Tiket Kereta Api

Beberapa tahun ini, kita tidak lagi merasakan naik kereta api dengan penumpang yang penuh sesak. Selain karena diberlakukannya penjualan tiket secara online, beberapa perubahan lainnya adalah pemeriksaan kesamaan tiket dengan identitas calon penumpang. Ketentuan umum penumpang kereta api terbaru yang berlaku sejak 1 Januari 2015 perlu diketahui oleh seluruh masyarakat luas pencinta Kereta Api agar mendapat pelayanan mudah dan cepat. Salah satu aturan adalah penumpang berusia di atas 60 tahun berhak atas reduksi tarif sebesar 20%.

Pak Andi dan istrinya yang sudah berusia 40-an tahun, mengajak kedua orangtuanya pulang ke kampung halaman di Surabaya dengan naik kereta api dari Stasiun Bandung. Pak Andi membeli empat tiket kereta api Turangga. Biaya yang Pak Andi keluarkan sebesar Rp1.696.000,00. Di saat yang sama, Bu Aminah yang seusia dengan Pak Andi beserta ibu mertuanya ingin mengunjungi suaminya yang bekerja di Surabaya. Bu Aminah membeli dua tiket seharga Rp828.000,00. Bagaimanakah cara kalian mengetahui harga tiket untuk penumpang yang berusia di atas 60 tahun dengan menggunakan aljabar? Bagaimana aljabar dapat membantu kita untuk membuat model masalah di atas tanpa kesulitan? Untuk mengetahuinya, pelajari bab ini dengan baik.

arasi

N

A.

wal

Salah satu materi dalam matematika yang secara simultan terbangun terutama sejak awal pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama adalah sistem persamaan linear dua variabel (Sistem persamaan linear dua variabel). Sistem persamaan linear dua variabel merupakan bagian dari aljabar. Seseorang sering mengalami suatu kegiatan aljabar di antaranya persamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya situasi yang berhubungan dengan perniagaan atau jual beli.

Dua kemeja dan dua celana harganya Rp704.000,00. Di toko dan merek yang sama, satu baju dan tiga celana harganya Rp672.000,00. Berapa harga satu baju dan satu celana?

Saat akan mencari penyelesaian dari permasalahan tersebut, maka digunakan perhitungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Agar terbangun kebermaknaan dalam materi persamaan linear dua variabel, maka aspek pemecahan masalah terutama dari konteks yang ada di sekitar siswa perlu dijadikan sebagai acuan. Dengan demikian, untuk mengkonstruksi pemahaman matematis yang kokoh, diperlukan pengembangan bahan ajar dan soal-soal aljabar yang tidak rutin, menantang, berangkat dari masalah sehari-hari yang memerlukan analisis, dan tidak hanya bisa diselesaikan dengan langkah-langkah baku yang prosedural dan mekanistis. Karena hal ini seringkali menghilangkan kebermaknaan dan keindahan matematika sehingga matematika dianggap sebagai sesuatu yang tidak menyenangkan. Dalam bab ini, siswa akan memulai dengan membuat model matematika persamaan linear dua variabel dari situasi atau konteks, kemudian siswa diminta untuk menentukan selesaian. Selanjutnya siswa dikenalkan pada sistem persamaan linear dua variabel dan yang terakhir siswa diminta untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Untuk sistem persamaan linear dua variabel pada bab ini membahas tentang tiga hal, antara lain ada tidaknya penyelesaian, metode untuk menentukan selesaian, dan deskripsi lengkap tentang makna selesaian yang telah ditemukan.

Konsep Sistem persamaan linear dua variabel akan digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah-masalah lain, misalnya aritmetika sosial, fungsi, persamaan garis lurus, geometri, bilangan, dan lainnya. Oleh karena itu konsep-konsep yang telah dipelajari siswa sebelum materi ini perlu dingatkan kembali, sehingga akan nampak kesinambungan antarmateri, khususnya hierarkinya konsep matematika.

3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.

4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.

K

D asar^ompetensi

D.

1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya.

3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.

4. Mengolah, menyaji dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan,

mengurai, merangkai, memodiikasi, dan membuat) dan ranah abstrak

(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.

K

I nti^ompetensi

!

C.

• Variabel

• Persamaan linear dua variabel

• Selesaian

• Sistem persamaan linear dua variabel

ata Kunci

K

B.

Indikator pencapaian kompetensi untuk bab 5 Sistem persamaan linear dua variabel ini dikembangkan dengan mengacu pada kompetensi inti dan kompetensi dasar. Pada kegiatan pembelajarannya di kelas nanti, guru dapat mengembangkan sendiri indikator pencapaian kompetensi ini dengan menyesuaikan karakteristik siswa masing-masing. Indikator pencapaian kompetensi pada bab 5 ini antara lain siswa mampu:

1. Mengidentiikasi persamaan linear dua variabel.

2. Membuat persamaan linear dua variabel sebagai model matematika dari situasi yang diberikan.

3. Mengidentiikasi selesaian dari persamaan linear dua variabel.

4. Membuat sistem persamaan linear dua variabel sebagai model matematika dari situasi yang diberikan.

5. Membuat model matematika dan menentukan selesaian sistem persamaan

linear dua variabel dengan menggambar graik dua persamaan serta menafsirkan graik yang terbentuk.

6. Membuat model matematika dan menentukan selesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi dan substitusi.

7. Mengidentiikasi sistem persamaan linear dua variabel khusus dan

selesaiannya. ndikator

I

encapaian

P

ompetensi

K

E.

Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel (Sistem persamaan linear dua variabel)

Bentuk Umum Sistem persamaan linear dua variabel

Penyelesaian Sistem persamaan linear dua variabel

Penerapan Sistem persamaan linear dua variabel Graik ^Metode Subtitusi Metode Eliminasi

P

K ^etaonsep

F.

Diophantus

( 250 SM - 200 SM)

Diophantus dan Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya. Dia merupakan seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika. Semasa hidupnya Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica

adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation

(Persamaan Diophantine).

Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linear, tetapi bisa saja persamaan kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya adalah:

ax + by = c

a, b koeisien dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan

Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, agar persamaan di atas mempunyai solusi, maka d harus dapat membagi c. Terkadang dalam menentukan pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan, kita harus mencoba-coba dan pandai menentukan pola dari selesaiannya.

Hikmah apa yang dapat kalian ambil dari biograi Diophantus ini?

1. Menyelesaikan masalah tidaklah semudah menyelesaikan perkalian dengan mencongak. Kita harus menentukan strategi yang tepat untuk menyelesaikannya.

2. Terkadang kita dihadapkan dengan masalah yang selesaiannya tidak tunggal. Oleh karena itu, jangan pernah menyerah untuk menggali informasi lebih dalam sehingga mendapatkan selesaian lainnya.

arasi

N

okoh

T

atematika

M

G.

Sebelum memulai Kegiatan 5.1 hendaknya guru mengingatkan siswa tentang persamaan linear satu variabel, operasi aljabar, dan persamaan garis lurus yang telah mereka pelajari sebelumnya. Ketiga materi tersebut merupakan dasar untuk memahami sistem persamaan linear dua variabel. Untuk menguji pengetahuan ketiga materi tersebut, masalah berikut diberikan kepada siswa untuk dikerjakan.

1) Tentukan selesaian dari setiap persamaan berikut dengan variabel yang diberikan adalah anggota himpunan bilangan bulat.

a. x + 4 = 8 c. 4x = −6 b. 5y – 3y = −11 d. 3x = 21

2) Tentukan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut. a. 2x + y b. 3x – 2y c. 3x + 2y

2x – 3y + 2x – 2y + 4x + 6y – 3) Gambarkan garis dari persamaan berikut.

a. y = 2x b. 2x + y = 6

4) Manakah di antara pasangan garis berikut yang saling berpotongan? a. y = x + 2 dan y = x + 3

b. y = 2x – 8 dan y = 4x + 12

c. x + y = 4 dan 2x + 2y = 6

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan

Sebagai alternatif, berikut disajikan pembelajaran sistem persamaan linear satu variabel dengan model penemuan terbimbing yang prosesnya berdasar pada pendekatan ilmiah (scientiic approach). Guru dapat menggunakan model pembelajaran lainnya yang sesuai dengan karakteristik siswa.

egiatan