BAB IV PENUTUP
4.2 Saran
Pada skripsi ini model penyebaran penyakit diabetes mellitus hanya terbatas di wilayah Kota Yogyakarta tahun 2014. Oleh sebab itu, untuk penelitian selanjutnya bisa dilakukan pengambilan data pada wilayah lainnya agar dapat mengetahui penyebaran penyakit diabetes mellitus di wilayah lainnya.
Selain itu dapat dibahas pula untuk pengembangan model dengan laju rekrutmen sama dengan laju kematian alami dan analisis kestabilan global model.
76
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi kelima. Jakarta: Erlangga. Badan Pusat Statistik. 2013. Proyeksi Penduduk Indonesia 2010-2035. Jakarta:
Badan Pusat Statistik.
Boutayeb A, Twizell E H, Achouayb K, & Chetouani A. 2006. A Non-Linear Population Model of Diabetes Mellitus. J. Appl. Math. & Computing. 18(1-2):128.
Depkes RI. 2008. Diabetes Mellitus Ancaman Umat Manusia di Dunia. Jakarta: Depkes RI.
Diekmann, O. & Heesterbeek, J.A.P. 2000. Mathematical Epidemiology of Infectioun Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation. New York: Wiley.
Dinas Kesehatan. 2015. Profil Kesehatan Tahun 2015 Kota Yogyakarta.
Driessche, P. Van Den & James Watmough. 2002. Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemik Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission. Mathematical Bioscience. 180. hlm 29-48.
Hardiman. 2009. Rapid acting insulin analogue merupakan satu langkah lebih maju dalam terapi DM tipe-2 dalam kondisi gawat darurat maupun untuk regulasi glukosa darah. Simposium. Semarang: Badan Penerbit.
International Diabetes Federation. 2015. IDF Diabetes Atlas Seventh Edition 2015. Diunduh pada tanggal 20 Mei 2017 dari www.oedg.at/pdf/1606_IDF_Atlas_2015_UK.pdf.
Julia Ulfah, M. Kharis, & Moch Chotim. 2014. Model Penyakit untuk Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan. Unnes Journal of Mathematics. Semarang: UNNES.
Makrogou A, Li J, & Kuang Y. 2006. Mathematical Models and Software Tools for The Glucose-Insulin Regulatory System and Diabetes. Applied Numerical Mathematics. 56 :560.
Olsder, G. J & Woude, J. W. van der. 2004. Mathematical System Theory. Netherland: VVSD.
Perko, Lawrence. 2000. Differential Equations and Dynamical System: Third Edition. New York: Springer-Verlag, New York.
77
Riset Kesehatan Dasar. 2008. Laporan Nasional 2007. Jakarta: Departemen Kesehatan RI. Diunduh pada tanggal 22 Mei 2017 dari https://www.k4health.org.
Ross, Shepley. L. 1984. Introduction to Ordinary Differential Equation. John Wiley and Sons: USA.
Subroto, M. Ahkam. 2006. Ramuan Herbal untuk Diabetes Mellitus. Depok: Penebar Swadaya.
Suyono, S. 2011. Patofisiologi Diabetes Melitus. Jakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia.
Widowati & Sutimin. 2007. Pemodelan Matematika. Semarang: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro.
Wiggins, Stephen. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos: Second Edition. New York: Springer.
78 LAMPIRAN
Lampiran 1. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
>
79
Lampiran 2. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
>
80
Lampiran 3. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
>
>
81
Lampiran 4. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
>
82
Lampiran 5. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
dan
>
i
ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT
(SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS
TUGAS AKHIR SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh : Hesti Endah Lestari
NIM 13305144002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ii
iii
iv
PERNYATAAN
Yang bertanda tangan dibawah ini saya : Nama : Hesti Endah Lestari NIM : 13305144002 Program Studi : Matematika
Judul TAS : ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT
(SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA
PENYAKIT DIABETES MELLITUS
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peratuan yang berlaku.
Yogyakarta, 1 Juni 2017 Yang menyatakan,
Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002
v MOTTO
“Man Jadda Wa Jadda”
Barang siapa yang bersungguh-sungguh, akan mendapatkannya.
“Siapa yang keluar mencari ilmu dan ia berniat akan mengamalkan dengan ilmunya, niscaya ilmunya memberi manfaat akan dia, walau hanya sedikit ilmu
yang dicapainya”
Abdul Hasan Al-Waa’izh
“Dan barang siapa yang menempuh suatu perjalanan untuk mencari suatu ilmu, maka Allah akan mudahkan baginya suatu jalan menuju Surga”
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tulisan sederhana ini saya persembahkan untuk Kedua orangtua saya, Bapak Sutrisno dan Mamak Nariyati, yang senantiasa memberikan dukungan, nasehat, dan kasih sayang yang tak terkira serta naungan doa yang selalu mengalir tulus tiada hentinya.
Teruntuk laki-laki istimewa kedua Rendra Permana Putra yang selalu mengisi hati saya, canda tawa yang sangat menyebalkan, memberikan semangat super, dan dukungan yang sangat berkesan.
Teruntuk rekan-rekan Matematika E 2013 yang sangat istimewa, terimakasih kebersamaan yang sangat berharga.
Semua sahabat terbaik dan teristimewa, terimakasih untuk waktu-waktu berharga ketika bersama kalian, semangat dan dukungan, dan terimakasih untuk indahnya persahabatan yang kita jalin.
vii
ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS
Oleh:
Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002
ABSTRAK
Diabetes mellitus merupakan penyakit tidak menular mematikan yang penyebaran berasal dari dalam diri setiap individu yang gaya hidupnya pasif dan tidak sehat serta memiliki pola makan yang tidak baik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan model matematika masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Selanjutnya dianalisa kapan penyakit akan menghilang atau tetap ada dalam populasi.
Tahapan analisis model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan yaitu menjelaskan pembentukan model SEIIT (Susceptible-Exposed-ILL-ILL with treatment), dilanjutkan dengan menentukan titik ekuilibrium dan nilai bilangan reproduksi dasar , menganalisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan Maple 13 berdasarkan data dari Kota Yogyakarta tahun 2014.
Dari hasil analisa dapat disimpulkan bahwa penyebaran penyakit diabetes mellitus dipengaruhi oleh laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten, laju rekrutmen, dan laju kematian alami, dengan kata lain peningkatan laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan hanya mempengaruhi perilaku solusi dalam menuju titik ekuilibrium endemik dan tidak berpengaruh pada tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus. Selanjutnya pada kasus di Kota Yogyakarta, populasi yang terjangkit diabetes mellitus akan semakin berkurang atau bahkan menghilang jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten kurang dari
, sebaliknya penyakit diabetes mellitus akan tetap ada dalam populasi
jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten lebih dari Berdasarkan simulasi yang dibentuk dari model SEIIT, diperoleh kesimpulan jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten semakin besar, maka tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus semakin besar.
viii
KATA PENGANTAR
Assalamu‟alaikum wr. wb.
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul “Analisis Kestabilan Model SEIIT (Susceptible-Exposed-ILL-ILL with Treatment) pada Penyakit Diabetes Mellitus”
Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) dan dapat terselesaikan tidak lepas dari dukungan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu:
1. Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
2. Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran dalam urusan akademik.
3. Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang selalu memberikan bantuan dan fasilitas sampai terselesainya tugas akhir ini.
4. Dwi Lestari, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Skripsi dan Dosen
Pembimbing Akademik dan Husna „Arifah, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah memberikan nasehat, pengarahan, saran,
ix
bimbingan, dan masukan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir ini.
5. Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung. 6. Bapak, ibu, dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan
dan doa untuk penulis.
7. Teman-teman, sahabat-sahabat, dan semua pihak yang telah memberikan motivasi dan membantu secara langsung maupun tidak langsung sehingga dapat memperlancar proses penyusunan tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa dengan keterbatasan kemampuan sehingga penulisan tugas akhir ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharap kritik dan saran yang dapat membangun tugas akhir ini agar menjadi lebih baik.
Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat untuk setiap orang yang membacanya. Aamiin.
Wassalamu‟alaikum wr. wb.
Yogyakarta, 1 Juni 2017 Penulis,
Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002
x DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
LEMBAR PERSETUJUAN... ii
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
PERNYATAAN ... iii
MOTTO ... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi
ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiv
DAFTAR SIMBOL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Identifikasi Masalah ... 6
1.3 Pembatasan Masalah ... 6
1.4 Rumusan Masalah ... 6
1.5 Tujuan Penelitian ... 7
1.6 Manfaat Penelitian ... 7
BAB II LANDASAN TEORI ... 9
2.1 Pemodelan Matematika ... 9
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen... 11
2.3 Persamaan Diferensial ... 14
2.4 Sistem Persamaan Diferensial ... 16
2.5 Titik Ekuilibrium ... 18
xi
2.7 Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 24
2.8 Bilangan Reproduksi Dasar ... 32
2.9 Kriteria Routh-Hurwitz ... 36
BAB III PEMBAHASAN ... 40
3.1 Perumusan Masalah Nyata ... 40
3.2 Formulasi Model Matematika ... 42
3.3 Titik Ekuilibrium ... 47
3.4 Bilangan Reproduksi Dasar ... 52
3.5 Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 54
3.6 Simulasi Model ... 64 BAB IV PENUTUP ... 73 4.1 Kesimpulan ... 73 4.2 Saran ... 75 DAFTAR PUSTAKA ... 76 LAMPIRAN ... 78
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Tabel Routh-Hurwitz ... 36 Tabel 2. Variabel dan Parameter ... 43
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Proses Pemodelan Matematika... 10
Gambar 2. Ilustrasi Kestabilan ... 25
Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan... 46
Gambar 4. Grafik Simulasi untuk dengan ... 66
Gambar 5. Grafik Simulasi untuk dengan ... 67
Gambar 6. Grafik Simulasi untuk dengan ... 68
Gambar 7. Grafik Simulasi untuk dengan ... 69
Gambar 8. Grafik Simulasi untuk dengan dan ... 71
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
... 78
Lampiran 2. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
... 79
Lampiran 3. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
... 80
Lampiran 4. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
... 81
Lampiran 5. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan
xv
DAFTAR SIMBOL
Jumlah individu susceptible
Jumlah individu exposed
Jumlah individu sakit
Jumlah individu sakit dengan perawatan
Jumlah individu dalam populasi Nilai eigen
Matriks identitas
Himpunan bilangan real
Kondisi awal
̇ Turunan terhadap Himpunan terbuka
Himpunan bagian atau sama dengan Elemen/anggota
̅ Titik ekuilibrium
̇ Turunan terhadap
( ̅ ) Matriks Jacobian di ̅
Himpunan bilangan real berdimensi Himpunan bilangan real berdimensi
Bagian real dari nilai eigen ke Bilangan reproduksi dasar
xvi Bilangan asli
Nilai eigen dominan dari matriks Laju rekrutmen pada populasi Laju kematian alami
Laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten
Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan
Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit
dengan adanya perawatan
Laju kematian akibat penyakit tanpa perawatan
Laju kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan Titik ekuilibrium bebas penyakit