Teorema Titik Tetap pada Ruang Metrik Fuzzy

BAB 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.2. Teorema Titik Tetap pada Ruang Metrik Fuzzy

4.2. Teorema Titik Tetap pada Ruang Metrik Fuzzy

Pada subbab ini, dibuat teorema titik tetap dari 𝑇: 𝑉 → 𝑉 pada ruang metrik fuzzy. Pada ruang metrik fuzzy ini, diberikan fungsi 𝜑: [0,1] → [0,1] yang memenuhi kriteria-kriteria berikut:

(P1) 𝜑 fungsi turun tegas dan left continuous (P2) 𝜑(𝜆) = 0 ⇔ 𝜆 = 1

Setelah mendefinisikan fungsi 𝜑, dibahas suatu teorema titik tetap pada ruang metrik fuzzy dari [14]

Teorema 4.2.1

Diberikan (𝑉, 𝑑_𝑓,∗) ruang metrik fuzzy lengkap, fungsi 𝑇: 𝑉 → 𝑉, fungsi 𝜑: [0,1] → [0,1] yang memenuhi (P1) dan (P2) dan fungsi 𝑘: (0, ∞) → (0,1). Jika untuk sebarang 𝑡 > 0, T memenuhi kondisi

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡))

(4.1)

48

dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝑥 ≠ 𝑦, maka T punya titik tetap tunggal.

Bukti:

Akan dibuktikan sama seperti pada [3, Teorema 5.1.2].

Pertama, dengan mengambil barisan {𝑥_𝑛} pada (𝑉, 𝑑_𝑓,∗), akan ditunjukkan bahwa {𝑥_𝑛} barisan Cauchy pada (𝑉, 𝑑_𝑓,∗).

Sebelum itu, diberikan 𝑥₀∈ 𝑉 dan “barisan iterasi” dengan 𝑥1 = 𝑇𝑥0

𝑥₂ = 𝑇𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛+1= 𝑇𝑥_𝑛

dan 𝜏_𝑛(𝑡) = 𝑀(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛, 𝑡) ∀𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑡 > 0. Misal, diasumsikan 0 < 𝜏_𝑛(𝑡) < 1, Pertidaksamaan (1) dapat ditulis menjadi

𝜑(𝜏_𝑛(𝑡)) = 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛, 𝑡))

= 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥_𝑛, 𝑇𝑥_𝑛−1, 𝑡))

≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1, 𝑡))

= 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏_𝑛−1(𝑡))

< 𝜑(𝜏_𝑛−1(𝑡)) atau

𝜑(𝜏_𝑛(𝑡)) < 𝜑(𝜏_𝑛−1(𝑡))

(4.2) Karena 𝜑 fungsi turun tegas, berakibat {𝜏_𝑛(𝑡)} merupakan barisan monoton naik ∀𝑡 > 0. Misalkan lim

𝑛→∞𝜏_𝑛(𝑡) = 𝜏(𝑡).

Akibat dari hal ini, asumsi menjadi 0 < 𝜏(𝑡) < 1. Dari Pertidaksamaan (4.2) dapat pula ditulis

𝜑(𝜏_𝑛(𝑡)) > 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏_𝑛(𝑡))

= 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛, 𝑡))

49

≥ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥_𝑛+1, 𝑇𝑥_𝑛, 𝑡))

= 𝜑(𝑥_𝑛+2, 𝑥_𝑛+1, 𝑡)

= 𝜑(𝜏_𝑛+1(𝑡)) atau

𝜑(𝜏_𝑛+1(𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏_𝑛(𝑡))

(4.3) Untuk 𝑛 → ∞,

𝑛→∞lim 𝜑(𝜏_𝑛+1(𝑡)) ≤ lim

𝑛→∞𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏_𝑛(𝑡))

𝑛→∞lim 𝜑(𝜏_𝑛+1(𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏(𝑡))

Karena fungsi 𝜑 left continuous, berakibat

𝑛→∞lim 𝜑(𝜏_𝑛+1(𝑡)) = 𝜑(𝜏(𝑡)) sehingga

𝜑(𝜏(𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝜏(𝑡))

< 𝜑(𝜏(𝑡))

(4.4) Terlihat bahwa terjadi kontradiksi pada Pertidaksamaan (4.4), yaitu 𝜑(𝜏(𝑡)) < 𝜑(𝜏(𝑡)). Karenanya, 𝜏(𝑡) ≡ 1 atau {𝜑(𝜏(𝑡))} → 1 ∀𝑡 > 0.

Lalu, untuk tahap menunjukkan barisan {𝑥_𝑛} Cauchy di (𝑉, 𝑀,∗), dilakukan dengan kontradiksi, yaitu andaikan {𝑥_𝑛} bukan barisan Cauchy pada (𝑉, 𝑀,∗) sehingga ada 𝜖 ∈ (0,1) dan barisan {𝑝(𝑛)} dan {𝑞(𝑛)} berakibat ∀𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dan 𝑡 > 0 didapat

𝑝(𝑛) > 𝑞(𝑛) ≥ 𝑛, (4.5a)

𝑑𝑓(𝑥𝑝(𝑛), 𝑥𝑞(𝑛), 𝑡) ≤ 1 − 𝜖, (4.5b) 𝑑_𝑓(𝑥𝑝(𝑛)−1, 𝑥_{𝑞(𝑛)−1}, 𝑡) > 1 − 𝜖, (4.5c) 𝑑_𝑓(𝑥_{𝑝(𝑛)−1}, 𝑥_𝑞(𝑛), 𝑡) > 1 − 𝜖 (4.5d)

50

Dimisalkan 𝑠_𝑛(𝑡) = 𝑑_𝑓(𝑥𝑝(𝑛), 𝑥_𝑞(𝑛), 𝑡). Lalu, ∀𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, dengan menjabarkan Pertidaksamaan (4.5b) menggunakan MF4 pada Definisi 4.1.2 didapat

1 − 𝜖 ≥ 𝑠_𝑛(𝑡) menggunakan (4.2) pada (4.5b),

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑝(𝑛), 𝑥_𝑞(𝑛), 𝑡)) = 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥_{𝑝(𝑛)−1}, 𝑇𝑥_{𝑞(𝑛)−1}, 𝑡))

51 Dari Pertidaksamaan (4.5b), akibat dari (4.8) dan (4.5c), bisa dituliskan

1 − 𝜖 ≥ 𝑑_𝑓(𝑥𝑝(𝑛), 𝑥_𝑞(𝑛), 𝑡)

> 𝑑_𝑓(𝑥_{𝑝(𝑛)−1}, 𝑥_{𝑞(𝑛)−1}, 𝑡)

> 1 − 𝜖

(4.9) Terlihat bahwa terjadi kontradiksi pada Pertidaksamaan (4.9), yaitu 1 − 𝜖 > 1 − 𝜖.

Jadi, {𝑥_𝑛} barisan Cauchy di ruang metrik fuzzy lengkap.

Akibatnya, bisa disimpulkan ada 𝑥 ∈ 𝑉 sehingga lim

𝑛→∞𝑥_𝑛= 𝑥.

Untuk selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝑥 adalah titik tetap dari T. Akibat dari 0 < 𝜏_𝑛(𝑡) < 1, maka ada subbarisan {𝑥_𝑟(𝑛)} dari {𝑥_𝑛} sehingga 𝑥_𝑟(𝑛)≠ 𝑥 ∀𝑛 ∈ ℕ. Dari (4.2), dengan menggunakan 𝑥_𝑟(𝑛) dan 𝑇𝑥 didapat

0 ≤ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑟(𝑛)+1, 𝑇𝑥, 𝑡))

= 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥𝑟(𝑛), 𝑇𝑥, 𝑡))

≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑟(𝑛), 𝑥, 𝑡)) atau

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑟(𝑛)+1, 𝑇𝑥, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥_𝑟(𝑛), 𝑥, 𝑡)) (4.10) Dari (4.10), untuk 𝑛 → ∞,

𝑛→∞lim𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥𝑟(𝑛)+1, 𝑇𝑥, 𝑡)) ≤ lim

𝑛→∞𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥𝑟(𝑛), 𝑥, 𝑡)) Karena 𝑥_𝑟(𝑛) subbarisan dari 𝑥_𝑛 dan 𝑥_𝑛→ 𝑥, berakibat 𝑥_𝑟(𝑛)→ 𝑥 untuk 𝑛 → ∞ sehingga

𝑛→∞lim𝜑 (𝑑𝑓(𝑥𝑟(𝑛)+1, 𝑇𝑥, 𝑡)) ≤ lim

𝑛→∞𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑𝑓(𝑥𝑟(𝑛), 𝑥, 𝑡))

52

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑇𝑥, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑥, 𝑡))

(4.11) Dengan MF2 pada Definisi 4.1.2 dan (P2), dapat ditulis

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑇𝑥, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(1)

= 𝑘(𝑡) ∙ 0

= 0

(4.12) Dari (4.10) sampai (4.12), didapat 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑇𝑥, 𝑡)) = 0.

Berdasarkan (P2), bisa ditunjukkan bahwa 𝑑𝑓(𝑥, 𝑇𝑥, 𝑡) = 1.

Berdasarkan MF2 pada Definisi 4.1.2, dapat disimpulkan bahwa 𝑇𝑥 = 𝑥 sehingga 𝑥 adalah titik tetap dari T.

Untuk menunjukkan ketunggalannya, andaikan ada titik tetap yang lain, katakan 𝑦 ∈ 𝑉 dan 𝑦 ≠ 𝑥. Akibat dari pengandaian ini didapat

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡)) = 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡))

(4.13) Berdasarkan (1) dan (2), Persamaan (4.13) dapat ditulis

𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡)) = 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡))

≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡))

< 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡))

(4.14) Terlihat bahwa terjadi kontradiksi pada Pertidaksamaan (4.14), yaitu 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡)). Karena hal ini, haruslah 𝑦 = 𝑥 yang berakibat 𝑥 adalah titik tetap tunggal dari T.

Setelah itu, diberikan contoh yang memenuhi Teorema 4.2.1 yang terdapat pada [14]

53 Contoh 4.2.2

Misalkan 𝑉 ⊆ ℝ² yang didefinisikan 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸}

dengan 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (1,0), 𝐶 = (1,2), 𝐷 = (0,1), 𝐸 = (1,3), 𝜑(𝜏) = 1 − √𝜏 ∀𝜏 ∈ [0,1] dan 𝑑𝑓∗(𝑥, 𝑦, 𝑡) = exp (−^{2𝑑(𝑥,𝑦)}

𝑡 )

∀𝑡 > 0 dengan 𝑑(𝑥, 𝑦) merupakan metrik Euclid pada ℝ². Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 dengan

𝑇(𝐴) = 𝑇(𝐵) = 𝑇(𝐶) = 𝑇(𝐷) = 𝐴 𝑇(𝐸) = 𝐵

dan fungsi 𝑘: (0, ∞) → (0,1) yang didefinisikan

𝑘(𝑡) = {1 − 𝑒^−4𝑡, 0 < 𝑡 ≤ 2 𝑡

𝑡 + 1, 𝑡 > 2

Dari Contoh 4.2.2, akan ditunjukkan 𝑥 adalah titik tetap tunggal dari T dengan 𝑥 = 𝐴.

Penyelesaian:

Dari Contoh 4.2.2 di atas, berdasarkan Definisi 4.1.2 hingga Teorema 4.1.7, (𝑉, 𝑑_𝑓^∗,∗) merupakan ruang metrik fuzzy lengkap.

Untuk membuktikan fungsi 𝜑 memenuhi (P1) dan (P2), diambil sebarang 𝜏_𝑖, 𝜏_𝑗 ∈ [0,1] dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Jika diasumsikan 𝜏_𝑖 < 𝜏_𝑗, maka

√𝜏𝑖 < √𝜏𝑗

−√𝜏𝑖 > −√𝜏𝑗

1 − √𝜏𝑖 > 1 − √𝜏𝑗

𝜑(𝜏_𝑖) > 𝜑(𝜏_𝑗)

54

Sehingga, dari hasil di atas, dengan mengambil sebarang elemen pada [0,1] bisa dipaparkan bahwa fungsi 𝜑 monoton, dimana untuk kasus ini monoton turun. Untuk left continuous, dimisalkan ada 𝑟 ∈ ℝ⁺ dan 𝑟 → 0 yang memenuhi

𝜑(𝜏 − 𝑟) = 𝜑(𝜏) Untuk fungsi 𝜑 yang diberikan,

𝜑(𝜏 − 𝑟) = 1 − √𝜏 − 𝑟 Untuk 𝑟 → 0⁺

𝑟→0lim⁺𝜑(𝜏 − 𝑟) = lim

𝑟→0⁺1 − √𝜏 − 𝑟

= 1 − √𝜏 − 0

= 1 − √𝜏

= 𝜑(𝜏)

Sehingga, untuk (P1) terpenuhi. Untuk (P2), dibagi dalam dua kasus

(⇒) 𝜑(𝜆) = 0

𝜑(𝜆) = 0 1 − √𝜆 = 0 1 − 0 = √𝜆

1 = √𝜆 𝜆 = 1 (⇐) 𝜆 = 1

𝜆 = 1

√𝜆 = √1

√𝜆 = 1 1 − √𝜆 = 0 𝜑(𝜆) = 0

55 Sehingga (P2) terpenuhi. Jadi, fungsi 𝜑 memenuhi (P1) dan (P2).

Lalu, selanjutnya dibuktikan fungsi 𝑘(𝑡) memenuhi Persamaan (4.1), yaitu

𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡))

Akan dibuktikan Pertidaksamaan (4.1) dengan kontradiksi, yaitu andaikan

𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥, 𝑇 𝑦, 𝑡))

Diketahui bahwa 𝑥_𝑛→ 𝑥 dan 𝑦_𝑛→ 𝑦 untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉.

Menurut [3, Teorema 1.4.8], akibat dari kekonvergenan 𝑥_𝑛 dan 𝑦_𝑛 berimplikasi 𝑇𝑥_𝑛→ 𝑇𝑥 dan 𝑇𝑦_𝑛→ 𝑇𝑦 sehingga

𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡))

𝑛→∞lim 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑡)) < lim

𝑛→∞𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥_𝑛, 𝑇𝑦_𝑛, 𝑡)) Dengan menghilangkan limit di kedua ruas,

𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥_𝑛, 𝑇𝑦_𝑛, 𝑡)) Berdasarkan (4.2) didapat

𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥_𝑛, 𝑇𝑦_𝑛, 𝑡))

= 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛+1, 𝑦_𝑛+1, 𝑡))

Dengan meninjau pertidaksamaan di atas, terdapat kontradiksi dengan (4.3), yaitu

𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛+1, 𝑦_𝑛+1, 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑡)) Sehingga pengandaian salah.

56

Karena telah dibuktikan bahwa 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥, 𝑇𝑦 , 𝑡)) ≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡)) dan diketahui 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡)) <

𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡)) untuk 𝑘(𝑡) ∈ (0,1) dengan 𝑡 > 0, berakibat memenuhi 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝑥, 𝑇𝑦, 𝑡)) < 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡))

Karena (𝑉, 𝑑_𝑓^∗,∗) yang didefinisikan merupakan ruang metrik fuzzy lengkap, fungsi 𝜑 pada Contoh 4.2.2 memenuhi (P1) dan (P2) dan fungsi k memenuhi Pertidaksamaan (4.1), berakibat menurut Teorema 4.2.1, dijamin fungsi T mempunyai titik tetap.

Untuk menunjukkan 𝐴 adalah titik tetap dari T, atau dengan kata lain

𝑇𝐴 = 𝐴

Digunakan Persamaan (4.10)-(4.12), yaitu 0 ≤ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝑇𝐴, 𝑡))

= 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝑇𝐴, 𝑇𝐴, 𝑡))

≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴, 𝑡))

= 𝑘(𝑡) ∙ 𝜑(1)

= 𝑘(𝑡) ∙ 0

= 0

didapat 𝜑 (𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝑇𝐴, 𝑡)) = 0. Berdasarkan (P2), bisa ditunjukkkan bahwa 𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝑇𝐴, 𝑡) = 1. Berdasarkan MF2 pada Definisi 4.1.2, bisa disimpulkan bahwa 𝑇𝐴 = 𝐴 yang berakibat 𝐴 adalah titik tetap dari fungsi T.

Untuk menunjukkan ketunggalannya, andaikan ada titik tetap yang lain, katakan 𝐴^′∈ 𝑉 dan 𝐴^′≠ 𝐴. Akibat dari pengandaian ini, berdasarkan (4.13) dan (4.14),

𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴′, 𝑡) = 𝑑_𝑓^∗(𝑇𝐴, 𝑇𝐴^′, 𝑡)

≤ 𝑘(𝑡) ∙ 𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴′, 𝑡)

57

< 𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴′, 𝑡)

Didapat suatu kontradiksi, yaitu 𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴′, 𝑡) < 𝑑_𝑓^∗(𝐴, 𝐴′, 𝑡) yang mengakibatkan pengandaian salah. Karena hal ini, 𝐴^′ = 𝐴 yang berakibat 𝐴 adalah titik tetap tunggal dari T

59 BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, terkait ruang metrik fuzzy, baik dari kekonvergenan barisan, barisan Cauchy dan kelengkapannya serta teorema titik tetap yang berlaku, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :

1. (𝑉, 𝑑_𝑓^∗,∗) merupakan ruang metrik fuzzy lengkap dengan 𝑑 fungsi metrik di 𝑉, 𝑑_𝑓^∗⊆ (𝑉, 𝑑)²× (0, ∞) dan 𝑑_𝑓^∗: 𝑑_𝑓^∗ → [0, 1] yang didefinisikan 𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡) = exp (−^{2𝑑(𝑥,𝑦)}

𝑡 ) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 𝑡 > 0 serta ∗ norm-t kontinu yang didefinisikan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎𝑏.

2. Jika {𝑥_𝑛} konvergen pada (𝑉, 𝑑), maka {𝑥_𝑛} konvergen pada (𝑉, 𝑑_𝑓^∗,∗). Begitu pula jika {𝑥_𝑛} barisan Cauchy pada (𝑉, 𝑑), maka {𝑥_𝑛} barisan Cauchy pada (𝑉, 𝑑_𝑓^∗,∗) 3. Dari Teorema 4.2.1, dengan mendefinisikan 𝑉 =

{𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸} dengan 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (1,0), 𝐶 = (1,2), 𝐷 = (0,1), 𝐸 = (1,3), 𝜑(𝜏) = 1 − √𝜏 ∀𝜏 ∈ [0,1], 𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡) = exp (−^{2𝑑(𝑥,𝑦)}

𝑡 ) ∀𝑡 > 0 dengan 𝑑(𝑥, 𝑦) merupakan metrik Euclid pada ℝ², fungsi 𝑇: 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑇(𝐴) = 𝑇(𝐵) = 𝑇(𝐶) = 𝑇(𝐷) = 𝐴 dan 𝑇(𝐸) = 𝐵 serta fungsi 𝑘: (0, ∞) → (0,1) yang didefinisikan seperti pada Contoh 4.2.2, didapat suatu titik tetap dari 𝑇, atau 𝑇𝑥 = 𝑥 dengan 𝑥 = 𝐴

60

5.2. Saran

Ada beberapa hal yang terkait dengan ruang metrik fuzzy yang belum diteliti lebih dalam, sehingga penulis memberikan saran untuk penelitian selanjutnya, antara lain :

1. Pada penelitian selanjutnya, bisa digunakan kembali fungsi yang sama pada Tugas Akhir ini, yaitu

𝑑_𝑓^∗(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑎^{−2𝑑(𝑥,𝑦)𝑡}

dengan 𝑎 = 𝑒, namun menggunakan nilai 𝑎 yang berbeda, antara lain 𝑎 = ℝ⁺− {1, 𝑒} atau 𝑎 = ℝ⁻

2. Menggunakan norm-s (conorm-t) sebagai pembanding dengan penelitian ini, seperti yang dipaparkan pada [16].

61 DAFTAR PUSTAKA

[1]. Kumam Poom dan Wutiphol Sintunavarat. 2011.

Common Fixed Point Theorems for a Pair of Weakly Compatible Mappings in Fuzzy Metric Spaces.

Bangkok. Hindawi Publishing Corp.Hlm 1-14 [2]. Turkoglu D., S. Sedghi, N. Shobe. 2009. A Common

Fixed Point Theorem in Complete Fuzzy Metric Spaces. Ankara. Novi Sad J. Math. Hlm 11-20 [3]. Kreyszig Erwin. 1978. Introductory Functional

Analysis with Applications. Kanada. John Wiley &

Sons, Inc.

[4]. Yunus Mahmud. 2005. Modul Ajar Pengantar Analisis Fungsional. Surabaya. Departemen Matematika ITS.

[5]. Gregori Valentin, Juan Jose Minana, Samuel Morillas. 2015. On Completable Fuzzy Metric Spaces. Valencia. Elsevier. Hlm 133-139

[6]. Zadeh L. A.. 1965. Fuzzy Sets. California. Inform and Control 8. Hlm 338-353

[7]. Zimmerman. 1992. Fuzzy Set Theory and Its Applications 2ed. Massachusetts. Kluwer Academic Publishers

[8]. Czerwik S.. 1993. Contraction Mappings in b-Metric Spaces. Ostrava. Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis. Hlm 5-11

62

[9]. LG Huang dan Zhang Xian. 2006. Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings. Xiamen. J. Math. Anal. Appl. Hlm 1468-1476.

[10]. Kramosil Ivan dan J. Michalek. 1975. Fuzzy Metric and Statistical Metric Spaces. Kybernetika 11. Hlm 326-334

[11]. George A. dan P. Veeramani. 1993. On Some Results in Fuzzy Metric Spaces. India. Madras-600 036. Hlm 395-399

[12]. Sapena Almanzor. 2001. A Contribution to Study of Fuzzy Metric Spaces. Valencia. Universidad Politecnica de Valencia. Vol 2, No. 1, hlm 63-75.

[13]. Bartle Robert G., dan Donald R. Sherbert. 2010.

Introduction to Real Analysis. Illinois. University if Illinois, Urbana-Champaign. John Wiley & Sons, Inc.

[14]. Shen Y. et al. 2011. Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Spaces. Tianshui. Tianshui Normal University. Elsevier. Hlm 138-141.

[15]. Nuril Z. Auda, Sunarsini, Yunus M., Sadjidon. 2016.

Pemetaan Kontraktif pada Ruang b-Metrik Cone ℝ Bernilai ℝ². Surabaya. J. Math and Its Appl. Vol 13 No 2. Hlm 1-10

[16]. Noorani M. S. M. dan M. Rafi. 2006. Fixed Point Theorem on Intuitionistic Fuzzy Metric Spaces.

Iranian Journal of Fuzzy Systems Vol. 3, No. 1, hlm 23-29

63 [17]. Lebl Jiri. 2018. Basic Analysis I, Introduction to

Real Analysis Vol. I. California.

64

65 BIODATA PENULIS

Penulis bernama Zicky Lukman, lahir di Jember, 29 Oktober 1995. Penulis memulai jenjang pendidikan formal dari TK Al Furqon Jember (2001-2002), SDN Jember Lor 1 (2002-2008), Semesta Bilingual Boarding School (2008-2011) sampai SMAN 1 Jember (2011-2014). Setelah lulus dari pendidikan menengah atas, penulis melanjutkan studi ke jenjang S1 di Departemen Matematika ITS pada tahun 2014 hingga sekarang melalui jalur SBMPTN dengan NRP 06111440000084. Selama menempuh studi di Departemen Matematika, penulis mengambil bidang minat Matematika Analisis. Selain aktif berkuliah, penulis sempat aktif di organisasi kerohanian melalui Lembaga Dakwah Jurusan Ibnu Muqlah Matematika ITS sebagai Ketua Biro Pelatihan di Departemen Kaderisasi (2015-2016) dan Ketua Departemen Kaderisasi (2016-2017). Selain itu juga, dalam kurun 2015-2018, penulis menjadi asisten dosen, baik Kalkulus 1 maupun Kalkulus 2, di ITS selama 6 semester.

Untuk pertanyaan lebih lanjut mengenai Tugas Akhir ini, bisa menghubungi penulis via WA (085859557005) atau email ke lukmanzicky@gmail.com