3. MODEL LINEAR CAMPURAN
3.1. Sejarah Komponen Ragam
Sejarah perkembangan komponen ragam diawali pada model dengan satu faktor. Formulasi pertama dari model efek acak dikemukakan oleh Airy pada tahun 1861. Airy melakukan pengamatan dengan teleskop pada fenomena yang
sama untuk a malam dengan ni pengamatan pada malam-i. Airy menduga ragam
galat untuk malam-i yang dinotasikan dengan 2
,i
σ , dan menghitung rataannya
untuk untuk menduga 2
σ . Fakta ini juga menunjukkan bahwa ahli astronomi
pada masa itu telah mengenal konsep derajat bebas. Pengguna kedua model efek acak adalah Chauvenet pada tahun 1863 yang menurunkan formula untuk ragam
rataan umum var
( )
y.. , meskipun tanpa menuliskan modelnya (Searle et al, 1992).Perkembangan komponen ragam antara tahun 1900 sampai 1939 dipelopori oleh Fisher. Kontribusi besar Fisher (1925) pada model komponen ragam adalah metode analisis ragam (selanjutnya disebut metode ANOVA) yaitu menyamakan jumlah kuadrat dari analisis ragam dengan nilai harapannya (sesuai model acak atau campuran), sehingga menghasilkan satu gugus persamaan linear dalam komponen ragam yang akan diduga. Gagasan ini berasal dari pemakaian metode ANOVA untuk menurunkan penduga korelasi intra-kelas pada rancangan acak lengkap. Meskipun Fisher memperluas metode ANOVA satu faktor untuk data tak berimbang ke dalam model dua faktor dengan interaksi dan model-model
yang kompleks, akan tetapi dalam papernya tidak pernah menggunakan operator
E atau kalimat expected value untuk pendugaan komponen ragam (Searle et al,
1992). Fisher (1935) menggunakan istilah component of variation yang dirangkai
dalam istilah error component pada paper-nya, yang tanpa diragukan merupakan
asal pemakaian dari istilah variance component. Istilah komponen ragam pertama
kali digunakan oleh Daniels (1939).
Tippett (1931) menjelaskan metode ANOVA untuk pendugaan komponen ragam pada data berimbang dan perluasannya pada rancangan dua faktor tanpa interaksi pada model acak. Tippett mengabaikan kemungkinan efek interaksi pada model linear, sedangkan Fisher (1925) tidak hanya menggunakan istilah interaksi tetapi juga menjelaskan interaksi antara dua faktor A dan B. Tippett pertama kali
34
menampilkan tabel ANOVA dengan nilai harapan dari kuadrat tengah (Sahai dan Ageel, 2000). Komponen ragam untuk data tak berimbang pada model acak satu faktor dikemukakan oleh Cohran (1939).
Perkembangan dari beragam model sangat intensif muncul antara 1940 sampai 1949. Eisenhart (1947) pertama kali menggunakan istilah Model I dan Model II untuk menyatakan model efek tetap dan model efek acak, dan juga memperhatikan kemungkinan dari model campuran. Sebelumnya Daniel (1939) dan Crump (1946) membahas tentang model acak, sedangkan Jackson (1939) membahas model campuran dua faktor tanpa interaksi. Crump juga menggunakan asumsi normal untuk pendugaan dengan metode ML. Kemudian diikuti Satterthwaite (1946) yang mengemukakan pendekatan pendugaan komponen ragam dengan sebaran contoh. Sedangkan Wald (1941) mengemukakan selang kepercayaan untuk ratio komponen ragam pada rancangan satu dan dua faktor pada data tak berimbang.
Tahun 1950 sampai 1969 merupakan perkembangan terbesar dari metode pendugaan komponen ragam yang diawali dengan perluasan metode yg sudah ada dan diakhiri dengan pengukuhan metode baru berdasarkan ML atau kriteria norma minimum. Diawali Anderson dan Bancroft (1952) yang membahas komponen ragam pada data berimbang untuk model campuran dan model acak, data tak berimbang pada rancangan tersarang dan kelompok taklengkap. Dua tahun kemudian Bennett dan Franklin (1954) membahas nilai harapan kuadrat tengah dalam istilah komponen ragam.
Henderson (1953) mengemukakan tentang pendugaan komponen ragam
pada data tak berimbang. Paper ini dimotivasi oleh pekerjaan penulisnya yang
berhubungan dengan analisis statistika pada perusahaan susu sapi. Paper ini
mempresentasikan tiga metode yang berbeda dari penggunaan data tak berimbang pada model acak atau model campuran dengan sejumlah klasifikasi silang dan atau tersarang. Ketiga metode ini diadaptasi dari metode ANOVA dengan menyamaan (untuk data berimbang) jumlah kuadrat dengan nilai harapannya dan dikenal dengan Metode Henderson I, II, dan III.
Pada tahun 1950-1969 banyak publikasi tentang sifat-sifat penduga dari metode ANOVA. Kelemahan penduga komponen ragam dengan metode ANOVA
35
pelan-pelan mulai disingkap. Hal ini tidak hanya karena metode Henderson I menghasilkan satu prosedur pendugaan komponen ragam untuk data tak berimbang yang sebelumnya tidak ada, tetapi juga ditunjang oleh kemajuan komputasi pada era awal komputer Diawali oleh Crump (1951) yang membahas metode ML untuk klasifikasi satu arah pada data berimbang dan tak berimbang, dan mendapatkan persamaan yang diselesaikan secara iteratif. Herbach (1959) menurunkan secara eksplisit penduga ML untuk model data berimbang. Kemudian diikuti Corbeil dan Searle (1976) yang menyarikan penduga ML pada sejumlah kasus data berimbang.
Hartley dan Rao (1967) mengemukakan metode ML untuk model campuran dan model acak pada data berimbang atau tak berimbang. Kedatangan komputer dan perkembangan paket-paket komputasi sangat membantu dalam mengatasi permasalahan komputasi seperti prosedur iteratif metode ML. Miller (1973) meneliti sifat-sifat asimtotik dari penduga ML. Dengan demikian selang waktu antara penemuan metode ML oleh Fisher tahun 1925 dengan penerapannya pada pendugaan komponen ragam sekitar 40 tahun.
Thompson (1962) juga mempelajari penduga ML dan mengenalkan gagasan maksimisasi pada bagian ML yang invarian terhadap parameter lokasi yaitu pada efek tetap dan dikenal dengan metode REML. Metode ini kemudian diterapkan untuk data tak berimbang oleh Patterson dan Thompson (1971). Kesulitan komputasi pada metode REML sama seperti pada metode ML, karena menurut Harville (1977) metode REML tidak lebih efektif dari metode ML. Hal yang menarik adalah solusi REML untuk data berimbang identik dengan penduga metode ANOVA. Berbeda dengan metode ML, metode REML memperhitungkan derajat bebas yang berhubungan dengan efek tetap.
Metode lain dikemukakan oleh Rao (1972) yang dikenal dengan MINQUE (minimum norm quadratic unbiased). Metode ini tidak memerlukan asumsi sebaran bagi efek acak dan tidak memerlukan iterasi. Dari beberapa metode pendugaan komponen ragam, metode ML dan REML lebih disukai khususnya pada data berimbang.