BAB III DOMINASI DALAM GRAF
D. Teorema Tentang Dominasi Dalam Graf
Berikut ini merupakan hubungan antara bilangan dominasi dengan bilangan bebas .
Teorema 3.1
Untuk setiap graf , .
Bukti
Misal adalah himpunan bebas dari titik dalam , dimana | | . Sehingga adalah himpunan bebas dengan kardinalitas terbesar. Untuk , harus berhubungan dengan suatu titik dalam . Dengan kata lain, { } akan menjadi himpunan bebas yang lebih besar, terjadi kontradiksi. Sehingga mendominasi semua titik dalam . Sehingga .
Konsep yang berhubungan dengan dominasi adalah penutup titik.
Definisi 3.7
Sebuah penutup titik adalah sebuah himpunan titik-titik di sedemikian sehingga setiap rusuk dalam berisisian dengan paling sedikit satu titik dalam . Kardinalitas terkecil dari penutup titik dalam dinotasikan dengan .
39 Contoh 3.7
Gambar 3.3
Pada gambar 3.3, didapatkan penutup titiknya adalah { }, { }, { }, { }, { }, { }, { }, { }, { } dengan .
Teorema 3.2
Jika adalah penutup titik dari , maka adalah himpunan bebas.
Bukti
Misalkan bukan himpunan bebas. Maka ada pasangan titik dan dari yang berhubungan. Maka bukan penutup titik, terjadi kontradiksi bahwa adalah penutup titik.
Dengan menggunakan teorema 3.2, kardinalitas terkecil penutup titik dan bilangan bebas , didapatkan akibat 3.2.
40 Akibat 3.2
Untuk semua graf dengan titik, .
Bukti
Misalkan adalah penutup titik dengan kardinalitas terkecil. Maka | | . Dengan teorema 3.2, adalah sebuah himpunan bebas. Jadi , yang berarti bahwa . Selain itu, jika adalah sebuah himpunan bebas sedemikian sehingga | | , maka adalah penutup titik. Untuk memahaminya, ingat bahwa hanya rusuk-rusuk dalam yang bersisian dengan , sehingga adalah penutup titik. Dan mengakibatkan bahwa atau, secara ekuivalen . Sehingga didapatkan dan . Sehingga .
Teorema 3.3
Untuk setiap graf lengkap dengan . Bilangan dominasi dari graf lengkap adalah 1, atau .
Bukti
Menurut definisi 2.14, graf lengkap adalah graf yang terdiri dari titik dan setiap titik dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Sehingga,
41
semua titik dalam graf tersebut saling berhubungan satu sama lain, sehingga hanya dibutuhkan 1 titik saja untuk mendominasi graf tersebut.
Teorema 3.4
Untuk setiap graf bipartit lengkap dengan dan adalah bilangan
asli, maka ( ) .
Bukti
Menurut definisi 2.15, graf bipartit lengkap adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi himpunan tak kosong dan dengan kardinalitas berturut-turut dan , sedemikian sehingga setiap titik di himpunan berhubungan dengan setiap titik di himpunan dan tidak ada keterhubungan lainnya. Ada tiga kemungkinan, yaitu , , . Misal , maka ada titik yang mendominasi titik, dan ada titik yang mendominasi titik. Karena bilangan dominasi adalah kardinalitas terkecil dari himpunan yang mendominasi, maka didapatkan bilangan dominasinya . Dengan cara yang serupa dibuktikan juga untuk , sehingga bilangan dominasinya adalah . Untuk , maka didapatkan titik yang mendominasi. Sehingga didapatkan kesimpulan ( )
42 Teorema 3.5
Untuk , dan adalah bilangan asli, .
Bukti
Dalam suatu lintasan, derajat maksimal dari suatu titik dalam lintasan adalah 2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih dari 3 titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika lintasan tersebut
memiliki titik, maka
.
Definisi 3.8
Misal , dimana adalah bilangan bulat dan . Maka jika , dan ketika .
Contoh 3.8
Teorema 3.6
43 Bukti
Dengan teorema 3.5 , maka ada tiga kemungkinan yaitu , , dan .
Akan dibuktikan untuk ruas kanan. Untuk ,
Akan dibuktikan untuk ruas kiri.
Dalam graf lintasan, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau
atau , maka
.
Teorema 3.7
44 Bukti
Dalam suatu siklus, derajat maksimal dari suatu titik dalam siklus adalah 2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih dari 3 titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika siklus tersebut memiliki titik, maka .
Teorema 3.8
Untuk setiap bilangan asli, .
Bukti
Dengan teorema 3.7 , maka ada tiga kemungkinan yaitu , , dan .
Akan dibuktikan untuk ruas kanan. Untuk ,
Akan dibuktikan untuk ruas kiri.
45
Dalam graf siklus, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau atau , maka .
Definisi 3.9
Kitar terbuka dari titik adalah himpunan yang memuat titik-titik yang berhubungan dengan , dimana { | }. Sedangkan kitar tertutup { }.
Untuk , kitar terbuka didefinisikan ⋃ dan kitar tertutup .
Contoh 3.9
Pada gambar 2.1 didapatkan { } dan { }. Sedangkan misal { } pada gambar 2.1, maka { } dan { }.
46 Teorema 3.9
Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah himpunan yang mendominasi minimal dari graf jika dan hanya jika setiap titik di memenuhi paling sedikit salah satu dari dua sifat berikut:
(i) terasing dari ,
(ii) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.
Bukti
Asumsikan adalah himpunan yang mendominasi minimal dari maka untuk setiap titik , { } bukan himpunan yang mendominasi. Ini berarti terdapat titik { } tidak didominasi oleh semua titik di { }. Yang berarti , yang dalam hal ini adalah titik terasing dari , atau . Jika tidak didominasi oleh { }, tapi didominasi oleh , maka titik hanya berhubungan dengan titik di
, { }.
Andaikan adalah himpunan yang mendominasi dan setiap titik , memenuhi salah satu dari dua syarat. Kita tunjukan bahwa adalah himpunan yang mendominasi minimal. Andaikan bukan himpunan yang mendominasi minimal, misal titik , maka ada dua kemungkinan, yaitu { } adalah himpunan yang mendominasi. Akibatnya berhubungan dengan paling sedikit satu titik di { }, sehingga syarat (i) tidak terpenuhi. Jika { } adalah himpunan yang mendominasi, maka
47
setiap titik di berhubungan dengan paling sedikit satu titik di { }, sehingga syarat (ii) juga tidak terpenuhi. Kedua syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi, sehingga akan menimbulkan kontradiksi dengan asumsi kita bahwa paling sedikit satu syarat yang terpenuhi.
Teorema 3.10
Jika adalah himpunan yang mendominasi minimal dari tanpa titik terasing, maka adalah himpunan yang mendominasi dari .
Bukti
Misal . Maka paling sedikit memenuhi salah satu dari dua sifat (i) dan (ii) diberikan pada teorema 3.9. Andaikan memenuhi sifat (i), bahwa adalah titik terasing dari . Maka adalah titik terasing dari graf bagian
. Karena tidak terasing di , titik berhubungan dengan suatu titik di .
Andaikan memenuhi sifat (ii), bahwa terdapat titik sedemikian hingga { }. Karena berhubungan dengan suatu titik di . Sehingga adalah himpunan yang mendominasi .
48 Akibat 3.10
Jika adalah graf dengan titik tanpa titik terasing, maka .
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimal dari . Dengan teorema 3.10, adalah himpunan yang mendominasi . Maka {| | | |} .
Teorema 3.11
Setiap graf tanpa titik terasing memuat sebuah himpunan yang mendominasi minimum sedemikian hingga untuk setiap titik di , terdapat di sedemikian hingga { }.
Bukti
Diantara semua himpunan yang mendominasi minimum dari , misal adalah salah satu dari himpunan yang mendominasi minimum dari sedemikian hingga memiliki ukuran maksimum. Diandaikan sebaliknya , bahwa memuat titik yang tidak memenuhi syarat. Maka dengan teorema 3.9, adalah titik terasing dari . Selain itu, setiap titik di yang berhubungan dengan juga berhubungan dengan titik-titik lainnya di . Karena tidak memuat titik terasing, berhubungan
49
dengan di . Sebagai konsekwensinya, { } { } adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dimana graf bagian yang diinduksi memuat paling sedikit satu rusuk yang bersisian dengan dan karena itu memiliki ukuran yang lebih besar dari . Terjadi kontradiksi.
Teorema 3.12
Diberikan suatu graf terhubung , maka
Bukti
Perhatikan bahwa jika adalah titik dengan derajat minimum, maka penghapusan semua rusuk yang bersisian dengan akan membuat graf tersebut tidak terhubung ( adalah salah satu komponennya). Tentu saja akan ada himpunan rusuk pemisah, di lain graf yang memuat rusuk yang lebih sedikit. Maka . Selanjutnya, jika adalah himpunan rusuk pemisah yang memuat rusuk sebanyak , maka penghapusan yang sesuai dengan titik hasil yang dipilih dari rusuk di dan oleh karena itu, menghasilkan graf yang tidak terhubung. (Mungkin saja ada himpunan titik pemisah yang lebih kecil di ). Maka .
50 Teorema 3.13
Jika adalah sebuah graf dengan titik, maka
.
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari .
Maka ⋃ , menyebabkan | | | | . Oleh karena itu,
( )
.
Selanjutnya akan dibuktikan batas atasnya. Misal dengan . Maka adalah himpunan yang mendominasi dengan kardinalitas , sehingga .
Akibat 3.13
51 Bukti
Dengan teorema 3.13 didapatkan dan karena .
Teorema 3.14
Jika adalah graf dengan banyak titik , maka
(i) ̅ , (ii) ̅ .
Bukti
Batas bawah dari (i) dan (ii) didapatkan dari pengamatan bahwa jika maka ̅ dan bila ̅ maka .
Untuk batas atas dari (i), jika memiliki sebuah titik terasing, maka dan ̅ ; sedangkan jika ̅ memiliki sebuah titik terasing, maka ̅ dan . Dalam kasus ini, ̅ . Jika maupun ̅ memiliki titik terasing, maka dan ̅ menurut akibat 3.10, sehingga ̅ .
Untuk batas atas dari (ii), jika maka jelas bahwa ̅ . Maka diasumsikan . Misal { } adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan
52
partisi menjadi himpunan bagian dengan syarat :
(a) untuk dan semua titik di didominasi oleh dan
(b) Penjumlahan semua bilangan bulat yang menyatakan banyaknya titik dalam yang berhubungan dengan semua titik lain dalam adalah maksimum.
Sekarang diperlihatkan bahwa untuk setiap himpunan dengan adalah himpunan yang mendominasi dari ̅. Andaikan himpunan bukan himpunan yang mendominasi dari ̅, maka terdapat titik yang berhubungan di ̅ tapi tidak berhubungan dengan untuk bilangan bulat dan yang berbeda dengan , . Maka berhubungan dalam dengan setiap titik dari . Jika , maka { } adalah himpunan yang mendominasi dari yang memiliki kardinalitas kurang dari , yang berarti tidak mungkin. Sebagai konsekwensinya, { }. Jika berhubungan di dalam untuk setiap titik lainnya dari , maka { } { } adalah himpunan yang mendominasi dari yang memiliki kardinalitas kurang dari , yang berarti tidak mungkin. Oleh karena itu, berhubungan dalam ke semua titik dari tapi tidak ke semua titik di .
53
Didefinisikan { } dan { }. Untuk , didefinisikan . Sekarang kita memiliki partisi dari ke dalam himpunan bagian sedemikian hingga untuk dan semua titik dalam didominasi oleh . Bagaimanapun, jumlah semua himpunan bagian dengan dari titik dalam yang berhubungan dengan semua titik dari melebihi penjumlahan yang berkorespondensi untuk partisi , yang berarti kontradiksi.
Kemudian, seperti yang telah dinyatakan, setiap himpunan bagian adalah himpunan yang mendominasi dalam ̅, sehingga ̅ | | untuk setiap . Karena itu
∑ | | ̅ .
Akibat 3.14
Jika dapat difaktorkan menjadi , , dan , maka .
Bukti
Karena ̅̅̅, didapatkan dari teorema 3.14 bahwa .
54 Teorema 3.15
Jika adalah suatu graf dengan titik sebanyak sedemikian hingga dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, maka ̅ .
Bukti
Karena dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, menurut akibat 3.10 maka dan ̅ . Karena itu jika salah satu atau ̅ , maka bukti selesai. Jika dan ̅ , maka menurut batas atas (ii) pada teorema 3.14, ̅ dan ̅
, sehingga ̅ . Karena itu diasumsikan atau ̅ . Karena , maka . Dengan teorema 3.14, ̅ . Maka ̅ .
E. TEOREMA TENTANG BILANGAN DOMINASI BEBAS DARI