Teori Graf

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI

2.1. Teori Graf

Dalam mempelajari graf terdapat beberapa teori dasar untuk mendukung pembuktian dan mempermudah pemahaman. Beberapa teori dasar meliputi pengertian graf, beberapa istilah dalam graf, jenis-jenis graf, dan pelabelan graf. Berikut ini disajikan pengertian graf :

1. Pengertian Graf :

Graf tak bearah G, yang selanjutnya hanya disebut dengan graf G

didefinisikan sebagai himpunan pasangan teurut 𝐺 = (𝑉,𝐸)dengan 𝑉 adalah himpunan berhingga titik-titik (vertex-vertex) yang tidak kosong



v v1, ,2 ,v_p



dan 𝐸 adalah himpunan edge sehingga 𝑢𝑣= 𝑣𝑢𝜖𝐸 untuk 𝑢,𝑣





v v1, ,2 ,v_p



. Selanjutnya anggota 𝑉 disebut titik dan anggota 𝐸 disebut sisi.

Banyaknya titik dari graf G disebut order graf G dan dinotasikan dengan 𝑉 = 𝑝 dan banyaknya sisi dari graf G disebut ukuran (size) dari

G dan dinotasikan dengan 𝐸 = 𝑞. Secara geometri, graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang dua dimensi yang dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Prasetyo, 2008).

Contoh graf dan yang bukan graf:

(a) Graf (b) Bukan graf

Gambar 2.1 Graf dan Bukan Graf

Gambar 2.1 (a) di atas merupakan contoh graf dengan 𝑉 = 4, dan 𝐸 = 4, sedangkan gambar (b) bukan graf karena 𝑉 = 0, sehingga tidak memenuhi definisi.

2. Beberapa istilah dalam Graf

Dalam mempelajari tentang graf terdapat beberapa istilah yang berkaitan dengan graf. Berikut ini diberikan definisi tentang adjacent, incident, derajat verteks, gelang (loop), serta sisi ganda.

Definisi 2.1.1 (Suryadi, 1996)

Misal pada graf G terdapat dua titik v_i dan v_j, dua buah titik pada G

dikatakan berdampingan (adjacent) bila terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi e = (v_i,

vj)



E (G) dimana vi≠ vj. Gambar 2.2 Graf G1 v3 v₂ v1 v4

Pada Gambar 2.2, titik v1 dan v2 berdampingan (adjacent). Selain itu, titik v₁ dan v₄ juga berdampingan (adjacent) karena terdapat sisi (edge) yang menghubungkan kedua titik itu. Sedangkan titik v1 dan v3 bukan merupakan titik yang berdampingan karena tidak ada sisi yang menghubungkan keduanya.

Definisi 2.1.2 (Wiitala, 1987)

Diberikan graf G dan {v_i, v_j}



V (G) jika e = (v_i, v_j)



E(G) maka dikatakan e bersisian (incident) dengan titik vi atau e bersisian dengan titik

v_j.

Gambar 2.3 Graf G₂

Pada Gambar 2.3 di atas, e5 bersisian (incident) dengan titik v1 dan

v₃. Sedangkan e₂ tidak bersisian dengan v_1.

Definisi 2.1.3 (Wiitala, 1987)

Derajat (degree) sebuah titik v pada sebuah graf G yang dituliskan dengan der (v) adalah banyak sisi yang bersisian pada v, dengan kata lain banyak sisi yang memuat v sebagai titik ujung. Sisi dengan titik-titik ujung yang sama disebut gelang (loop). Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).

Gambar 2.4 Graf G3 v3 v₂ v1 v4 e3 e1 e2 e4 e5 v3 v₂ v1 v4 v5 e1

Pada Gambar 2.4, derajat (degree) titik v1 adalah tiga, karena ada tiga sisi yang bersisian dengan titik v₁. Sedangkan derajat v₂ adalah dua. Untuk titik v5, derajatnya adalah nol sehingga disebut titik terisolasi (isolated vertex). Sisi e₁ disebut sebagai gelang (loop) karena titik-titik di ujung-ujungnya adalah sama yaitu v4.

Definisi 2.1.4 (Wiitala, 1987)

Misal terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan pasangan titik yang sama, maka graf yang demikian dapat dikatakan mempunyai sisi ganda (multiple edge).

Gambar 2.5 Graf G4

Pada Gambar 2.5, Graf G₄ memuat sisi ganda yaitu sisi e₁ dan e₂

karena menghubungkan dua titik yang sama yaitu v1 dan v2.

Berikut ini akan diberikan definisi tentang walk, trail, dan path.

Definisi 2.1.5 (West, 2009)

Suatu walk pada sebuah graf adalah suatu urutan yang terdiri atas titik-titik dan sisi-sisi bergantian, dimana setiap sisi bersisian dengan titik terdekat, dengan diawali dan diakhiri pada suatu titik.

v1 e1 e2 e3 e4 e5 e₆ v2 v3 v4

Definisi 2.1.6 (West, 2009)

Suatu walk yang setiap sisinya berbeda disebut trail. Suatu trail

yang setiap titiknya berbeda disebut lintasan (path). Panjang lintasan adalah banyaknya sisi dalam lintasan tersebut.

Di bawah ini akan diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.5 dan Definisi 2.1.6.

Gambar 2.6 Graf G5

Pada Graf G5 terdapat :

Walk : v₁, e₁, v₂, e₂, v₃, e₃, v₃, e₄, v₄ Trail : v1, e1, v2, e2, v3 , e3, v3, e4, v4

Path : v₁, e₁, v₂, e₂, v₃, e₄, v₄

Berikut diberikan definisi tentang graf terhubung (connected graph) dan graf tak terhubung (disconnected graph).

Definisi 2.1.7 (Wiitala, 1987)

Suatu graf G dikatakan graf terhubung jika untuk setiap pasang titik

vidan titik vj, vi ≠ vj, di dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj.

Jika tidak, maka graf G disebut graf tak terhubung (connected graph). Di bawah ini diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.7.

v1 v2 v3 v4 v5 v6 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e₉

Contoh :

Gambar 2.7 Graf G6 dan G7

Graf G6 pada Gambar 2.7 merupaan graf tak terhubung karena tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v₅ dengan titik v₁, v₂, v₃, v₄, sedangkan graf G7 merupakan graf terhubung karena setiap titik terhubung oleh suatu sisi.

3. Jenis-jenis Graf

Berdasarkan sifatnya graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda, berdasarkan banyak titik,atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008), yaitu : 1. Graf sederhana (simple graph)

Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.

2. Graf tak sederhana (unsimple graph)

Graf tak-sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda maupun gelang. Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda

v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 Graf G₆ Graf G₇

(multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.

Di bawah ini diberikan contoh untuk graf sederhana dan graf tak sederhana.

Contoh :

Gambar 2.8 Graf G8, G9, dan G10

Pada Gambar 2.8 di atas, Graf G8 merupakan graf sederhana, Graf G9 merupakan graf ganda, dan Graf G10 merupakan graf semu.

Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008), yaitu :

1. Graf berhingga (finite graph)

Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang berhingga dan jumlah sisi yang berhingga.

Graf berhingga dengan satu titik tanpa sisi, atau dengan kata lain, merupakan suatu titik tunggal, disebut graf trivial.

2. Graf tak-berhingga (infinite graph)

Graf tak berhingga dalah graf yang banyak titik / verteksnya tidak berhingga. v2 v3 v1 v4 v2 v2 v1 v4 v3 v1 v3 v4

Berdasarkan orientasi arah pada sisi (edge), maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Prasetyo, 2008) , yaitu :

1. Graf tak berarah (undirected graph)

Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (vj, vk) = (vk, vj) adalah sisi yang sama. 2. Graf berarah (directed graph)

Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf bearah (v_j, v_k) dan (v_k, v_j) menyatakan dua sisi yang berbeda, dengan kata lain (𝑣𝑗^,𝑣𝑘⁾ ≠(𝑣𝑘^,𝑣𝑗). Untuk sisi (𝑣𝑗^,𝑣𝑘)titik v_j

dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik vk dinamakan titik terminal (terminal vertex).

Di bawah ini diberikan contoh untuk graf tak berarah dan graf berarah.

Contoh :

Gambar 2.9 Graf G11 dan G12

Pada gambar 2.9 di atas, Graf G11 merupakan graf tak berarah. Sedangkan Graf G12 merupakan graf berarah.

v3 v2 v1 v4 v3 v2 v1 v4 Graf G11 Graf G12

Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus. Berikut ini didefinisikan beberapa graf khusus (Prasetyo, 2008):

1. Graf lengkap (Complete Graph)

Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap titiknya terhubung langsung (oleh satu sisi) ke semua titik lainnya. Dengan kata lain, setiap titiknya bertetangga. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan K_n. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap yang terdiri dari n buah titik adalah ¹

2𝑛(𝑛 −1) sisi.

Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf lengkap. Contoh :

Gambar 2.10 Graf Lengkap

Pada Gambar 2.10 di atas, gambar graf berturut-turut dari kiri adalah graf lengkap dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Dituliskan K1, K2, K₃, K₄, K₅, dan K₆.

2. Graf sikel ( cycle graph )

Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya mempunya dua sisi yang insiden (bersisian). Graf sikel dengan p titik dilambangkan dengan Cp.

Di bawah ini beberapa contoh graf sikel. Contoh :

Gambar 2.11 Graf sikel

Pada gambar 2.7 berturut-turut dari kiri adalah graf sikel dengan p = 3, 4, 5, dan 6. Dilambangkan dengan C₃, C₄, C₅, dan

C6.

3. Graf Roda (Wheels Graph)

Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik pada graf sikel CP, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.

Di bawah ini diberikan beberapa contoh graf roda. Contoh :

Gambar 2.12 Graf Roda

Pada gambar 2.8 berturut-turut dari kiri adalah graf roda yang terbentuk dari graf sikel dengan p = 3,4,5, dan 6. Dituliskan dengan

W₃, W₄, W₅, dan W₆.

Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah

r, maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi pada graf teratur dengan n titik adalah 2nr sisi.

Di bawah ini diberikan salah satu contoh graf teratur. Contoh :

Gambar 2.13 Graf Teratur dengan r = 3 5. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang berpotongan kecuali di titik dimana keduanya bersisian.

Dibawah ini diberikan beberapa contoh graf planar dan graf bidang.

Contoh :

- Semua graf sikel merupakan graf planar

Tetapi graf lengkap Kn untuk n ≥ 5 merupakan graf tak-planar. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan dinamakan graf bidang.

Gambar 2.14 K4 adalah graf planar

Gambar 2.15 K5 bukan graf planar

Pada Gambar 2.15, K5 bukan graf planar karena terdapat sisi yang berpotongan pada titik yang tidak bersisian.