TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular

waktu kedatangan - salak

Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu (Martin 2008).

Data sirkular dapat direpresentasikan ke dalam bentuk sudut dalam lingkaran. Pengukuran ini dapat digambarkan melalui pengukuran sudut atau posisi titik pada keliling lingkaran, dengan memilih arah nol sebagai titik acuan.

Setiap titik pengamatan dapat dinyatakan sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam koordinat polar (r, θ), dimana r merupakan jarak titik pusat ke titik pengamatan dan θ merupakan arah perpindahan dalam satuan sudut (Jammalamadaka & SenGupta 2001). Titik dalam koordinat polar dapat diubah ke dalam koordinat kartesius, begitupun sebaliknya, dengan

x= r cos θ, y = r sin θ.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.

0^o

90^o

180^o 270^o

PENDAHULUAN Latar Belakang

Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Beberapa ilustrasi data sirkular yaitu arah migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan pasien, waktu terjadinya kecelakaan dan lain-lain. Data yang diukur dalam statistika sirkular berupa sudut sehingga analisis yang dilakukan sedikit berbeda dengan data linear. Hal ini menunjukkan pentingnya kajian analisis data sirkular.

Analisis data sirkular awalnya dimulai pada pertengahan abad ke-18. Pada tahun 1767, seorang pendeta John Mitchell FRS mengamati posisi antar bintang. Mitchell ingin membuktikan bahwa arah bintang-bintang tersebut menyebar seragam. Menggunakan konsep statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah pasangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell menyimpulkan bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 1993).

Salah satu kesalahan yang dapat terjadi jika data sirkular dianalisis menggunakan metode linear yaitu pada arah rata-rata. Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis putus-putus menunjukkan rata-rata dengan metode linear, sedangkan garis penuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada Gambar 1 rata-rata linear berada di sekitar 180^o sedangkan data pengamatan berada di sekitar 0^o.

Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu, perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui waktu sibuk kedatangan pasien. Setelah itu pihak rumah sakit dapat melakukan perencanaan sumber daya manusia dengan baik.

Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdapat 9 rumah sakit yang diakui oleh pemerintah kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin. Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang Merah Indonesia (PMI) dan Salak merupakan beberapa rumah sakit umum yang banyak mendapatkan perhatian dan kunjungan dari masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit tersebut dipilih sebagai objek penelitian.

Gambar 1 Contoh sebaran data sirkular.

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menerapkan penggunaan konsep

statistika sirkular untuk mengetahui deskripsi statistik data sirkular setiap rumah sakit.

2. Melakukan perbandingan arah rata-rata antar rumah sakit.

TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular

x= r cos θ, y = r sin θ.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.

0^o

90^o

180^o 270^o

Gambar 2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Menurut Mardia (2000), jenis data sirkular dibedakan menjadi dua yaitu :

1. Data sirkular jenis arah

Merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam arah atau derajat. Contohnya adalah arah angin, arah migrasi burung dan arah navigasi.

2. Data sirkular jenis waktu

Data yang merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam satuan waktu, dapat berupa jam dalam satu hari, hari dalam satu bulan, atau bulan dalam satu tahun. Dalam perhitungannya data sirkular jenis waktu harus diubah ke dalam sudut.

Penggambaran Data Sirkular

Sebuah data akan mudah dianalisis apabila dapat digambarkan dalam sebuah grafik. Menurut Fisher (1993), representasi data sirkular dalam bentuk grafis sangat penting. Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk data sirkular adalah:

1. Diagram pencar

Diagram yang menggambarkan titik-titik secara sederhana dalam suatu lingkaran. 2. Histogram, dalam data sirkular histogram

dapat dibuat seperti pada data linear dengan respon sudut sebagai koordinat X. Histogram yang dibuat dapat berupa histogram sirkular dan Rose Diagram. a. Histogram sirkular

Histogram seperti pada data linear dengan menyatukaan koordinat X menjadi lingkaran.

b. Rose diagram/Diagram mawar Histogram dimana masing-masing kelompok digambarkan sebagai sektor. Area setiap sektor menunjukkan frekuensi kelompok.

Deskripsi Statistik Data Sirkular Arah Rata-Rata

Perhitungan untuk mencari rata-rata data sirkular berbeda dengan prosedur perhitungan rata-rata pada data linear. Rata-rata data sirkular diperoleh dengan memperlakukan data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai vektor resultan R. Rumus dari R adalah:

R= ( =1cos� , =1sin�)= (C, S) dimana θ1, θ2,..., θn merupakan satu set observasi sikular yang diukur berdasarkan sudut, dan menghasilkan

R = ||R|| = �2+ 2

memperlihatkan panjang dari vektor resultan

R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular juga dikenal adanya panjang vektor rata-rata ( ) yang diperoleh dari :

= ^R

Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan arah rata-rata sirkular dilambangkan dengan� 0, dimana:

� 0= arctan*(S/C) , akan bernilai: 1. arctan (S/C) jika C>0, S 0 2. π/2, jika C=0, S>0

3. arctan (S/C) + π jika C<0 4. arctan (S/C) + 2π jika C 0, S<0 5. tidak terdefinisi jika C=0 dan S=0 Definisi inverse kuadran spesifik dari tangen diperlukan karena tan(θ) = tan(θ+π), dan arctan didefinisikan berada pada (⁻

2, ⁺

2 ). Sembarang θ memiliki dua inverse. Untuk mengatasi masalah ini definisi arah rata-rata sebelumnya dapat memberikan inverse yang bernilai unik dan tepat pada {0,2π} yang akan dihitung berdasarkan nilai C dan S (Jammalamadaka & SenGupta 2001).

Selang Kepercayaan Arah Rata-Rata

Metode yang digunakan untuk menentukan standar eror dari arah rata-rata sirkular yang mengikuti ditribusi normal sirkular adalah dengan mencari

� ⁼_к¹

sehingga selang kepercayaan 100%(1-α) untuk arah rata-rata data sirkular adalah [� 0−arcsin z_α/2 _�, � 0+ arcsin z_α/2 _�]. Y X P r O θ r sin θ r cos θ

Ragam Sirkular

Salah satu ukuran yang juga berguna dalam deskripsi statistik data sirkular adalah ukuran sebaran atau keragaman. Nilai keragaman sirkular diukur berdasarkan ukuran jarak sirkular antara sembarang dua titik data pada keliling lingkaran. Ukuran jarak ini didefinisikan sebagai panjang busur terkecil dari dua panjang busur yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Misalkan terdapat dua titik sembarang A dengan sudut α dan titik B dengan sudut β, maka jarak antar kedua titik merupakan busur terpendek dalam lingkaran. Gambar 3 menunjukkan busur ANB lebih pendek daripada busur ASB maka jarak antara A dan B adalah panjang busur ANB. Dengan demikian jarak dari dua titik pada keliling lingkaran tidak akan melebihi dari π.

Gambar 3 Contoh jarak antara dua titik pada data sirkular

Berdasarkan ilustrasi ini maka jarak sirkular untuk kedua titik A dan B adalah:

d (α,β) = ( 1- cos (α-β))

Definisi ini dapat digunakan untuk mencari ukuran sebaran data sirkular. Dengan pendekatan pengukuran jarak dalam lingkaran, maka nilai dari ragam contoh adalah

V= n – R = 1 -

Nilai V adalah ukuran penyebaran contoh, dan pada statistika linear sama dengan s². Standar deviasi pada data sirkular adalah:

v = {-2 log (1-V)}^1/2 = [2(1- )]^1/2

Titik sudut dalam arah yang sama mengindikasikan pemusatan yang besar, nilai R dapat sebesar n. Sebaliknya data yang menyebar merata pada sekeliling lingkaran mengindikasikan tidak adanya pemusatan, R dapat mendekati nilai 0 (Jammalamadaka dan

SenGupta 2001). Artinya semakin besar nilai keragaman sirkular maka semakin besar pula sebaran data dan semakin kecil konsentrasi data terhadap arah rata-ratanya.

Konsentrasi

Nilai konsentrasi menunjukkan seberapa besar data menuju suatu arah tertentu. Nilai konsentrasi dilambangkan dengan к yang ditentukan dengan formula sebagai berikut (Fisher 1993): 2 + 3+ ⁵ 6 ⁽¹⁾ −0.4 + 1.39 + ^0.43 (1− )⁽²⁾ 1 3−4 2+ 3 ⁽³⁾

di mana persamaan (1) digunakan jika <0.53, persamaan (2) jika 0.53 <0.85 sedangkan persamaan (3) digunakan jika 0.85.

Uji Khi Kuadrat

Tujuan dilakukannya pengujian ini adalah untuk mengetahui hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Pengujian dapat dilakukan dengan mengelompokkan waktu-waktu kedatangan dan menghitung frekuensinya. Setelah itu frekuensi dari masing-masing rumah sakit dibuat tabel kontingensi 4xc yang dapat dilihat pada Tabel 1.

Hipotesis:

H0 : tidak terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien.

H1 : terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien.

Tabel 1 Tabel Kontingensi

Total sampel 1 n11 .... .... n1c M1 sampel 2 .... .... .... .... M2 sampel 3 .... .... .... .... M3 sampel 4 n41 .... .... n4c M4 Total N1 N2 N3 N4 N dengan: eij = ( i= 1,..4; j=1,2,,c) к= β α 0

χ2

= ⁻

dimana:

eij= nilai harapan setiap sel

hipotesis nol akan ditolak jika nilai χ2

lebih besar dari χ2

α, artinya terdapat hubungan antara baris dan kolom.

Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk membandingkan arah rata-rata data sirkular yaitu dengan pendekatan ANOVA sirkular dan metode nonparametrik. Metode nonparametrik yang dapat dilakukan salah satunya metode menurut Fisher (1993).

ANOVA Sirkular

Pendekatan Analysis of Variance

(ANOVA) sirkular adalah suatu metode statistika sirkular yang digunakan untuk menguji kesamaan dari dua atau lebih arah rata-rata. Hipotesis yang ingin diuji adalah:

H0 : µ1=...=µp

dimana µi adalah arah rata-rata untuk masing-masing sampel. Pendekatan tabel ANOVA untuk analisis berdasarkan arah rata-rata (Watson dan Williams 1956) dalam Jammalamadaka dan SenGupta (2001) dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2 Pendekatan ANOVA Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah Antar Sampel p-1 =1 − JKantar sampel/db Dalam Sampel N-p ₌₁( − ) JKdalam sampel/db Total N-1 (N - R )

dimana N=n1+...+np menunjukkan ukuran sampel gabungan.

Asumsi yang harus dipenuhi adalah sebaran data mengikuti sebaran von Mises dan parameter konsentrasi memiliki nilai yang sama untuk masing-masing populasi. Pendekatan ANOVA pada Tabel 2 memiliki :

Fhitung = KTantar sampel/KTdalam sampel

Hipotesis nol akan ditolak jika Fhitung > F (p-1, N-p, α/2) untuk к>2. Bila 1 < к < 2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan

F’ = F (1 + ³

8к ⁾

dengan pendekatan sebaran F yang sama.

Nilai к adalah dugaan parameter konsentrasi keseluruhan. Simulasi menunjukkan pendekatan ini dapat dipenuhi untuk к 1. Sedangkan untuk nilai к < 1 dapat dilakukan pengujian dengan rasio likelihood (Mardia 2000), dimana

U = ² ₌₁ ²− 2 1 = 1 - ¹ 8 к2 + 2 к2

sehingga hipotesis nol akan ditolak jika nilai cU lebih besar dari �2

p-1,α

Sebaran von Mises/ Normal Sirkular

Pendekatan ANOVA berlaku untuk data normal sirkular. Sebaran ini adalah sebaran yang paling sering digunakan dalam statistika sirkular dan menjadi dasar parametrik statistika inferensia data sirkular. Sebaran ini dikenal sebagai sebaran von Mises yang ditemukan oleh von Mises pada tahun 1918.

Fungsi kepekatan peluang sebaran von Mises adalah

f ( θ;µ,к ) = 1 2 �0 к ^e

к cos ( θ-µ ), 0 < θ < 2π I0 adalah fungsi termodifikasi Bessel yaitu :

I0(к) = 1 2

2 0

k cos θ dθ

µ adalah arah rata-rata di mana 0 µ< 2π, sedangkan к adalah parameter konsentrasi dimana к 0.

Uji Formal untuk Sebaran von Mises

Lemma Neyman-Pearson dalam Mardia (2000) menyatakan uji Rayleigh paling kuat jika menggunakan hipotesis alternatif data menyebar normal sirkular.

Hipotesis:

H0: Sebaran data mengikuti sebaran seragam sirkular.

H1: Sebaran data mengikuti sebaran von Mises atau normal sirkular

Statistik uji yang digunakan adalah: Z = n ²

Jika nilai statistik uji lebih besar dari Z_α,n, maka hipotesis nol ditolak yang artinya sebaran data mengikuti sebaran normal.

Grafik Kecocokan Sebaran von Mises

Metode yang digunakan untuk mengevaluasi sebaran von Mises adalah QQ-plot), dengan mencari

zi = sin ¹

2 (θi - µ) i= 1,...,n lalu nilai zi disusun berdasarkan nilai terkecil sampai terbesar sehingga z(1) .... z(n). Setelah itu membuat plot (sin(¹

2 q1), z(1)),...., (sin(¹

2 qn), z(n)). Jika data mengikuti sebaran von Mises, plot mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45^o (Fisher 1993.

Pengujian Untuk Parameter Konsentrasi

Pengujian kesamaan dua atau lebih rata-rata populasi memerlukan asumsi parameter konsentrasi к bernilai sama. Pengujian dilakukan dengan hipotesis:

H0 : к1 = к2 =....= кp

H1: paling sedikit 1 dari кi berbeda dari yang lain ( i= 1,..,p). Statistik uji: �= − ₌₁ − 2 −1 − 2 =1 =1 dan = sin(� − � ) j=1,..,ni = ₌₁ = ₌₁

Maka H0 ditolak jika �> F(p-1, N-p,α/2)

dimana:

p = menyatakan banyaknya kelompok ni = menyatakan ukuran sampel yang

ke-i (i= 1,...,p)

N = total keseluruhan data

� = menyatakan rata-rata sirkular untuk kelompok ke-i.

Metode Nonparametrik

Dalam keadaan tertentu dimungkinkan cukup alasan untuk menduga bahwa sebaran yang mendasari data identik. Selain itu model parametrik yang didasari sebaran von Mises mungkin tidak dapat memberikan deskripsi yang memadai mengenai data atau distribusi yang tidak tepat.

Secara nonparametrik untuk menguji arah rata-rata dua atau lebih sampel dapat dilakukan dengan beberapa metode. Untuk

sampel yang besar terdapat beberapa metode diantaranya adalah metode P dan M.

1. Metode P : dilakukan jika ^� ^�

� ^4.

Dengan statistik uji: Yp = 2(N-RP)/�0 dimana: �0 = 1=1 ^� � = (1-ρ2 )/2 ² 2= ¹ cos 2 (� =1 − � ) Rp = � 2 + ² � = ₌₁ cos� = ₌₁ sin�

2. Metode M : dilakukan jika ^� ^�

� ^{> 4.}

Dengan statistik uji: Yp = 2( ₌₁ ¹₂ - RM ) dimana � = ₌₁^cos₂^� = ₌₁^sin₂^� RM = � 2 + ²

Hipotesis nol akan ditolak jika nilai Yp>�²₋1(^�

2 ) atau Yp <�²₋1(1−^�₂ ). Jika hipotesis nol ditolak artinya paling sedikit terdapat satu dari µi berbeda dari yang lain.

Uji Arah Rata-Rata Dua Sampel

Pengujian lanjut setelah uji ANOVA belum ditemukan dalam konsep statistika sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui arah rata-rata 2 kelompok yang berbeda dilakukan uji parsial 2 kelompok berdasarkan arah rata-rata yang berdekatan.

Hipotesis: H0: µ1=µ2 H1: µ1≠µ2 Statistik uji: F = к ⁻2( 1+ 2− ) − 1− 2

Metode di atas digunakan jika sebaran data menyebar von Mises dengan nilai к>2 dan memiliki nilai yang sama untuk kedua sampel.

Untuk nilai 1< к <2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan

F’ = F (1 + 3 8к ⁾

dengan pendekatan sebaran F yang sama. Sedangkan jika nilai к yang didapat kurang dari 1 maka dilakukan perhitungan dengan menggunakan pendekatan uji rasio likelihood seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

METODOLOGI

Dalam dokumen Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD) (Halaman 27-33)