BAB V PENUTUP
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
9 BAB II
PENDUGA KUADRAT TERKECIL
Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu, pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum dalam subbab-subbab berikut.
A. Matriks
Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang kolom, serta ruang hasilkali dalam.
1. Lemma Invers Matriks
Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal.
Misalkan terdapat matriks gabungan dengan matriks ,
matriks , keduanya tak singular, sedangkan matriks dan
matriks . Definisikan matriks dan dengan
maka:
a. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa
merupakan invers dari
b. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa
juga merupakan invers dari c.
Bukti a.
c. Dari a dan b, matriks dan matriks
keduanya merupakan invers dari matriks
sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh
. ■
Selanjutnya, karena dan , maka
Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen yaitu
Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan lemma invers di atas.
Contoh 2.1
Misalkan terdapat matriks
Akan dicari invers dari matriks .
Tanpa menghitung invers matriks dari awal, dapat diperoleh
dengan menggunakan hasil invers dari matriks . Perhatikan bahwa
, dengan , , dan
Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh
2. Matriks Pseudo Invers
Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk
pseudo invers dari matriks merupakan perumuman dari matriks invers
yang biasanya, dimana matriks tidak harus memenuhi semua sifat-sifat matriks yang bisa dibalik.
Misalkan matriks . Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa
ruang baris dari paling banyak berdimensi dan ruang kolomnya paling
banyak berdimensi . Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi
yang sama (rank dari ), jika , maka rank dari paling besar adalah
Singularitas matriks dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo
invers dari . Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks .
Teorema 2.1
Jika merupakan matriks dengan rank penuh, maka tak singular.
Bukti
Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika untuk
sebarang , maka . Jika maka dengan mengalikan kedua ruas
dengan , diperoleh ,
sehingga . Karena mempunyai rank penuh, diperoleh .
Dengan demikian, terbukti tak singular. ■
Jika merupakan matriks dengan rank kolom penuh, yaitu
, maka tidak singular, jadi punya invers. Bentuk
disebut pseudo invers kiri dari , dimana . Rank dari
dan adalah .
Jika merupakan matriks dengan rank baris penuh, yaitu
, maka tidak singular, jadi punya invers. Selanjutnya, bentuk
disebut pseudo invers kanan dari . Rank dari dan
adalah . Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks .
Contoh 2.2
Misalkan terdapat matriks . adalah matriks
dengan dan . Diperoleh , dan . Matriks
adalah matriks singular, sedangkan
mempunyai invers, yaitu . Pseudo invers
kirinya tidak terdefinisi karena bukan matriks dengan rank kolom penuh,
sedangkan pseudo invers kanannya adalah
dengan .
3. Kalkulus Matriks
Bagian selanjutnya adalah kalkulus matriks. Bagian ini akan membahas definisi-definisi tentang turunan matriks, serta persamaan-persamaan yang dihasilkannya. Bagian ini penting dikuasai untuk digunakan dalam mencari nilai minimum suatu fungsi objektif dalam bentuk matriks.
Definisi 2.1
Misalkan matriks , dimana elemen-elemennya berupa fungsi
terhadap waktu. Didefinisikan turunan matriks sebagai berikut
menyebabkan merupakan matriks konstan sehingga
turunannya sama dengan nol. Penurunan dapat juga dihitung dengan
Karena turunannya sama dengan nol, maka dapat diperoleh turunan dari yaitu
Definisi 2.2 (Turunan parsial fungsi terhadap vektor)
Misalkan vektor dan fungsi skalar dari elemen-elemen ,
maka turunan parsial fungsi terhadap vektor adalah
Definisi 2.3 (Turunan parsial fungsi terhadap matriks)
Misalkan matriks dan fungsi skalar. Turunan parsial
Dengan definisi-definisi tersebut, dapat dihitung turunan parsial dari hasil perkalian antara dua vektor. Misalkan dan vektor kolom dengan elemen.
Dengan cara yang sama, diperoleh
Untuk bentuk kuadratik
Jika matriks simetri, maka sehingga diperoleh
Definisi 2.4 (Turunan parsial vektor terhadap vektor lain)
Misalkan dan . Maka
Jika salah satu dari maupun ditranspos, maka turunan parsialnya
juga ditranspos, yaitu
Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut.
Definisi 2.5 (Turunan parsial trace matriks terhadap matriks )
Misalkan matriks dan matriks .
Turunan parsial terhadap adalah
4. Matriks Definit Positif
Bagian selanjutnya akan membahas tentang matriks definit positif. Matriks definit positif berperan penting dalam menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif. Berikut merupakan beberapa hal yang perlu diingat tentang matriks definit positif.
Definisi 2.6
Matriks simetri disebut definit positif jika untuk semua
vektor yang tak nol.
Teorema 2.2
Jka mempunyai rank penuh, maka merupakan matriks definit
positif Bukti
Karena , maka matriks simetri.
Selanjutnya, mempunyai rank penuh, tidak nol untuk sebarang taknol.
Jadi perkalian titik . Dan untuk sebarang vektor ,
diperoleh , jadi berdasarkan definisi, adalah
matriks definit positif. ■
Definisi 2.7
Matriks Hessian adalah matriks simetri yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial kedua dari suatu fungsi skalar terhadap suatu
vektor. Misalkan terdapat suatu fungsi dan vektor , matriks Hessian
dari fungsi adalah matriks , dimana , yaitu
Teorema 2.3
Titik stasioner meminimumkan jika matriks Hessian dari yang
dievaluasi pada adalah definit positif.
Bukti
Ekspansi Taylor sampai orde kedua di sekitar adalah
Karena titik stasioner, maka
jadi
bernilai positif. Padahal jika ruas kanan tersebut ditulis dalam bentuk matriks diperoleh
Sedangkan
merupakan matriks Hessian dari . Jadi adalah matriks definit positif,
sehingga meminimumkan ketika matriks Hessian dari yang dievaluasi
pada definit positif. ■
B. Variabel Acak dan Proses Stokastik
Sub-bab ini akan membahas mengenai variabel acak dan proses stokastik. Namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu beberapa teori dasar peluang.
Peluang kejadian didefinisikan dengan
dengan merupakan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian ,
dan merupakan banyaknya semua anggota ruang sampel, dengan .
Misalnya dalam pelemparan dadu, , maka .
Peluang kejadian munculnya mata dadu 4 pada permukaan dadu adalah . Sedangkan dalam pelemparan 2 dadu berbeda secara bersamaan,
terdapat 36 anggota ruang sampel , yaitu , dan peluang kejadian
munculnya mata dadu 2 dan 3 dalam sekali pelemparan adalah , sebab
, dan .
Peluang suatu kejadian juga bisa berkaitan dengan peluang kejadian yang
lainnya. Peluang terjadinya kejadian setelah terjadi disebut peluang
bersyarat. Secara matematis, peluang bersyarat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.8
Peluang terjadinya kejadian terjadi setelah kejadian adalah
dengan adalah peluang kejadian dan keduanya terjadi.
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian lainnya. Secara matematis, terdapat beberapa cara untuk menyatakan kejadian dan saling bebas, yaitu
Variabel acak didefinisikan sebagai suatu pemetaan fungsional dari himpunan hasil percobaan ke himpunan bilangan real. Sebagai contoh, hasil pelemparan dadu dapat dilihat sebagai variabel acak jika munculnya mata dadu 1 pada permukaan dadu dipetakan ke bilangan satu, mata dadu 2 dipetakan ke bilangan dua, dan seterusnya.
Sebuah variabel acak bisa kontinu atau diskret. pelemparan dadu merupakan variabel acak diskret, sebab hasil realisasinya merupakan himpunan nilai-nilai yang diskret. Pengukuran temperatur merupakan variabel acak kontinu karena hasil realisasinya merupakan himpunan nilai-nilai yang kontinu. Baik variabel acak diskret maupun kontinu, keduanya memiliki fungsi densitas peluang dan fungsi distribusi kumulatif. Fungsi-fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.9
merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak diskret jika untuk setiap berlaku
Definisi 2.10
merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak kontinu jika berlaku
Definisi 2.11
Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskret dengan fungsi
densitas peluang adalah , dimana
Definisi 2.12
Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu dengan fungsi
densitas peluang adalah , dimana
Masing-masing variabel acak mempunyai karakteristik, seperti rata-rata atau nilai harapan dan variansi. Definisi rata-rata atau nilai harapan dari variabel acak didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.13
Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang .
Variansi dari variabel acak menunjukkan seberapa besar variabel acak akan bervariasi dari rata-ratanya. Dalam kasus-kasus tertentu, misalnya jika variabel acak hanya memiliki satu nilai (misalnya jika pada saat melempar dadu selalu muncul mata dadu 4), maka disebut bahwa variansi dari sama
dengan 0. Kasus lainnya adalah jika nilai dari berada di antara dengan
peluang yang sama, maka disebut bahwa variansi dari sama dengan .
Variansi dari variabel acak didefinisikan secara formal sebagai berikut.
Definisi 2.14
Misalkan variabel acak dengan fungsi densitas peluang dan
rata-rata . Variansi dari adalah
Standar deviasi dari variabel acak dinotasikan dengan , merupakan akar kuadrat dari variansi. Perhatikan bahwa variansi bisa ditulis
Notasi digunakan untuk menyatakan bahwa merupakan
Sebuah variabel acak kontinu disebut Gaussian atau normal jika fungsi densitas peluangnya yaitu
Selanjutnya misalkan terdapat dua variabel acak yaitu dan . Sama halnya dengan kejadian saling bebas, Variabel acak dan dikatakan saling bebas jika memenuhi
Akibatnya,
Kovariansi dari variabel acak skalar dan adalah
Proses stokastik merupakan variabel random yang berubah-ubah
menurut waktu, sehingga fungsi distribusi dan fungsi densitasnya merupakan
fungsi terhadap waktu. Fungsi distribusi kumulatif dari adalah
Rata-rata dan kovariansi dari juga merupakan fungsi dari waktu,
Perhatikan bahwa pada waktu dan merupakan dua variabel
acak yang berbeda, yaitu dan . Jika kedua variabel acak
dan saling bebas, untuk semua , maka disebut derau putih
(white noise). Jika tidak, maka disebut derau berwarna.
C. Penduga Kuadrat Terkecil
Penduga kuadrat terkecil adalah dasar dari penurunan algoritma filter Kalman. Sub-bab ini akan membahas mengenai penduga kuadrat terkecil berbobot dan penduga kuadrat terkecil rekursif.
1. Penduga Kuadrat Terkecil Berbobot
Misalkan adalah vektor konstan dengan -elemen yang tidak diketahui, dan adalah vektor hasil pengukuran yang mengandung komponen derau dengan elemen. Untuk mencari penduga terbaik dari , dimisalkan setiap elemen pengukuran pada vektor sebagai kombinasi linear dari elemen-elemen dalam vektor dengan ditambah derau pengukuran, yaitu
dengan adalah vektor dengan elemen, vektor pengukuran dengan
elemen, , matriks observasi berukuran , dan vektor derau
yang memiliki elemen. Selisih antara dan didefinisikan dengan ,
yaitu
dan disebut sebagai sisa pengukuran. Menurut Karl Gauss, nilai yang paling
mungkin untuk vektor adalah vektor yang meminimumkan jumlah
kuadrat dari selisih antara nilai yang diamati dengan vektor . Jadi akan
dicari yang meminimumkan fungsi objektif , dimana
Substitusi , diperoleh
mencapai minimum saat turunan parsial pertamanya terhadap sama dengan nol, yaitu
Vektor kemudian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu
Dengan , pseudo invers kiri dari matriks ada jika dan matriks dengan rank penuh.
Dalam setiap pengukuran, terdapat derau yang variansinya bisa berbeda. Dengan variansi yang berbeda-beda, dimisalkan
Penduga kuadrat terkecil berbobot bisa diperoleh dengan menurunkan fungsi objektif yang sisa pengukurannya berdistribusi normal. Dengan asumsi bahwa derau dari setiap pengukuran mempunyai rata-rata 0 dan saling bebas, matriks kovariansinya adalah
Pendugaan yang melibatkan variansi derau pengukuran inilah disebut pendugaan kuadrat terkecil berbobot. Dalam pendugaan ini, fungsi objektif yang akan diminimumkan adalah
mencapai minimum ketika
sehingga diperoleh
Perhatikan bahwa adalah matriks Hessian yang definit positif
ketika mempunyai rank , sehingga bisa dipastikan bahwa
meminimumkan fungsi objektif .
Berikut diberikan contoh pendugaan kuadrat terkecil sebelum dan sesudah diboboti.
Contoh 2.3
Misalkan diperoleh data hasil pengukuran ( ) berturut-turut 0.98, 0.37,
0.88, 0.91, 0.79, 0.67, 0.72, 0.65, 0.49, dan 0.77. Akan dicari garis yang
Dengan metode kuadrat terkecil, diduga dengan ,
diperoleh persamaan hasil pendugaan yaitu , dengan
jumlah kuadrat nya Plot hasil perhitungan dan perhitungannya
adalah sebagai berikut.
Gambar 2.1 (a) Pendugaan kuadrat terkecil (b) error pendugaan
Setelah diboboti, diduga dengan , sehingga
diperoleh persamaan hasil pendugaan , dengan . Plot hasil pendugaan dan pendugaan setelah diberi bobot adalah sebagai berikut
Gambar 2.2 (a) Pendugaan kuadrat terkecil berbobot (b) error pendugaan
Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar. Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar.
2. Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif
Setiap diperoleh pengukuran yang baru, diperoleh juga matriks baru yang ukurannya bersesuaian dengan banyaknya pengukuran. Jika pengukuran diperoleh secara berturut-turut, pendugaan dilakukan setiap kali didapat
hasil pengukuran yang baru. Dengan demikian, pada setiap pengukuran akan
diperoleh juga matriks baru. Selanjutnya ketika pendugaan dilakukan
kembali dengan matriks yang baru, pendugaan berikutnya akan
menmberikan hasil yang berbeda. Ketika banyaknya hasil pengukuran meningkat, proses penghitungan akan menjadi lebih sulit. Contohnya pengukuran terhadap ketinggian satelit setiap 1 detik. Setelah satu jam, akan terdapat 3600 data hasil pengukuran, dan bahkan pengukurannya masih berlanjut. Dengan menggunakan penduga kuadrat terkecil, setiap detik
pendugaan dilakukan dengan matriks baru yang ukurannya semakin
membesar. Di sini, masalah pertama yang muncul adalah pengukuran masih terus berlanjut, sedangkan yang diinginkan adalah menduga ketinggian satelit setiap detik. Masalah berikutnya adalah apakah penghitungan bisa tetap dilanjutkan setiap detik. Untuk meminimumkan masalah-masalah tersebut, muncul penduga kuadrat terkecil rekursif yang menghitung hasil pendugaan setiap kali pengukuran dilakukan tanpa mengabaikan hasil pendugaan sebelumnya. Penjelasan mengenai proses pendugaan kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut.
Misalkan setelah pengukuran ke , diperoleh , kemudian
pengukuran selanjutnya menghasilkan suatu nilai hasil pengukuran baru .
Hal ini menunjukkan bahwa diperoleh berdasarkan dan hasil
pengukuran baru . merupakan matriks perolehan (matriks gain) yang
nantinya akan ditentukan. Suku disebut suku koreksi. Jika
suku ini bernilai nol, atau adalah matriks nol, maka pendugaan tidak
mengalami perubahan dari langkah ke langkah .
Rata-rata dari pendugaan dapat dihitung sebagai berikut
Selanjutnya kriteria optimal untuk menentukan adalah meminimalkan
jumlah variansi dari error pendugaan pada saat , yaitu
Dengan . Untuk memperoleh perhitungan rekursif ,
tidak bergantung pada , maka bisa ditulis
karena nilai harapan keduanya sama dengan nol, sehingga diperoleh
dengan adalah kovariansi . Rumus ini merupakan bentuk rekursif untuk
kovariansi dari error pendugaan kuadrat terkecil. Hal ini sesuai dengan intuisi bahwa pada saat derau pengukuran meningkat, ketidak-pastian dalam
pendugaan juga meningkat. Perhatikan bahwa harus berupa matriks definit
positif, dan rumus di atas menjamin bahwa definit positif dengan asumsi
bahwa dan adalah matriks definit positif.
Selanjutnya akan dicari nilai sehingga fungsi objektif menjadi
seminimal mungkin. Rata-rata error pendugaan adalah 0 untuk setiap nilai
dari . Sehingga jika kita memilih untuk membuat fungsi objektifnya
lebih kecil, maka error pendugaan tidak akan hanya mempunyai rata-rata 0,
tetapi juga akan semakin mendekati nol. Untuk mencari nilai terbaik untuk ,
jika simetri. Selanjutnya dengan menerapkan aturan rantai pada dan , diperoleh
Agar diperoleh nilai yang meminimumkan , maka haruslah
sehingga
, , dan membentuk penduga kuadrat terkecil rekursif. Secara
ringkas, langkah-langkah pendugaan kuadrat terkecil rekursif dapat dituliskan sebagai berikut
1. Tetapkan penduga yaitu
Jika tidak diketahui sebelum dilakukan pengukuran, maka
ditentukan dengan sebuah matriks identitas dimana komponennya berupa sebarang bilangan yang nilainya besar pada diagonalnya. Jika keadaan
2. Untuk , langkah-langkah yang dilakukan adalah
a. Catat hasil pengukuran , dengan asumsi bahwa ditentukan
dengan , dimana adalah vektor random yang
mempunyai rata-rata 0 dengan kovariansi . Selanjutnya,
asumsikan bahwa derau pengukuran setiap langkah ke- saling
bebas, yaitu ketika dan ketika .
akibatnya, derau pengukuran merupakan derau putih (white noise).
b. Perbaharui nilai pendugaan dan kovariansi error pendugaan
sebagai berikut:
Contoh 2.4
Dari data pengukuran pada Contoh 2.3, bisa juga diperoleh melalui pendugaan kuadrat terkecil rekursif, yakni dengan
sesuai dengan langkah-langkah yang baru saja diperoleh. Pendugaan ini menghasilkan plot seperti pada gambar 2.3.
Dibandingkan dengan pendugaan sebelumnya, pendugaan secara rekursif ini memperhitungkan hasil dugaan sebelumnya, sehingga diperoleh yang bergantung pada sebelumnya. Hasilnya, untuk setiap hasil pengukuran berbeda-beda.
Gambar 2.3 (a) Pendugaan kuadrat terkecil rekursif (b) pendugaan Dari segi komputasi, bentuk alternatif terkadang lebih menguntungkan. Dengan mempertimbangkan hal ini, maka penting juga untuk mencari bentuk alternatif dari penduga. Untuk memperoleh bentuk alternatif dari penduga yang telah diperoleh sebelumya, langkah pertama adalah mencari bentuk lain dari kovariansi error pendugaan. Sebelumnya telah diperoleh
Substitusi diperoleh
Dimisalkan suatu variabel bantu . Persamaan di
Dalam persamaan tersebut, muncul secara implisit, sehingga dengan menuliskan kembali, diperoleh
Persamaan ini lebih sederhana dari bentuk sebelumnya, namun masalah
komputasi numeris dapat menyebabkan tidak definit positif meskipun
Dengan menerapkan lemma invers matriks, bisa dicari bentuk yang lain
dari yaitu
Dari persamaan ini, gunakan lemma invers matriks dengan
Menurut lemma invers matriks, maka
diperoleh
Sehingga diperoleh
Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari bentuk ekuivalen dari
persamaan sebagai berikut
Mengalikan ruas kanan dengan (matriks identitas) di sebelah kiri,
Substitusi , diperoleh
Secara umum, algoritma kuadrat terkecil rekursif dapat dirangkum dengan persamaan-persamaan di bawah ini.
Hasil pengukuran dituliskan:
dengan
Dugaan awal dari vektor konstan yaitu
Untuk
Pada contoh-contoh berikut, akan ditunjukkan bagaimana menerapkan algoritma pendugaan kuadrat terkecil. Contoh 2.5 akan menunjukkan bahwa
yang diperoleh tidak akan pernah negatif.
Contoh 2.5
Misalkan terdapat parameter observasi skalar dengan pengukuran yang
sempurna, yaitu dan . Pemisalan selanjutnya yaitu kovariansi
pendugaan awal , dan komputer yang digunakan memberikan skala
ketepatan 3 digit desimal untuk setiap perhitungan yang dilakukan.
Selanjutnya untuk mencari , digunakan persamaan yang telah diperbaharui, yaitu
Perhatikan bahwa dihitung
sebagai 0 karena komputer yang digunakan memiliki ketelitian tiga angka
desimal. Bentuk yang diperoleh dari ini menjamin bahwa tidak pernah
negatif, meskipun terdapat perhitungan numeris pada , , dan .
Contoh 2.6
Penduga kuadrat terkecil rekursif juga bisa diterapkan pada masalah curve fitting. Misalkan akan dicari suatu garis lurus yang cocok dengan himpunan data. Masalah pencocokkan data linear dapat ditulis
dimana adalah variabel bebas (contohnya variabel waktu), data dengan
derau, dan akan dicari relasi linear antara dan . Dengan kata lain, akan
dicari nilai dan yang konstan. Matriks pengukurannya yaitu
Penduga rekursifnya diawali dengan
Dugaan rekursif dari vektor dengan dua anggota kemudian diperoleh sebagai berikut
45 BAB III FILTER KALMAN
A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret
Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret.
Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut
Proses derau dan merupakan derau putih, dengan rata-rata nol,
tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut dan , yaitu
Karena dan tidak berkorelasi, maka untuk semua .
Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan ,
berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan
pengukuran dengan derau . Ketika data pengukuran yang akan digunakan
untuk menduga tersedia sampai pada saat , dapat dibentuk suatu
pendugaan posteriori, yang dilambangkan dengan . Salah satu cara
harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan pengukuran pada saat , yaitu
Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia
sebelum waktu (data pada saat tidak tersedia), maka bisa dibentuk
pendugaan priori. Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung
nilai harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum
waktu , tidak termasuk pengukuran pada saat , yaitu
Perhatikan bahwa baik maupun keduanya digunakan untuk
menduga hal yang sama, yaitu . Meskipun demikian, merupakan
pendugaan untuk sebelum diperhitungkan, sedangkan menduga
setelah diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan adalah
pendugaan yang lebih baik dari karena informasi yang digunakan pada