3 Metode Volume Hingga
3.1 Transpor Difusif
3.1.2 Solusi Numerik Persamaan Transpor Difusif 1D dengan Metode
Penerapan metode volume hingga untuk penyelesaian persamaan difusi dilakukan melalui contoh kasus. Dalam kuliah topik metode beda hingga, telah dibahas kasus konduksi panas melalui sebuah batang. Gambar 1 menyajikan skema kasus konduksi panas ini. Sebuah ba-tang logam bulat-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di pangkal dan ujung baba-tang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin. Diameter batang adalah
6 mm, panjang batang adalah 10 cm, temperatur di pangkal batang adalah 100°C, tempera-tur di ujung batang adalah 50°C, dan koefisien difusi panas batang adalah 0.835 cm2/s. Per-samaan konduksi panas melalui batang ketika konduksi telah konstan (steady) mengikuti persamaan difusi sebagai berikut:
𝑑 𝑑𝑥𝑘𝑑𝑇
𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥Γ𝑑𝜙
𝑑𝑥 = 𝑅
Langkah hitung penyelesaian numerik persamaan di atas mengikuti langkah sebagai beri-kut:
1) pengubahan domain hitungan kontinu menjadi domain hitungan diskret, yang lazim dikenal sebagai diskretisasi domain hitungan,
2) penyusunan persamaan diferensial difusi atau konduksi panas dalam domain dis-kret, yang dikenal sebagai diskretisasi persamaan,
3) penyelesaian sistem persamaan diskret, yang berupa sistem persamaan aljabar li-near, untuk mendapatkan variabel yang tidak diketahui.
Paragraf-paragraf di bawah ini memaparkan secara rinci langkah hitung penyelesaian nu-merik persamaan difusi permanen.
Gambar 1 Konduksi panas melalui sebuah batang
1 Diskretisasi Domain Hitungan
Domain hitungan, dalam hal ini batang, dibagi menjadi sejumlah volume kontrol (control volume) diskret, atau sering pula disebut dengan cell. Volume kontrol di dekat batas domain hitungan diletakkan dengan menempatkan sisi volume kontrol berimpit dengan batas do-main hitungan. Titik hitung (node) adalah titik tengah volume kontrol. Dalam kasus difusi melalui batang ini, domain hitungan dibagi menjadi 5 volume kontrol berukuran seragam.
Setiap volume kontrol memiliki panjang 2 cm. Gambar 2 menunjukkan kelima volume kon-trol ini.
panas
dingin
X Potongan A-A
A
A
Gambar 2 Diskretisasi domain hitungan transpor difusi menjadi 5 volume kontrol berukuran seragam, panjang 2 cm
2 Diskretisasi Persamaan Difusi
Gambar 3 menampilkan sebuah volume kontrol yang dicuplik dari Gambar 2. Titik hitung sebuah volume kontrol diidentifikasikan oleh simbol P yang memiliki volume kontrol te-tangga di sisi kiri, W (West), dan di sisi kanan, E (East). Bidang sisi-sisi volume kontrol diberi notasi w (west) di sisi kiri dan notasi e (east) di sisi kanan.
Gambar 3 Volume kontrol satu dimensi
Integrasi persamaan diferensial difusi permanen satu dimensi untuk sebuah volume kon-trol adalah:
∭ 𝑑
𝑑𝑥(Γ𝑑𝜙
𝑑𝑥) 𝑑𝑉 = ∭ 𝑅 𝑑𝑉
Dengan penerapan teorema divergensi Gauss, integral volume suku difusi di sisi kiri tanda persamaan berubah menjadi integral luasan tertutup yang menyelimuti volume kontrol.
∬ Γ𝑑𝜙
𝑑𝑥𝑛⃗ ∙ 𝑑𝑆 = ∭ 𝑅 𝑑𝑉
Dalam persamaan di atas, 𝑆 adalah vektor luas yang memiliki arah tegak lurus ke arah luar dari selimut volume kontrol. Untuk volume kontrol satu dimensi (Gambar 3), persamaan di atas dapat diubah menjadi:
(Γ𝑑𝜙 𝑑𝑥𝑆)
𝑒− (Γ𝑑𝜙 𝑑𝑥𝑆)
𝑤= 𝑅̅∆𝑉
Dalam persamaan di atas, 𝑆 adalah luas sisi kontrol, ∆𝑉 adalah volume volume-kontrol, dan 𝑅̅ adalah source rerata di dalam volume kontrol. Variabel-variabel di sebelah kiri tanda persamaan dituliskan secara terpisah menjadi:
5 × 2 cm 100°C
1 2 3 4 5
50°C
P E
w e
W
∆𝑥𝑊𝑃 ∆𝑥𝑃𝐸
∆𝑥𝑃𝑒
∆𝑥𝑤𝑃
Γ𝑒𝑆𝑒(𝑑𝜙
Dalam persamaan di atas, Γ𝑤 dan Γ𝑒 adalah koefisien difusi di bidang sisi kiri, w, dan sisi kanan, e, volume kontrol. Demikian pula, 𝑆𝑤 dan 𝑆𝑒 adalah luas bidang sisi kiri, w, dan sisi kanan, e, volume kontrol.
Nilai koefisien difusi Γ𝑤 dan Γ𝑒 dihitung dengan cara interpolasi linear dari nilai-nilai yang ada di dua titik-hitung volume-kontrol tetangga kiri dan kanan:
Γ𝑤 =Δ𝑥𝑤𝑃Γ𝑊+ Δ𝑥𝑊𝑤Γ𝑃 Δ𝑥𝑊𝑤+ Δ𝑥𝑤𝑃 Γ𝑒=Δ𝑥𝑒𝐸Γ𝑃+ Δ𝑥𝑃𝑒Γ𝐸
Δ𝑥𝑃𝑒+ Δ𝑥𝑒𝐸
Cara interpolasi linear untuk menghitung nilai-nilai di sisi volume kontrol di atas dikenal pula dengan istilah beda tengah (central difference). Apabila ukuran volume kontrol sera-gam, maka koefisien difusi di sisi-sisi volume kontrol menjadi:
Γ𝑤 =1
2(Γ𝑊+ Γ𝑃) Γ𝑒=1
2(Γ𝑃+ Γ𝐸)
Gradien variabel skalar di sisi-sisi volume kontrol dihitung dengan menerapkan beda hing-ga maju (forward difference).
(𝑑𝜙
Suku source di sebelah kanan tanda persamaan sering merupakan fungsi variabel skalar 𝜙 itu sendiri. Dengan pendekatan linear, maka suku source menjadi:
𝑅̅∆𝑉 = 𝑅𝑢+ 𝑅𝑃𝜙𝑃
Bentuk persamaan diskret transpor difusif permanen di sebuah volume kontrol, dengan de-mikian, adalah:
Γ𝑒𝑆𝑒(𝜙𝐸− 𝜙𝑃
∆𝑥𝑃𝐸 ) − Γ𝑤𝑆𝑤(𝜙𝑃− 𝜙𝑊
∆𝑥𝑊𝑃 ) = 𝑅𝑢+ 𝑅𝑃𝜙𝑃
Pengelompokan koefisien dalam persamaan di atas menghasilkan persamaan berikut:
(Γ𝑤𝑆𝑤 yang penulisannya dapat disederhanakan menjadi:
𝑎𝑊𝜙𝑊+ 𝑎𝑃𝜙𝑃+ 𝑎𝐸𝜙𝐸= 𝑅𝑢 Koefisien 𝑎𝑊, 𝑎𝐸, dan 𝑎𝑃 adalah:
𝑎𝑊 = Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑊𝑃, 𝑎𝐸= Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝐸, dan 𝑎𝑃= −𝑎𝑊− 𝑎𝐸− 𝑅𝑃
Persamaan di atas merupakan persamaan diskret di setiap volume kontrol. Untuk lima vo-lume kontrol (Gambar 2), diperoleh lima persamaan. Nilai variabel 𝜙 di setiap vovo-lume kontrol, 𝜙𝑃, merupakan fungsi nilai-nilai 𝜙 di dua volume kontrol tetangga, 𝜙𝑊 dan 𝜙𝐸. Volume kontrol yang berada di pangkal dan ujung saluran, yaitu volume kontrol 1 dan 5, hanya memiliki satu tetangga. Salah satu sisi volume kontrol 1 dan 5 berimpit dengan batas domain hitung. Di batas domain, nilai 𝜙 diketahui. Nilai ini dikenal sebagai syarat batas (boundary condition). Paragraf-paragraf di bawah ini memaparkan penyusunan kelima persamaan diskret. Paparan berawal dari penyusunan persamaan diskret volume kontrol 2, 3, dan 4 yang tidak berbatasan dengan domain hitung.
Volume kontrol 2, 3, 4. Dengan ukuran volume-kontrol seragam, ∆𝑥 = 2 cm, koefisien difusi seragam, Γ = 0.835 cm2/s, dan luas sisi volume-kontrol seragam, 𝑆 = 𝜋 4⁄ × 0.62= 0.2827 cm2, dan tanpa source, 𝑅𝑢= 0 dan 𝑅𝑃= 0, maka koefisien-koefisien persamaan-diskret transpor difusif adalah:
𝑎𝑊 = Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑊𝑃=0.835 × 0.2827
2 = 0.118 cm3⁄s 𝑎𝐸 = Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝐸 =0.835 × 0.2827
2 = 0.118 cm3⁄s
𝑎𝑃= −𝑎𝑊− 𝑎𝐸− 𝑅𝑃= −0.118 − 0.118 − 0 = −0.236 cm3⁄s Persamaan di ketiga volume kontrol, dengan demikian, adalah:
𝑐𝑣 2: 0.118𝜙1− 0.236𝜙2+ 0.118𝜙3= 0 𝑐𝑣 3: 0.118𝜙2− 0.236𝜙3+ 0.118𝜙4 = 0 𝑐𝑣 4: 0.118𝜙3− 0.236𝜙4+ 0.118𝜙5 = 0 Notasi cv merujuk kepada volume kontrol (control volume).
Volume kontrol 1. Gambar 4 menampilkan volume kontrol 1. Sisi kiri volume kontrol ini, 𝑤, berimpit dengan batas domain hitung. Di sebelah kiri, tidak ada volume kontrol tetangga.
Volume kontrol W tidak ada, sehingga koefisien 𝑎𝑊 pun tidak ada. Di sebelah kanan, volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 2, yang menjadi volume kontrol E. Koefisien 𝑎𝐸 dihitung seperti hitungan volume kontrol 2, 3, atau 4. Koefisien 𝑎𝑃 dan suku source, 𝑅𝑢+ 𝑅𝑝𝜙𝑃, dihitung dengan cara berbeda dari cara sebelumnya di volume kontrol 2, 3, dan 4.
Persamaan diskret transpor difusif di volume kontrol 1 adalah sebagai berikut:
Γ𝑒𝑆𝑒(𝜙𝐸− 𝜙𝑃
∆𝑥𝑃𝐸
) − Γ𝑤𝑆𝑤(𝜙𝑃− 𝜙𝑤
∆𝑥𝑤𝑃
) = 0
Gambar 4 Volume kontrol di batas kiri domain hitung Dengan pengelompokan koefisien, diperoleh:
e E
w P
∆𝑥𝑃𝐸
∆𝑥𝑤𝑃
(−Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝐸 −Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑤𝑃) 𝜙𝑃+ (Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝐸) 𝜙𝐸= −Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑤𝑃𝜙𝑤 Di batas kiri model hitung, 𝜙𝑤= 100℃.
Koefisien-koefisien persamaan diskret transpor difusif di volume kontrol 1 adalah:
𝑎𝑊 = 0 𝑎𝐸 = Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝐸 =0.835 × 0.2827
2 = 0.118 cm3⁄s 𝑅𝑃=Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑤𝑃
=0.835 × 0.2827
1 = 0.236 cm3⁄s
𝑎𝑃= −𝑎𝑊− 𝑎𝐸− 𝑅𝑝= −0 − 0.118 − 0.236 = −0.354 cm3⁄s 𝑅𝑢= −Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑤𝑃𝜙𝑤= −0.835 × 0.2827
1 × 100 = −23.6℃ cm3⁄s Persamaan di volume kontrol 1, dengan demikian, adalah:
𝑐𝑣 1: −0.354𝜙1+ 0.118𝜙2= −23.6
Volume kontrol 5. Gambar 5 menampilkan volume kontrol 5. Di sebelah kiri, volume kontrol ini bertetangga dengan volume kontrol 4, yang menjadi volume kontrol W. Koefisien 𝑎𝑊 dihitung seperti hitungan volume kontrol 2, 3, atau 4. Sisi kanan volume kontrol ini, 𝑒, berimpit dengan batas domain hitung. Di sebelah kanan, tidak ada volume kontrol tetangga.
Volume kontrol E tidak ada, sehingga koefisien 𝑎𝐸 pun tidak ada. Koefisien 𝑎𝑃 dan suku source, 𝑅𝑢+ 𝑅𝑝𝜙𝑃, dihitung dengan cara yang mirip dengan cara sebelumnya di volume kontrol 1. Persamaan diskret transpor difusif di volume kontrol 5 adalah sebagai berikut:
Γ𝑒𝑆𝑒(𝜙𝑒− 𝜙𝑃
∆𝑥𝑃𝑒 ) − Γ𝑤𝑆𝑤(𝜙𝑃− 𝜙𝑊
∆𝑥𝑊𝑃 ) = 0
Gambar 5 Volume kontrol di batas kanan domain hitung
Dengan pengelompokan koefisien, diperoleh:
(Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑊𝑃) 𝜙𝑊+ (−Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑊𝑃− Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝑒) 𝜙𝑃= −Γ𝑒𝑆𝑒
∆𝑥𝑃𝑒𝜙𝑒 Di batas kanan model hitung, 𝜙𝑒= 50℃.
Koefisien-koefisien persamaan diskret transpor difusif di volume kontrol 5 adalah:
𝑎𝑊 = Γ𝑤𝑆𝑤
∆𝑥𝑊𝑃=0.835 × 0.2827
2 = 0.118 cm3⁄s
P e
W w
∆𝑥𝑊𝑃
∆𝑥𝑃𝑒
𝑎𝐸 = 0 Persamaan diskret transpor difusif di volume kontrol 5, dengan demikian, adalah:
𝑐𝑣 5: 0.118𝜙4− 0.354𝜙5= −11.8
Persamaan diskret transpor difusif di lima volume kontrol membentuk satu sistem persa-maan linear di bawah ini.
𝑐𝑣 1: −0.354𝜙1+ 0.118𝜙2= −23.6 𝑐𝑣 2: 0.118𝜙1− 0.236𝜙2+ 0.118𝜙3= 0 𝑐𝑣 3: 0.118𝜙2− 0.236𝜙3+ 0.118𝜙4= 0 𝑐𝑣 4: 0.118𝜙3− 0.236𝜙4+ 0.118𝜙5= 0 𝑐𝑣 5: 0.118𝜙4− 0.354𝜙5= −11.8 3 Penyelesaian Persamaan
Sistem persamaan linear yang terdiri dari lima persamaan yang diperoleh dari langkah diskretisasi domain dan diskretisasi persamaan transpor difusif dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut:
[𝐴] ∙ {Φ} = {𝑅}
[𝐴] adalah matriks bujur sangkar berdimensi 5 × 5 yang elemennya adalah koefisien 𝑎𝑊, 𝑎𝐸, dan 𝑎𝑃, {Φ} adalah vektor kolom yang elemennya adalah variabel 𝜙, dan {𝑅} adalah vek-tor kolom yang elemennya adalah nilai source.
[
Substitusi nilai-nilai koefisien persamaan diskret transpor difusif ke dalam matriks di atas menghasilkan perkalian matriks sebagai berikut:
[
[𝐴] adalah matriks diagonal dengan lebar (bandwidth) tiga. Jika dimensi matriks besar, ma-ka penyelesaian persamaan di atas lazim dilakuma-kan dengan algoritma matriks tridiagonal (tri-diagonal matrix algorithm, TDMA). Jika dimensi matriks kecil, maka penyelesaian per-samaan di atas dapat dilakukan dengan cara langsung, misal dengan cara inversi matriks atau cara iterasi. Dalam MSExcel, ada sejumlah fungsi yang telah disediakan untuk melaku-kan operasi matriks, misal fungsi untuk menghitung determinan, fungsi untuk mencari in-versi matriks, atau fungsi untuk melakukan perkalian matriks. Perkalian inin-versi [𝐴] dengan
vektor kolom di sebelah kiri dan sebelah kanan tanda persamaan menghasilkan persamaan berikut:
{Φ} = [𝐴]−1{𝑅}
Paragraf-paragraf di bawah ini memaparkan langkah penyelesaian persamaan di atas de-ngan bantuan MSExcel.
1. Elemen-elemen [𝐴] dituliskan dalam sel B9:F13 dan elemen-elemen {𝑅} dituliskan dalam sel H9:H13.
2. Elemen-elemen [𝐴]−1 dihitung dan disimpan dalam sel B15:F19 dengan langkah:
a) pilih sel B15:F19,
b) tuliskan fungsi untuk menghitung inversi matriks, =MINVERSE(B9:F13), c) tekan tombol CNTRL+SHIFT+ENTER bersama-sama,
d) sel B15:F19 akan berisi [𝐴]−1 seperti di bawah ini:
-3.812 -2.965 -2.118 -1.271 -0.424 -2.965 -8.895 -6.353 -3.812 -1.271 -2.118 -6.353 -10.589 -6.353 -2.118 -1.271 -3.812 -6.353 -8.895 -2.965 -0.424 -1.271 -2.118 -2.965 -3.812
3. Vektor kolom {𝑅} dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan MSExcel dan disimpan menjadi sel H15:H19 dengan langkah sebagai berikut:
a) pilih sel H15:H19,
b) tuliskan fungsi untuk menghitung perkalian dua matriks,
=MMULT(B15:F19,H9:H13),
c) tekan tombol CNTRL+SHIFT+ENTER bersama-sama, d) sel H15:H19 akan berisi {Φ} seperti di bawah ini:
95 85 75 65 55
Gambar 6 menampilkan profil temperatur batang yang diperoleh dari penyelesaian nume-rik persamaan transpor difusif dengan metode volume hingga.
Gambar 6 Profil temperatur batang yang diperoleh dari penyelesaian numerik persamaan difusi dengan metode volume hingga
Penyelesaian sistem persamaan linear di kelima volume kontrol dapat pula dilakukan de-ngan cara iterasi. Untuk memfasilitasi iterasi, maka persamaan diskret transpor difusif di-tuliskan dalam bentuk sebagai berikut:
𝜙𝑖𝑛+1=𝑅𝑢𝑖− 𝑎𝑊𝑖[𝜆𝜙𝑖−1𝑛+1+ (1 − 𝜆)𝜙𝑖−1𝑛 ] − 𝑎𝐸𝑖𝜙𝑖+1𝑛 𝑎𝑃𝑖
Dalam persamaan di atas, 𝑖 merujuk kepada nomor volume kontrol (𝑖 = 1,2, … ,5), 𝑛 meru-juk kepada urutan iterasi, dan 𝜆 adalah konstanta. Nilai konstanta ini adalah 𝜆 = 0 untuk iterasi Jacobi, 𝜆 = 1 untuk iterasi Gauss-Seidel, atau 1 < 𝜆 < 2 untuk iterasi successive over relaxation (SOR). Persamaan diskret transpor difusif di kelima volume kontrol yang siap untuk diselesaikan dengan cara iterasi adalah:
𝜙1𝑛+1=𝑅𝑢1− 𝑎𝐸1𝜙2𝑛 𝑎𝑃1
𝜙2𝑛+1=𝑅𝑢2− 𝑎𝑊2[𝜆𝜙1𝑛+1+ (1 − 𝜆)𝜙1𝑛] − 𝑎𝐸2𝜙3𝑛 𝑎𝑃2
𝜙3𝑛+1=𝑅𝑢3− 𝑎𝑊3[𝜆𝜙2𝑛+1+ (1 − 𝜆)𝜙2𝑛] − 𝑎𝐸3𝜙4𝑛 𝑎𝑃3
𝜙4𝑛+1=𝑅𝑢4− 𝑎𝑊4[𝜆𝜙3𝑛+1+ (1 − 𝜆)𝜙3𝑛] − 𝑎𝐸4𝜙5𝑛 𝑎𝑃4
𝜙5𝑛+1=𝑅𝑢5− 𝑎𝑊5[𝜆𝜙4𝑛+1+ (1 − 𝜆)𝜙4𝑛] 𝑎𝑃5
Tabel 1 di bawah ini menunjukkan angka-angka hitungan iterasi cara SOR dengan 𝜆 = 1.3 untuk menyelesaikan persamaan di atas. Hitungan iterasi konvergen setelah 17 langkah iterasi. Hasil hitungan dengan cara iterasi tidak berbeda dengan hasil hitungan dengan cara perkalian matriks.
0 20 40 60 80 100 120
0 2 4 6 8 10
Temperatur (°C)
Jarak (cm)
Tabel 1 Hitungan iterasi cara successive over relaxation dengan 𝜆 = 1.3 untuk mendapatkan temperatur di sepanjang batang
n 𝝓𝟏 𝝓𝟐 𝝓𝟑 𝝓𝟒 𝝓𝟓 ∆𝝓maks
0 0 0 0 0 0
1 66.667 43.333 28.167 18.308 41.267 66.66666667 2 81.111 56.806 39.578 42.134 49.761 23.82569444 3 85.602 63.263 53.667 53.827 52.445 14.08962963 15 ⋮ 95.000 85.001 75.001 65.001 55.000 0.00067444 16 95.000 85.001 75.001 65.000 55.000 0.000505504 17 95.000 85.000 75.000 65.000 55.000 0.000337006 Catatan: 𝜙 dalam satuan ℃.