Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur

ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR

Definisi 4.2 Operasi Max dan Plus atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur

4.4 Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur

(⇐): Andaikan 𝐴0 ∈ 𝐑_max𝑛×𝑛irredusible, maka 𝐴0 irredusible. Kemudian untuk setiap

𝛼 ≥ 0, berlaku 𝐴_𝑖𝑗𝛼 ⊆ 𝐴_𝑖𝑗0 untuk setiap 𝑖 dan 𝑗. Hal ini berakibat [𝐴𝛼, 𝐴𝛼] ⊆ [𝐴0, 𝐴0], sehingga untuk setiap 𝐴 ∈ [𝐴𝛼, 𝐴𝛼] irredusible. Akibatnya 𝐴𝛼 irredusible untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Jadi terbukti 𝐴̃ irredusible. Bukti selesai.

Proposisi 4.1 4.3.3 Jika 𝑈̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛×𝑛 merupakan matriks adjesensi kabur suatu graf taksiklik 𝒢̃, maka 𝑈̃⊗𝑞 = 𝜀̃, untuk semua 𝑞 > 𝑝, dengan 𝑝 adalah panjang lintasan terpanjang dari 𝒢̃.

Bukti: Mengingat 𝑈̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛×𝑛merupakanmatriks adjesensi kabur, maka matriks interval, yaitu matriks 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 − 𝛼, 𝑈𝛼≈ [𝑈𝛼, 𝑈𝛼] merupakan matriks adjasensi interval untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Mengingat graf berarah tersebut taksiklik, maka, (𝑈𝛼)⊗𝑞 = 𝜀, untuk semua 𝑞 > 𝑝 dan untuk semua 𝛼 ∈ [0,1]. Dengan demikian untuk semua 𝑞 > 𝑝 berlaku 𝑈̃⊗𝑞 = 𝜀̃.

Bukti selesai

4.4 Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur

Dalam sub bab ini akan dibahas persamaan linear max-plus bilangan kabur yang merupakan generalisasi dari sistem persamaan linear max-plus. Penyelesaian sistem persaman linear max-plus interval melalui teorema dekomposisi. Ada dua macam sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur yang akan dibahas, yaitu sistem persamaan linear input-output max-plus bilangan kabur dan sistem persaman linear iterative max-plus bilangan kabur. Terlebih dahulu akan dibahas sistem persamaan linear input-output max-plus bilangan kabur yang mempunyai bentuk umum 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃, dimana 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 . Sistem persaman linear input-output max-plus bilangan kabur tersebut selanjutnya cukup disebut sistem kabur 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ (Rudhito,2011).

47

Definsi 4.8 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 . Suatu vektor bilangan kabur

𝒙̃∗∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛 disebut penyelesaian bilangan kabur sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ jika 𝒙̃∗ memenuhi sistem tersebut.

Definisi 4.9 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 . Suatu vektor bilangan kabur 𝑥̃′∈ 𝐅(𝐑)_max𝑛 disebut subpenyelesaian terbesar bilangan kabur sistem kabur 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ jika berlaku 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃′ ≺Fm 𝑏̃.

Definisi 4.10 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 . Suatu vektor bilangan kabur 𝑥̃̂ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛 disebut subpenyelesaian terbesar bilangan kabursistemkabur

𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ jika 𝑥̃′≺Fm 𝑥̃̂ untuk setiap subpenyelesaian bilangan kabur 𝑥̃′ dari sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃.

Misalkan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑛×𝑛 dengan unsur-unsur tiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀̃ dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑛 . Maka, vektor internal 𝑥̂𝛼≈ [− ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) , − ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))] merupakan subpenyelesaian terbesar sistem interval 𝐴𝛼⊗ 𝒙 = 𝒃𝜶 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Perhatikan bahwa

𝑥̂_𝑖^𝛼= [− ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))

𝑖, − ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))

𝑖

] adalah suatu interval. Mengingat 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛×𝑛 dan 𝒃̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑛 , maka jika 𝛼 ≤ 𝛽 berlaku

𝐴𝛼 ≺m 𝐴𝛽 ≺m 𝐴𝛽 ≺m𝐴𝛼 dan 𝑏 𝛼≺m 𝑏 𝛽 ≺m 𝑏 𝛽 ≺m𝑏 𝛼. Meskipun operasi ⊕

dan ⊗ pada matriks konsisten terhadap urutan “ ≺_m”, tetapi ketaksamaan

– ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) ≺m− ((𝐴𝛽)^T⊗ (−𝑏 𝛽)) ≺m((𝐴𝛽)^T⊗

(−𝑏 𝛽)) ≺m((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) tidak selalu dipenuhi. Akibatnya (– ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)))

𝑖

≺m (− ((𝐴𝛽)^T⊗ (−𝑏 𝛽)))

𝑖

48

((𝐴𝛽)^T⊗ (−𝑏 𝛽))

𝑖

≺_m ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))

𝑖

juga tidak selalu dipenuhi. Jadi

[− ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))

𝑖, − ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼))

𝑖

] tidak selalu merupakan keluarga interval tersarang.

Definisi 4.11 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑚×𝑛denganunsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀̃ dan 𝒃̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑚 . Didefinisikan vektor bilangan kabur 𝑥̃̂

yang komponen-komponennya adalah 𝑥̃̂𝑖, yaitu bilangan kabur dimana potongan − 𝛼 −nya adalah 𝑥̂_𝑖𝛼= [𝑥̂_𝑖𝛼, 𝑥̂_𝑖𝛼]. Batas-batas 𝑥̂_𝑖𝛼 didefinisikan secara rekursif berikut. Misalkan 𝑥̂_𝑖𝛼= min {− ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) 𝑖, − ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) 𝑖 } dan 𝑥̂_𝑖𝛼 = − ((𝐴𝛼)^T⊗ (−𝑏 𝛼)) 𝑖 . 𝑥̂_𝑖𝛼 = {

min_𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽} jika min_𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽} ≺m𝑥̂_𝑖^𝛼 {^𝑥̂𝑖

𝛽 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥̂_𝑖^𝛽 ≺_m 𝑥̂_𝑖𝛼

𝑥̂_𝑖^𝛼 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥̂_𝑖^𝛽 ≻m 𝑥̂_𝑖^{𝛼untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ [0,1], 𝛼 > 𝛽 jika 𝑥̂𝑖}

𝛼 ≺m_𝛽∈[0,1]min {𝑥̂_𝑖^𝛽}

𝑥̂_𝑖𝛼 = {^𝑥̂𝑖

𝛽 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥̂_𝑖^𝛽 ≺_m 𝑥̂_𝑖𝛼

𝑥̂_𝑖𝛼 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥̂_𝑖^𝛽 ≻_m 𝑥̂_𝑖𝛼untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ [0,1], 𝛼 < 𝛽 .

Perhatikan bahwa keluarga potongan − 𝛼 komponen vektor bilangan kabur _𝑥̃̂ seperti Definisi 4.1 di atas sungguh-sungguh merupakan keluarga

potongan − 𝛼 suatu bilangan kabur. Hal ini karena 𝑥̂_𝑖^𝛼 didefinisikan dengan menggunakan 𝑥̂_𝑖^𝛼 dan karena

a. 𝑐 merupakan interval, maka 𝑥̂_𝑖^𝛼 juga merupakan interval,

b. 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 , maka 𝐴1_𝑖𝑗 ≠ ∅ dan 𝑏_𝑖1 ≠ ∅ sehingga 𝑥̂_𝑖1 ≠ ∅. Sementara dari definisi rekursif di atas nampak bahwa 𝑥̂_𝑖1 = [𝑥̂_𝑖1, min_𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽}],

49

𝑥̂_𝑖1 = {^{𝛽∈[0,1]max {𝑥̂𝑖}

𝛽} jika untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]𝑥̂_𝑖𝛼 ≺_{m 𝛽∈[0,1]}min {𝑥̂_𝑖^𝛽} max

𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽} jika terdapat 𝛼 ∈ [0,1]𝑥̂_𝑖^𝛼 ≻m _𝛽∈[0,1]min {𝑥̂_𝑖^𝛽} ^,

sehingga 𝑥̂_𝑖1 ≠ ∅,

c. dari definisi 𝑥̂_𝑖𝛼 pada definisi 4.1 di atas nampak 𝑥̂_𝑖𝛼 merupakan keluarga interval tersarang.

d. 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dan 𝑏̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚 , maka 𝐴_𝑖𝑗0 dan 𝑏_𝑖0 masing-masing terbatas, 𝑥̂_𝑖0

terbatas. Sementara dari definisi rekursif di atas nampak bahwa 𝑥̂_𝑖0 = [𝑥̂_𝑖0, 𝑥̂_𝑖0],

dengan 𝑥̂_𝑖0 = {^{𝛽∈[0,1]min {𝑥̂𝑖}

𝛽} jika untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]𝑥̂_𝑖𝛼 ≻_{m 𝛽∈[0,1]}min {𝑥̂_𝑖^𝛽} min

𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽} jika terdapat 𝛼 ∈ [0,1]𝑥̂_𝑖^𝛼 ≺m _𝛽∈[0,1]min {𝑥̂_𝑖^𝛽} ^,

sehingga 𝑥̂_𝑖⁰ juga terbatas.

Dengan menggunakan teorema dekomposisi dapat diperoleh komponen-komponen vektor kabur 𝑥̃̂, yaitu

𝑥̃̂𝑖 = ⋃ 𝑐̃_𝑖^𝛼

𝛼∈[0,1]

dimana 𝑐̃_𝑖𝛼 adalah himpunan kabur dalam 𝐑 dengan fungsi keanggotaannya

𝜇_𝑐̃𝑖𝛼(𝑥) = 𝛼𝜒_(𝑐)𝑖𝛼(𝑥), di mana 𝜒_(𝑐)𝑖𝛼 adalah fungsi karakteristik interval 𝑥̂_𝑖𝛼. Dengan konstruksi 𝑥̃̂ di atas nampak bahwa 𝑥̃̂ merupakan bilangan kabur terbesar di mana

𝑥̂_𝑖𝛼≺_Im 𝑥̂_𝑖′𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1] dan untuk setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛. Teorema berikut memberikan eksistensi subpenyelesaian terbesar bilangan kabur dari sistem

𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃.

Teorema berikut menjamin bahwa vektor bilangan kabur seperti yang didefinisikan pada Definisi 4.4 di atas merupakan subpenyelesaian terbesar sistem

𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ seperti di atas.

Teorema 4.3 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀̃ dan 𝒃̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑚 . Vektor bilangan kabur 𝒙̃̂ yang

50

komponen-komponennya didefinisikan seperti pada Definisi 4.4 di atas merupakan subpenyelesaian terbesar bilangan kabur sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃.

Bukti vektor interval 𝑥̂𝛼 dimana komponen-komponennya adalah 𝑥̂_𝑖^𝛼= [𝑥̂_𝑖^𝛼, 𝑥̂_𝑖𝛼], dengan 𝑥̂_𝑖𝛼 = min {−((𝐴𝛼)𝑇⊗ (−𝑏𝛼))_𝑖, −((𝐴𝛼)𝑇⊗ (−𝑏𝛼))_𝑖} dan

𝑥̂_𝑖𝛼 −((𝐴𝛼)𝑇⊗ (−𝑏𝛼))_𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛, merupakan subpenyelesaian terbesar sistem interval 𝐴𝛼⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Misalkan 𝑥̃̂ adalah vektor bilangan kabur yang komponen-komponennya berupa bilangan kabur 𝑥̃̂𝑖, dimana potongan − 𝛼 −nya adalah 𝑥̂_𝑖^𝛼 = [𝑥̂_𝑖^𝛼, 𝑥̂_𝑖𝛼] yang batas-batasnya didefinisikan secara rekrusif seperti pada Definisi 4.1 di atas (Rudhito, 2011).

Dari definisi 𝑥̂_𝑖𝛼 di atas nampak bahwa 𝑥̂_𝑖𝛼 ≺_Im𝑥̂_𝑖′𝛼 . Dengan demikian

𝒙̂𝛼 ≺_Im 𝒙̂′𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Mengingat vektor interval 𝒙̂′𝛼 merupakan subpenyelesaian terbesar sistem interval 𝐴𝛼⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1], maka berlaku bahwa 𝐴𝛼⊗ 𝒙̂𝛼 ≺_Im𝒃𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Mengingat

𝑥̂_𝑖𝛼 ≺_Im𝑥̂_𝑖′𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1] dan operasi ⊗ pada matriks interval konsisten terhadap urutan " ≺Im" , maka 𝐴𝛼⊗ 𝒙̂𝛼≺Im𝐴𝛼⊗ 𝒙̂′𝛼 ≺Im 𝒃𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Dengan demikian 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃̂ ≺_Im𝑏̃, yang berarti 𝑥̃̂ merupakan subpenyelesaian sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃. Misalkan vektor kabur 𝑥̃′ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑛 adalah subpenyelesaian kabur sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ maka berlaku 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃′ ≺Fm 𝑏̃ atau untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1],

𝐴𝛼⊗ 𝑥′𝛼 ≺Im 𝑏𝛼. Mengingat vektor interval 𝑥̂𝛼 merupakan subpenyelesaian terbesar sistem terbesar sistem interval 𝐴𝛼⊗ 𝑥 = 𝑏𝛼, maka 𝑥′𝛼 ≺_Im𝑥̂′𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa 𝑥̃′≺_Fm 𝑥̃̂, tinggal ditunjukkan bahwa 𝑥̃_𝑖^′ ≺Fm 𝑥̃̂𝑖 atau 𝑥_𝑖^′ ≺lm𝑥̂_𝑖^𝛼 untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1]. Andaikan terdapat 𝛼_𝑘 ∈ [0,1] sedemikian seingga 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ⊀_lm𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 yang ekivalen dengan

𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≻m𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 atau 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≻m 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘.

51

i. Andaikan 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 ≺m 𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑘 ≺m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Hal ini berakibat 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ⊀𝑚 𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑘. Mengingat 𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑘 merupakan subpenyelesaian terbesar sistem 𝐴𝛼_𝑘⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼_𝑘. Kontradiksi dengan fakta bahwa 𝑥̃′ merupakan subpenyelesaian bilangan kabur 𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃ = 𝒃̃.

ii. Andaikan 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 ≺_m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_m𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑘. Berdasarkan pendefinisian secara rekursif pada Definisi 4.1 di atas untuk 𝑥̂_𝑖^𝛼, maka terdapat 𝛼𝑚 ∈ [0,1],

𝑎_𝑚 ≥ 𝑎_𝑘 sedemikian hingga 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 ≺_m 𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑚 ≺_m𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Andaikan tidak demikian, maka 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 ≺_m 𝑥̂_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_m𝑥_𝑖^′𝛼𝑘, yang kontradiksi dengan pengandaian di atas. Selanjutnya, karena keluarga potongan − 𝛼

komponen vektor bilangan kabur 𝑥̃′ adalah tersarang, maka berlaku

𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑚. Mengingat 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑚 ≺_m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 dan 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_m𝑥_𝑖^′𝛼𝑚, maka

𝑥̂_𝑖^𝛼𝑚 ≺_m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑚. Hal ini berakibat 𝒙′𝛼𝑚 ⊀_𝑚 𝒙̂′𝛼𝑚. Mengingat 𝒙̂′𝛼𝑚

merupakan subpenyelesaian terbesar sistem 𝐴𝛼_𝑚⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼_𝑚 maka

𝐴𝛼𝑚 ⊗ 𝒙′𝛼𝑚 ⊀_𝑚 𝒃𝛼𝑚 . Kontradiksi dengan fakta bahwa 𝑥̃′ merupakan subpenyelesaian bilangan kabur sistem 𝐴̃ ⊗ 𝒙̃ = 𝒃̃.

iii. Andaikan 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 = min_𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽} ≺_m𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_m 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘. Mengingat potongan − α

komponen vektor bilangan kabur 𝑥̃′ berupa interval, maka 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺m 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Berdasarkan pendefinisian rekursif pada Definisi 4.4 di atas, maka terdapat

𝛼𝑗, 𝛽∗∈ [0,1], 𝛼𝑗 ≤ 𝛼𝑘 sedemikian hingga 𝑥̂_𝑖^𝛽∗ ≺m 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Andaikan tidak demikian maka 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ≠ min_𝛽∈[0,1]{𝑥̂_𝑖^𝛽}, yang kontradiksi dengan pengandaian di atas. Selanjutnya, karena keluarga _{potongan − 𝛼} komponen vektor bilangan kabur 𝑥̃′ adalah tersarang, maka 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺m𝑥_𝑖^′𝛼𝑗. Mengingat 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 dan 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑗, maka 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑗. Hal ini berakibat 𝒙′𝛼_𝑗 ⊀_𝑚 𝒙̂𝛼_𝑗. Mengingat 𝒙̂𝛼_𝑗 merupakan sub penyelesaian terbesar sistem 𝐴𝛼_𝑗 ⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼_𝑗 maka 𝐴𝛼_𝑗 ⊗ 𝒙′𝛼_𝑗 ⊀𝑚 𝒃𝛼_𝑗. Kontradiksi

52

dengan fakta bahwa 𝑥̃′ merupakan subpenyelesaian bilangan kabur sistem

𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃ = 𝒃̃.

b. Untuk kasus 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≻_𝑚 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ada dua kemungkinan berikut.

i. Andaikan 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Hal ini berakibat 𝒙′𝛼𝑘 ⊀_m𝑥̂𝛼𝑘 . Mengingat 𝑥̂𝛼_𝑘 merupakan subpenyelesaian terbesar sistem 𝐴𝛼_𝑘 ⊗ 𝒙 = 𝑏𝛼_𝑘 maka 𝐴𝛼_𝑘 ⊗ 𝒙′𝛼_𝑘 ⊀m𝑏𝛼_𝑘. Kontradiksi dengan fakta bahwa 𝑥̃′

merupakan subpenyelesaian bilangan kabur sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃ = 𝒃̃.

ii. Andaikan 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘. Berdasarkan pedefinisian pada Definisi 4.4 untuk 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘, maka terdapat 𝛼_𝑗 ∈ [0,1], 𝛼_𝑗 ≤ 𝛼_𝑘 sedemikian hingga

𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘. Andaikan tidak demikian, maka

𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥̆_𝑖^𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑘, yang kontradiktif dengan pengandaian di atas. Selanjutnya, karena keluarga potongan − α komponen vektor bilangan kabur 𝑥̃′ adalah tersarang, maka berlaku 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺_𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑗 . Mengingat

𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 dan 𝑥_𝑖^′𝛼𝑘 ≺𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑗, maka 𝑥̂_𝑖^𝛼𝑗 ≺𝑚 𝑥_𝑖^′𝛼𝑗 . Hal ini berakibat

𝑥^′𝛼𝑗 ⊀m𝑥̂^𝛼𝑗. Mengingat 𝑥̂^𝛼𝑗 merupakan subpenyelesaian terbesar sistem

𝐴𝛼_𝑗 ⊗ 𝒙 = 𝒃𝛼_𝑗 maka 𝐴𝛼_𝑗 ⊗ 𝒙′𝛼_𝑗 ⊀_m 𝒃𝛼_𝑗. Kontradiksi dengan fakta bahwa 𝑥̃′ _{merupakan subpenyelesaian bilangan kabur sistem 𝐴̃ ⊗}̃ 𝒙̃ = 𝒃̃. Selanjutnya dengan Teorema Dekomposisi diperoleh subpenyelesaian terbesar sistem di atas yaitu vektor bilangan kabur 𝑥̃̂ dengan komponen-komponennya adalah

𝑥̃̂𝑖 = ⋃ 𝑐̃_𝑖^𝛼

𝛼∈[0,1]

dimana 𝑐̃_𝑖^𝛼 adalah himpunan kabur dalam 𝐑 dengan fungsi keanggotaannya

𝜇_𝑐̃𝑖𝛼(𝑥) = 𝛼𝜒_(𝑐)𝑖𝛼(𝑥), dimana 𝜒_(𝑐)𝑖𝛼 adalah fungsi karakteristik interval 𝑥̂_𝑖^𝛼. Bukti selesai

53

Secara umum eksistensi penyelesaian bilangan kabur untuk sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝑥̃ = 𝑏̃ diberikan dalam teorema berikut ini.

Teorema 4.4 Diberikan 𝐴̃ ∈ 𝐅(𝐑)_max𝑚×𝑛 dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan 𝜀̃ dan 𝒃̃ ∈ 𝐅(𝐑)max^𝑚 . Sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃ = 𝒃̃ mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃̆ ≻_Fm 𝒃̃, dimana vektor 𝒙̃̆ adalah subpenyelesaian terbesar bilangan kabur sistem 𝐴̃ ⊗̃ 𝒙̃ = 𝒃̃.