BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI
D. Teori Optimisasi
D. Teori Optimisasi
Secara umum, bentuk baku untuk permasalahan optimisasi berkendala adalah sebagai berikut:
minimumkanß –# $ (2.24) dengan kendala ci(x) = 0, i à (2.25)
ci(x) ≥ 0, i á (2.26) dimana:
f adalah fungsi obyektif
à = {1, … , me} adalah himpunan indeks dari kendala persamaan á = {me + 1, … , m} adalah himpunan indeks dari kendala
pertidak-samaan
Apabila fungsi obyektif dan kendala dari permasalahan (2.24)-(2.26) merupa-kan fungsi konveks, maka permasalahan tersebut merupamerupa-kan permasalahan
pemrograman konveks.
Definisi 2.4.1 (Titik Layak atau Penyelesaian Layak)
Titik dikatakan titik layak atau penyelesaian layak dari masalah op-timisasi jika dan hanya jika memenuhi persamaan (2.25) dan (2.26).
Definisi 2.4.2 (Titik Optimum atau Penyelesaian Optimum)
Titik â dikatakan titik optimum atau penyelesaian optimum dari masalah optimisasi jika dan hanya jika merupakan penyelesaian layak yang mengoptimumkan fungsi obyektif.
Definisi 2.4.3 (Titik Stasioner atau Titik Kritis)
Titik â dikatakan titik stasioner atau titik kritis untuk f yang terdife-rensial jika ³–# â$ 0.
Definisi 2.4.4 (Himpunan Layak atau Daerah Layak)
Himpunan semua titik layak dikatakan himpunan layak atau daerah layak
yang dinotasikan dengan X, dimana X didefinisikan sebagai ‘ ã ä l # $ 0, ] 1, … , ˆå
atau
‘ 8 |l# $ 0, ] à;l# $ - 0, ] á<
Definisi 2.4.5 (Peminimum Global dan Peminimum Global Tegas)
Jika â ‘ dan jika –# $ - –# â$, ‘, maka â dikatakan peminimum global dari permasalahan (2.24) – (2.26). Jika â ‘ dan jika
–# $ ' –# â$, ‘, maka â dikatakan peminimum global tegas.
Definisi 2.4.6 (Peminimum Lokal dan Peminimum Lokal Tegas)
Jika â ‘ dan jika ada suatu kitar B( â, ¡$ dari â sedemikian sehingga –# $ - –# â$, ‘ è x# â, ¡$, maka â dikatakan peminimum lokal dari permasalahan (2.24) – (2.26), dimana x# â, ¡$ 8 |L âL S ¡< dan ¡ ' 0. Jika â ‘ dan jika ada suatu kitar B( â, ¡$ dari â sedemikian se-hingga –# $ ' –# â$, ‘ è x# â, ¡$, â, maka â dikatakan pemi-nimum lokal tegas.
Definisi 2.4.7 (Himpunan Indeks)
Misalkan á# $ 8]|l# $ 0, ] á<. Untuk sebarang , himpunan é# $ à ê á# $ adalah himpunan indeks dari kendala-kendala aktif di x, yakni kendala yang memenuhi l # $ 0. Sedangkan, é# â$ adalah himpu-nan indeks dari kendala aktif dari permasalahan (2.24) – (2.26) di â yang
di-definisikan dengan é# â$ à ê á# â$, dimana á# â$ 8]|l# â$ 0, ] á<.
Definisi 2.4.8 (Arah Layak)
Misalkan â ‘, 0 ¼ . Jika ada ¡ ' 0 sedemikian sehingga
â" À¼ ‘, À 0, ¡ , maka d dikatakan arah layak (feasible direction). Himpunan dari semua arah layak dari X di â adalah
ëm # â, ‘$ 8¼ | â" À¼ ‘, À 0, ¡ <
Definisi 2.4.9 (Arah Layak Terlinearisasi)
Misalkan â ‘ dan ¼ . Jika ¼ ³l # â$ 0, ] à, ¼ ³l # â$ - 0, ] á# â$, maka d dikatakan arah layak terlinearisasi (linearized feasible direction). Himpunan dari semua arah layak terlinearisasi dari X di â adalah
ìëm # â, ‘$ ã¼ä ¼ ³l # â$ 0, ] à ¼ ³l # â$ - 0, ] á# â$æ
Definisi 2.4.10 (Arah Layak Terurut)
Misalkan â ‘ dan ¼ . Jika ada barisan ¼˜#Û 1, 2, … $ dan ¼˜' 0, #Û 1, 2, … $ sedemikian sehingga â" ¡˜¼˜ ‘, Û dan
¼˜™ ¼, ¡˜ ™ 0, maka arah limit d dikatakan arah layak terurut (sequential feasible direction). Himpunan dari semua arah layak terurut dari X di â ada-lah
{ëm# â, ‘$ ã¼ä â¼" ¡˜¼˜ ‘, Û ˜ ™ ¼, ¡˜™ 0 æ
Teorema 2.4.1
Misalkan S ⊂ himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {. Maka ada vektor taknol p dan bilangan real R sedemikan sehingga T B ' R dan T S α, {, yakni T B ' sup8T , {< yang mana mengatakan bahwa ada bidang hiper î 8 |T α< sebagai pemisah tegas y dan S.
Bukti:
Karena S himpunan konveks tertutup tidak kosong dan B Ö {, maka berdasar-kan Teorema Proyeksi ada titik tunggal « {, sedemikian sehingga
# «$ #B «$ S 0, {
Bentuk p = B « 0, maka
0 - #B «$ #B « " B$ T #T " B$
T T B " LTL Oleh karena itu, T B - T " LTL , {.
Bentuk α sup8T | {<, sehingga diperoleh T B ' sup8T , {<. ▄
Teorema 2.4.2 (Lemma Farkas)
Misalkan A∈ dan ï . Maka ada tepat satu dari dua sistem berikut yang mempunyai penyelesaian:
(i) S 0, ï ' 0 (2.27) (ii) B ï, B - 0 (2.28)
Bukti:
(i) Misalkan sistem 2.28 mempunyai penyelesaian.
Akan dibuktikan sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Andaikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian, yakni ada ï ' 0 se-demikian sehingga S 0 saat B ï dan B - 0. Jika sistem 2.27 dan 2.28 dipenuhi, maka ï # B$ B . Karena S 0 dan B - 0, maka B S 0 yang mana kontradiksi dengan asumsi bahwa ï ' 0. Karena pengandaian salah, maka haruslah sistem 2.27 tidak mempunyai penyelesaian.
(ii) Misalkan sistem 2.28 tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan sistem 2.27 mempunyai penyelesaian.
Misalkan { 8 | B, B - 0< adalah himpunan konveks tertutup tidak kosong dan ï Ö {. Berdasarkan Teorema 2.4.1, ada T dan
α sedemikian sehingga T ï ' R dan T S α, {. Karena 0 {, maka R - T T 0 0 dan T ï ' 0 sehingga R - T
T B B T, B - 0. Jadi, diperoleh B T S 0. Untuk sebarang y yang besar diperoleh T S 0, dengan T yang merupakan penye-lesaian dari sistem 2.27.
▄
Selanjutnya, diberikan Lemma 2.4.1 yang merupakan akibat langsung dari Teorema 2.4.2. Lemma 2.4.1 Himpunan { ð¼ñ ¼ ³–# â$ o 0 ¼ ³l # â$ 0, ] à ¼ ³l # â$ - 0, ] áò #2.29$
adalah himpunan kosong jika dan hanya jika ada bilangan real λ , ] à dan bilangan taknegatif λ - 0, ] á sedemikian sehingga
³–# â$ Y λ ³l # â$ à " Y λ ³l # â$ á #2.30$ Bukti: Misalkan bahwa
¼ , ³–# â$ ï, F³l # â$
³l # â$G , λ ² Maka, persamaan (2.29) dapat ditulis menjadi
(i) ¼ ³–# â$ o 0 X ï o 0 X ï ' 0 X ï ' 0 (ii) ¼ ³l # â$ 0, ] à dan ¼ ³l # â$ - 0, ] á X # $ - 0 X # $ - 0 X - 0 X S 0
yang mana S 0 dan ï ' 0 adalah persamaan (2.27). Sedangkan, persamaan (2.30) dapat ditulis menjadi
³–# â$ Y λ ³l # â$ à " Y λ ³l # â$ á Y λ ³l # â$ Y ³l # â$ λ \ \ X ï B
yang mana ï B adalah persamaan (2.28). Melalui Lemma 2.4.1 ini:
(1) Misalkan bahwa persamaan (2.30) mempunyai penyelesaian.
(2) Misalkan bahwa persamaan (2.30) tidak mempunyai penyelesaian. Akan dibuktikan bahwa persamaan (2.29) mempunyai penyelesaian. Bukti untuk ke dua pernyataan di atas analog dengan bukti pada Teorema 2.4.2.
▄
Berikut ini diberikan teorema tentang syarat optimalitas geometri.
Teorema 2.4.3 (Syarat Optimalitas Geometri)
Misalkan â ‘ adalah peminimum lokal dari permasalahan (2.24) – (2.26). Jika f(x) dan ci(x)(i = 1, 2, …, m) terdiferensial di â, maka
¼ ³–# â$ - 0, ¼ {ëm# â, ‘$ (2.31) yang mana berarti {ëm# â, ‘$ è ô# â$ “, di mana ô# â$ 8¼| ¼ ³–# â$ o 0< dan “ adalah himpunan kosong.
Bukti:
Untuk sebarang ¼ {ëm# â, ‘$, ada ¡˜ ' 0#Û 1, 2, … $ dan ¼˜
#Û 1, 2, … $ sedemikian sehingga â" ¡˜¼˜ ‘ dengan ¡˜ ™ 0 dan ¼˜ ™ ¼. Karena â" ¡˜¼˜ ™ â dan â adalah peminimum lokal, maka ber-dasarkan Teorema Taylor di untuk k yang cukup besar diperoleh
0 S ¡˜¼˜ ³–# â$ " Õ#¡˜$ (2.32) Karena ¡˜' 0 dan Û ™ ∞, maka diperoleh
¼ ³–# â$ - 0 (2.33) Karena d sebarang, maka diperoleh persamaan (2.31).
Persamaan (2.33) juga berarti dÖ ô# â$ 8¼| ¼ ³–# â$ o 0<. Oleh karena itu {ëm# â, ‘$ è ô# â$ “.
▄
Berikut ini diberikan definisi fungsi Lagrange.
Definisi 2.4.11 (Fungsi Lagrange)
Fungsi Lagrange dari permasalahan (2.24) – (2.26) adalah
õ# , ö$ –# $ Y λ l # $ \
–# $ Y λ l # $
àêá
dimana ö #λ , … , λ $ disebut vektor pengali Lagrange.
Teorema 2.4.4 (Teorema Karush Kuhn Tucker)
Misalkan â adalah peminimum lokal dari permasalahan (2.24) – (2.26). Jika himpunan semua arah layak terlinearisasi sama dengan himpunan semua arah layak terurut, yakni
dipenuhi, maka ada pengali Lagrange kâ sedemikian sehingga syarat berikut dipenuhi di ( â, ÷â$: ³ õ# â, öâ$ ³–# â$ Y kâ³l # â$ \ 0 #2.35$ l # â$ 0, ] à (2.36) l # â$ - 0, ] á (2.37) kâ- 0, ] á (2.38) kâl # â$ 0, ] á (2.39) Bukti:
Misalkan ¼ {ëm# â, ‘$. Karena â adalah peminimum lokal, maka berda-sarkan Teorema 2.4.3 diperoleh ¼ ³–# â$ - 0. Dari persamaan (2.34) dipe-roleh ¼ ìëm # â, ‘$. Misalkan ditetapkan vektor kâ dengan
kâ ã k , ] é# â$
0, ] á\á# â$ù (2.40) Maka dengan menggunakan persamaan (2.30) untuk kâ diperoleh
³–# â$ Y kâ³l # â$ à
" Y kâ³l # â$ á# â$
dimana kâ #] à$ dan kâ- 0#] á# â$$. Bentuk
³–# â$ Y kâ³l # â$ #2.41$ \
Karena â layak, maka syarat (2.36) – (2.37) dipenuhi.
Berdasarkan persamaan (2.30) diperoleh kâ - 0 untuk ] á# â$, sedangkan dari persamaan (2.40) diperoleh kâ 0 untuk ] á\á# â$. Oleh karena itu, kâ - 0 untuk ] á, sehingga syarat (2.38) dipenuhi.
Untuk ] á# â$ diperoleh l # â$ 0, sedangkan untuk ] á\á# â$ dipero-leh kâ 0. Oleh karena itu, kâl # â$ 0 untuk ] á, sehingga syarat (2.39) dipenuhi.
▄
Berikut ini diberikan definisi titik Karush Kuhn Tucker.
Definisi 2.4.12 (Titik Karush Kuhn Tucker)
Suatu titik dikatakan titik Karush Kuhn Tucker (KKT) jika memenuhi sya-rat KKT, yakni syasya-rat (2.35)-(2.39) yang terdapat dalam Teorema Karush Kuhn Tucker.
Teorema 2.4.5
Titik KKT dari pemrograman konveks merupakan titik peminimum.
Bukti:
Karena –# $ dan l # $ merupakan fungsi konveks, maka fungsi Lagrange õ# , öâ$ –# $ Y kâl # $ à Y kâl # $ á #2.42$ adalah konveks untuk x.
Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 dan Teorema Karush Kuhn Tucker, ma-ka diperoleh untuk sebarang x yang layak
õ# , öâ$ - õ# â, öâ$ " # â$ ³ õ# â, öâ$ õ# â, öâ$ " # â$ 0 õ# â, öâ$ –# â$ Y kâl # â$ \ –# â$ 0 –# â$ (2.43) Karena x adalah titik layak, yakni memenuhi persamaan (2.25) dan
kâ - 0,] á, maka
kâl # $ 0, ] à dan kâl # $ - 0,] á (2.44) Oleh karena itu, dengan menggunakan (2.42) dan (2.44) diperoleh
õ# , öâ$ –# $ Y kâl # $ à
Y kâl # $ á
Dengan menggunakan (2.43) dan (2.45) diperoleh –# $ - –# â$, yang mana menunjukkan bahwa titik KKT â merupakan titik peminimum.
▄