Teori spektral di ruang ber-norm berdimensi hingga

Pada bagian ini diperkenalkan mengenai teori spektral di ruang ber-norm berdimensi hingga. Berikut ini diperkenalkan spektrum dan himpunan resolvent dari matriks.

Definisi 2.16. Nilai eigen dari matriks persegi A = (a_{i j}) adalah bilangan

kompleks λ yang sedemikian sehingga persamaan Ax = λx memiliki solusi x 6= 0.

Vektor x ini disebut sebagaivektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dan vektor nol membentuk subruang vektor dari X yang disebutruang eigen dari A yang

bersesuaian dengan nilai eigen λ. Himpunan σ(A) yang memuat semua nilai eigen dari A disebutspektrum dari A. Komplemennya ρ(A) = C − σ(A) di bidang kompleks disebut himpunan resolvent dari A.

Apabila λ adalah nilai eigen dari matriks persegi A, λ adalah solusi dari persamaan karakteristik dari A, yaitu det(A − λI) = 0. Setiap operator linear di ruang berdimensi hingga pasti terdapat matriks representasi. Merujuk dari Jacob (1990), berikut ini adalah pengertian dari matriks representasi.

Definisi 2.17. Misal T : V −→ W suatu operator linear, dengan B= {v₁, v₂, · · · , v_n} adalah basis terurut dari ruang vektor V dan

C= {w₁, w₂, · · · , w_m} adalah basis terurut dari ruang vektor W . Didefinisikan T_BC= (a_{i j}) suatu matriks m × n dengan konstanta a_{i j} dapat ditentukan secara unik dari persamaan

T(v_j) = a_{1 j}w₁+ a_{2 j}w₂+ · · · + a_{m j}w_m

untuk setiap j. Matriks T_BCdisebutmatriks representasi dari operator linear T . Apabila operator linear T : X −→ X di ruang ber-norm X berdimensi hingga, maka matriks representasinya adalah matriks persegi. Nilai eigen dari matriks representasi dari T memiliki sifat berikut ini.

Teorema 2.18. Setiap matriks yang merepresentasikan operator linear

T : X −→ X di ruang ber-norm berdimensi hingga X relatif terhadap berbagai basis dari X mempunyai nilai eigen yang sama.

Nilai eigen matriks representasi dari T juga merupakan nilai eigen dari T , hal ini berlaku juga untuk spektrum dan himpunan resolvent dari T . Untuk

memudahkan dalam memahami, diberikan contoh berikut ini.

Contoh 2.19. Misalkan T : R²−→ R²dengan T (v) = 2v dan v = (x, y) ∈ R². Misal B = {(1, 0), (0, 1)} dan C = {(1, 0), (1, 1)} merupakan basis dari R².

Apabila T memetakan dari ruang yang berbasis B ke ruang yang berbasis C.

Sebelum mencari matriks representasi T_BCharus dihitung dahulu peta dari anggota basis B, yaitu

T(1, 0) = (2, 0) = 2(1, 0) + 0(1, 1) T(0, 1) = (0, 2) = −2(1, 0) + 2(1, 1).

Jadi didapat a11= 2, a₁₂= −2, a₂₁= 0, dan a₂₂= 2 sehingga

T_BC= 2 −2

0 2

! .

Persamaan karakteristik dari T_BCadalah

Solusi dari persamaan (2.17) ini tunggal yaitu λ₁= 2 . Untuk λ1demikian dapat dipilih v₁= (1, 0) sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1. Dapat dilihat juga bahwa T (v₁) = λ₁v₁. Jadi spektrum dari T_BCadalah σ(T_BC) = {2}.

Apabila T memetakan dari ruang yang berbasis C ke ruang yang berbasis B.

Sebelum mencari matriks representasi TCB harus dihitung dahulu peta dari anggota basis C, yaitu

Persamaan karakteristik dari T_CBadalah

det(T_CB− λI) =

Solusi dari persamaan (2.18) ini tunggal yaitu λ₂= 2 . Untuk λ demikian dapat dipilih v₂= (0, 1) sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Dapat dilihat juga bahwa T (v₂) = λ2v₂. Jadi spektrum dari T_CBadalah σ(T_CB) = {2}. Dapat dilihat σ(T_BC) = σ(T_CB) dan juga merupakan spektrum dari T , σ(T ) = {2}.

SPEKTRUM DAN HIMPUNAN RESOLVENT DARI OPERATOR LINEAR TERBATAS DAN OPERATOR LINEAR SELF ADJOINT TERBATAS

Bab ini terdiri dari konsep dasar di subbab 3.1, spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear terbatas di subbab 3.2, serta spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear terbatas di subbab 3.3.

3.1 Konsep dasar

Misalkan X adalah ruang ber-norm kompleks dan T : D(T ) −→ X adalah operator linear dengan D(T ) ⊂ X . Bentuk operator

T_λ= T − λI (3.1)

dengan λ adalah bilangan kompleks dan I adalah operator identitas di D(T ).

Karena T adalah operator linear, maka operator T_λjuga merupakan operator linear.

Hal ini dapat ditunjukkan dengan

T_λ(x + y) = T (x + y) − λ(x + y) = T (x) − λ x + T (y) − λ y = T_λ(x) + T_λ(y), dan

T_λ(kx) = T (kx) − λ(kx) = k(T (x) − λx) = kT_λ(x).

berlaku untuk setiap x, y ∈ D(T ) dan skalar k ∈ C.

Operator resolvent dari T adalah operator R_λ(T ) dengan R_λ(T ) = (T_λ)⁻¹. Operator resolvent belum tentu ada, karena T_λbelum tentu memiliki inversi.

Apabila R_λ(T ) ada, maka R_λ(T ) merupakan operator linear (dengan Teorema 2.9).

Penulisan R_λ(T ) disederhanakan menjadi R_λ apabila operator T yang dibahas sudah jelas. Berikut ini adalah pengertian dari spektrum dan himpunan resolvent secara umum.

Definisi 3.1. Misal X 6= {0} adalah ruang ber-norm kompleks dan T : D(T ) −→ X adalah operator linear dengan D(T ) ⊂ X . Nilai biasa (regular value) λ dari T adalah bilangan kompleks sedemikian sehingga

(R1) R_λ(T ) ada (R2) R_λ(T ) terbatas

(R3) R_λ(T ) terdefinisi pada himpunan yang padat terhadap X .

Himpunan resolvent ρ(T ) dari T adalah kumpulan semua nilai biasa λ dari T . Komplemennya σ(T ) = C − ρ(T ) di bidang kompleks C disebut spektrum dari T , dan λ ∈ σ(T ) disebut nilai spektral dari T . Lebih lanjut, spektrum σ(T ) dipartisi menjadi tiga himpunan yang saling bebas, yaitu:

1. Spektrum titik atau spektrum diskrit σ_p(T ) adalah himpunan dari λ yang sedemikian sehingga R_λ(T ) tidak ada. Nilai λ ∈ σp(T ) disebut nilai eigen dari T .

2. Spektrum kontinu σ_c(T ) adalah himpunan dari λ yang sedemikian sehingga R_λ(T ) ada dan memenuhi (R3) tapi tidak memenuhi (R2), yaitu R_λ(T ) tidak terbatas.

3. Spektrum residual σ_r(T ) adalah himpunan dari λ yang sedemikian sehingga R_λ(T ) ada (bisa sebagai operator linear terbatas atau tidak) namun tidak memenuhi (R3), yaitu domain dari R_λ(T ) tidak padat di X . Teorema 2.9 butir (a) berbunyi, R_λ(T ) ada jika dan hanya jika T_λ(x) = 0 mengakibatkan vektor x = 0. Oleh karenanya, jika T_λ(x) = 0 untuk suatu x 6= 0, maka R_λ(T ) tidak ada atau dengan kata lain λ adalah nilai eigen dari T . Vektor x ini disebut sebagai vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.

Kumpulan semua vektor eigen dari T yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dan vektor 0 membentuk subruang di D(T ) yang disebut ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Sampai di sini, terlihat bahwa pengertian nilai eigen pada Definisi 3.1 harmonis dengan Definisi 2.16.

Misal A adalah matriks n × n. Matriks A sendiri adalah suatu operator linear di ruang vektor berdimensi n. Apabila matriks A memiliki inversi, maka jelas bahwa inversinya adalah suatu operator linear yang terbatas dan terdefinisi di ruang berdimensi n. Mengingat spektrum dari operator linear di ruang berdimensi hingga adalah spektrum dari matriks representasinya, maka terlihat bahwa spektrum kontinu dan spektrum residual dari operator linear di ruang berdimensi hingga adalah himpunan kosong. Dengan kata lain setiap nilai spektralnya adalah nilai eigen.

Berikut contoh-contoh operator linear dengan spektrumnya, Contoh 3.1. Misal operator linear T : `<sup>2</sup>−→ `²didefinisikan sebagai

(a₁, a₂, · · · ) 7−→ (λ1a₁, λ2a₂, · · · ),

dengan (λ_j) adalah barisan terbatas di R dan konvergen ke suatu k /∈ (λ_j).

T− λI didefinisikan dengan

(a₁, a₂, · · · ) 7−→ ((λ1− λ)a1, (λ2− λ)a2, · · · ).

R_λ terdefinisi sebagai

(a₁, a₂, · · · ) 7−→

 1

λ1− λa₁, 1

λ2− λa₂, · · ·

 .

R_λ ada untuk setiap λ 6= λ_j. R_λ yang ada selalu terbatas kecuali untuk λ = k. Jadi ρ(T ) = C − ({λj|∀ j} ∪ {k}) dan σ(T ) = {λj|∀ j} ∪ {k}, dengan λjmerupakan anggota spektrum titik dari T , dan k merupakan anggota spektrum kontinu dari T . Berdasarkan Contoh 2.12, T adalah operator linear self adjoint terbatas. Hal ini mengakibatkan operator T tidak memiliki spektrum residual, karena operator linear self adjoint terbatas tidak memiliki spektrum residual (hal ini ditunjukkan di Teorema 3.18).

Contoh 3.2. Misal operator linear T : L²[0, 1] −→ L²[0, 1] didefinisikan sebagai (T (x))(t) = tx(t)

dengan t ∈ [0, 1]. Operator T_λdidefinisikan dengan (T_λ(x))(t) = (t − λ)x(t).

R_λ terdefinisi sebagi

(R_λ(x))(t) = 1 t− λx(t).

R_λ(x) terdefinisi dengan baik kecuali ketika λ berada di interval tutup [0, 1], sehingga setiap λ ∈ [0, 1] bukanlah anggota dari ρ(T ). Jadi ρ(T ) = C − [0, 1] dan σ(T ) = [0, 1], dengan [0, 1] adalah spektrum kontinu dari T . Operator T tidak memiliki nilai eigen, hal ini ditunjukkan pada Contoh 3.12. Operator T juga tidak memiliki spektrum residual, karena T merupakan operator linear self adjoint terbatas (Contoh 2.13).

Contoh 3.3. (Operator geser ke kanan) Misal operator linear T : `<sup>2</sup>−→ `² didefinisikan sebagai

(a₁, a₂, · · · ) 7−→ (0, a₁, a₂, · · · ).

T− λI didefinisikan dengan

(a₁, a₂, · · · ) 7−→ (−λa1, a₁− λa2, a₂− λa3, · · · ).

Untuk λ 6= 0, R_λ didefinisikan sebagai (a₁, a₂, · · · ) 7−→ (−a₁ Operator R₀ada sebagai operator geser ke kiri, yaitu

(0, a₁, a₂, · · · ) 7−→ (a₁, a₂, · · · ).

Untuk |λ| > 1, dapat ditunjukkan bahwa R_λterbatas, namun tidak untuk

0 < |λ| ≤ 1. Jadi ρ(T ) = C − {λ | |λ| ≤ 1} dan σ(T ) = {λ | |λ| ≤ 1}. Operator T tidak memiliki nilai eigen, karena operator R_λ(T ) ada untuk setiap λ. Serta 0 < |λ| ≤ 1 adalah anggota spektrum kontinu dari T . Dari definisi T , T₀(`<sup>2</sup>) tidak padat di `²maka λ = 0 adalah anggota spektrum residual.

Lema berikut ini adalah suatu sifat dari operator resolvent dari operator linear terbatas di ruang Banach kompleks.

Lema 3.4. Misal X adalah ruang Banach kompleks, operator T : X −→ X adalah operator linear, dan λ ∈ ρ(T ). Dengan asumsi (a) T tertutup atau (b) T terbatas, maka R_λ(T ) terdefinisi di seluruh ruang X dan terbatas.

Bukti. (a) Karena T tertutup, dengan menggunakan Teorema 2.14 dapat ditunjukkan bahwa T_λ tertutup. Akibatnya R_λ= (T_λ)⁻¹juga tertutup dengan berdasarkan Teorema 2.15. Karena X adalah ruang yang lengkap maka Teorema 2.16 butir ke 2 mengakibatkan D(R_λ) tertutup. Berdasarkan Definisi 3.1 butir (R3), D(R_λ) = X , sehingga dapat disimpulkan bahwa R_λ(T ) terdefinisi di seluruh ruang X. R_λterbatas berdasarkan Definisi 3.1 butir (R2).

(b) Karena D(T ) = X tertutup, maka T tertutup berdasarkan Teorema 2.16 butir 1. Selanjutnya pembuktian dapat dilanjutkan seperti bagian (a).

3.2 Spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear terbatas

Misal X adalah ruang Banach kompleks. Himpunan B(X , X ) adalah ruang Banach yang beranggotakan semua operator linear terbatas T pada ruang X .

Teorema 3.5. Misal T ∈ B(X , X ), dengan X adalah ruang Banach kompleks. Jika kT k < 1, maka (I − T )⁻¹ ada sebagai operator linear terbatas yang terdefinisi di seluruh X dan

(I − T )⁻¹=

∞ j=0

∑

T^j= I + T + T²+ · · · (3.2)

dengan deret di kanan konvergen di B(X , X ).

Sebelum membuktikan Teorema 3.5, ditunjukkan terlebih dahulu untuk setiap operator linear terbatas T berlaku pertidaksamaan berikut ini

kTⁿk ≤ kT kⁿ, (3.3)

dengan n ialah bilangan asli.

Dengan persamaan (2.11), untuk setiap x di D(T ) berlaku kTⁿ(x)k = kT (Tⁿ⁻¹(x))k ≤ kT kkTⁿ⁻¹(x)k.

Lalu diteruskan hingga didapat

kTⁿ(x)k ≤ kT kⁿkxk, atau apabila x 6= 0 dapat ditulis dengan

kTⁿ(x)k

kxk ≤ kT kⁿ. (3.4)

Berdasarkan persamaan (2.10), norm dari Tⁿadalah kTⁿk = sup

x∈D(T ) x6=0

kTⁿ(x)k

kxk . (3.5)

Dari pertidaksamaan (3.4) dan persamaan (3.5) maka didapat pertidaksamaan (3.3).

Berikut ini adalah bukti dari Teorema 3.5.

Bukti. Dengan pertidaksamaan (3.3) dan kT k < 1, maka deret geometri

∞

∑

j=0

kT^jk

konvergen. Jadi didapat deret pada (3.2) konvergen mutlak untuk kT k < 1. Karena

B(X , X ) lengkap, deret pada (3.2) juga konvergen.

Operator I − Tⁿ⁺¹dapat dibentuk menjadi

I− Tⁿ⁺¹= (I − T )(I + T + T²+ · · · + Tⁿ) = (I + T + T²+ · · · + Tⁿ)(I − T ).

Ketika n → ∞, dengan menggunakan pertidaksamaan (3.3) didapat Tⁿ⁺¹→ 0. Jadi didapat

I= (I − T )(I + T + T²+ · · · ) = (I + T + T²+ · · · )(I − T ),

yang berarti (I − T )⁻¹ada sebagai I + T + T²+ · · · . Mengingat T terdefinisi di seluruh X , maka (I − T )⁻¹juga terdefinisi di seluruh X . Lalu, kekonvergenan deret (3.2) ini menyebabkan operator (I − T )⁻¹ terbatas.

Teorema 3.5 memiliki kontribusi dalam mendapatkan sifat dari spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear terbatas berikut ini.

Teorema 3.6. Misal T adalah operator linear terbatas di ruang Banach kompleks X . Himpunan resolvent ρ(T ) dari T adalah buka, yang juga berarti spektrum σ(T ) dari T tertutup.

Bukti. Untuk ρ(T ) = /0, himpunan resolvent buka (sebenarnya ρ(T ) tidak kosong, hal ini ditunjukkan pada Teorema 3.8).

Untuk ρ(T ) 6= /0, misalkan λ₀∈ ρ(T ). Untuk sembarang λ ∈ C dibentuk T− λI = T − λ0I− (λ − λ0)I

= (T − λ0I)(I − (λ − λ0)(T − λ0I)⁻¹)

Misalkan V = I − (λ − λ0)(T − λ0I)⁻¹, sehingga dapat ditulis T_λ= T_λ0V. Karena T terbatas, maka R_λ0 terdefinisi di seluruh X dan juga terbatas dengan Lema 3.4 butir (b). Dengan demikian, operator T_λ= T_λ0V terdefinisi dengan baik. Untuk λ yang memenuhi

k(λ − λ0)(R_λ0)⁻¹k < 1

|λ − λ0| < 1

kR_λ0k, (3.6)

maka berdasarkan Teorema 3.5 V mempunyai inversi yang terdefinisi di seluruh X

dan terbatas, dengan pertidaksamaan (3.6). Jadi setiap λ ∈ B

 λ0;_kR¹

λ0k



adalah nilai biasa dari T . Karena λ0diambil sembarang, dapat disimpulkan bahwa himpunan resolvent dari T buka dan komplemennya terhadap bidang kompleks σ(T ) adalah himpunan tertutup.

Dengan bukti Teorema 3.6, didapatkan suatu representasi dari operator resolventseperti pada teorema berikut ini.

Teorema 3.7. Misal T adalah operator linear terbatas di ruang Banach kompleks X dan suatu λ0∈ ρ(T ). Representasi dari fungsi resolvent R_λ(T ) adalah

R_λ=

∞ j=0

∑

(λ − λ0)^j(R_λ0)^j+1. (3.8)

Deret ini konvergen mutlak untuk setiap λ di cakram buka

|λ − λ0| < 1

kR_λ0k (3.9)

di bidang kompleks. Cakram tersebut adalah subhimpunan dari ρ(T ).

Bukti. Dari bukti Teorema 3.6, didapat R_λ= V⁻¹R_λ0 dengan V⁻¹ pada persamaan (3.7) dan λ di cakram (3.9). Ketika V⁻¹disubtitusikan ke R_λmaka didapat

persamaan (3.8). Dengan menggunakan pertidaksamaan (3.3), dapat ditunjukkan deret geometri

∞ j=0

∑

k(λ − λ0)^j(R_λ0(T ))^j+1k

konvergen dengan λ di cakram (3.9), sehingga deret (3.8) konvergen mutlak untuk λ di cakram (3.9). Karena setiap λ di cakram (3.9) merupakan nilai biasa dari T , maka cakram (3.9) merupakan subhimpunan dari ρ(T ).

Selain Teorema 3.6, Teorema 3.5 juga memiliki kontribusi dalam mendapatkan sifat spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear terbatas berikut ini.

Teorema 3.8. Spektrum σ(T ) dari operator linear terbatas T : X −→ X di ruang Banach kompleks X merupakan himpunan kompak dan berada di cakram

|λ| ≤ kT k. (3.10)

Himpunan resolvent ρ(T ) dari T tidak kosong.

Bukti. Misal λ 6= 0. Operator linear T_λ dapat ditulis sebagai

T_λ= T − λ I = −λ

Berdasarkan Teorema 3.5, T_λ memiliki inversi yang terbatas dan terdefinisi di seluruh X apabila memenuhi

Akibatnya λ yang memenuhi |λ| > kT k berada di himpunan resolvent dari T . Jadi ρ(T ) tidak kosong dan spektrum dari T harus berada di cakram (3.10). Dengan demikian spektrum dari T terbatas. Spektrum dari T tertutup berdasarkan Teorema 3.6. Berdasarkan Teorema 2.1 dapat disimpulkan σ(T ) kompak.

Dapat ditunjukkan bahwa kT k dari operator linear di Contoh 3.1 adalah maksimum dari {{|λj||∀ j} ∪ {|k|}}. Dapat ditunjukkan juga bahwa kT k dari operator linear di Contoh 3.2 dan Contoh 3.3 adalah 1. Dengan demikian terlihat bahwa, spektrum dan himpunan resolvent dari operator linear di Contoh 3.1, Contoh 3.2, dan Contoh 3.3 memenuhi Teorema 3.8.

Terlepas dari sifat spektrum dan himpunan resolvent, mari perhatikan operator resolvent. Berikut ini adalah suatu sifat antar operator resolvent dari operator linear terbatas.

Teorema 3.9. Misal X adalah ruang Banach kompleks, T ∈ B(X , X ) dan bilangan λ, µ ∈ ρ(T ). Maka:

a. Operator resolvent R_λdari T memenuhi relasi Hilbert atau persamaan resolvent

R_µ− R_λ= (µ − λ)R_µR_λ. (3.11) b. R_λkomutatif dengan setiap S∈ B(X, X) yang komutatif dengan T .

c. R_λR_µ= R_µR_λ.

Bukti. Untuk setiap λ ∈ ρ(T ), berdasarkan Lema 3.4 terdapat operator identitas I= T_λR_λ= R_λT_λ yang terdefinisi di X .

(a) Karena T_λ− T_µ= T − λI − (T − µI) = (µ − λ)I, konsekuensinya R_µ− R_λ = R_µ(T_λR_λ) − (R_µT_µ)R_λ

= R_µ(T_λ− T_µ)R_λ

= (µ − λ)RµR_λ.

(b) Misal S ∈ B(X , X ) sedemikian sehingga T S = S T . Karena λ I S = S λ I, maka didapat T_λS= S T_λ. Didapat R_λ komutatif dengan S dikarenakan

R_λS= R_λS T_λR_λ= R_λT_λSR_λ= SR_λ.

(c) Karena R_µ∈ B(X, X) komutatif dengan T , berdasarkan (b) didapat R_λ komutatif dengan R_µ.

Sedikit kembali pada konsep dasar bahwa nilai λ adalah nilai eigen dari operator linear T apabila (T − λ I)(x) = 0 (atau T (x) = λ x) untuk suatu x bukan vektor nol. Karena T adalah operator linear, didapat

T²(x) = T (λx) = λT (x) = λ²x.

Dengan menggunakan induksi, didapat

Tⁿ(x) = λⁿ(x) , ∀n ∈ N.

Didapat bahwa λⁿadalah nilai eigen dari Tⁿ. Dengan ini, dapat disimpulkan juga p(λ) = a_nλⁿ+ a_n−1λⁿ⁻¹+ · · · + a₀

adalah nilai eigen dari

p(T ) = a_nTⁿ+ a_n−1Tⁿ⁻¹+ · · · + a₀I.

Mari sebut p(λ) sebagai polinomial nilai λ dan p(T ) sebagai polinomial operator T.

Sampai di sini, terlihat suatu hubungan antara nilai eigen dari suatu operator linear dengan nilai eigen dari polinomial operatornya. Lalu, bagaimana hubungan

spektrumnya? Sebelum itu mari definisikan himpunan p(σ(T )) sebagai himpunan polinomial nilai spektral dari T

p(σ(T )) = {µ ∈ C|µ = p(λ), λ ∈ σ(T )}.

Teorema berikut ini adalah suatu hubungan spektrum dari suatu operator linear terbatas dengan spektrum dari polinomial operatornya.

Teorema 3.10. Misal X adalah ruang Banach kompleks, T ∈ B(X , X ) dan p(λ) = anλⁿ+ a_n−1λⁿ⁻¹+ · · · + a₀(a_n6= 0),

maka

σ( p(T )) = p(σ(T ));

dengan kata lain spektrum σ(p(T )) dari operator

p(T ) = a_nTⁿ+ a_n−1Tⁿ⁻¹+ · · · + a₀I

adalah semua nilai dari polinomial p di spektrum σ(T ) dari T .

Bukti. Asumsikan σ(T ) 6= /0. Karena T ∈ B(X , X ), maka p(T ) ∈ B(X , X ) dan faktor-faktor dari p(T ) juga termuat di B(X , X ).

Untuk polinomial p berderajat n = 0. Nilai p(λ) = a₀untuk setiap λ ∈ C sehingga p(σ(T )) = {a₀}. Operator p(T ) = a₀I, sehingga σ(p(T )) = {a₀}. Jadi dapat disimpulkan σ(p(T )) = p(σ(T )).

Untuk polinomial p berderajat n > 0, (A) Ditunjukkan bahwa σ(p(T )) ⊂ p(σ(T )).

Untuk menyederhanakan penulisan, misal Q = p(T ) dan Q_µ= p(T ) − µ I untuk µ ∈ C. Dimisalkan juga qµ(λ) = p(λ) − µ dengan µ yang tetap.

Karena bekerja di lapangan kompleks, maka polinomial q_µ(λ) dapat difaktorkan menjadi

q_µ(λ) = p(λ) − µ = an(λ − b1)(λ − b2) · · · (λ − bn). (3.12) Dari pemfaktoran q_µ(λ) di persamaan (3.12), didapat

Q_µ= p(T ) − µ I = a_n(T − b₁I)(T − b₂I) · · · (T − b_nI).

Apabila Q_µmempunyai inversi, Q⁻¹_µ adalah operator resolvent dari p(T ).

Jika setiap b_jadalah nilai biasa dari T , maka setiap T − b_jI mempunyai inversi yang terbatas dan terdefinisi di seluruh X (dengan Lema 3.4). Hal ini menyebabkan

Q⁻¹_µ = 1

a_n(T − b_nI)⁻¹· · · (T − b₂I)⁻¹(T − b₁I)⁻¹ (3.13) terbatas dan terdefinisi di seluruh X . Jadi didapat µ ∈ ρ(p(T )).

Misal ξ ∈ σ(p(T )). Seperti pada persamaan 3.12, q_ξ(λ) dapat difaktorisasi menjadi

q_ξ(λ) = p(λ) − ξ = an(λ − c1)(λ − c2) · · · (λ − cn). (3.14) Karena bila c_jadalah nilai biasa dari T mengakibatkan ξ ∈ ρ(p(T )), maka haruslah paling tidak terdapat suatu k yang sedemikian sehingga c_k∈ σ(T ).

Dengan persamaan (3.14) didapat

q_ξ(c_k) = p(c_k) − ξ = 0, sehingga ξ = p(c_k) merupakan anggota p(σ(T )).

Jadi didapat σ(p(T )) ⊂ p(σ(T )).

(B) Ditunjukkan bahwa p(σ(T )) ⊂ σ(p(T )).

Misal µ ∈ p(σ(T )), yang berarti µ = p(b) untuk suatu b ∈ σ(T ). Ketika b adalah nilai spektral dari T berarti terdapat dua kemungkinan, yaitu (a) T − b I tidak memiliki inversi.

Karena µ = p(b) atau p(b) − µ = 0 maka b adalah pembuat nol dari polinomial q_µ(λ) = p(λ) − µ. Jadi dapat ditulis

q_µ(λ) = (λ − b)g(λ), (3.15)

dengan g(λ) adalah perkalian dari n − 1 faktor linear lainnya dan an. Berhubungan dengan persamaan (3.15), didapat

Q_µ= p(T ) − µ I = (T − b I)g(T ). (3.16) Semua faktor linear dari g(T ) komutatif dengan T − b I sehingga didapat

Q_µ= g(T )(T − bI). (3.17)

Andaikan Q_µmempunyai inversi. Dengan persamaan (3.16) dan (3.17) didapat

I= Q_µQ⁻¹_µ = Q⁻¹_µ Q_µ

I= (T − b I)g(T )Q⁻¹_µ = Q⁻¹_µ g(T )(T − b I). (3.18) Dengan persamaan (3.13), dapat ditulis juga

Q⁻¹_µ = 1

a_nR_bn· · · R_b2R_b1.

Berdasarkan Teorema 3.9 butir (b) setiap R_bj komutatif dengan g(T ), sehingga Q⁻¹_µ komutatif dengan g(T ). Akibatnya persamaan (3.18) menjadi

I= (T − b I)g(T )Q⁻¹_µ = g(T )Q⁻¹_µ (T − b I),

yang berarti T − bI memiliki inversi. Hal ini bertentangan dengan kondisi T − bI tidak memiliki inversi, sehingga operator resolvent Q⁻¹_µ dari p(T ) haruslah tidak ada. Jadi didapat µ ∈ σ(p(T )), sehingga p(σ(T )) ⊂ σ(p(T )).

(b) T − bI memiliki inversi.

Apabila range dari T − bI adalah X , maka berdasarkan Teorema 2.17 (T − bI)⁻¹terbatas. Hal ini mengakibatkan b ∈ ρ(T ) yang

bertentangan dengan pernyataan b ∈ σ(T ). Jadi haruslah R(T − bI) 6= X . Dengan persamaan (3.16) didapat R(Q_µ) 6= X . Dengan kontraposisi dari Lema 3.4 didapat µ ∈ σ(p(T )), sehingga p(σ(T )) ⊂ σ(p(T )) di kasus T − b I mempunyai inversi.

Jadi untuk kemungkinan (a) maupun (b) didapat p(σ(T )) ⊂ σ(p(T )).

Jadi dengan (A) dan (B) didapat σ(p(T )) = p(σ(T )).

3.3 Spektral dan himpunan resolvent dari operator linear self adjoint terbatas Seperti yang diketahui dari landasan teori, bahwa ruang Hilbert juga merupakan ruang ber-norm yang lengkap (ruang Banach). Selain itu, operator linear self adjointterbatas juga merupakan operator linear terbatas. Konsekuensinya semua teorema pada Subbab 3.2. juga berlaku di pembahasan pada subbab ini.

Selanjutnya, pada subbab ini digunakan ruang Hilbert kompleks yang dinotasikan dengan

H

^.

Teorema berikut ini adalah suatu sifat yang paling mendasar spektrum titik dari operator linear self adjoint. terbatas.

Teorema 3.11. Misal T :

H

^−→

H

adalah operator linear self adjoint terbatas maka

(a) semua nilai eigen dari T (jika ada) bernilai real.

(b) vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda saling tegak lurus dari T .

Bukti. (a). Diketahui bahwa T self adjoint terbatas, sehingga berdasarkan Teorema 2.11, hT (x), xi bernilai real. Misal λ adalah nilai eigen dari T dengan x adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ, didapat

hT (x), xi = hλx, xi = λhx, xi.

Karena hx, xi = kxk²bernilai real, maka λ bernilai real.

(b). Misal λ₁6= λ2adalah nilai eigen dari T dengan masing-masing vektor eigennya x1dan x2. Karena T self adjoint dan berdasarkan butir (a), maka

hT (x₁), x₂i = hx₁, T (x₂)i λ₁hx₁, x₂i = λ2hx₁, x₂i λ1hx₁, x₂i = λ2hx₁, x₂i.

Karena λ₁6= λ₂, maka haruslah hx₁, x₂i = 0. Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda dari T saling tegak lurus.

Suatu operator linear self adjoint mungkin tidak memiliki nilai eigen, berikut ini salah satu contohnya.

Contoh 3.12. T : L²[0, 1] −→ L²[0, 1] dengan (T (x))(t) = t x(t) untuk t ∈ [0, 1].

Berdasarkan Contoh 2.13 maka T adalah operator linear self adjoint terbatas.

Misalkan ada nilai eigen λ sedemikian sehingga terdapat fungsi x 6= 0 yang memenuhi persamaan T (x) = λ x. Ketika fungsi T (x) memetakan t, didapat (T (x))(t) = λ x(t). Mengingat bahwa (T (x))(t) = t x(t), didapat t = λ. Hal ini bertentangan dengan λ yang haruslah konstanta. Jadi T tidak memiliki nilai eigen.

Dengan Teorema 3.11, didapatkan sifat nilai biasa dari operator linear self adjointberikut ini.

Teorema 3.13. Misal T :

H

^−→

H

adalah operator linear self adjoint terbatas.

Suatu konstanta λ merupakan nilai biasa dari T jika dan hanya jika terdapat bilangan real positif c sedemikian sehingga

kT_λ(x)k ≥ ckxk, ∀x ∈

H

^{. (3.19)}

Bukti. 1. (→)

Diketahui bahwa λ adalah nilai biasa, sehingga dari Definisi 3.1 R_λ terdefinisi dan terbatas. Berdasarkan Lema 3.4 R_λterdefinisi di seluruh

H

, sehingga I = R_λT_λ adalah operator identitas di

H

. Untuk setiap x di

H

kxk = kI(x)k = k(R_λ)(T_λ)(x)k ≤ kR_λkkT_λ(x)k, sehingga didapat pertidaksamaan (3.19) dengan c = _kR¹

λk. 2. (←)

Diketahui bahwa terdapat bilangan real c > 0 sedemikian sehingga

pertidaksamaan (3.19) berlaku. Untuk membuktikan λ ∈ ρ(T ) perlu ditunjukkan R_λ ada, terbatas, dan terdefinisi pada domain yang padat terhadap

H

^.

• R_λ ada.

Perlu ditunjukkan bahwa T_λ:

H

^{−→ T}λ(

H

) adalah fungsi bijektif. Dari pemetaannya dapat terlihat bahwa T_λ surjektif. Selanjutnya tinggal perlu ditunjukkan T_λinjektif.

Misal T_λ(x₁) = T_λ(x₂). Kemudian didapat 0 = T_λ(x₁− x₂) dikarenakan T adalah operator linear. Berdasarkan aksioma (N2) dari Definisi 2.8 maka,

0 = kT_λ(x₁− x₂)k ≥ ckx₁− x₂k (3.20) Karena c > 0, maka hanya kx₁− x₂k = 0 yang memenuhi pertidaksamaan (3.20). Jadi x₁= x₂sehingg T_λinjektif. Dengan demikian, T_λbijektif.

Karena T_λbijektif maka dapat disimpulkan R_λada.

• R_λ terdefinisi pada domain yang padat terhadap

H

^.

Mengingat R_λ= (T_λ)⁻¹, sehingga D(R_λ) adalah T_λ(

H

). Perlu ditunjukkan bahwa T_λ(

H

^{) =}

H

. Misalkan suatu x₀⊥ T_λ(

H

), sehingga untuk setiap x∈

H

hT_λ(x), x₀i = 0 hT (x), x₀i − λhx, x0i = 0

hx, T (x₀)i = hx, λ x0i.

Berdasarkan Teorema 2.4 didapat T (x₀) = λ x0. Andaikan x₀6= 0, berarti λ adalah nilai eigen. Didapat λ = λ berdasarkan Teorema 3.11 butir (a), sehingga T (x₀) − λx0= 0 atau T_λ(x₀) = 0. Mengingat pernyataan bahwa pertidaksamaan (3.19) berlaku, maka didapat

0 = kT_λ(x₀)k ≥ ckx₀k. (3.21) Karena c > 0, maka hanyalah kx₀k = 0 yang memenuhi pertidaksamaan (3.21). Hal ini bertentangan dengan pengandaian x₀6= 0. Jadi solusi dari T(x₀) = λ x0hanyalah solusi trivial, yaitu x₀= 0. Dapat disimpulkan T_λ(

H

^)⊥ = {0}, yang lalu dengan Teorema 2.2 didapatkan T_λ(

H

^{) =}

H

^.

• R_λ terbatas.

Dalam menunjukkan R_λ terbatas, digunakan Teorema 2.17. Untuk itu, akan dibuktikan T_λ(

H

) tertutup sehingga T_λ(

H

^{) =}

H

. Misal y ∈ T_λ(

H

^),

sehingga terdapat barisan (y_n) = (T_λ(x_n)) (dengan x_n∈

H

^{) di T}λ(

H

^{) yang}

konvergen ke y. Didapat (x_n) adalah suatu barisan Cauchy, karena ky_n− y_mk = kT_λ(x_n− x_m)k ≥ ckx_n− x_mk.

Mengingat

H

lengkap, maka (x_n) konvergen ke suatu x ∈

H

. Mengingat T terbatas, maka T_λjuga terbatas. Berdasarkan Teorema 2.10 didapat T_λ kontinu, sehingga y_n= T_λ(x_n) konvergen ke T_λ(x) dengan T_λ(x) = y. Berarti y∈ T_λ(

H

^{). Jadi T}λ(

H

) tertutup, yang membawa pada kesimpulan R_λ terbatas.

Jadi dapat disimpulkan, λ ∈ ρ(T ).

Melanjutkan Teorema 3.11 yang berbunyi bahwa semua nilai eigen dari operator linear self adjoint terbatas adalah bilangan real, ternyata seluruh spektrum berada di himpunan bilangan real.

Teorema 3.14. Spektrum σ(T ) dari suatu operator linear self adjoint terbatas T :

H

^−→

H

adalah himpunan bilangan real.

Bukti. Misal λ = a + ib dengan a, b ∈ R. Untuk x 6= 0 ∈

H

^,

hT_λ(x), xi = hT (x), xi − λhx, xi (3.22) hT_λ(x), xi = hT (x), xi − λhx, xi. (3.23)

Pengurangan dari persamaan (3.22) dengan persamaan (3.23) menghasilkan 2i ImhT_λ(x), xi = hT_λ(x), xi − hT_λ(x), xi = (λ − λ)hx, xi = −2ibhx, xi.

Dengan membagi dua dan mencari modulus kedua ruas, maka didapat

|Im(hT_λ(x), xi)| = |b|kxk².

Mengingat |hT_λ(x), xi| ≥ |Im(hT_λ(x), xi)| dan pertidaksamaan Schwarz, maka didapat

kT_λ(x)k ≥ |b|kxk.

Apabila b 6= 0, maka dengan Teorema 3.13 bilangan λ adalah nilai biasa dari T . Jadi bila λ adalah nilai spektral dari T , haruslah b = 0 atau dengan kata lain λ bernilai real.

Lebih rinci lagi, spektrum dari operator linear self adjoint terbatas ternyata terdapat di suatu interval tertutup. Hal ini dijelaskan pada teorema berikut ini.

Teorema 3.15. Spektrum σ(T ) dari operator linear self adjoint terbatas T :

H

^−→

H

berada di interval tertutup bilangan real[m, M] dengan

m= inf

kxk=1hT (x), xi, M = sup

kxk=1

hT (x), xi

Bukti. Spektrum σ(T ) berada di himpunan bilangan real telah dibuktikan di Teorema 3.14. Untuk membuktikan Teorema 3.15, perlu ditunjukkan λ₁= M + c dan λ₂= m − c (dengan c > 0) berada di himpunan resolvent ρ(T ).

Untuk setiap x 6= 0 ∈

H

, dapat dibentuk v = kxk⁻¹xsehingga kvk = 1.

Dengan demikian didapatkan

hT (x), xi = kxk²hT (v), vi ≤ kxk² sup

kevk=1

hT (ev),vi = kxke ²M

dan

hT (x), xi = kxk²hT (v), vi ≥ kxk² inf

kvk=1e hT (v),e vi = kxke ²m.

Dapat juga ditulis dengan −hT (x), xi ≥ −kxk²M dan hT (x), xi ≥ kxk²m. Lalu,

dengan pertidaksamaan Schwarz didapatkan kT_λ1(x)kkxk ≥ −hT_λ1(x), xi

= −hT (x), xi + λ1hx, xi

≥ −Mkxk²+ λ1kxk²= ckxk², serta

kT_λ2(x)kkxk ≥ hT_λ2(x), xi

= hT (x), xi − λ2hx, xi

≥ mkxk²− λ2kxk²= ckxk²

Berdasarkan Teorema 3.13 bilangan λ₁dan λ₂berada di himpunan resolvent ρ(T ).

Terlepas dari sifat spektrum dan himpunan resolvent, teorema berikut ini adalah bentuk persamaan norm dari operator linear self adjoint terbatas.

Teorema 3.16. Untuk setiap operator linear self adjoint terbatas T di

H

kT k = max(|m|, |M|) = sup

kxk=1

|hT (x), xi| (3.24)

dengan m, M seperti yang terdapat dalam Teorema 3.15.

Bukti. Jika T (x) = 0 untuk setiap x dengan kxk = 1, maka T = 0. Untuk kasus seperti ini, sudah jelas memenuhi persamaan (3.24).

Untuk kasus yang terdapat suatu x dengan kxk = 1 sehingga membuat T(x) 6= 0, dari pertidaksamaan Schwarz didapat

sup

kxk=1

|hT (x), xi| ≤ sup

kxk=1

kT (x)kkxk = kT k. (3.25)

Lalu perlu ditunjukkan

kT k ≤ sup

kxk=1

|hT (x), xi|. (3.26)

Bentuk y1= v + w dan y₂= v − w dengan v = kT (x)k^1/2xdan

w= kT (x)k^−1/2T(x), sehingga kvk²= kwk²= kT (x)k. Norm kuadrat dari y₁dan

y₂adalah

ky₁k² = kvk²+ kwk²+ 2hT (x), xi dan ky₂k² = kvk²+ kwk²− 2hT (x), xi.

Dengan mengetahui T adalah operator linear self adjoint terbatas maka didapatkan hT (y₁), y₁i − hT (y₂), y₂i = 2(hT (v), wi + hT (w), vi)

Dengan pertidaksamaan (3.28) dan pertidaksamaan segitiga didapat

|hT (y₁), y₁i − hT (y₂), y₂i| ≤ |hT (y₁), y₁i| + |hT (y₂), y₂i|

Dari pertidaksamaan (3.29) dan (3.27) didapat 4kT (x)k² ≤ 4kT (x)k sup

Berdasarkan persamaan (2.12) didapatkan pertidaksamaan (3.26). Dengan pertidaksamaan (3.26) dan pertidaksamaan (3.25) didapatkan persamaan (3.24).

Telah diketahui bahwa spektrum dari operator linear self adjoint terbatas T berada di interval tertutup [m, M] pada Teorema 3.15. Namun perlu dicatat bahwa tidak semua anggota interval [m, M] merupakan anggota spektrum. Tetapi dengan Teorema 3.16 didapatkan suatu hal mengenai nilai m dan M. Hal tersebut berada di

teorema berikut ini.

Teorema 3.17. Misal T :

H

^−→

H

adalah suatu operator linear self adjoint terbatas dan

H

6= {0}. Nilai m dan M adalah nilai spektral dari T.

Bukti. (1). M adalah nilai spektral.

Berdasarkan Teorema 3.10 didapat

λ ∈ σ(T ) ⇔ λ + k ∈ σ(T + k I).

Jadi dapat diasumsikan 0 ≤ m ≤ M. Berdasarkan Teorema 3.16, didapat kT k = sup

kxk=1

hT (x), xi = M.

Hal ini mengakibatkan kT xk ≤ kT kkxk = M untuk kxk = 1. Lalu, buat barisan (x_n) yang memenuhi

kx_nk = 1, hT (x_n), x_ni = M − δn, δn≥ 0, δn→ 0.

Karena T adalah operator linear self adjoint, maka didapat kT (x_n) − Mx_nk² = hT (x_n) − Mx_n, T (x_n) − Mx_ni

= kT (x_n)k²− 2 MhT (x_n), x_ni + M²kx_nk²

≤ M²− 2 M(M − δn) + M²

= 2 Mδn.

Untuk n yang besar kT_M(x_n)k → 0. Jadi tidak terdapat bilangan positif c yang memenuhi kT_M(x_n)k ≥ ckx_nk, atau dengan kata lain M ∈ σ(T ) (Teorema 3.13 ).

(2). m adalah nilai spektral.

Juga dari Teorema 3.10, dapat diasumsikan m ≤ M ≤ 0. Jadi kT k = |m|, dan kT (x)k ≤ kT kkxk = |m| untuk kxk = 1. Lalu, buat barisan (x_n) yang memenuhi

kx_nk = 1, hT (x_n), x_ni = m + ε_n, ε_n≥ 0, ε_n→ 0.

Karena T adalah operator linear self adjoint, maka didapat kT (x_n) − m x_nk² = hT (x_n) − m x_n, T (x_n) − m x_ni

= kT (x_n)k²− 2mhT (x_n), x_ni + m²kx_nk²

≤ m²− 2m(m + εn) + m²

= 2 m εn.

Dengan cara yang sama seperti pembuktian untuk M, maka didapatkan m adalah nilai spektral.

Walaupun tidak semua anggota interval [m, M] pada Teorema 3.15 adalah anggota spektrum, ujung-ujung intervalnya merupakan nilai spektral.

Spektrum residual adalah salah satu bagian dari spektrum. Berikut ini adalah sifat spektrum residual dari operator linear self adjoint terbatas.

Teorema 3.18. Spektrum residual σ_r(T ) dari operator self adjoint terbatas T :

H

^−→

H

^kosong.

Bukti. Misalkan ada λ ∈ σ_r(T ). Berdasarkan Definisi 3.1, T⁻¹

λ ada dan domainnya tidak padat terhadap

H

. Hal ini menyebabkan ada suatu y 6= 0 ∈

H

^{yang tegak}

lurus terhadap T_λ(

H

), sehingga untuk setiap x ∈

H

^didapat

hT_λ(x), yi = 0.

Karena T self adjoint dan λ bernilai real (Teorema 3.14), maka hx, T_λ(y)i = 0 untuk setiap x ∈

H

. Dengan memilih x = T_λ(y), maka kT_λ(y)k²= 0 atau dengan kata lain T_λ(y) = 0. Hal ini berarti λ adalah nilai eigen dari T . Terjadi kontradiksi terhadap λ ∈ σ_r(T ). Jadi dapat disimpulkan bahwa σr(T ) = /0.

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

1. Operator linear terbatas di ruang Banach.

• Memiliki himpunan resolvent berupa himpunan buka dan tak kosong.

• Memiliki spektrum berupa himpunan yang kompak.

• Memiliki operator-operator resolvent yang saling komutatif.

• Memiliki himpunan polinomial nilai spektral yang sama dengan spektrum

• Memiliki himpunan polinomial nilai spektral yang sama dengan spektrum