Pada bab sebelumnya telah dikatakan bahwa pensil lingkaran dengan persamaan λC + µC0 = 0 merupakan sistem koaksial, maka untuk selanjutnya kita akan se-ring menggunakan istilah sistem koaksial. Sistem koaksial dengan pusat lingkaran pembangkit yang berada pada suatu garis akan mempunyai lingkaran-lingkaran dengan pusat berada pada garis tersebut. Selain itu, berdasarkan definisi sis-tem koaksial hanya akan mempunyai satu sumbu radikal. Letak garis, yang menghubungkan pusat lingkaran, dan sumbu radikal adalah saling tegak lurus.
Hal ini membawa kita pada suatu asumsi bahwa kita dapat mentransformasi sistem koaksial dari sistem koordinat kartesius dengan sumbu X dan sumbu Y menjadi sistem koordinat dengan garis penghubung pusat lingkaran sebagai sum-bu X baru dan sumsum-bu radikal sebagai sumsum-bu Y baru.
Misalkan CT = 0 bentuk transformasi dari C = 0, dan C0T = 0 bentuk transformasi dari C0 = 0. Karena semua lingkaran pada sistem koaksial memiliki titik pusat yang berada pada sumbu X baru, maka
CT = X2+ Y2+ 2gX + e = 0
dan
C0T = X2+ Y2+ 2g0X + e0 = 0.
Kemudian sumbu radikal dapat ditunjukkan oleh persamaan
CT −C0T = 2(g − g0)X + e − e0 = 0.
Akan tetapi sejak awal dikatakan bahwa sumbu radikal adalah sumbu Y baru atau garis X = 0, sehingga CT −C0T = 2(g − g0)X + e − e0 = 0 mempunyai arti bahwa untuk mendapatkan sumbu radikal dengan persamaan X = 0 haruslah
e = e0.
Kita dapat mendefinisikan sistem koaksial dalam bentuk ini dengan lingkaran X = 0 dan lingkaran g0CT−gC0T = (g0−g)(X2+Y2+e) = 0, dengan X2+Y2+e sebagai persamaan lingkaran paling sederhana dari suatu sistem koaksial. Jadi persamaan umum sistem koaksialnya adalah
(X2+ Y2+ e) + 2kX = 0
X2+ Y2+ 2kX + e = 0,
dengan k ∈ R dan c suatu nilai tetap. Bentuk seperti ini disebut bentuk kano-nik (canonical form) dari sistem koaksial. Sebelum beralih kepada pembahasan semua hal yang menjadi kemungkinan pada sistem koaksial, terdapat suatu teo-rema yang berkaitan dengan pensil lingkaran yaitu teoteo-rema lingkaran Apollonius.
Teorema III.1. Misalkan titik A dan B dua titik tetap yang berbeda. Jika ter-dapat titik P yang memenuhi |P A| : |P B| = α (konstan), dengan α 6= 1, maka lokus titik P membentuk sebuah lingkaran. Tetapi jika α = 1 maka lokus titik P adalah sebuah garis yang tegak lurus garis AB dan melalui titik tengah antara titik A dan B. Lokus titik P tersebut dinamakan lingkaran Apollonius.
Gambar III.1: Lingkaran Apollonius melalui titik P , P1, dan P2
Bukti: Misal terdapat titik A, B dan P dengan |P A| : |P B| = α, dengan α 6= 1. Misal terdapat titik P yang lain, yaitu P1 dan P2 pada garis AB. P1 terletak diantara titik A dan B, sedangkan P2 berada pada sisi yang sama dari
titik A dan B.
|P A|
|P B| = |P1A|
|P1B| = |P2A|
|P2B| = α.
Akan ditunjukkan bahwa P, P1, dan P2 berada pada satu lingkaran. Jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis P P1, maka akan kita dapatkan titik C sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis AP . Kemudian jika kita buat garis dari titik P sejajar dengan garis AB, maka akan kita dapatkan titik D sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis BC. Pandang segitiga AP P 1 dan segitiga P CD. Karena ∠AP P1 = ∠P CD, ∠P P1A = ∠CDP , dan
Kemudian jika kita perhatikan segiempat P DBP1, kita dapatkan |P D| = |BP1| dan |DB| = |P1P |. Karena |P C||AP | = |P|DP |1A|, maka |AP ||P C| = |P|BP1A|
maka |P C| = |P B|, sehingga 4P BC adalah sebuah segitiga sama kaki dengan
∠P BC = ∠P CB. Akibatnya ∠BP P1 = ∠P CB. Karena ∠AP P1 = ∠P CB, maka ∠AP P1 = ∠BP P1. Dengan demikian, garis P P1 membagi ∠AP B sama besar*.
Jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis P P2, maka akan kita dapatkan titik E sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis AP . Ke-mudian jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis AP , maka akan kita dapatkan titik F sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis P P2. Pan-dang segitiga AP P2 dan segitiga BF P2. Karena ∠AP P2 = ∠BF P2, ∠P P2A =
Kemudian jika kita perhatikan segiempat EBF P , kita dapatkan |EB| = |F P | dan |BF | = |P E|. Karena |AP ||BF | = |P|P2A|
2B|, maka |AP ||P E| = |P|P2A|
2B| = α. Karena
|AP |
|P E| = |P A|
|P B| = |P1A|
|P1B| = |P2A|
|P2B| = α,
maka |P E| = |P B|, sehingga 4P EB adalah sebuah segitiga sama kaki dengan
∠P EB = ∠P BE. Akibatnya ∠CP P2 = ∠P EB = ∠P BE. Karena ∠BP P2 =
∠P BE, maka ∠BP P2 = ∠CP P2. Dengan demikian, garis P P2 membagi ∠CP B sama besar**. Berdasarkan * dan **, maka ∠BP P1 + ∠BP P2 = 90o, sehingga P, P1, dan P2 berada pada satu lingkaran dengan segmen P1P2 sebagai diameter.
Jadi, untuk α 6= 1 lokus titik P membentuk lingkaran (Gambar III.2).
Gambar III.2: Lingkaran Apollonius untuk α = 1 adalah sebuah garis.
Untuk α = 1, |P A| = |P B|. Misal titik P merupakan titik tengah segmen AB.
Titik P lainnya berada di atas dan di bawah titik P , membentuk segitiga sama kaki AP iB karena |AP i| = |P iB| untuk i = 1, 2, .... Segitiga AP iB memiliki satu sisi yang sama sebagai alas, yaitu sisi AB, sehingga titik-titik P i berada pada garis yang membagi dua ∠AP iB sama besar dan tegak lurus dengan garis AB. Jadi, untuk α = 1 lokus titik P membentuk sebuah garis tegak lurus AB.
Jika kita mengamati gambar III.1 dan akibat dari teorema III.1 , untuk suatu titik P dan suatu nilai α akan bersesuaian dengan suatu lingkaran yang melalui titik A dan B. Misal terdapat lingkaran E yang melalui titik A dan B,
ling-karan C yang melalui titik P, P1 dan P2 untuk suatu α. Jika kita menghimpun lingkaran-lingkaran C untuk semua nilai α, maka kita akan mendapatkan him-punan lingkaran-lingkaran yang tidak saling berpotongan. Akan tetapi jika kita menghimpun lingkaran-lingkaran E untuk setiap P pada suatu nilai α, maka ki-ta akan mendapatkan himpunan lingkaran-lingkaran yang berpotongan pada dua titik A dan B. Jadi himpunan lingkaran-lingkaran C akan berasosiasi dengan himpunan lingkaran-lingkaran E . Kemudian akan ditunjukkan bahwa lingkaran E yang melalui titik P akan ortogonal terhadap lingkaran C .
Misalkan titik T adalah titik tengah dari P1 dan P2dengan |P1T | = |T P2| = r.
|P1A|
|P1B| = |P2A|
|P2B|
Dengan menyederhanakan persamaan di atas, akan didapatkan |T A| · |T B| = r2 yang artinya kuasa titik T terhadap lingkaran E adalah r2 atau panjang garis singgung dari titik T ke lingkaranE adalah r. Sehingga titik singgung dari titik T ke lingkaranE akan berada pada lingkaran C . Karena titik yang dilalui lingkaran E dan terletak pada lingkaran C adalah titik P , maka titik P merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus menjadi titik singgung dari titik T ke lingkaran E . Oleh sebab itu lingkaran E ortogonal terhadap lingkaran C .
Gambar III.3: Lingkaran C ortogonal terhadap lingkaran E .
Sebagaimana kita mengetahui bahwa jika terdapat dua lingkaran, maka hu-bungan yang mungkin terjadi adalah berpotongan, tidak saling berpotongan, dan bersinggungan. Sama halnya dengan pensil lingkaran yang didasarkan pada
dua lingkaran pembangkit, pensil lingkaran tersebut akan mempunyai anggota-anggota yang tidak saling berpotongan, saling berpotongan di dua titik, atau saling bersinggungan, tergantung pada masing-masing lingkaran pembangkitnya.
Berikut ini tiga jenis pensil lingkaran berdasarkan dua lingkaran pembangkitnya.
III.1 Pensil Hiperbolik
Pensil Hiperbolik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) tidak saling berpotongan satu sama lain. Hal ini dikare-nakan dua lingkaran pembangkit dari pensil ini tidak berpotongan. Berdasarkan sifatnya tersebut pensil hiperbolik juga sering disebut pensil nol titik.
Gambar III.4: Pensil Hiperbolik
Misal persamaan umum lingkaran adalah X2+ Y2+ 2kX + e = 0. Jika kita misalkan e = p2, maka untuk titik potong lingkaran dengan sumbu Y berada pada titik Y =p−p2, artinya tidak ada perpotongan dengan sumbu Y . Sehingga untuk pensil hiperbolik, persamaan lingkarannya adalah
X2+ Y2+ 2kX + p2 = 0.
Agar terlihat lebih jelas kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai
(X + k)2+ Y2 = k2− p2.
Dengan demikian dapat diketahui secara langsung bahwa lingkaran tersebut mempunyai pusat di (−k, 0) dengan jari-jari pk2− p2 dengan syarat k2 ≥ p2 untuk lingkaran riil. Berdasarkan hal ini, dalam sistem tersebut tidak ada ling-karan riil dengan pusat antara (−p, 0) dan (p, 0). Adapun lingling-karan dengan pusat (−p, 0) atau (p, 0) disebut lingkaran titik, karena jari-jarinya nol. Seandainya kita paksakan titik pusat antara (−p, 0) dan (p, 0), kita akan mendapatkan arti geo-metri yang berbeda, yaitu sebuah lingkaran imajiner, karena mempunyai jari-jari imajiner. Jadi titik (−p, 0) dan (p, 0) disebut titik batas (limiting points) dari sistem koaksial karena merupakan batas titik pusat lingkaran.
Pensil lingkaran dengan dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan dinamakan pensil hiperbolik tentu dengan suatu alasan. Hal ini karena terda-pat berkas hiperbola dalam pensil lingkaran jenis ini. Akan ditunjukkan berkas hiperbola dalam pensil hiperbolik.
Misal terdapat suatu sistem koaksial dengan sumbu X serta titik A dan titik B sebagai dua titik batas pusat lingkaran pada sistem tersebut. Sumbu radikalnya sebagai sumbu Y yang memuat pusat lingkaran-lingkaran dari sistem koaksial yang kedua dengan A dan B sebagai titik potong bersama. Misal titik T sebagai pusat suatu lingkaran C dari sistem koaksial pertama, dan I seba-gai pusat dari suatu lingkaran E pada sistem kedua. Panjang garis singgung dari T terhadap lingkaran E atau suatu lingkaran pada sistem kedua adalah tetap, yaitu sama dengan jari-jari lingkaran C sebesar r. Misal T P dan T P3
adalah garis singgung dari T terhadap lingkaran E dengan titik singgung di P dan P3. Kemudian misalkan DAE dan D0BE0 sebagai garis singgung de-ngan titik singgung masing-masing di A dan B. Garis DAE dan D0BE0 akan memotong garis T P dan T P3 di titik D, D0, E, E0. Karena DP dan DA adalah garis singgung dari D terhadap lingkaran E , maka |DP | = |DA|. Sehingga
|DT | − |DP | = |DT | − |DA| = r dan |ET | − |EA| = r. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa lokus D dan E merupakan sebuah hiperbola dengan foci T dan A. Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan disebut pensil hiperbolik (Gambar III.5).
Gambar III.5: Berkas hiperbola yang terdapat pada pensil hiperbolik.
III.2 Pensil Elliptik
Pensil Elliptik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik ling-karan maupun garis) saling berpotongan di dua titik yang sama. Berdasarkan sifatnya tersebut pensil elliptik juga sering disebut pensil dua titik.
Gambar III.6: Pensil Elliptik
Dalam bentuk kanonik seperti ini titik potong antara dua lingkaran pem-bangkit terdapat pada sumbu Y baru atau X = 0, maka akan bertepatan de-ngan Y2 = −e pada lingkaran tersebut. Jika e = −p2 untuk suatu p ∈ R, maka Y2 = p2, artinya Y = ±p, dengan kata lain titik perpotongan tersebut terletak pada koordinat (0, p) dan (0, −p). Jadi, semua lingkaran dengan pusat berada pada sumbu X baru akan berpotongan pada garis X = 0 di titik (0, p) dan
(0, −p), sehingga persamaan lingkarannya dapat ditulis sebagai
X2+ Y2+ 2kX − p2 = 0.
Seperti yang telah dijelaskan dalam pensil hiperbolik, bahwa sebenarnya pen-sil hiperbolik berasosiasi dengan penpen-sil elliptik. Sehingga untuk menunjukkan berkas ellips pada pensil elliptik kita masih akan menggunakan lingkaran Apol-lonius. Dengan menduplikasi langkah pada pensil hiperbolik, kita dapatkan titik perpotongan D, D0, E, E0 dari perpotongan antara garis DAE dan D0BE0 (sebagai garis singgung dari titik A dan B) dengan garis T P dan T P3 (seba-gai garis singgung dari T terhadap lingkaran E ). D0P dan D0B adalah garis singgung dari titik D terhadap lingkaran E , jadi |D0P | = |D0B|. Sehingga
|D0T | + |D0P | = |D0T | − |D0B| = r dan |E0T | − |E0B| = r. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa lokus D0 dan E0 merupakan sebuah ellips dengan foci T dan B. Berkas ellips yang terbentuk memotong pensil elliptik karena fokus B dilalui oleh lingkaran E . Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang saling berpotongan disebut pensil elliptik (Gambar III.7).
Gambar III.7: Berkas ellips yang berpotongan dengan pensil elliptik.
III.3 Pensil Parabolik
Pensil parabolik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik ling-karan maupun garis) saling bersinggungan di satu titik yang sama atau mem-punyai satu titik bersama (one common point).
Gambar III.8: Pensil Parabolik
Pada pensil elliptik telah dijelaskan bahwa semua lingkaran akan berpotongan pada dua titik, yaitu titik (0, p) dan (0, −p). Akan tetapi ada saatnya kedua titik tersebut mempunyai koordinat yang sama, yaitu jika p = 0. Karena nilai p = 0, maka semua lingkaran hanya akan berpotongan di satu titik (0, 0), dengan kata lain semua lingkaran hanya bersinggungan. Sehingga kita dapat menuliskan persamaan lingkaran dalam pensil ini sebagai
X2+ Y2+ 2kX = 0.
Pensil parabolik akan berasosiasi dengan pensil parabolik karena memiliki satu titik bersama yang menjadi titik singgung dari semua lingkaran-lingkarannya.
Akibatnya lingkaran-lingkaran dari pensil yang satu saling ortogonal dengan lingkaran-lingkaran pada pensil lainnya. Pensil lingkaran yang memiliki satu titik bersama seperti ini dinamakan parabolik karena terdapat berkas parabola dalam sistemnya.
Misal terdapat suatu sistem koaksial dengan sumbu X serta titik A sebagai satu titik bersama lingkaran-lingkaran pada sistem tersebut. Sumbu radikalnya
sebagai sumbu Y yang memuat pusat lingkaran-lingkaran dari sistem koaksial yang kedua dengan A sebagai titik bersama. Misal titik T sebagai pusat suatu lingkaran C dari sistem koaksial pertama, dan I sebagai pusat dari suatu ling-karan E pada sistem kedua. Kemudian kita buat sebuah garis g yang sejajar dengan sumbu Y dan melalui titik T . Misal T A dan T P adalah garis singgung dari T terhadap lingkaran E dengan A dan P sebagai titik singgungnya. Jika kita buat garis yang melalui titik I dan P , maka terdapat titik potong E antara garis IP dan garis g. Sehingga kita punya titik E, P, I yang segaris dengan I sebagai titik tetap.
Gambar III.9: Berkas parabola pada pensil parabolik.
Akan ditunjukkan bahwa |IE| = |ET |. Jika kita amati 4IT E, kita dapat menentukan luas segitiga tersebut dengan memandang ruas T E sebagai alas dan ruas AT sebagai tinggi atau ruas EI sebagai alas dan ruas P T sebagai tinggi.
Luas4IT E = Luas4IT E
|T E| · |AT |
2 = |EI| · |P T |
2 .
Karena |AT | = |P T |, maka |T E| = |EI|. Dengan kata lain lokus titik E adalah sebuah parabola dengan I sebagai fokusnya. Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang saling bersinggungan disebut pensil parabolik (Gambar III.9).