Definisi 4.2 (Umble, 2015 hal. 157) Misalkan � adalah grup krstalografi dengan translasi dasar ��,�� . Diberikan sebarang titik �, misalkan ��(�) =�, ��(�) =�, dan ��(�) =�. Kisi satuan pada � adalah daerah yang dibatasi oleh segiempat ����.
Sebuah kisi satuan dapat memiliki lebih dari satu pusat rotasi lipat-n. Sebuah kisi satuan dikatakan mempunyai orde-� jika mempunyai pusat rotasi lipat-� yang tertinggi. Nilai � yang memenuhi orde tersebut adalah 2, 3, 4, atau 6. Hal ini dikarenakan poligon kongruen yang dapat digunakan hanyalah segitiga, segiempat dan segi enam. Jika sebuah pola tidak mengandung rotasi, tetapi terdapat refleksi dan glide dalam grup simetri tersebut maka kisi satuan harus mempunyai barisan titik titik yang saling sejajar. Hal ini mengakibatkan hanya terdapat 5 tipe kisi satuan yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Kelima kisi tersebut adalah jajar genjang, persegipanjang, belah ketupat, persegi, dan segi enam (yang tersusun dari dua segitiga sama sisi), seperti pada Gambar 4.2.
35
Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan
Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah :
1. Grup �1
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�dan �2 = ��,�, sehingga dapat dituliskan sebagai �1 = {�1�,�2�| �,� ∈
ℤ}. Kisi satuan dalam grup �1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar 4.3.
36
Gambar 4.3 Kisi satuan untuk �1 Contoh untuk grup �1 terdapat pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Contoh motif grup �1 2. Grup �2
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�dan �2 = ��,� dengan arah translasi yang saling berlawanan. Dapat dinyatakan dengan �2 =���,�,��,�,���. Kisi satuan dalam grup �2 sama seperti grup �1 yaitu jajargenjang.
Gambar 4.5 Kisi satuan untuk �2 Contoh untuk pola grup �2 terdapat pada Gambar 4.6.
37
Gambar 4.6 Contoh motif grup �2 3. Grup ��
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,� , �2 = ��,� dan refleksi dengan satu sumbu sehingga dapat dituliskan sebagai �� =�� 1�,�2�,�� |�,� ∈ ℤ,� = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup �� berupa persegi panjang.
Gambar 4.7 Kisi satuan untuk �� Contoh dari grup �� ada pada Gambar 4.8
38 4. Grup ��
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�, �2 =��,�, dan glide sehingga dapat dinyatakan sebagai �� =�� 1�,�2�,�� |�,�,� ∈ ℤ�. . Kisi satuan dalam grup �� berupa persegi panjang.
Gambar 4.9 Kisi satuan untuk �� Contoh dari grup �� ada pada Gambar 4.10.
Gambar 4.10 Contoh motif grup �� 5. Grup ��
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�, �2 = ��,� dan refleksi sehingga dapat dituliskan sebagai �� =�� 1�,�2�,�� |�,� ∈ ℤ,� = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup �� berupa belah ketupat.
39
Gambar 4.11 Kisi satuan untuk �� Contoh dari pola grup �� ada pada Gambar 4.12.
Gambar 4.12 Contoh motif grup �� 6. Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�, �2 =��,�, refleksi terhadap garis horisontal yaitu ���⃖����⃗ , dan refleksi terhadap vertikal yaitu ���⃖�����⃗ sehingga dapat dituliskan sebagai ��� = �� 1�,�2�,�1� �2�|�,� ∈ ℤ,�,�= 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang.
Gambar 4.13 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.14.
40
Gambar 4.14 Contoh motif grup ��� 7. Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 = ��,�, dan refleksi. Translasi yang digunakan adalah translasi dengan arah yang berlawanan, sehingga dapat dituliskan sebagai ���= �� 1�,�2�,�1� �2�|�,� ∈ ℤ,�,�= 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang atau persegi.
Gambar 4.15 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.16.
41 8. Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 = ��,� dan glide ke dua arah, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� =�� 1�,�2�,�� ��|�,�,� ∈ ℤ,� = 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup ��� berupa persegi panjang.
Gambar 4.17 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.18.
Gambar 4.18 Contoh motif grup ��� 9. Grup ���
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,� , �2 = ��,�, glide dan refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai ��� =��� 1�,�2�,�� ��|�,�,� ∈ ℤ,� = 0 atau 1��. Kisi satuan dalam grup ��� berupa belah ketupat.
42
Gambar 4.19 Kisi satuan untuk ��� Contoh dari grup ��� ada pada Gambar 4.20.
Gambar 4.20 Contoh motif grup ��� 10. Grup �4
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 = ��,�, dan rotasi 90° searah perputaran jarum jam, sehingga dapat dituliskan sebagai �4 =�� 1�,�2�,��|�,� ∈ ℤ,�= 0,1,2, atau 3�. Kisi satuan dalam grup �4 berupa persegi.
Gambar 4.21 Kisi satuan untuk �4 Contoh dari grup �4 ada pada Gambar 4.22.
43
Gambar 4.22 Contoh motif grup �4 11. Grup �4�
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,� , �2 = ��,�, rotasi 90° searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan �4�= �� 1�,�2�,�� ��|�,� ∈ ℤ,� = 0,1,2, atau 3,�= 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup �4� berupa persegi.
Gambar 4.23 Kisi satuan untuk �4� Contoh dari grup �4� ada pada Gambar 4.24.
44 12. Grup �4�
Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 = ��,�, rotasi 90° searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai �4�= �� 1�,�2�,�� ��|�,� ∈ ℤ,� = 0,1,2, atau 3,� = 0 atau 1�. Kisi satuan dalam grup �4� berupa persegi.
Gambar 4.25 Kisi satuan untuk �4� Contoh dari grup �4� ada pada Gambar 4.26.
Gambar 4.26 Contoh motif grup �4� 13. Grup �3
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�, �2 = ��,�, dan rotasi 120° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �3 dapat dinyatakan sebagai �3 = �� 1�,�2�,�� |�,� ∈ ℤ ,�= 0,1, atau 2�.
45
Gambar 4.27 Kisi satuan untuk �3 Contoh untuk grup �3 terdapat pada Gambar 4.28.
Gambar 4.28 Contoh motif grup �3
14. Grup �3�1
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 = ��,� , rotasi 120° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �3�1 dapat dinyatakan sebagai �3�1 = �� 1�,�2�,���� |�,� ∈ ℤ ,�= 0,1,���� 2,� = 0 atau 1�.
46
Gambar 4.29 Kisi satuan untuk �3�1 Contoh untuk grup �3�1 ada pada Gambar 4.30.
Gambar 4.30 Contoh motif grup �3�1 15. Grup �31�
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 =��,�, rotasi 120° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �31� dapat dinyatakan sebagai �31�= �� 1�,�2�,���� |�,� ∈ ℤ ,�= 0,1, atau 2,�= 0 atau 1�.
Gambar 4.31 Kisi satuan untuk �31� Contoh untuk grup �31� ada pada Gambar 4.32.
47
Gambar 4.32 Contoh motif grup �31� (Durbin, 1985) 16. Grup �6
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 =��,�, �2 = ��,�, dan rotasi 60° searah perputaran jarum jam, sehingga grup �6 dapat dinyatakan sebagai �6 = �� 1�,�2�,�� |�,� ∈ ℤ ,� = 0,1,2,3,4 atau 5�
Gambar 4.33 Kisi satuan untuk �6 Contoh untuk grup �6 ada pada Gambar 4.34.
48 17. Grup �6�
Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu �1 = ��,�, �2 =��,�, rotasi 60° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup �6� dapat dinyatakan sebagai �6� = �� 1�,�2�,���� |�,� ∈ ℤ ,�= 0,1,2,3,4 atau 5,�= 0 atau 1�.
Gambar 4.35 Kisi satuan untuk �6� Contoh untuk grup �6� ada pada Gambar 4.36.
Gambar 4.36 Contoh motif grup �6� (Gallian, 2006)
Penamaan grup kristalografi tersebut menggunakan penamaan internasional. Untuk keterangan gambar dari tiap tiap kisi dapat dilihat pada tabel berikut.
49
Tabel 4.1 Keterangan kisi satuan Pusat rotasi lipat-2 Pusat rotasi lipat-3 Pusat rotasi lipat-4 Pusat rotasi lipat-6
Untuk memudahkan dalam membedakan setiap pola, maka Tabel 4.2 digunakan untuk mengenali pola pada grup kristalografi.
Tabel 4.2 Klasifikasi grup kristalografi
Jenis Grup Model Kisi Satuan Pusat rotasi lipat-n Refleksi Glide
p1 jjg 1 tidak ada tidak ada
p2 jjg 2 tidak ada tidak ada pm ppj 1 ada tidak ada pg ppj 1 tidak ada ada
cm bkt 1 ada ada
pmm ppj 2 ada tidak ada
pmg ppj 2 ada ada
pgg ppj 2 tidak ada ada
cmm bkt 2 ada ada
50
p4m psg 4 ada ada
p4g psg 4 ada ada
p3 s6 3 tidak ada tidak ada
p3m1 s6 3 ada ada
p31m s6 3 ada ada
p6 s6 6 tidak ada tidak ada
p6m s6 6 ada ada Keterangan : a. jjg : jajargenjang b. bkt : belah ketupat c. ppj : persegi panjang d. psg : persegi e. s6 : segienam