ℱ. Kejadian A dan B

dikatakan saling bebas jika ( ) = ( ) ( ). Secara umum, misalnya I

adalah himpunan indeks, himpunan kejadian { : } disebut saling bebas jika

       



i 



( i) i J i J

P A P A untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

Definisi 2.1.6 (Peluang Bersyarat) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan , ℱ. Jika ( ) > 0 maka peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian adalah

│ = ( )

( ) .

Teorema 2.1.7 (Teorema Bayes) (Hogg & Craig 2005)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan ℱ, = 1,2, … . Misalnya kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian maka peluang bersyarat dari setelah diketahui C adalah



 

_{ }



  



  



   



1 | | | j j j j k i i i P C C P C P C C P C C P C P C P C C .

Definisi 2.1.8 (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) X

merupakan fungsi ∶ Ω → ℝ di mana { Ω ∶ ( ) } ℱ untuk setiap ℝ. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 2.1.9 (Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005)

Misalnya Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan- dari Ω dan S adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi ∶ Ω → disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat untuk setiap ⊆ berlaku { Ω ∶X( ) } ℱ.

Definisi 2.1.10 (Fungsi Kerapatan Peluang) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang (probability mass function) dari peubah acak diskret X adalah fungsi ∶ ℝ →[ 0,1] yang didefinisikan oleh ( ) = ( = ) untuk setiap ℝ.

Definisi 2.1.11(Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi _, :ℝ →[ 0,1] yang didefiniskan oleh , ( , ) = ( = , = ) untuk setiap , ℝ.

Definisi 2.1.12 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat) (Ross 2000)

Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan = dengan ( = ) > 0 untuk setiap y adalah

| ( | ) =

( = , = ) ( = ) .

Definisi 2.1.13 (Bebas Stokastik Identik) (Hogg & Craig 2005)

Misalnya , , …, adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang sama, yaitu ( ) sehingga

( ) = ( ) ( ) = ( )

( ) = ( )

dan fungsi kerapatan bersamanya adalah ( ) ( ) … ( ) . Peubah acak

, , …, disebut bebas stokastik identik.

Definisi 2.1.14 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005)

Misalnya X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang

( ) = ( = ), maka nilai harapan dari peubah acak X adalah

Definisi 2.1.15 (Fungsi Indikator) (Cassela & Berger 1990)

Misalnya A adalah suatu kejadian pada ruang peluang (Ω,ℱ, ). Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi ∶ Ω →{0,1} yang didefinisikan oleh

1, jika ( ) 0, jika A A I A        _  .

Definisi 2.1.16 (Kontinu Absolut) (Billingsley 1995)

Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada (Ω,ℱ). Ukuran peluang dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang jika untuk setiap ℱ, ( ) = 0

mengakibatkan ( ) = 0, dinotasikan ≪ . Jika ≪ dan ≪ maka kedua ukuran dikatakan ekivalen dan dinotasikan ≡ .

Teorema 2.1.17 (Radon-Nikodym) (Billingsley 1995)

Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada (Ω,ℱ) sedemikian sehingga ≪ , maka terdapat peubah acak tak negatif Λ sehingga ( ) = Λ untuk semua

ℱ, dinotasikandengan

ℱ = Λ.

2.2 Rantai Markov

Definisi 2.2.1 (Ruang State) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang

state.

Definisi 2.2.2 (Proses Stokastik) (Ross 2000)

Proses stokastik { : ℕ} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke suatu ruang

state S. Jadi, untuk setiap ℕ, adalah peubah acak. Dalam hal ini, ℕ dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu k.

Definisi 2.2.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) (Ross 2000)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik { : ℕ} dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {0, 1, 2, …} berlaku

= │ = , = , …, = = = │ =

untuk semua kemungkinan nilai dari , , …, , .

Jadi pada rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state yang akan datang bebas terhadap semua state yang lalu , , …, dan hanya bergantung pada state sekarang .

Definisi 2.2.4 (Matriks Peluang Transisi) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S berukuran N. Matriks = =

⋱_…

adalah matriks peluang transisi di mana = ( = | = ) untuk semua

, . Nilai menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada

state i maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku: 1. 0, untuk semua , ; 2. 1 1, N ji j a  



untuk semua .

Definisi 2.2.5 (Rantai Markov Homogen) (Ross 2000)

Rantai Markov { : ℕ} yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state

dikatakan homogen jika ( = | = ) = ( = | = ) untuk semua

Definisi 2.2.6 (Peluang Transisi n-step)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S. Peluang transisi n-step ( ) adalah peluang suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai

( )

= ( = | = ) , > 0, , .

Definisi 2.2.7 (Terakses) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses (accessible) dari state i, dinotasikan → , jika ada sebuah bilangan bulat 0 sehingga ( ) > 0.

Definisi 2.2.8 (Berkomunikasi) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S. Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), dinotasikan ↔ , jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.

Definisi 2.2.9 (Kelas State)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kososng ⊆ sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang

Dalam dokumen Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application on the Stock of Bumi Resources Tbk (Halaman 74-174)