Jika A dan B adalah dua titik, maka segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan yang memuat A dan B, bersama dengan semua titik diantara A dan B.
Definisi 2.5.2 (Moise, 1990: 65)
Sinar didefinisikan sebagai himpunan semua titik C pada garis ⃡ sehingga A tidak diantara B dan C. Sinar juga dapat didefinisikan
Gambar 2.5.1 Segmen Garis
A B
̅̅̅̅ ⃡
A B C D
sebagai gabungan dari (1) segmen ̅̅̅̅ dan (2) himpunan semua titik C sehingga A-B-C. Titik A disebut titik pangkal dari sinar .
Definisi 2.5.3 (Moise, 1990: 65)
Sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang
sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Jika suatu sudut
adalah gabungan dari dan , maka sinar-sinar tersebut disebut sisi dari sudut. Titik A disebut titik sudut. Sudut tersebut disimbolkan dengan
∠ . Catatan ∠ = ∠ . Gambar 2.5.3 Sudut A B C A B
Definisi 2.5.4 (Moise, 1990: 65)
Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
disebut segitiga.
Segmen ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, dan ̅̅̅̅ disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan
∆ABC.
Sudut-sudut ∆ adalah ∠ , ∠ , dan ∠ . Tetapi ∆ tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar
dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka
gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut.
A B
C
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Teorema 2.5.1 (Moise, 1990: 66)
Diberikan titik A dan titik B sembarang titik yang berbeda, maka ̅̅̅̅ =
̅̅̅̅. Bukti :
Diketahui A dan B sembarang titik berbeda. Dari Definisi 2.5.1, segmen
̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan titik B, bersama dengan semua titik X, sehingga A-X-B. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B}
Segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik B dan titik A, bersama dengan semua titik X, sehingga B-X-A. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A}
Teorema 2.4.1 menjamin bahwa untuk setiap titik X, jika A-X-B maka B-
X-A. Sehingga,
̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A}
Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan A
B C
= {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B}
= ̅̅̅̅ □
Teorema 2.5.2
Jika A-B-C, maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
Bukti :
Dari Definisi 2.5.1, ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan C, bersama dengan semua titik di antara A dan C. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = { A C Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga A-Z-C}.
Diketahui A-B-C. Dari Definisi 2.4.1, A, B, dan C adalah titik-titik yang
kolinear. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik X dan Y sehingga A-X-B
dan B-Y-C.
̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B}
̅̅̅̅ = {B C Y′ | Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C} Diketahui A-B-C dan A-X-B, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6
didapat A-X-C untuk setiap X.
Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2
A B C
Diketahui A-B-C dan B-Y-C, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6
didapat A-Y-C untuk setiap Y.
Oleh karena itu setiap anggota dari X′ dan Y′ berada diantara A dan C, sehingga X′ dan Y′ merupakan anggota dari Z′. Sehingga Z′ = {X′ Y′ B | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C }.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = { A B C X′ Y′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C }
= { A C Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga A- Z-C}
= ̅̅̅̅ □
Teorema 2.5.3 (Moise, 1990: 66)
Jika C adalah titik pada , C ≠ A, maka = .
Bukti :
Dari Definisi 2.5.2, sinar adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ Q′ |
Jika B = C, maka dan adalah himpunan yang sama, sehingga =
. Selanjutnya akan diambil B ≠ C. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik C sehingga A-C-B dan A-B-C.
Untuk kondisi A-C-B, dari Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sinar
adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik R sehingga A-C-R. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ R′ | R′ adalah himpunan semua titik R sehingga A-C-R}.
Ambil titik S sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik S memenuhi A-C- S, sehingga ̅̅̅̅ − .
Untuk setiap Q Q′, A-C-B dan A-B-Q, maka A-C-Q (Teorema 2.4.6), sehingga Q′ .
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
A B Q
Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3
Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3
Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q}
= {̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A- B-Q}
=
Untuk kondisi A-B-C, dengan Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sinar = {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}.
Ambil U sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik U memenuhi A-B-U, maka setiap titik U Q′. Setiap titik T memenuhi A-B-T, maka setiap titik T Q′.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}
= {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}
Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3
=
Telah ditunjukan bahwa dimanapun letak C pada , dengan A ≠ C, maka
= . □
Teorema 2.5.4 (Moise, 1990: 66)
Jika dan adalah titik-titik pada dan , dengan , ≠ , maka
∠ = ∠ .
Bukti :
pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat =
.
pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat =
.
A
B
C Gambar 2.5.10 Sudut Yang Sama
Berdasarkan Definisi 2.5.3, sudut adalah gabungan dari dua sinar yang
memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis
yang sama. Dapat ditulis
∠ = { | = A} = { | = A}
=∠ □
Teorema 2.5.5 (Moise, 1990: 66)
Jika ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, maka titik A, B sama dengan titik C, D.
Bukti :
Andaikan A, B tidak sama dengan titik C, D. Ambil a dan b sebagai
koordinat titik A dan B, sehingga a < b. Ambil c dan d sebagai koordinat
titik C dan D, sehingga c < d. Andaikan A, B, C dan D terletak pada garis
l.
Berikut akan diberikan kemungkinan letak a, b, c, dan d.
(1) a < b < c < d
(2) a < c < b < d
(3) a < c < d < b
(5) c < d < a < b
Gambar berikut merepresentasikan kemungkinan-kemungkinan di atas.
Dari kemungkinan (1), (2), (3), (4), dan (5) terlihat bahwa anggota
himpunan segmen ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ tidak sama. Sebagai contoh pada kondisi (3) a < c < d < b. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik X dengan koordinat x
sehingga A-X-C. Karena a < c maka a < x < c.
Dari Definisi 2.5.1 segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan B bersama dengan semua titik di antara titik A dan B. Titik X berada di
antara A dan B karena a < x < b, sehingga X ̅̅̅̅. Titik X ̅̅̅̅ karena x < c < d, yang berarti X tidak di antara C dan D. Karena ada titik X
sehingga X ̅̅̅̅ dan X ̅̅̅̅, maka ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, sehingga A, B sama dengan titik C, D.
b a c d a c b d (1) (2) b a c d c a d b (3) (4) b a c d (5)
Untuk kasus A, B pada garis l dan C, D pada garis k, dengan l ≠k. Ada tiga kemungkinan posisi segmen ̅̅̅̅ terhadap segmen ̅̅̅̅ yang akan dipaparkan sebagai berikut :
(1) l dan k sejajar, sehingga segmen ̅̅̅̅ sejajar dengan segmen ̅̅̅̅. (2) L dan k berpotongan, segmen ̅̅̅̅ tidak memotong segmen ̅̅̅̅. (3) L dan k berpotongan, segmen ̅̅̅̅ memotong segmen ̅̅̅̅.
Untuk kasus (1) dan (2), A, B tidak kolinear dengan C, D sehingga
setiap titik di antara A dan B tidak di antara C dan D. Jadi ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Untuk kasus (3) ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ berpotongan disuatu titik. Andaikan titik potong tersebut adalah titik X. Maka A-X-B dan C-X-D. Berdasarkan
Teorema 2.4.4 ada titik Y sehingga A-Y-X. Telah didapat A-Y-X dan A-
A B C D (2) A B C D (1) A B C D (3)
X-B, berdasarkan Teorema 2.4.6, maka didapat A-Y-B. Titik Y di antara
A dan B, tetapi titik Y tidak di antara C dan D karena C, D, dan Y tidak
kolinear. Ada titik Y sehingga Y ̅̅̅̅ dan Y ̅̅̅̅, maka ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅.
Telah ditunjukan bahwa untuk kasus (1), (2), dan (3) didapat ̅̅̅̅ ≠ ̅̅̅̅. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, sehingga A, B tidak sama dengan C, D. □
2.6 Kekonvekan dan Pemisahan