Teorema Faktor

Latihan Ulangan Umum Semester 1

5.4 Teorema Faktor

Jika kita mempunyai bilangan 27, maka kita dapat menyatakan bilangan itu sebagai perkalian,

27 = 3 · 9

Dalam hal ini kita mengatakan bahwa 3 dan 9 adalah faktor dari 27. Demikian juga, jika kita mempunyai sukubanyak F(x) = x3 – 2x2 – x + 2, maka kita dapat menguraikan menjadi faktor-faktor linear

x3 – 2x2 – x + 2 = (x + 1)(x – 1)(x– 2).

Dengan fakta ini kita dapat membaca bahwa: (x + 1), (x – 1) dan (x – 2) adalah faktor linear, sukubanyak x3 – 2x2 – x + 2 jika dan hanya jika pembagian sukubanyak itu oleh faktor-faktor linear tersebut memberikan sisa 0. Lihat kembali Contoh 5.2.7 di depan. Hal ini dibenarkan oleh teorema berikut ini.

Teorema 5.3 (Teorema Faktor)

Misalkan F(x) sukubanyak, maka F(h) = 0 jika dan hanya jika (x – h) merupakan faktor dari F(x).

Bukti:

Menurut Teorema Sisa,

F(x) = (x – h)·H(x) + F(h)

Jika F(h) = 0 maka F(x) = (x – h).H(x), yaitu bahwa (x – h) merupakan faktor dari F(x). Sebaliknya, jika (x – h) merupakan faktor dari F(x), maka

F(x) = (x – h)·H(x) untuk suatu sukubanyak H(x). Oleh karena itu,

F(h) = (h – h)·H(h) = 0·H(h) = 0

Contoh 5.4.1

Tentukan faktor-faktor dari 2x3 – 3x2 – 11x + 6.

Penyelesaian:

Misalkan F(x) = 2x3 – 3x2 – 11x + 6. Dengan Teorema Faktor 5.3, (x – h) faktor dari sukubanyak F(x) jika dan hanya jika F(h) = 0. Dalam hal ini, (x – h) merupakan faktor sukubanyak F(x) apabila h merupakan pembagi dari 6, yaitu

±

1,

±

2,

±

3,

±

6. Kita mencoba dengan nilai-nilai itu. Jelaslah F(1)

≠

0, F(–1)

≠

0, F(2)

≠

0. Mengapa? Kita coba mengihitung F(3),

Karena F(3) = 0, maka (x – 3) merupakan faktor sukubanyak 2x3 – 3x2 – 11x + 6. Faktor yang lain adalah 2x2 + 3x – 2. Lebih lanjut,

2x3 – 3x2 – 11x + 6 = (x – 3) (2x2 + 3x – 2). = (x – 3 ) (2x – 1) (x + 2).

Jadi, faktor-faktor dari 2x3 – 3x2 – 11x + 6 adalah (x – 3), (2x – 1), dan (x + 2). 2 -3 -11 6

6 9 6 2 3 -2 0 = F(3)

3

Catatan: Dalam buku ini kita memfokuskan hanya faktor rasional, yaitu faktor yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional, misalnya (x – 2) dan (2x – 1). Faktor _{(x 3}−₂₎bukan faktor rasional, karena 3 bukan bilangan rasional.

1. Dengan menggunakan Teorema Faktor buktikan bahwa: a. (x – 1) dan (x + 6) adalah faktor-faktor dari x2 + 5x – 6. b. (x – 4) adalah faktor dari 2x4 – 9x3 + 5x2 – 3x – 4. c. (2x + 1) adalah faktor dari 2x3 + 11x2 + 3x – 1.

d. (x – 1) adalah faktor dari x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + 2a)x – a2. 2. Faktorkan setiap sukubanyak yang diberikan.

a. x3 – 7x + 6 c. y3 – 39y2 + 70 b. 2x3 + 7x2 + 2x – 3 d. 2z3 – 5z2 + 4z – 21 3. Tentukan a dan atau b sehingga:

a. x4 + 4x3 + ax2 + 4x + 1 mempunyai faktor (x + 1). b. x3 – ax2 + 5x + b mempunyai faktor x2 – 2x – 3. c. x4 – 2ap2x2 + 9p4 mempunyai faktor x – 3p.

d. x4 + 2x3 – 7x2 + ax + b mempunyai faktor x2 + 2x – 3. Kemudian faktorkan! 4. Hitunglah a, b dan c apabila x – y + 1 adalah faktor dari ax2 + bxy + cy2 + 3x – y + 2. 5. Buktikan bahwa:

a. (x + y)(y + z)(z + x) adalah faktor dari (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3. b. (x + y + z) adalah faktor dari x3 + y3 + z3 – 3yx z .

6. Sukubanyak F(x) berderajat dua mempunyai faktor (x + 2). Jika F(x) dibagi dengan (x – 1) sisanya adalah 6 dan jika F(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya adalah 12. Tentukan sukubanyak F(x) tersebut.

5.5 Persamaan Sukubanyak

Perasamaan sukubanyak kita maksudkan adalah persamaan yang berbentuk

1

1 1 0 0

n n

n n

a x +a ₋x ⁻ + +K a x+a =

dengan a a_n, _n−1,K,a₀ adalah konstanta, a_n ≠0 dan n bilangan asli. Harga x = h yang jika kita subtitusikan ke sukubanyak memenuhi persamaan (5.1), maka h disebut akar

dari persamaan itu.

Sebagai contoh, persamaan

x3 – 3x2 + x – 3 = 0

mempunyai akar 3, karena untuk x = 3,

33 – 3.32 + 3 – 3 = 0

Secara geometri, jika x = h akar dari persamaan sukubanyak F(x) = 0, maka grafik dari

y = F(x) memotong sumbu-x di h. Sebagai contoh, jika F(x) = x3 – 3x2 + x – 3, maka grafik dari y = F(x) memotong sumbu-x di 3, lihat gambar 5.2.

-2 -1 1 2 3 4 x -4 -2 2 4 6 8 10 y Gambar 5.1

Pada sub-bab 5.4 telah kita pahami bahwa jika F(x) sukubanyak, maka Teorema Faktor menyatakan bahwa F(h) = 0 jika dan hanya jika (x−h) merupakan faktor dari

F(x). Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa:

h akar persamaan F(x) = 0 jika dan hanya jika F(h) = 0.

Jika F(x) sukubanyak berderajat n, maka F(x) mempunyai faktor linear paling banyak

n. Oleh karena itu, jika F(x) = 0 persamaan sukubanyak berderajat n, maka persamaan itu paling banyak mempunyai n akar.

Contoh 5.5.1

Buktikan bahwa 2 adalah akar persamaan x3 – 2x2 – x + 2 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain.

Penyelesaian:

Misalkan F(x) = x3 – 2x2 – x + 2. Karena F(x) berderajat tiga, maka F(x) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar. Untuk membuktikan bahwa 2 adalah akar dari persamaan F(x) = 0, cukup dibuktikan F(2) = 0,

Pembagian sintetik menghasilkan F(2) = 0. Jadi, 2 adalah akar persamaan x3 – 2x2 – x + 2 = 0. Lebih lanjut, pada pembagian tersebut hasil baginya adalah (x2 – 1), sehingga

x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 2 ) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1) Jadi, akar-akar dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0 adalah 2, 1, dan –1.

1 -2 -1 2 2 0 -2 1 0 -1 0

2

Pada akhir bab ini kita akan membantu permasalahan Herman yang diberikan pada ilustrasi awal bab.

Contoh 5.5.2

Herman bermaksud membuat suatu kotak yang volumenya 270 dm3, dengan ketentuan bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya, dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa dimensi kotak yang dapat dibuat oleh Herman?

Penyelesaian:

Misal lebar kotak adalah x dm, maka panjang kotak adalah (x + 3) dm, dan tingginya adalah (x−1)dm, sehingga volume kotak adalah

V(x) = (x + 3) x (x – 1) dm3

Karena disyaratkan bahwa volume kotak adalah 270 dm3, maka haruslah (x + 3) x (x – 1) = 270 atau x3 + 2x2 – 3x – 270 = 0

Permasalahannya sekarang adalah mencari akar real dari persamaan sukubanyak ini. Dengan Teorema Faktor, karena F(x) = x3 + 2x2 – 3x – 270 berderajat 3, maka F(x) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar real. Pembagi bulat yang mungkin dari –270, diantaranya adalah 6, dan kita lakukan pembagian sintetik

Pembagian sintetik menghasilkan bahwa

x3 + 2x2 – 3x – 270 = (x – 6) (x2 + 8x + 45).

Akan tetapi persamaan kuadrat x2 + 8x + 45 = 0 tidak mempunyai akar real. Mengapa? Dengan demikian, nilai x yang mungkin hanyalah 6. Jadi, kotak yang dibuat Herman dengan volume 270 dm3 berukuran: lebar 6 dm, panjang 9 dm dan tinggi 5 dm.

Diskusikan penyelesaian dari soal-soal berikut dengan kelompok Anda.

1. Diketahui kerucut lingkaran tegak berjari-jari 5 cm dan tinggi 12 cm, kemudian di dalam kerucut tersebut dibuat suatu tabung. Jika jari-jari tabung adalah r cm, dan tingginya adalah h cm.

a. Nyatakan volume tabung sebagai sukubanyak dalam peubah r. b.Jika volume tabung adalah ⁴⁰⁰₉ π cm3, berapakah jari-jari tabung ini?

2. Jika sebuah tangki menampung 5000 liter air, yang mengalir keluar dari alas tangki dalam 40 menit, maka Hukum Torricelli memberikan isi V dari air yang tersisa di tangki setelah t menit adalah

2 5000 1 40 t V =

⎛

−

⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

^{, 0≤ ≤t 40}

a. Tentukan sisa air dalam tangki setelah 5 menit, 10 menit, dan 30 menit. b. Kapan air dalam tangki tersisa hanya 1250 liter?

1 2 -3 -270 1 8 45 0 6 48 270 6

W

Tugas Kelompok

1. Buktikan bahwa 1 adalah akar persamaan x3 – 9x2 + 20x – 12 = 0, dan tentukan akar-akar yang lain.

2. Buktikan bahwa 1 2

− adalah akar persamaan 4x3 – 24x2 + 27x + 20 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain.

3. Jika 3 adalah akar persamaan x3 – 37x2 + a = 0, tentukan a dan akar-akar yang lain. 4. Tentukan akar-akar bulat dari setiap persamaan yang diberikan.

a. x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 b. x3 – 3x + 2 = 0 c. x4 – 16 = 0

d. x4 – 15x2 – 10x + 24 = 0

5. Diketahui (x + 2) merupakan faktor dari F(x) = 2x3 + ax2 + 5x + 6. a. Tentukan a.

b. Tentukan akar-akar persamaan F(x) = 0 untuk nilai a tersebut.

1. Sukubanyak atau polinom dalam x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini. 1 2 2 1 2 2 1 0 n n n n n n a x +a ₋ x ⁻ +a ₋ x ⁻ + +K a x +a x+a

dengan a a_n, _n−1,K,a₀ adalah konstanta-konstanta bilangan real dan a_n ≠0 yang disebut koefisien dari suku k

x ^dan a0 disebut suku tetap, dan n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat sukubanyak.

2. Teorema Sisa: Jika sukubanyak F(x) dibagi dengan (x – h), maka sisanya adalah

F(h).

3. Jika sukubanyak F(x) dibagi dengan (ax – b), maka sisanya _F

( )

b

a ^.

4. Teorema Faktor: Misalkan F(x) sukubanyak, maka F(h) = 0 jika dan hanya jika (x – h) merupakan faktor dari F(x).

5. Persamaan sukubanyak a x_n ⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+ +K a x₁ +a₀ =0

dikatakan mempunyai akar h jika h memenuhi dari persamaan itu.

Latihan 5.5

Pada waktu kita meninjau aliran darah melalui pembuluh darah, seperti urat darah halus atau arteri, kita dapat mengambil bentuk pembuluh darah berupa tabung dengan jari-jari R dan panjang l seperti diilustrasikan dalam gambar 5.3 berikut.

R

r

l

Gambar 5.3

Karena gesekan pada dinding tabung, kecepatan darah v adalah terbesar sepanjang sumbu pusat tabung dan berkurang ketika jarak r dari sumbu bertambah besar samapai

v menjadi 0 pada permukaan dinding. Kaitan antara v dan r diberikan oleh Hukum Aliran Laminar yang ditemukan oleh fisikawan perancis Jean-Louis-Marie Poiseuille

pada tahun 1840, berupa sukubanyak berderajat dua

2 2 ( ) 4 P v R r l η = −

dengan η adalah viskositas darah, dan P adalah selisih tekanan di antara ujung tabung.

Math Info

A. Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!

1. Pecahan 3 2 2 2 3 3 2 x px qx x x + − +

− + ^{dapat disederhanakan, maka nilai p + q = ...}

A. – 6 D. – 3 B. – 5 E. – 2 C. – 4

2. Jika sukubanyak F x( )=x³+2ax²+5x+p dibagi oleh (x−2) dan (x+1)

masing-masing memberikan sisa 20 dan 12, maka nilai a + p = ... A. −¹⁸₃ D. ⁷⁰₃

B. ¹⁶₃ E. ⁹¹₃ C. ⁶²₃

3. Jika sukubanyak F(x) dibagi oleh 2

3 4

x + x− dan 2

6 5

x − x+ mempunyai sisa

3x+5 dan x+7, dan jika dibagi oleh 2

20

x − −x mempunyai sisa ax+b, maka nilai 9a – 3b = ... A. 1 3 11 D. 1 2 4 B. 14²₃ E. 6¹₃ C. 8

4. Salah satu akar persamaan sukubanyak 3 2

2x −7x −7x+30=0 adalah 3, maka jumlah dua akar yang lain adalah ...

A. −¹ 2 ^{D. 3} B. ¹ 2 ^{E. 5} C. 1

Uji Kompetensi

5. Jika sukubanyak 4 3 2

4x −12x +13x −8x+a dan 2

6x −11x+4 mempunyai satu faktor yang sama, maka nilai a = ...

A. –4 D. 2 B. –2 E. 4 C. 0

6. Sukubanyak 3 12

x − x+k habis dibagi oleh (x−2), maka ia juga habis dibagi oleh .... A. x+1 D. x−1 B. _x+₂ E. _x−₃ C. _x+₄ 7. Jika 5 4 3 2 4 5 7

x − x + x +x − +x dibagi dengan (x+1), maka sisanya adalah ... A. 4 D. –1

B. 3 E. 0 C. –2

8. Jika (x− +y 1) adalah faktor dari px²+qxy+ry²+₅x−₂y+₄, maka nilai p + q – r = ...

A. 6 D. – 3 B. 4 E. – 5 C. 1

9. Jika persamaan sukubanyak 2x³−ax² +(2a+1)x− =2 0 mempunyai dua akar saling berkebalikan, maka nilai a = ...

A. –6 D. 4 B. – 1 E. 5 C. 3

10. Jumlah akar real dari 5 4 3 2

4 2 2 0

x + x − x +x + − =x adalah ... A. 1 D. 4

B. 2 E. 5 C. 3

11. Jika akar-akar dari persamaan 3 2

7 7 15 0

x − x + x+ = adalah p, q, dan r, maka nilai p²+q²+r² =...

A. 45 D. 5 B. 35 E. 1 C. 28

12. Jika H x( )=x²+ −x 6 adalah faktor dari G x( )=2x³+ax²+bx+6 , maka nilai

a = ... .

A. – 3 D. 2 B. – 1 E. 5 C. 1

13. Suatu sukubanyak F(x) jika dibagi (x−1) sisanya 6 dan jika dibagi (x+3) sisanya – 2, maka F(x) jika dibagi 2

2 3 x + x− sisanya adalah .... A. ₄x+₂ D. 1 ¹³ 2x 2 − − B. ₂x+₄ E. − +₂x ₈ C. 1 11 2 x+ 2

14. Suatu sukubanyak F(x) jika dibagi (x+2) sisanya 2 dan jika dibagi (x−1) sisanya 5, sisa pembagian F(x) oleh 2

2

x + −x adalah .... A. x+4 D. − −x 4

B. 2x+4 E. − +x 6

C.

3

x+2

15. Suatu sukubanyak F(x) jika dibagi dengan (x−a) dan (x−2 )a berturut-turut memberikan sisa 10a dan 20a. Jika F(x) dibagi dengan 2 2

3 2 x − ax+ a sisanya adalah ... . A. _10ax−_a D. _10x B. 5ax−10 E. 5x C. ax

B. Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkat dan jelas!

16. Jika F(x) dibagi oleh (x²−x) dan (x²+x) masing-masing bersisa (5x+1) dan

(3x+1), berapakah sisa pembagian F(x) oleh (x²−1)?

17. Sukubanyak F(x) dan G(x) masing-masing jika dibagi dengan (x−1) mempunyai sisa 4 dan 10, dan jika dibagi dengan (x+5) mempunyai sisa 8 dan –12 . Misalkan diketahui suku-banyak H(x) = 2F(x) + 3G(x). Jika H(x) dibagi dengan x²+4x−5

18. Jika (p−1)x²+(q−2)xy+ry² −5x−2y+3 habis dibagi dengan (x− +y 1), hitunglah nilai p + 2q + 4r.

19. Jika x⁴−ax³−(a−b x) ²+(3a+ +b 2)x−(3a+b) dibagi dengan x²+ −x 2

mempunyai sisa x−3, berapa nilai dari ^alog(10b+2)?

20. Jika sukubanyak x⁸−ax³−b habis dibagi oleh x²−1, dan jika dibagi oleh (x−2)

mempunyai sisa 20t+55, tentukan nilai dari 8t+ +a 9b.

1. Suatu pabrik pembuat kotak kaleng akan membuat suatu kotak tanpa tutup dari selembar kaleng berukuran 8 15× inci dengan cara memotong keempat bujur sangkar di sudutnya dan melipat bagian sisinya.

a. Jika panjang sisi bujur sangkar yang dipotong adalah x inci, nyatakan volume kotak sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x.

b. Jika volume kotak adalah 44 inci3, bagaimana ukuran kotak seharusnya? 2. Suatu tanah lapang berbentuk persegi panjang dikelilingi pagar sepanjang

240 m.

a. Jika x meter menyatakan panjang tanah lapang, nyatakan luas tanah lapang tersebut sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x.

b. Jika luas tanah lapang tersebut adalah 3.200 m2, berapakah panjang tanah lapang tersebut?

3. Suatu kebun berbentuk persegi panjang ditempatkan sehingga salah satu sisi rumah merupakan batasnya, dan akan dibuat pagar sepanjang 100 m untuk ketiga sisinya.

a. Jika x meter menyatakan panjang sisi kebun yang sejajar rumah, nyatakan luas kebun tersebut sebagai persamaan sukubanyak dalam peubah x.

b. Jika luas kebun adalah 1.250 m2, berapakah lebar kebun tersebut?

4. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 1 Januari 2005. Pendapatan kotor tahunan perusahaan itu setelah t tahun adalah p juta rupiah, dengan

2 50.000 18.000 600

p= + t+ t

a. Berapakah pendapatan kotor perusahaan itu pada 1 Januari 2008?

b. Setelah berapa tahun perusahaan itu akan memperoleh pendapatan kotor sebesar 455 milyar rupiah?

5. Gelombang udara dingin mendekati suatu sekolah SMA. Suhu t jam setelah tengah malam adalah T, dengan

2 0,1(400 40 )

T = − t+t , 0≤ ≤t 12

a. Berapa suhu di sekolah tersebut pada pukul 05.30 pagi? b. Pada pukul berapa suhu di sekolah tersebut adalah 10° C?

z O N 80cm 50cm

A k t i v i t a s

Nama : ……………….. Tanggal : ………. Kelas : XI Materi Pokok : Sukubanyak Kelompok : ……………….. Semester : 2 (dua) Kegiatan : Membuat kotak tertutup.

Tujuan : Menentukan ukuran kotak dengan volume tertentu.

A. Alat dan bahan yang digunakan

1. Selembar karton berukuran: 50 cm×80 cm 4. Gunting 2. Buku catatan 5. Kertas perekat 3. Alat tulis 6. Penggaris

B. Cara kerja

1. Gambarkan sketsa jaring-jaring kotak tertutup.

2. Gunting sketsa tersebut dan buang bagian gambar yang diarsir. 3. Lipat dengan bantuan penggaris tepat pada garis putus-putus.

4. Rekatkan jaring-jaring kotak dengan menggunakan kerta perekat. Kotak yang diperoleh mempunyai lebar z cm, panjang y cm, dan tingi x cm.

5. Tentukan nilai x, y, dan z yang mungkin. Jika volume kotak adalah V, lengkapi tabel berikut ini.

C. Analisis

1. Tentukan rumus volume kotak dalam x.

2. Tentukan nilai x, y, dan z sehingga volume kotak 9.000 cm3. 3. Tentukan volume kotak yang maksimum.

Aktivitas Proyek

No. x y z V 1. 2. 3. 4. 5.

KOMPOSISI FUNGSI