TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 3.4

BAB 3 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

C. TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 3.4

Turunan

fungsi f(x) = cos³ x adalah ….

A. f’(x) = –3 cos² x sin x B. f’(x) = 3 cos² x sin x C. f’(x) = – 3 sin² x cos x D. f’(x) = – 3 sin² x cos² x E. f’(x) = 3 sin² x cosx

2. Turunan pertama f(x) = sin³ (3 – 2x) adalah ….

A. f’(x) = 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) B. f’(x) = 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) C. f’(x) = 3 sin² (3 – 2x)

D. f’(x) = – 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) E. f’(x) = – 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

3. Jika )

( 3 sin )

( ₌ ² ₋



x x

f , nilai f’ (

1 2 

) adalah ….

A. 0 B. 2 1

C. 2

2 1

D. 3

2 1

E. 1

4. Jika f(x) = cos² 4x, nilai f’(

1 4 

) = ….

A. 1 B.

1 2

C. 0

1 − 2

E. – 1

5. Diketahui f(x)= cos²(2𝑥 + 6), maka ....

) ( ' x = f

A. −2 sin(2𝑥 + 6) cos(2𝑥 + 6) B. 4 sin(2𝑥 + 6) cos(2𝑥 + 6) C. −2 sin(2𝑥 + 6)

D. −2 cos(4𝑥 + 12) E. −2 sin(4𝑥 + 12)

6.

Turunan pertama dari g(x) = cos³ 2 𝑎, adalah g’(30⁰) = ....

A. 3

−5

3

4 − 3

C. 0

3 4 3

3 4 5

7. Turunan pertama fungsi f(x) = 2 cos³ (1 – 2x) adalah f’(x) =….

A. – 6 cos² (1 – 2x) B. 6 cos² (1 – 2x) C. – 12 cos² (1 – 2x)

D. – 6 sin (2 – 4x) cos (1 – 2x) E. 6 sin (2 – 4x) cos (1 – 2x)

8. Jika h(x) = cotan³ 5x, maka h’(x) =….

A. – 15 tan² 5x sec² 5x B. – 15 tan² 5x cosec² 5x C. – 15 cotan² 5x cosec² 5x D. – 15 cotan² 5x cosec 5x E. – 15 cotan 5x sec² 5x

9.

Turunan pertama dari 𝑓(x) = cos³(3x²− 1) adalah f ’(𝑥) = ....

A. −9 cos²(3x²− 1) sin(3x²− 1) B. −9𝑥 𝑐𝑜𝑠(3x²− 1) sin(3x²− 1) C. −9𝑥 𝑐𝑜𝑠 (3x²− 1) sin(6x²− 2) D. −9𝑥 cos²(3x²− 1) cos(3x²− 1) E. −9𝑥 cos²(6x²− 2) sin(6x²− 2)

10.

Turunan pertama dari 𝑓(x) = tan²(𝑎 + 3) + sec²(𝑎 + 3) adalah f ’(𝑎) = ....

A. 4 [tan²(𝑎 + 3) + 𝑡𝑎𝑛 (𝑎 + 3) ] B. 4 [tan³(𝑎 + 3) + 𝑡𝑎𝑛 (𝑎 + 3) ] C. 4 [tan³(𝑎 + 3) + tan² (𝑎 + 3) ] D. 4 tan²(𝑎 + 3) + 𝑠𝑒𝑐 (𝑎 + 3) E. 4 𝑡𝑎𝑛 (𝑎 + 3) + 𝑠𝑒𝑐² (𝑎 + 3)

UJI KOMPETENSI BAB III

A. Pilihlah satu jawaban yang benar 1. Turunan pertama dari

y=2cos²3x

adalah . . . . A. 2 sin 6 x B. 4 cos 3 x C. − 12 sin 6 x D. 12 cos 3 x

E. − 12 sin 3 x cos 3 x

2. Turunan pertama dari

x x

f sin cos

) sin

( = − adalah . . . . A. cos 2 1

1 − − x B. sin 2 1

1 − x C. cos 2 1

1 − + x

D. x x

x sin cos

cos +

E. x

x 2 sin 1

2 sin 1

− +

3. Turunan pertama dari x

x

y = sin 3 tan 4 adalah . . . .

A. cos 3 x sec 4 x + 3 sin 3 x sec

4 x B. cos 3 x tan

4 x + 4 cos 3 x sec

4 x C. 3 cos 3 x tan 4 x + 4 sin 3 x sec

4 x D. 3 cos 3 x tan 4 x + 4 sin 3 x sec x E. 4 cos 3 x tan 4 x + 3 sin 3 x sec

4 x

4. Turunan pertama dari

) 2

cos( x³ x²

y= −

adalah . . . . A.

(2x−6x²)cos(6x² −2x)

B.

sin(6x −² 2x)

C.

−sin(2x −³ x²)

D.

−sin(2x³−x²)cos(6x²−2x)

E.

(2x−6x²)sin(6x²−2x)

5. Turunan pertama dari

y=cos³5x

adalah . . . .

A. 5 x cos

5 x

B. − 5 x cos

5 x

C. − 15 cos

5 x sin 5 x

D. 15 x cos

5 x sin 5 x

E. 3 x cos

5 x

6. Turunan pertama dari

7. Turunan pertama dari

)

8. Turunan pertama dari fungsi

)

9. Turunan pertama

)

10. Turunan pertama dari

B. Kerkajakan soal-soal berikut dengan teliti!

1. Turunan pertama dari fungsi f ( x ) = cos( 2 x − 3 ) adalah....

2. Turunan pertama dari fungsi

f(x)=(x−1)³cos4x

adalah....

3. Jika f ' x ( ) adalah turunan pertama dari

f(x)=sin²(x−2)

maka nilai dari f ' ( 2 ) adalah....

4. Turunan pertama dari fungsi

BAB 4

APLIKASI TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

KEGIATAN BELAJAR 4.1 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.1 Memahami keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi trigonometri.

4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

4.4.1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri sesuai dalam kehidupan sehari-hari.

Tabel 10. KD dan IPK Turunan Kedua Fungsi Trigonometri

A. TURUNAN KEDUA FUNGSI TRIGONOMETRI

Kita telah mempelajari tentang turunan pertama suatu fungsi

f (x )

. Kali ini kita membahas turunan kedua suatu fungsi. Langkah yang akan kita lakukan adalah mencari turunan pertama dari suatu fungsi tersebut yaitu

f ' x ( )

, kemudian hasil dari

f ' x ( )

kita turunkan lagi mendapatkan turunan kedua yaitu

f '' x ( )

Contoh Soal 4.1.1

Tentukan turunan kedua dari f(x)=sin2x. Penyelesaian

x x

f( )=sin2 2 2 cos ) (

' x = x f

x x

f'( )=2cos2

2 ) 2 sin ( 2 ) (

'' x = − x  f

x x

f ''( )=−4sin2

B. LATIHAN 4.1

1)

Diketahui suatu fungsi

f ( x ) = 3 cos x

, turunan kedua dari

f (x )

adalah....

2)

Diketahui suatu fungsi

f ( x ) = 4 tan x

f '' ( x ) = ....

3)

Turunan kedua dari fungsi

f ( x ) = 2 sec x

adalah....

4)

Diketahui suatu fungsi

f ( x ) = sin x + cos x

, nilai dari

f '' (  ) = ....

5)

Diketahui suatu fungsif(x)=4x²sinx, turunan kedua dari

f (x )

adalah....

6)

Turunan kedua dari fungsi

f ( x ) = (sin x − 1 )(cos x + 1 )

adalah....

7)

Diketahui suatu fungsi

; 2

2 ) sin

(  −

= + x

x x x

f

f '' ( x ) = ....

8)

Diketahui suatu fungsi

f ( x ) = 4 sin x − cot x

) ....

( 2 ''  = f

9)

Diketahui suatu fungsi

; cot 0

cot ) sin

( = x 

x x x

f

f '' ( x ) = ....

10)

Diketahui suatu fungsi

; cot 0

cos cos ) sin

( = + x 

x x x x

f

f '' ( x ) = ....

C. TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 4.1

Petunjuk: Pilihlah satu jawaban yang tepat.

1. Turunan kedua fungsi f(x) = 4 sin x adalah ….

A. 4 cos x B. – 4 sin x C. cos x D. – cos x E. 4 + cos x

2. Jika f(x) = sec 2x, nilai f ’’(0) = ….

A. – 4 B. – 2 C. 0 D. 1 E. 2

3. Diketahui f(x) = sin 3x – 3 cos x. Jika f^‘’

turunan kedua f, nilai f ‘’(

2 

) adalah ….

A. 9 B. 3 C. 1 D. – 1 E. – 3

4. Nilai turunan kedua fungsi f(x) = sin 2x –

cos 2x untuk nilai x =

1 4 

adalah ….

A. – 16 B. – 4 C. – 2 D. 0 E. 1

5. Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x) = 3 sin x. Jika f” turunan kedua f, hasil f”(x) adalah ….

A. −3 sin x B. −3 cos x C. −3 sin x cos x D. 3 sin x

E. 3 cos x

6. Fungsi f dinyatakan oleh f(x) = cos (4x-1). Jika f” turunan kedua f, hasil f”(x) adalah ….

A. −16 sin (4x−1) B. −16 cos (4x−1) C. 16 cos (4x−1) D. 4 cos (4x−1) E. 4 sin (4x−1)

7. Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x) = tan x. Jika f” turunan kedua f,

nilai f”(

1 4 

) adalah ….

A. 4 B. 2 C. 0

D. – 2 E. – 4

8. Fungsi f dinyatakan oleh f(x) = sin 2x. Jika f” turunan kedua f, nilai f”(x) adalah ….

A. 4 sin 2x B. 2 sin 2x C. 2 cos 2x D. – 2 sin 2x E. – 4 sin 2x

9. Diketahui f(x)=

2 cos 2 x

^,nilai ....

) 0 ( '' =

A. − 8 B. − 2 C. 0 D. 2 E. 4

10. Jika f(x)=

x x

x cos sin

sin

+

, maka turunan kedua dari f(x) untuk 𝑥 = 0 adalah....

A. −16 B. −4 C. −2 D. 2 E. 4

KEGIATAN BELAJAR 4.2 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.2 Menemukan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

Tabel 11. KD dan IPK Stasioner Pada Turunan Fungsi Trigonometri

A. NILAI STASIONER DAN JENISNYA

Gamb. 3. Stasioner

Jika suatu nilai

x

mengakibatkan

0 ) ( ' x =

f

, maka

f (x )

fungsi yang tidak naik atau tidak turun pada titik tersebut. Hal ini dikarenakan gradien garis singgung pada titik-titik tersebut adalah nol. Titik dimana terjadi perubahan arah grafik dari turun menjadi naik atau sebaliknya ini dinamakan titik stasioner. Pada titik stasioner ini

f ' ( x ) = 0

. Sedangkan nilai dari

f (b )

dimana

b

adalah titik stasionernya dinamakan nilai stasioner.

Suatu fungsi

f (x )

tidak naik atau tidak turun pada suatu titik dikarenakan gradien garis singgung pada titik-titik tersebut adalah nol. Perubahan arah grafik ini terjadi pada titik

x = b

. Titik dimana terjadi perubahan arah grafik dari turun menjadi naik atau sebaliknya ini dinamakan titik stasioner.

Pada titik stasioner ini

f ' ( x ) = 0

. Sedangkan nilai dari

f (b )

dimana

b

adalah titik stasionernya dinamakan nilai stasioner. Kalian telah mengetahui titik dan nilai stasioner suatu fungsi. Terdapat 3 jenis nilai stasioner suatu fungsi, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok.

Contoh Soal 4.2.2

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x)=sinxdan jenisnya.

Penyelesaian

stasioner

→ f ' ( x ) = 0

cos = x 0

Maka

x = 90 

dan

x = 270 

Untuk

x = 90 

maka

f ( 90  ) = sin 90  = 1

Untuk

x = 270 

maka

f ( 270  ) = sin 270  = − 1

Nilai

f ( 90 )  f ( 270  )

, maka nilai

f ( 90  )

merupakan nilai maksimum dan koordinat

( 90  f , ( 90  ))

merupakan titik balik maksimum, nilai

f ( 270  )

merupakan nilai minimum dan koordinat

)) 270 ( , 270

(  f 

merupakan titik balik minimum.

Jadi:

Nilai maksimum dari fungsi f(x)=sinx adalah 1 Nilai minimum dari fungsi f(x)=sinx adalah

− 1

Koordinat stasioner

( 90  , 1 )

dan

( 270  , − 1 )

Jenis-jenis stasioner:

Titik balik maksimum

( 90  , 1 )

Titik balik minimum

( 270  , − 1 )

Gambar 4. Titik Balik Minimum

Misalkan

x = a

adalah stasioner. Apabila nilai

x

kurang dari

a ( x  a )

menyebabkan

f (x )

turun dan nilai

x

yang lebih besar dari

a

atau

x  a

menyebabkan

f (x )

naik, maka

( a , f ( a ))

adalah titik balik minimum.

Gambar 5. Titik Balik Maksimum

Misalkan

x = a

adalah stasioner. Apabila nilai

x

kurang dari

a ( x  a )

menyebabkan

f (x )

naik dan nilai

x

yang lebih besar dari

a

atau

x  a

menyebabkan

f (x )

turun, maka

( a , f ( a ))

adalah titik balik maksimum.

Gambar 6. Titik Belok

Misalkan

x = a

adalah stasioner. Apabila nilai

x

kurang dari

a ( x  a )

menyebabkan

f (x )

turun dan nilai

x

yang lebih besar dari

a

atau

x  a

menyebabkan

f (x )

juga turun, maka

( a , f ( a ))

adalah titik belok.

Gambar 7. Titik Belok

Misalkan

x = a

adalah stasioner. Apabila nilai

x

kurang dari

a ( x  a )

menyebabkan

f (x )

naik dan nilai

x

yang lebih besar dari

a

atau

x  a

menyebabkan

f (x )

juga naik, maka

( a , f ( a ))

juga titik belok.

B. LATIHAN 4.2

1. Tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = sin x + cos x

adalah....

2. Tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = cos 2 x

adalah....

3. Tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi x

C. TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 4.2

Petunjuk: Pilihlah satu jawaban yang tepat.

1. Salah satu nilai stasioner dari fungsi



2. Nilai stasioner dari fungsi



3. Nilai stasioner dari fungsi



4. Koordinat titik stasioner dari



5. Titik stasioner dari x

(

^{135 −}^^, ²

)

(

^135^, ²

)

(

^225^, ²

)

6. Salah satu koordinat titik stasioner dari f(x)=2+cosx untuk

 2

0  x 

adalah . . . . A.

(  ^,− ³ )

( )  ^, ³

(  ^,− ¹ )

( ²  ^, ² )

( ²  ^, ³ )

7. Diberikan kurva dengan persamaan 𝑦 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥. untuk

2 

0  x 

. Merupakan titik balik minimum adalah . . . .

( ^{0 −} ^, ⁵ )

(  ^,− ⁵ )

( ) 0 , 5

( )  ^, ⁵

( ²  ^, ⁵ )

8. Titik balik minimum fungsi 𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 , adalah . . . .

( ^{0 −} ^, ² )

( ^{0 −} ^, ¹ )





 



 , −2 2



D. 



 



 ,−1 2



E. 



 



 ,−2 2 3



9. Nilai stasioner dari kurva x x

f( )=sin +cos untuk

0  x  2 

sama dengan . . . . A. 0 dan

2 2 1

B. 0 dan

2 − 1

dan 0

− 2

dan 0 E. −1 dan 0

10. Jenis stasioner dari fungsi x

f( )=3cos adalah . . . . A. Titik balik maksimum

( ^{0 −} ^, ³ )

B. Titik balik maksimum

( ) ⁰ ^, ³

C. Titik balik maksimum

( ^180 ^, ³ )

D. Titik balik minimum

( ^{0 −} ^, ³ )

E. Titik balik minimum

( ^{360 −} ^ ^, ³ )

KEGIATAN BELAJAR 4.3 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.3 Menetukan penyelesaian dari keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, kurva fungsi trigonometri.

Tabel 12. KD dan IPK Fungsi Naik dan Fungsi Turun Pada Turunan Fungsi Trigonometri

A. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Untuk memudahkan memahami fungsi naik dan fungsi turun pada suatu interval, perhatikan gambar dibawah.

Gambar 8. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Pada gambar diatas, grafik fungsi naik pada interval

a  x  b

dan interval

d  x  e

, sedangkan pada interval

b  x  c

grafik fungsi tersebut turun, pada interval

c  x  d

grafik

f (x )

tidak naik dan tidak turun.

Sekarang, perhatikan cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi

y = f (x ).

a. Jika untuk setiap

x

pada suatu interval

f ' ( x )  0

maka

f (x )

fungsi yang naik pada interval tersebut. Hal ini dikarenakan gradien garis singgung pada titik-titik tersebut adalah positif (condong ke kanan).

b. Jika untuk setiap

x

pada suatu interval

f ' ( x )  0

maka

f (x )

fungsi yang turun pada interval tersebut. Hal ini dikarenakan gradien garis singgung pada titik-titik tersebut adalah negatif (condong ke kiri).

Gambar 9. Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Perhatikan kembali gambar 1 dan gambar 2. Pada interval

a  x  b

grafik fungsi naik, sedangkan pada interval

b  x  c

grafik fungsi turun. Perubahan arah grafik ini terjadi pada titik

x = b

Contoh Soal 4.3.1

Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari f(x)=sinx. Penyelesaian

Interval fungsi naik

f ' ( x )  0

cos  x 0

Untuk

cos = x 0

Maka

x = 90 

dan

x = 270 

Interval fungsi naik berada pada interval positif . Maka interval fungsi naik dari f(x)=sinx adalah

x  90 

^atau

x  270 

^. Interval fungsi turun berada pada interval negatif . Maka interval fungsi turun dari f(x)=sinx adalah

90   x  270 

B. LATIHAN 4.3

1. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari

f ( x ) = sin x + cos x

, untuk interval

0   x  360 

adalah....

2. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari

f ( x ) = cos 2 x

, untuk interval

0   x  360 

adalah....

3. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari x

x x

f( )= 3cos −sin , untuk interval

0  x  2 

adalah....

4. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari

f ( x ) = sin 2 x − 1

, untuk interval

0  x  2 

adalah....

5. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun dari

f ( x ) = tan 2 x

, untuk interval

0  x  

adalah....

KEGIATAN BELAJAR 4.4 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.4 Menetukan penyelesaian dari keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

Tabel 13. KD dan IPK Nilai Stasioner Dengan Turunan Kedua

A. MENENTUKAN JENIS-JENIS NILAI STASIONER MENGGUNAKAN TURUNAN KEDUA Kalian telah memahami jenis-jenis nilai stasioner melalui turunan pertama. Kali ini kita akan mendeteksi nilai stasioner menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Konsep turunan kedua suatu fungsi sudah kamu pelajari di kelas XI. Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) yang kontinu dalam interval

b  x  c

yang memuat

x = a

. Turunan pertama dan turunan kedua fungsi terdefinisi pada interval tersebut.

Ilustrasi perubahan tanda tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 10. Garis Bilangan

Dengan demikian, untuk mendapatkan titik belok horizontal, selain turunan kedua harus sama dengan nol, perlu diselidiki bahwa turunan kedua itu berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif, atau sebaliknya.

Contoh Soal 4.4.1

Tentukan titik-titik stasioner fungsi f(x)=sinxdengan menggunakan turunan kedua.

Penyelesaian

Stasioner

→ f ' ( x ) = 0

cos = x 0

Maka

x = 90 

dan

x = 270 

Untuk

x = 90 

maka

f ( 90  ) = sin 90  = 1

Untuk

x = 270 

maka

f ( 270  ) = sin 270  = − 1 x

x

f '' ( ) = − sin

Untuk

x = 90 

maka

f '' ( 90  ) = − sin 90  = − 1

Untuk

x = 270 

maka

f '' ( 270  ) = − sin 270  = − ( − 1 ) = 1

Nilai

f '' ( 90 )  0

, maka koordinat

( 90  f , ( 90  ))

yaitu

( 90  , 1 )

merupakan titik balik maksimum, nilai

f '' ( 270  )  0

maka koordinat

( 270  f , ( 270  ))

yaitu

( 270  , − 1 )

merupakan titik balik minimum.

Jadi:

Nilai maksimum dari fungsi f(x)=sinx adalah 1 Nilai minimum dari fungsi f(x)=sinx adalah

− 1

Koordinat stasioner

( 90  , 1 )

dan

( 270  , − 1 )

Jenis-jenis stasioner:

Titik balik maksimum

( 90  , 1 )

Titik balik minimum

( 270  , − 1 )

a. Jika

f ' ( a ) = 0

dan

f '' ( a )  0

maka

( a , f ( a ))

adalah titik balik minimum.

b. Jika

f ' ( a ) = 0

dan

f '' ( a )  0

maka

( a , f ( a ))

adalah titik balik maksimum.

c. Jika

f ' ( a ) = 0

dan

f '' a ( )

bergantian tanda ((+) ke (-) atau sebaliknya) maka

( a , f ( a ))

adalah titik belok horizontal.

B. LATIHAN 4.4

1. Dengan mengaplikasikan turunan kedua tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = sin x + cos x

adalah....

2. Dengan mengaplikasikan turunan kedua tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = cos 2 x

adalah....

3. Dengan mengaplikasikan turunan kedua tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi f(x)= 3cosx−sinxadalah....

4. Dengan mengaplikasikan turunan kedua tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = sin 2 x − 1

adalah....

5. Dengan mengaplikasikan turunan kedua tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari fungsi

f ( x ) = 2 sin x − 1

adalah....

KEGIATAN BELAJAR 4.5 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.5 Menetukan penyelesaian dari keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum kurva fungsi trigonometri.

Tabel 14. KD dan IPK Nilai Maksimum dan Minimum Pada Turunan Fungsi Trigonometri

A. NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM SUATU FUNGSI DALAM INTERVAL TERTUTUP Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi

y = f (x )

dalam interval tertutup

a  x  b

ditentukan sebagai berikut.

a. Tentukan nilai stasioner (maksimum dan minimum) fungsi

f (x )

dalam interval itu.

b. Tentukan nilai

f (a )

dan

f (b )

c. Nilai terbesar dari nilai-nilai itu merupakan nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal 4.5.1

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=sinx pada interval





 360

0 x

Penyelesaian

➢ Menentukan nilai stasioner (maksimum dan minimum) fungsi

) (x

f

dalam interval itu.

stasioner

→ f ' ( x ) = 0

cos = x 0

Maka

x = 90 

dan

x = 270 

Untuk

x = 90 

maka

f ( 90  ) = sin 90  = 1

Untuk

x = 270 

maka

f ( 270  ) = sin 270  = − 1

➢ Menentukan nilai

f (a )

dan

f (b )

. Untuk

a = 0 

maka

f ( 0  ) = sin 0  = 0

Untuk

a = 360 

maka

f ( 360  ) = sin 360  = 0

➢ Nilai terbesar dari nilai-nilai itu merupakan nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Dari 4 nilai yang kita peroleh maka:

nilai maksimumnya adalah

1

nilai minimumnya adalah

− 1

B. LATIHAN 4.5

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x)=sin x,pada interval

0  x  2 

2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x)=cos2x, pada interval

0  x  2 

3. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x)=sinx−1, pada interval

0  x  360 

4. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x)=2sinx−1, pada interval

0  x  2 

5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x)=2sinx− 3, pada interval

0  x  360 

C. TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 4.5

Petunjuk: Pilihlah satu jawaban yang tepat.

1. Diberikan kurva dengan persamaan



2. Nilai maksimum kurva dengan persamaan



3. Nilai maksimum dari kurva



4. Nilai minimum dari kurva



5. Hasil jumlah nilai maksimum dan minimum dari kurva

6. Pembuat nilai minimum fungsi



7. Jumlah semua pembuat nilai maksimum dan nilai minimum dari kurva fungsi

x x

y=2sin +sin2 pada interval 0 x2



adalah . . . . A. 2



2 3



4 5



2 1

8. Jika fungsi f ditentukan oleh:

), sin 3 cos 3 3 )(

cos sin

( )

(x x x x x x

f = + −

maka nilai minimum dari fungsi f adalah....

A. −6 B. −3 C. 0 D. 3

E. 6

9. Diketahui bahwa 0. 2

sin 2 cos

2 =

x Nilai

minimum dari tan²x+cot²xadalah ....

A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2

10. Diberikan kurva dengan persamaan 𝑦 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥. untuk

0  x  2 

^{. Nilai}

minimum adalah . . . . A. −5

B. −2 C. 0 D. 2 E. 5

KEGIATAN BELAJAR 4.6 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.6 Menetukan penyelesaian dari keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

Tabel 15. KD dan IPK Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Pada Garis Singgung Kurva

A. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Persamaan garis singgung kurva : dimana 𝑚 = 𝑓^′(𝑥)

merupakan gradien pada garis singgung kurva dan (𝑥₁, 𝑦₁) adalah titik yang singgung dilalui.

Contoh Soal 4.6.1

Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 ditik berabsis 0.

Penyelesaian

Untuk absis 0→ 𝑥₁= 0 didapat 𝑦₁= 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥

𝑦1= 𝑓(0) = sin 2(0) = sin 0 = 0 𝑚 = 𝑓^′(𝑥) = 2 cos 2𝑥

𝑚 = 𝑓^′(0) = 2 cos 2(0) = 2 cos 0 = 2(1) = 2

Maka persamaan garis singgung kurva yang terbentuk:

𝑦 − 𝑦₁= 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 0) 𝑦 = 2𝑥

𝑦 − 𝑦1= 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

B. LATIHAN 4.6

1. Garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥 + 60ᵒ) dititik (0,¹

2) adalah...

2. Persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = sin²𝑥 yang berabsis ^𝜋

6 adalah....

3. Persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = 2 sin 2𝑥 yang berordinat 2 adalah....(berordinat 2→𝒚_𝟏= 𝟐)

4. Diketahui 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 . Tentukan garis singgung f(x) jika sejajar garis 𝑦 − 𝑥 + 2 = 0

5. Diketahui 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 . Tentukan garis singgung f(x) jika tegak lurus garis 4𝑦 + 𝑥 + 2 = 0

C. TES FORMATIF PENGETAHUAN DAN KETERAMPILAN 4.6

Petunjuk: Pilihlah satu jawaban yang tepat.

1. Nilai kemiringan (gradien) garis singgung pada kurva f(x)=cosx, diabsis

6 =  x

adalah . . . .

6 − 1

4 − 1

2 − 1

2 1

E. 2

2. Nilai gradien dari g(t)=tsect di titik (0,0) adalah . . . .

− 5

B. −2 C. 0 D. 1 E.

5

3. Gradien garis tangen pada kurva

x x x

f sin

2 ) cos

( = + di titik yang berabsis



x adalah . . . . A.

− 2

B. −1 C. 0 D. 1 E. 2

4. Persamaan garis singgung kurva 1

sin

2 −

= x

y di titik yang berabsis 6



adalah . . . .

6 3 ₋  3

= x y

6 3 ₊  3

= x y

6 3 ₋  2

= x y

6 3 ₊  2

= x y

6 2 ₋  2

= x

y

5. Persamaan garis singgung kurva

6. Persamaan garis singgung kurva x

7. Persamaan garis singgung kurva

2

8. Persamaan garis singgung pada kurva

x

9. Persamaan garis singgung pada kurva

x

10. Persamaan garis singgung kurva x

KEGIATAN BELAJAR 4.7 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri.

3.4.7 Menetukan penyelesaian dari keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi fungsi trigonometri.

Tabel 16. KD dan IPK Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Percepatan dan Kecepatan

A. APLIKASI TURUNAN DALAM PERHITUNGAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Seperti yang telah disinggung di depan bahwa turunan banyak digunakan dalam berbagai disiplin ilmu. Salah satu aplikasi turunan adalah untuk menyelesaikan kasus-kasus yang berhubungan dengan kecepatan (kelajuan) dan percepatan. Sebagai contoh dalam bidang fisika dibahas tentang suatu gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalkan sebuah benda bergerak dari suatu tempat ke tempat yang lain menenmpuh jarak

s

dalam waktu

t

. Kecepatan rata-rata benda itu ditentukan dengan

Jika kecepatan saat

t

dinotasikan dengan

v (t )

maka kecepatan dirumuskan dengan:

Dengan kata lain, kecepatan pada waktu

t

adalah turunan pertama pertama dari fungsi jaraknya. Jika fungsi kecepatan terhadap waktu

v (t )

kita turunkan lagi, maka akan kita peroleh percepatan.

Misalnya, percepatan saat

t

dinotasikan dengan

a (t )

, percepatan dirumuskan dengan Kecepatan rata-rata

t s waktu perubahan

jarak perubahan



= 

=

dt ds t t s

v

=



= 

→



lim

)

(

dt dv t t v

a

=



= 

→



lim

)

(

Dengan kata lain, percepatan pada waktu

t

adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan.

Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya, yaitu

Apabila suatu percepatan bernilai negatif, berarti benda berlawanan arah dengan arah sebelumnya. Dalam hal ini dikatakan bahwa benda mengalami perlambatan.

Contoh Soal 4.7.1

Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah

s t t t 10 t

2 9 3 ) 2

( =

−

+

meter.

Tentukan:

a. Kecepatan benda saat t = 2

detik;

b. Percepatan benda saat t = 5

detik;

Penyelesaian

a. Kecepatan benda pada waktu tadalah

( ) = = 2 t

− 9 t + 10 dt

t ds

v

Dengan demikian, kecepatan saat

t = 2

detik adalah

v ( 2 ) = 0

. Hal ini berarti pada saat

t = 2

, benda berhenti sesaat karena pada waktu itu kecepatannya 0.

b. Percepatan benda pada waktu tadalah

( ) = = 4 t − 9 dt

t dv

v

Jadi, percepatan saat

t = 5

detik adalah a(5)=4(5)−9=11m/s².

B. LATIHAN 4.7

1. Sebuah mobil bergerak menurut rumus s(t)=t²+5t, hitunglah kecepatan mobil tersebut setelah 8 detik.

2. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Panjang lintasannya

s

meter pada waktu t detik ditentukan oleh rumus s(t)=5−6t+2t².

a. Tentukan panjang lintasan setelah

t = 1

dan

t = 3

b. Tentukan kecepatan rata-rata untuk antara

t = 1

dan

t = 3

. c. Tentukan t jika kecepatannya nol.

d. Hitunglah kecepatannya jika percepatannya nol.

3. Rusuk sebuah kubus yang terbuat dari kawat mengalami paemuaian sehingga mengalami pertambahan panjang 7 mm/detik. Tentukan laju pertambahan volume pada saat setiap rusuknya memiliki panjang 15 cm.

4. Sebuah benda berbentuk bola karena mengalami pemuaian. Tentukan laju

perubahan volume bola pada saat jari-jarinya 7 cm. (ingat : Volume bola berjai-jari r

adalah

).

3 4

₃

r V = 

5. Sebuah benda dilemparkan ke atas dari ketinggian 256 kaki. Ketinggian benda setelah t detik pelemparan diberikan oleh

s = − 16 t

+ 48 t + 256

kaki.

a. Berapa kecepatan awalnya?

b. Kapan benda mencapai kecepatan maksimum?

c. Berapa ketinggian maksimumnya?

d. Kapan benda membentur tanah?

e. Berapa kecepatan benda ketika membentur tanah?

2 2

) ( )

( dt

s d dt ds dt

d dt t dv

a = = =

KEGIATAN BELAJAR 4.8 KD DAN IPK

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

3.4 Menjelaskan keberkaitan

turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok

Dalam dokumen KATA PENGANTAR KEPALA SEKOLAH SMA MUHAMMADIYAH 1 YOGYAKARTA (Halaman 47-0)