Simulasi Pertama

BAB III PEMBAHASAN

3.3 Simulasi Interpretasi Hasil

3.3.1 Simulasi Pertama

berarti bahwa kesalahan pemotongan mempunyai orde ∆𝑡3, ∆𝑥3, ∆𝑦3 atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat tiga.

Jika ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑡 sangat kecil, maka jumlah dari limit persamaan (3.35) akan semakin kecil, karena berapapun nilai 𝑢_𝑡𝑡, 𝑢_𝑥𝑥, 𝑢_𝑦𝑦 jika dikalikan dengan nilai dari ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑡 akan ikut mengecil. Sehingga truncattion error akan menuju nol untuk ∆𝑥 → 0, ∆𝑦 → 0, ∆𝑡 → 0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode yang digunakan adalah konsisten.

3.3 Simulasi Interpretasi Hasil

3.3.1 Simulasi Pertama

Pada simulasi pertama ini akan dilakukan proses perhitungan solusi numerik persamaan gelombang dua dimensi dengan metode beda hingga skema eksplisit yang telah didapatkan pada persamaan (3.6) secara manual. Selanjutnya dari proses perhitungan manual tersebut akan dibandingkan nilai solusi numeriknya dengan solusi analitiknya. Karena sebelumnya belum pernah diketahui solusi eksak dari persamaan gelombang dua dimensi menggunakan kondisi batas Neumann, maka pada penelitian ini akan digunakan solusi alternatifnya dimana solusi eksak persamaan gelombang dua dimensi pada persamaan (1.1) sebagai berikut:

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑡2 (3.36) Langkah selanjutnya solusi numerik persamaan gelombang dua dimensi tersebut akan diinterpretasikan hasil perhitungan yang telah didapatkan ke dalam grafik solusi untuk 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡).

Setelah diperoleh syarat kestabilan dari skema yang digunakan, maka dapat dipilih nilai dari ∆𝑥, ∆𝑦, dan ∆𝑡 yang memenuhi syarat kestabilan yang akan digunakan dalam simulasi Persamaan yang digunakan untuk simulasi adalah persamaan (1.1) berikut : 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 = 𝑐2 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 +^𝜕 2𝑢 𝜕𝑦2

yang terletak pada domain 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 dan 0 < 𝑡 ≤ 0.5 dengan kondisi awal sebagai berikut :

𝑢 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑥2+ 𝑦2, pada 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 dan kecepatan awal

𝜕𝑢

𝜕𝑡 𝑥, 𝑦, 0 = 0, pada 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1 serta kondisi batas sebagai berikut :

𝜕𝑢 𝜕𝑥 0, 𝑦, 𝑡 = 0, pada 0 < 𝑦 < 1, 0 < 𝑡 ≤ 0.5 𝜕𝑢 𝜕𝑥 1, 𝑦, 𝑡 = 2, pada 0 < 𝑦 < 1, 0 < 𝑡 ≤ 0.5 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥, 0, 𝑡 = 0, pada 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 ≤ 0.5 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥, 1, 𝑡 = 2, pada 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 ≤ 0.5 Kemudian untuk menghitung nilai-nilai diskrit 𝑢_𝑖,𝑗𝑛+1 dari persamaan (3.6) akan dipilih nilai 𝑐 = 1, ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑦 = 1 dan ∆𝑡 = 0.25, pemilihan nilai ∆𝑥, ∆𝑦, dan ∆𝑡 yang cukup besar ini dimaksudkan agar mempermudah mencari solusi numerik secara manual yang akan dilakukan secara bertahap. Selanjunya dari ∆𝑥, ∆𝑦, dan ∆𝑡 tersebut didiskritkan sehingga diperoleh nilai 𝑥 = {0,0.25,0.5,1}, 𝑦 = {0,0.5,1}, dan 𝑡 = {0,0.125,0.25} yang mana nilai-nilai tersebut telah

36 memenuhi syarat kestabilan dimana ^{𝑐2∆𝑡2}

∆𝑥2 +^𝑐_∆𝑦^2∆𝑡₂² =¹²_0.5^0.25₂²+^120.25₁₂ ² = 0.3125 ≤ 1.

Selanjutnya penyelesaian numerik persamaan gelombang dua dimensi dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit CTCS dengan 𝑠 =^𝑐_∆𝑥^2∆𝑡₂² =¹²_0.5^0.25₂² = 0.25 dan 𝑝^𝑐_∆𝑦^2∆𝑡₂² =^120.25₁₂ ² = 0.0625 akan dilakukan langkah-langkah perhitungan manualnya sebagai berikut :

1. Untuk 𝑡 = 0 berdasarkan kondisi awal pada persamaan (3.7) didapatkan hasil perhitungan yang ditunjukkan pada Tabel (3.1) berikut:

Tabel 3.1 Nilai 𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑗, 0) saat 𝑛 = 1

𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0) _{𝑦1 = 0} 𝑦₁ = 0.5 _{𝑦3 = 1} 𝑥₁ = 0 0 0.2500 _1.0000 𝑥₂ = 0.25 0.0625 0.3125 1.0625 𝑥₃ = 0.5 0.2500 0.5000 _1.2500 𝑥₄ = 0.75 0.5625 0.8125 _1.5625 𝑥₅ = 1 1.0000 0.1250 _2.0000

2. Untuk 𝑡 = 0.25 , solusi 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.25) yang akan dicari dapat dituliskan dalam tabel solusi berikut:

Tabel 3.2 Nilai 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.25) saat 𝑛 = 2 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗0.25) _{𝑦1 = 0} 𝑦₂ = 0.5 _{𝑦3 = 1} 𝑥₁ = 0 𝑢_1,12 𝑢_1,22 𝑢_1,32 𝑥₂ = 0.25 𝑢_2,12 𝑢_2,22 𝑢_2,32 𝑥₃ = 0.5 𝑢_3,12 𝑢_3,22 𝑢_3,32 𝑥₄ = 0.75 𝑢_4,12 𝑢_4,22 𝑢_4,32 𝑥₅ = 1 𝑢_5,12 𝑢_5,22 𝑢_5,32 Selanjutnya nilai 𝑢_1,12 , 𝑢_1,22 , 𝑢2_1,3, 𝑢_2,12 , 𝑢_2,22 , 𝑢_2,32 , 𝑢_3,12 , 𝑢_3,22 , 𝑢_3,32 , 𝑢_4,12 , 𝑢_4,22 , 𝑢_4,32 , 𝑢_5,12 , 𝑢_5,22 , dan 𝑢_5,32 yang ditunjukkan pada Tabel (3.2) diatas akan dicari berdasarkan persamaan (3.6) dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_1,12 = −𝑢_1,10 + 2𝑢_1,11 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,11 + 𝑢_0,11

+0.0625 𝑢_1,21 + 𝑢_1,01

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_1,10 = 𝑢_1,12 , selanjutnya dari kondisi batas pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_0,11 = 𝑢_2,11 , dan dari kondisi batas kanan persmaan (3.11) diperoleh, 𝑢_1,01 = 𝑢_1,21 sehingga 𝑢_1,12 menjadi 𝑢_1,12 = −𝑢1,1⁰ + 2𝑢1,1¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_2,11 + 𝑢2,1¹ + 0.0625 𝑢1,2¹ + 𝑢1,2¹ 2𝑢_1,12 = 2𝑢_1,11 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_2,11 + 0.0625 2 × 𝑢_1,21 𝑢_1,12 = 2 0 0.6875 + 0.25 2 × 0.0625 + 0.0625 2 × 0.25 2 = 0.03125

b. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 2 maka persmaan (3.6) menjadi 𝑢_1,22 = −𝑢_1,20 + 2𝑢_1,21 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,21 + 𝑢_0,21

+0.0625 𝑢_1,31 + 𝑢_1,11

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_1,20 = 𝑢_1,22 , dan dari kondisi batas persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_0,21 = 𝑢_2,21 , sehingga 𝑢_1,21 menjadi 𝑢_1,22 = −𝑢_1,22 + 2𝑢_1,21 0.6875 + 0.25 𝑢_2,21 + 𝑢_2,21 + 0.0625 𝑢_1,11 + 𝑢_1,31 2𝑢_1,22 = 2𝑢_1,21 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢1_2,2 + 0.0625 𝑢_1,11 +𝑢_1,31 𝑢_1,22 = 2 0.25 0.6875 + 0.25 2 × 0.3125 + 0.0625 0 + 1 2 = 0.28125

38 c. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 3 maka persmaan (3.6) menjadi

𝑢_1,32 = −𝑢_1,30 + 2𝑢_1,31 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,31 + 𝑢_0,31 +0.0625 𝑢_1,41 + 𝑢_1,21

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_1,30 = 𝑢_1,32 , selanjutnya dari kondisi batas pada persamaan (3.9) dipeoleh 𝑢_0,31 = 𝑢_2,31 , serta dari kondisi batas pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_1,41 =𝑢_1,2¹ + 4∆y sehingga 𝑢_1,32 menjadi

𝑢_1,32 = −𝑢_1,30 +2𝑢¹1,3 0.6875 + 0.25 𝑢_2,31 + 𝑢_2,31 + 0.0625 𝑢_1,21 + 4∆y+ 𝑢_1,21 2𝑢_1,32 = 2𝑢_1,31 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_2,31 + 0.0625 2 × 𝑢_1,21 + 4∆y 𝑢_1,32 = 2 1 0.6875 + 0.25 2 × 1.0625 + 0.0625 2 × 0.25 + 4 × 0.5 2 = 1.03125

d. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 1 maka persmaan (3.6) menjadi 𝑢₂₁2 = −𝑢_2,10 + 2𝑢_2,11 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_3,11 + 𝑢_1,11

+0.0625 𝑢_2,21 + 𝑢_2,01

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_2,10 = 𝑢_2,12 , dan dari kondisi batas kanan persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_2,01 = 𝑢_2,21 sehingga 𝑢_2,12 menjadi 𝑢_2,12 = −𝑢2,1² + 2𝑢2,1¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_3,11 + 𝑢1,1¹ + 0.0625 𝑢2,2¹ + 𝑢2,2¹ 2𝑢_2,12 = 2𝑢2,1¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_3,11 + 𝑢1,1¹ + 0.0625 2 × 𝑢2,2¹ 𝑢_2,12 = 2 0.0625 0.6875 + 0.25 0.25 + 0 + 0.0625 × 2 × 0.3125 2 = 0.09375

e. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢₂₂2 = −𝑢_2,20 + 2𝑢_2,21 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_3,21 + 𝑢_1,21

+0.0625 𝑢_2,31 + 𝑢_2,11

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_2,20 = 𝑢_2,22 , sehingga 𝑢_2,22 menjadi 𝑢_2,22 = −𝑢_2,22 + 2𝑢_2,21 0.6875 + 0.25 𝑢_3,21 + 𝑢_1,21 + 0.0625 𝑢_2,31 + 𝑢_2,11 2𝑢_2,22 = 2𝑢_2,21 0.6875 + 0.25 𝑢_3,21 + 𝑢_1,21 + 0.0625 𝑢_2,31 + 𝑢_2,11 𝑢_2,22 = 2 0.3125 0.6875 + 0.25 0.5 + 0.25 + 0.0625 1.0625 + 0.0625 2 = 0.34375

f. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢₂₃2 = −𝑢_2,30 + 2𝑢_2,31 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_3,31 + 𝑢_1,31

+0.0625 𝑢_2,41 + 𝑢_2,21

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_2,20 = 𝑢_2,22 , dan dari kondisi batas kiri persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_2,41 = 𝑢_2,21 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_2,32 menjadi 𝑢_2,32 = −𝑢2,3² + 2𝑢2,3¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_3,31 + 𝑢1,3¹ + 0.0625 𝑢2,2¹ + 𝑢2,2¹ + 4∆𝑦 2𝑢_2,32 = 2𝑢2,3¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_3,31 + 𝑢1,3¹ + 0.0625 2 × 𝑢2,2¹ + 4∆𝑦 𝑢_2,32 = 2 1.0625 0.6875 + 0.25 1.25 + 1 + 0.0625 2 × 0.3125 + 4 × 0.5 2 = 1.09375

g. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 1 maka persmaan (3.6) menjadi 𝑢_3,12 = −𝑢_3,10 + 2𝑢_3,11 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,11 + 𝑢_2,11

40 Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) dipeoleh 𝑢_3,10 = 𝑢_3,12 , dan dari kondisi batas kanan persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_3,01 = 𝑢_3,21 sehingga 𝑢_3,12 menjadi 𝑢_3,12 = −𝑢_3,12 + 2𝑢_3,11 0.6875 + 0.25 𝑢_4,11 + 𝑢_2,11 + 0.0625 𝑢_3,21 + 𝑢_3,21 2𝑢_3,12 = 2𝑢3,1¹ 0.6875 + 0.25 𝑢_4,11 + 𝑢2,1¹ + 0.0625 2 × 𝑢3,2¹ 𝑢_3,12 = 2 0.25 0.6875 + 0.25 0.5625 + 0.0625 + 0.0625 2 × 0.5 2 = 0.28125

h. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_3,22 = −𝑢_3,20 + 2𝑢_3,21 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,21 + 𝑢_2,21

+0.0625 𝑢_3,31 + 𝑢_3,11

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) dipeoleh 𝑢_3,20 = 𝑢_3,22 , sehingga 𝑢_3,22 menjadi 𝑢_3,22 = −𝑢_3,22 + 2𝑢_3,21 0.6875 + 0.25 𝑢_4,21 + 𝑢_2,21 + 0.0625 𝑢_3,31 + 𝑢_3,11 2𝑢_3,22 = 2𝑢_3,21 0.6875 + 0.25 𝑢_4,21 + 𝑢_2,21 + 0.0625 𝑢_3,31 + 𝑢_3,11 𝑢_3,22 = 2(0.5) 0.6875 + 0.25 0.8125 + 0.3125 + 0.0625 1.25 + 0.25 2 = 0.53125

i. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_3,32 = −𝑢_3,30 + 2𝑢_3,31 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,31 + 𝑢_3,31

+0.0625 𝑢_3,41 + 𝑢_3,21

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) dipeoleh 𝑢_3,30 = 𝑢_3,32 , selanjutnya dari kondisi batas kiri pada (3.12) diperoleh 𝑢_3,41 = 𝑢_3,21 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_3,32 menjadi

𝑢_3,32 = −𝑢_3,32 + 2𝑢_3,31 0.6875 + 0.25 𝑢_4,31 + 𝑢_2,31 + 0.0625 𝑢_3,21 + 𝑢_3,21 2𝑢_3,32 = 2𝑢_3,31 0.6875 + 0.25 𝑢_4,31 + 𝑢_2,31 + 0.0625 2 × 𝑢_3,21 + 4∆𝑦 𝑢_3,32 = 2 1.25 0.6875 + 0.25 1.5625 + 1.0625 + 0.0625 2 × 0.5 + 2

2 = 1.28125

j. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 4, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_4,12 = −𝑢_4,10 + 2𝑢_4,11 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,11 + 𝑢_3,11

+0.0625 𝑢_4,21 + 𝑢_4,01

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_4,10 = 𝑢_4,12 dan dari kondisi batas kanan pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_4,01 = 𝑢_4,21 sehingga 𝑢_4,12 menjadi 𝑢_4,12 = −𝑢_4,12 + 2𝑢_4,11 0.6875 + 0.25 𝑢_5,11 + 𝑢_3,11 + 0.0625 𝑢_4,21 + 𝑢_4,21 2𝑢_4,12 = 2𝑢_4,11 0.6875 + 0.25 𝑢_5,11 + 𝑢_3,11 + 0.0625 2 × 𝑢_4,21 𝑢_4,12 = 2 0.5625 0.6875 + 0.25 1 + 0.25 + 0.0625 2 × 0.8125 2 = 0.59375

k. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 4, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_4,22 = −𝑢_4,20 + 2𝑢_4,21 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,21 + 𝑢_3,21

+0.0625 𝑢_4,31 + 𝑢_4,11

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_4,20 = 𝑢_4,22 sehingga 𝑢_4,22 menjadi

𝑢_4,22 = −𝑢_4,22 + 2𝑢_4,21 0.6875 + 0.25 𝑢_5,21 + 𝑢_3,21 + 0.0625 𝑢_4,3¹ + 𝑢_4,11 2𝑢_4,22 = 2𝑢_4,21 0.6875 + 0.25 𝑢_5,21 + 𝑢_3,21 + 0.0625 𝑢_4,31 + 𝑢_4,11 𝑢_4,22 = 2 0.8125 0.6875 + 0.25 1.25 + 0.5 + 0.0625 1.5625 + 0.5625

42 = 0.84375

l. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 4, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_4,32 = −𝑢_4,30 + 2𝑢_4,31 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,3¹ + 𝑢_3,31

+0.0625 𝑢_4,41 + 𝑢_4,21

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_4,30 = 𝑢_4,32 , dan dari kondisi batas kiri pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_4,41 = 4∆y sehingga 𝑢_4,32 menjadi 𝑢_4,32 = −𝑢_4,32 + 2𝑢1_4,3 0.6875 + 0.25 𝑢_5,31 + 𝑢_3,31 + 0.0625 𝑢_4,21 + 𝑢_4,21 + 4∆𝑦 2𝑢_4,32 = 2𝑢_4,31 0.6875 + 0.25 𝑢1_5,3+ 𝑢_3,31 + 0.0625 2𝑢_4,21 +4∆𝑦 𝑢_4,32 = 2 1.5625 0.6875 + 0.25 2 + 1.25 + 0.0625 2 × 0.8125 + 4 × 0.5 2 = 1.59375

m. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,12 = −𝑢_5,10 + 2𝑢_5,11 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,11 + 𝑢_4,11

+0.0625 𝑢_5,21 + 𝑢_5,01

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_5,10 = 𝑢_5,12 , selanjutnya dari kondisi batas dari persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,11 = 𝑢_4,11 + 4∆𝑥, dan dari kondisi batas pada persamaan (3.11) diperoleh 𝑢_5,01 = 𝑢_5,21 sehingga 𝑢_5,12 menjadi

𝑢_5,12 = −𝑢_5,1² + 2𝑢_5,1¹ 0.6875 + 0.25 2𝑢_4,11 + 4∆𝑥 + 0.0625 𝑢_5,21 + 𝑢_5,2¹ 2𝑢_5,12 = 2𝑢_5,11 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_4,11 + 4∆𝑥 + 0.0625 2 × 𝑢_5,21 𝑢_5,12 = 2 1 0.6875 + 0.25 2 × 0.5625 + 4 × 0.25 + 0.0625 2 × 1.25

= 1.03125

n. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,22 = −𝑢_5,20 + 2𝑢_5,2¹ 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,21 + 𝑢_4,21

+0.0625 𝑢_5,31 + 𝑢_5,11

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_5,10 = 𝑢_5,12 , dan dari kondisi batas pada persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,21 = 𝑢_4,21 + 4∆𝑥 sehingga 𝑢_5,22 menjadi 𝑢_5,22 = −𝑢_5,22 + 2𝑢_5,21 0.6875 + 0.25 𝑢_4,21 + 𝑢_4,21 + 4∆𝑥 + 0.0625 𝑢_5,3¹ + 𝑢_5,1¹ 2𝑢_5,22 = 2𝑢_5,21 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_4,21 + 4∆𝑥 + 0.0625 𝑢_5,31 + 𝑢_5,11 𝑢_5,22 = 2 1.25 0.6875 + 0.25 2 × 0.8125 + 4 × 0.25 + 0.0625 2 + 1 2 = 1.28125

o. Untuk 𝑛 = 1, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,32 = −𝑢_5,30 + 2𝑢_5,31 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,31 + 𝑢_4,31

+0.0625 𝑢_5,41 + 𝑢_5,21

Berdasarkan kecepatan awal pada persamaan (3.8) diperoleh 𝑢_5,30 = 𝑢_5,32 , dari kondisi batas pada persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,31 = 𝑢_4,31 + 4∆𝑥, dan dari kondisi batas kiri pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_5,41 = 𝑢_5,21 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_5,32 menjadi

𝑢_5,32 = −𝑢_5,32 + 2𝑢1_5,3 0.6875 + 0.25 𝑢_4,31 + 𝑢_4,31 + 4∆𝑥 + 0.0625 𝑢_5,21 + 𝑢_5,21 + 4∆𝑦

44 𝑢_5,12 = 2 2 0.6875 + 0.25 2 × 1.5625 + 1 + 0.0625 2 × 1.25 + 2

2 = 2.0313

Dari perhitungan di atas akan didapatkan hasil hitungan yang ditunjukkan pada Tabel (3.2) berikut:

Tabel 3.3 Nilai 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.125) saat 𝑛 = 2

𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗0.125) _{𝑦1 = 0} 𝑦₂ = 0.5 _{𝑦3 = 1} 𝑥₁ = 0 0.03125 0.28125 1.03125 𝑥₂ = 0.25 0.09375 0.34375 1.09375 𝑥₃ = 0.5 0.28125 0.53125 1.28125 𝑥₄ = 0.75 0.59375 0.84375 1.59375 𝑥₅ = 1 0.96093 1.28125 2.03125

Dengan menggunakan solusi eksak pada persamaan (3.41) maka diketahui nilai dari 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.25) yang ditunjukkan pada Tabel (3.4) berikut:

Tabel 3.4 Solusi Analitik 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.125) saat 𝑛 = 2 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗0.125) _{𝑦1 = 0} 𝑦₂ = 0.5 _{𝑦3 = 1} 𝑥₁ = 0 0.03125 0.28125 1.03125 𝑥₂ = 0.25 0.09375 0.34375 1.09375 𝑥₃ = 0.5 0.28125 0.53125 1.28125 𝑥₄ = 0.75 0.59375 0.84375 1.59375 𝑥₅ = 1 1.03125 1.28125 2.03125

3. Saat 𝑛 = 3, berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh titik-titik diskrit 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 𝑡₃) yang ditunjukkan pada Tabel 3.4 berikut

Tabel 3.5 Nilai 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.5) saat 𝑛 = 3 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.5) 𝑦₁ = −1 𝑦₂ = 0 𝑦₃ = 1 𝑥₁ = −1 𝑢_1,13 𝑢_1,23 𝑢_1,33 𝑥₂ = −0.5 𝑢_2,13 𝑢_2,23 𝑢_2,33 𝑥₃ = 0 𝑢_3,13 𝑢_3,23 𝑢_3,33 𝑥₄ = 0.5 𝑢_4,13 𝑢_4,23 𝑢_4,33 𝑥₅ = 1 𝑢_5,13 𝑢_5,23 𝑢_5,33

Selanjutnya nilai 𝑢_1,13 , 𝑢_1,23 , 𝑢_1,33 , 𝑢_2,13 , 𝑢_2,23 , 𝑢3_2,3, 𝑢_3,13 , 𝑢_3,23 , 𝑢_3,33 , 𝑢_4,13 , 𝑢_4,23 , 𝑢_4,33 , 𝑢_5,13 , 𝑢_5,23 , dan 𝑢_5,33 yang ditunjukkan pada Tabel (3.5) di atas akan dicari berdasarkan persamaan (3.6) yang didapatkan hasil hitungannya sebagai berikut:

a. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_1,13 = −𝑢_1,11 + 2𝑢_1,12 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,12 + 𝑢_0,12

+0.0625 𝑢_1,22 + 𝑢_1,02

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_0,12 = 𝑢_2,12 dan dai persamaan (3.11) diperoleh 𝑢_1,02 = 𝑢_1,22 sehingga 𝑢_1,13 menjadi 𝑢_1,13 = −𝑢_1,11 + 2𝑢1,1² 0.6875 + 0.25 𝑢_2,12 + 𝑢_2,12 + 0.0625 𝑢_1,22 + 𝑢_1,22 𝑢_1,13 = −𝑢_1,11 + 2𝑢2_1,1 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_2,12 + 0.0625 2 × 𝑢_1,22 𝑢_1,12 = −0 + 2 0.03125 0.6875 + 0.25 2 × 0.09372 + 0.0625(2

× 0.28125) = 0.125

b. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_1,23 = −𝑢_1,21 + 2𝑢_1,22 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,22 + 𝑢_0,22

+0.0625 𝑢_1,32 + 𝑢_1,12

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_0,22 = 𝑢_2,22 , sehingga 𝑢_1,23 menjadi

𝑢_1,2³ = −𝑢_1,21 + 2𝑢_1,22 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_2,22 + 0.0625 𝑢_1,32 + 𝑢_1,12 𝑢_1,22 = −0.25 + 2 0.28125 0.6875 + 0.25 2 × 0.34375 + 0.0625

(1.03125 + 0.03125) = 0.3750

46 c. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 1, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi

𝑢_1,33 = −𝑢_1,31 + 2𝑢_1,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_2,32 + 𝑢_0,32 +0.0625 𝑢_1,42 + 𝑢_1,22

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_0,32 = 𝑢_2,32 dan dari persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_1,42 = 𝑢_1,22 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_1,33 menjadi 𝑢_1,33 = −𝑢_1,31 + 2𝑢_1,32 0.6875 + 0.25 𝑢_2,32 + 𝑢_2,32 + 0.0625 𝑢_1,22 + 𝑢_1,22 + 4∆𝑦 𝑢_1,33 = −𝑢_1,31 + 2𝑢²_1,3 0.6875 + 0.25 2 × 𝑢_2,32 + 0.0625 2 𝑢_1,22 + 4∆𝑦 𝑢_1,32 = −1 + 2 1.03125 0.6875 + 0.25 2 × 1.09375 + 0.0625(2 × 0.28125 + 4 × 0.5) = 1.1250

d. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_2,13 = −𝑢_2,11 + 2𝑢_2,12 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_3,12 + 𝑢_1,12

+0.0625 𝑢_2,22 + 𝑢_2,02

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.9) diperoleh 𝑢_2,02 = 𝑢_2,22 sehingga 𝑢_2,13 menjadi

𝑢_2,13 = −𝑢_2,11 + 2𝑢2,1² 0.6875 + 0.25 𝑢_3,12 + 𝑢_1,12 + 0.0625 𝑢_2,22 + 𝑢_2,22 𝑢_2,12 = −0.0625 + 2 0.09375 0.6875 + 0.25 0.28125 + 0.03125

+ 0.0625(0.34375 + 0.34375) = 0.18750

e. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_2,2³ = −𝑢_2,21 + 2𝑢_2,2² 1 − 0.25 − 0.0625 + 0.25 𝑢_3,22 + 𝑢_1,22

𝑢_2,22 = −0.3125 + 2 0.34375 0.6875 + 0.25 0.53125 + 0.28125 + 0.0625(1.09375 + 0.09375)

= 0.43750

f. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 2, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_2,33 = −𝑢_2,31 + 2𝑢_2,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_3,32 + 𝑢_1,32

+0.0625 𝑢_2,42 + 𝑢_2,22

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_2,42 = 𝑢_2,22 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_2,33 menjadi

𝑢_2,33 = _−𝑢2,31 + 2𝑢2,3² 0.6875 + 0.25 𝑢_3,32 + 𝑢1,3² + 0.0625 𝑢2,2² + 𝑢2,2² + 4∆𝑦 𝑢_2,32 = −1.0625 + 2 1.09375 0.6875 + 0.25 1.28125 + 1.03125

+ 0.0625(2 × 0.34375 + 4 × 0.5) = 1.18750

g. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_3,13 = −𝑢_3,11 + 2𝑢_3,12 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,12 + 𝑢_2,12

+0.0625 𝑢_3,22 + 𝑢_3,02

Berdasarkan kondisi batas persamaan (3.11) diperoleh 𝑢_3,02 = 𝑢_3,22 sehingga 𝑢_3,13 menjadi

𝑢_3,13 = −𝑢_3,11 + 2𝑢_3,12 0.6875 + 0.25 𝑢_4,12 + 𝑢_2,12 + 0.0625 𝑢_3,22 + 𝑢_3,22 𝑢_3,12 = −0.25 + 2 0.28125 0.6875 + 0.25 0.59375 + 0.09375

+ 0.0625(0.53125 + 0.53125) = 0.669921

h. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi

48 𝑢_3,22 = −0.5 + 2 0.53125 0.6875 + 0.25 0.84375 + 0.34375

+ 0.0625(1.28125 + 0.28125) = 0.6250

i. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 3, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_3,33 = −𝑢_3,31 + 2𝑢_3,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,32 + 𝑢_2,32

+0.0625 𝑢_3,42 + 𝑢_3,22

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_3,42 = 𝑢_3,22 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_3,33 menjadi

𝑢_3,33 = −𝑢_3,31 + 2𝑢3,3² 0.6875 + 0.25 𝑢_4,32 + 𝑢_2,32 + 0.0625 𝑢_3,22 + 𝑢_3,22 + 4∆𝑦 𝑢_3,32 = −1.250 + 2 1.28125 0.6875 + 0.25 1.59375 + 1.09375

+ 0.0625(2 × 0.53125 + 4 × 0.5) = 1.3750

j. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 4, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_4,1³ = −𝑢_4,11 + 2𝑢_4,12 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,12 + 𝑢_5,12

+0.0625 𝑢_4,22 + 𝑢_4,02

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.11) diperoleh 𝑢_4,02 = 𝑢_4,22 sehingga 𝑢_4,13 menjadi

𝑢_4,13 = −𝑢_4,11 + 2𝑢_4,12 0.6875 +0.25 𝑢_5,12 + 𝑢_5,12 +0.0625 𝑢_4,22 + 𝑢_4,22 𝑢_4,13 = −0.28041 + 2 0.31286 0.6875 + 0.25 0.14492 + 0.42130

+ 0.0625(2 × 0.84128) = 0.6699

𝑢_4,23 = −𝑢_4,21 + 2𝑢_4,22 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,22 + 𝑢_5,22 +0.0625 𝑢_4,32 + 𝑢_4,12

𝑢_4,23 = −0.94001 + 2 0.84128 0.6875 + 0.25 0.52815 + 0.94875 + 0.0625(0.31286 + 0.31286)

= 0.9375

l. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 4, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_4,33 = −𝑢_4,31 + 2𝑢_4,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_5,32 + 𝑢_5,32

+0.0625 𝑢_4,42 + 𝑢_4,22

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_4,42 = 𝑢_4,22 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_4,33 menjadi

𝑢_4,33 = −𝑢_4,31 + 2𝑢_4,32 0.6875 +0.25 𝑢_5,32 + 𝑢_5,32 +0.0625 𝑢_4,22 + 𝑢_4,22 𝑢_4,33 = −0.28041 + 2 0.31286 0.6875 + 0.25 0.14492 + 0.42130

+ 0.0625(2 × 0.84128) = 1.6875

m. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 1 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,13 = −𝑢_5,11 + 2𝑢_5,12 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,12 + 𝑢_4,12

+0.0625 𝑢_5,22 + 𝑢_5,02

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,12 = 𝑢_4,12 + 4∆𝑥 dan dari persamaan (3.15) diperoleh 𝑢_5,02 = 𝑢_5,22 sehingga 𝑢_5,13 menjadi

𝑢_5,13 = −𝑢_5,11 + 2𝑢_5,12 0.6875 +0.25 𝑢_4,12 + 𝑢_4,12 +0.0625 𝑢_5,22 + 𝑢_5,22

50 𝑢_5,13 = −𝑢_5,11 + 2𝑢_5,12 0.6875 +0.25 2 × 𝑢_4,12 +0.0625 2 × 𝑢_5,22 𝑢_5,1³ = −0.07065 + 2 0.14492 0.6875 + 0.25 2 × 0.31286

+ 0.0625(2 × 0.52815) = 1.0283

n. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 2 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,23 = −𝑢_5,21 + 2𝑢_5,22 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,22 + 𝑢_4,22

+0.0625 𝑢_5,32 + 𝑢_5,12

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,22 = 𝑢_4,22 + 4∆𝑥 sehingga 𝑢_5,23 menjadi 𝑢_5,23 = −𝑢_5,21 + 2𝑢_5,22 0.6875 +0.25 𝑢_4,22 + 𝑢_4,22 +0.0625 𝑢_5,32 + 𝑢_5,12 𝑢_5,13 = −0.41997 + 2 0.52815 0.6875 + 0.25 2 × 0.84128 + 0.0625(0.14492 + 0.14492) = 1.3706

o. Untuk 𝑛 = 2, 𝑖 = 5, dan 𝑗 = 3 maka persamaan (3.6) menjadi 𝑢_5,33 = −𝑢_5,31 + 2𝑢_5,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_6,32 + 𝑢_4,32

+0.0625 𝑢_5,42 + 𝑢_5,22

Berdasarkan kondisi batas pada persamaan (3.10) diperoleh 𝑢_6,32 = 𝑢_4,32 + 4∆𝑥 dan dari persamaan (3.12) diperoleh 𝑢_5,42 = 𝑢_5,22 + 4∆𝑦 sehingga 𝑢_5,33 menjadi

𝑢_5,3³ = −𝑢_5,31 + 2𝑢_5,32 1 − 0.25 − 0.0625 +0.25 𝑢_4,32 + 𝑢_4,32 +0.0625 𝑢_5,22 + 𝑢_5,22

𝑢_5,33 = −𝑢_5,31 + 2𝑢_5,32 0.6875 +0.25 2 × 𝑢_4,32 +0.0625 2 × 𝑢_5,22 𝑢_5,3³ = −0.07065 + 2 0.14492 0.6875 + 0.25 2 × 0.31286

+ 0.0625(2 × 0.52815) = 2.1250

Dari perhitungan di atas akan didapatkan hasil hitungan yang ditunjukkan pada Tabel (3.6) berikut:

Tabel 3.6 Nilai 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.5) saat 𝑛 = 3

𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.5) 𝑦₁ = 0 𝑦₂ = 0.5 𝑦₃ = 1 𝑥₁ = 0 0.1250 0.3750 1.1250 𝑥₂ = 0.25 0.1875 0.4375 1.1875 𝑥₃ = 0.5 0.3735 0.6250 1.3750 𝑥₄ = 0.75 0.6699 0.9375 1.6875 𝑥₅ = 1 1.0283 1.3706 2.1250

Dengan menggunakan solusi eksak pada persamaan (3.41) maka diketahui nilai dari 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.5) yang ditunjukkan pada Tabel (3.7) berikut:

Tabel 3.7 Solusi Analitik 𝑢(𝑥, 𝑦, 0.5) saat 𝑛 = 3 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.5) 𝑦₁ = 0 𝑦₂ = 0.5 𝑦₃ = 1 𝑥₁ = 0 0.1250 0.3750 1.1250 𝑥₂ = 0.25 0.1875 0.4375 1.1875 𝑥₃ = 0.5 0.3735 0.6250 1.3750 𝑥₄ = 0.75 0.6875 0.9375 1.6875 𝑥₅ = 1 1.1250 1.3750 2.1250

Dari Tabel (3.6) dan Tabel (3.7) maka diketahui perbandingan error antara solusi numerik dan solusi eksak yang ditunjukkan pada Tabel (3.8) berikut:

Tabel 3.8 Nilai error dari 𝑢(𝑥𝑖, 𝑦𝑗, 0.5) pada saat 𝑛 = 3 𝑢(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑗, 0.5) 𝑦₁ = 0 𝑦₂ = 0.5 𝑦₃ = 1

𝑥₁ = 0 0 0 0

𝑥₂ = 0.25 0 0 0

𝑥₃ = 0.5 0 0 0

52 𝑥₅ = 1 0.09667 0.004394 0

Selanjutnya untuk nilai 𝑢_𝑖,𝑗𝑛 pada Tabel (3.1), (3.3), dan (3.6) di atas disimulasikan dalam bentuk grafik tiga dimensi yang ditunjukkan pada Gambar (3.1) berikut :

Gambar 3 1 Grafik solusi numerik 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) saat 𝑡 = 0

Gambar 3 2 Grafik solusi numerik 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) saat 𝑡 = 0.25

Gambar 3.1 menunjukkan hasil simulasi dari persamaan (3.6) terhadap ruang (𝑥, 𝑦) dan gelombang 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡). Dari Gambar (3.1) dari 𝑡 = 0 menuju 𝑡 = 0.25, saat 𝑥, 𝑦 = (0.0) gelombang perlahan mengalami kenaikan gelombang dari 0 menuju 0.1250 kemudian dari 𝑡 = 0,25 menuju 𝑡 = 0.5, saat 𝑥, 𝑦 = (0,0) gelombang perlahan mengalami kenaikan gelombang dari 0.1250 menuju 0.5000. Kemudian saat 𝑥, 𝑦 = (0,1) pada 𝑡 = 0 menuju 𝑡 = 0.5 gelombang perlahan mengalami kenaikan dari 1 menuju 1.5. Selanjutnya saat 𝑥, 𝑦 = (0.5,0) pada 𝑡 = 0 menuju 𝑡 = 0.5 gelombang perlahan mengalami kenaikan gelombang dari 0.25 menuju 0.7422.