Titik Tetap - II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD)

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD)

2.2 Titik Tetap

Definisi 4 (Titik Tetap)

(2.4) Titik x disebut titik tetap atau titik kritis ataupun disebut juga titik kesetimbangan jika f x( ) 0.

(Tu 1994) Definisi 5 (Titik Tetap Stabil)

Misalkan x adalah titik tetap SPD mandiri dan x(t) adalah solusi dengan nilai awal dengan x . Titik x dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap , terdapat , sedemikian sehingga

x

₀

x r

, maka solusi x(t) memenuhi x untuk setiap t>0.

(Vershulst 1990) Definisi 6 (Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal)

Titik x dikatakan titik tetap stabil asimtotik jika titik x stabil dan terdapat 0 sedemikian sehingga jika x x₀ maka lim ( )

t x t x, dengan x₀ x(0).

(Szidarovzky & Bahill 1998) Definisi 7 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Misalkan A adalah matriks n n, suatu vektor tak nol x di dalam ⁿ disebut vektor eigen dari A, jika suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A berlaku :

Ax x (2.5) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berukuran n n, maka persamaan (2.5) dapat dituliskan sebagai berikut :

(A I x) 0 (2.6) dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (2.5) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika det(A I) 0 yang disebut dengan persamaan karakteristik.

(Anton 1995) Analisis Kestabilan Titik Tetap

Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni :

1. Sistem x Ax adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif.

2. Sistem x Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari A bagian realnya bernilai positif.

(Borrelli & Coleman 1998)

2.3 Kondisi Routh Hurwitz

Misalkan bilangan-bilangan real, . Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik ( 1) ( 2)

1 2

( ) ^k ^k ^k ... _k 0

p a a a

mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks H_j adalah positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz _H_j sebagai berikut

Hj dengan H_j (h_lm) dan 2

1 , untuk 2

0 , untuk 2 ata

, untuk 0 2

u 2

l m lm

a l m k

l m

l m l k m

h

semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu :_H_j _{0, untuk}_j _{1, 2,...,}_ksehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k =2,3,4),

1. k=2, 2. k=3, 3. k=4,

(Edelstein-Keshet 1998) Untuk kasus k 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan A,B,C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( = + adalah negatif jika dan hanya jika A,C bernilai positif dan AB>C.

Bukti : (Lampiran 1)

2.4 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan Reproduksi Dasar ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan.

Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut : 1. Jika , maka penyakit akan menghilang.

2. Jika R₀ 1, maka penyakit akan menetap (endemik).

3. Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.

III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

3.1 Model SIR

Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit adalah model epidemik SIR. Model SIR ini dikemukakan oleh Kermark & McKendrick pada tahun 1927 sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi. Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah : Susceptible (S) yaitu kelompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, Infected (I) yaitu kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit dan Recovered (R) yaitu kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Menurut Hethcote (2000), diasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju infeksi atau laju transmisi penularan penyakit ketika individu rentan bersinggungan/kontak dengan individu yang terinfeksi dan adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu-individu yang pulih atau sembuh yang diasumsikan memiliki kekebalan (kekebalan alami) terhadap penyakit. Asumsi-asumsi tersebut dapat digambarkan ke dalam bentuk kompartemen-kompartemen pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1 Diagram transfer penyebaran penyakit model SIR

Dari kompartemen pada Gambar 1 di atas dapat disusun model matematika yang dituliskan sebagai berikut :

(3.1) dS S SI dt dI SI I I dt dR I R dt

dengan semua parameter pada sistem (3.1) adalah bernilai positif.

R

3.2 Model SVIR dan Strategi Vaksinasi Kontinu (CVS)

Berdasarkan teori epidemik dari Kermark dan McKendrick, penyebaran penyakit menular dapat digambarkan secara matematis oleh model-model kompartemen SIR dengan setiap huruf mengacu pada kompartemen dimana individu berada. Oleh karena itu Vaksinasi juga dapat dianggap sebagai penambahan kompartemen V secara alami ke dalam model epidemik dasar SIR.

Kribs-Zaleta & Velasco-Hernandez (2000), menambahkan kompartemen V ke dalam model SIS dan mempelajari penyakit pertusis dan TBC, sedangkan Arino et al. (2003) menambahkan kompartemen V ke dalam model SIRS, Kribs-Zaleta & Martcheva (2002) mempelajari efek dari kampanye vaksinasi pada penyebaran suatu penyakit non-fatal seperti hepatitis A dan hepatitis B, baik pada tahap infeksi akut ataupun kronis. Alexander et al. (2004) dan Shim (2006) menggunakan model SVIR untuk mempelajari model dinamika penyakit influenza (flu) dengan vaksinasi.

Semua model kontinu di atas yang berasumsi bahwa individu memperoleh kekebalan setelah divaksinasi dan waktu bagi individu mendapatkan kekebalan atau waktu untuk menyelesaikan proses vaksinasi diabaikan. Pada kenyataannya segera setelah individu yang rentan memulai proses vaksinasi, individu itu akan berbeda dengan individu yang rentan tetapi individu yang divaksinasi harus dibedakan dengan individu yang pulih karena telah mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi ataupun kekebalan setelah sembuh dari penyakit.

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan vaksinasi dalam model dasar SIR, model SVIR ini mengasumsikan bahwa individu yang divaksinasi tidak mendapatkan kekebalan segera artinya bahwa individu yang divaksinasi masih memungkinkan terinfeksi atau individu dalam V akan pindah ke R saat mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi.

Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR ini berdasar pada model dasar SIR untuk suatu penyakit yang tidak menyebabkan kematian (non fatal) misalkan penyakit campak. Menurut Alexander et al. (2004), Arino et al. (2004), Kribz-Zaleta & Velasco-Hernandez (2000) total populasi akan berada pada tingkat konstan, maka strategi vaksinasi kontinu ini mengasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju

transmisi/penularan penyakit ketika individu yang rentan berinteraksi dengan individu yang terinfeksi dan adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu yang pulih diasumsikan memiliki kekebalan alami terhadap penyakit.

Xianning et al. (2007) memperkenalkan strategi vaksinasi kontinu pada model epidemik SVIR. Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR secara matematis adalah penambahan kompartemen V pada model dasar SIR, dimana V adalah kelompok baru yang dibagi dari kelompok S dan menunjukkan kepadatan individu yang telah memulai proses vaksinasi. Individu dalam V memerlukan waktu untuk mendapatkan tingkat proteksi terhadap penyakit selama proses vaksinasi dan akan berpindah ke R saat mendapatkan kekebalan. Oleh karena itu, berdasarkan diagram transfer kompartemen model SIR maka dapat digambarkan diagram transfer model kompartemen sebagai berikut dengan asumsi :

a) adalah laju dimana individu yang rentan dipindahkan ke dalam proses vaksinasi.

b) ₁ adalah laju rata-rata (1 / ₁ adalah waktu rata-rata) bagi individu yang mengalami proses vaksinasi untuk memperoleh kekebalan.

c) Sebelum memperoleh kekebalan, individu masih memiliki kemungkinan terinfeksi dengan laju transmisi adalah ₁. Diasumsikan ₁ lebih kecil dari karena individu yang memperoleh vaksinasi mungkin memiliki kekebalan parsial selama proses vaksinasi.

Gambar 2 Diagram transfer penyebaran penyakit model SVIR dengan strategi CVS

R

S I

V

Asumsi-asumsi diatas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial berikut : 1 1 1 1 (3.2) dS S SI S dt dV S VI V V dt dI SI VI I I dt dR V I R dt

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Titik Tetap

Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu (solusi konstan). Titik tetap dari persamaan diferensial (3.2) akan diperoleh dengan menentukan ^dS 0,^dV 0,^dI 0 dt dt dt ^dan ⁰ dR dt ^. ^Karena ^persamaan , dan dS dV dI

dt dt dt ^{tidak bergantung pada persamaan} dR dt ^{, maka (3.2) dapat} direduksi menjadi : 1 1 1 (4.1) dS S SI S dt dV S VI V V dt dI SI VI I I dt

sehingga akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah ini :

1 1 1 0 0 (4.2) 0 dS S SI S dt dV S VI V V dt dI SI VI I I dt

dengan menyelesaikan secara bersamaan maka akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik.

1. Titik tetap bebas penyakit ₀ ₀ ₀ ₀

( , , ) , , 0

E S V I

2. Titik tetap endemik E (S V I, , ) dengan

1 1 1 1

, ^S

S V

I I I I

dan I adalah akar positif dari 2

1 2 3 ( ) g I A I A I A dengan : 1 ( ) 1 A

2 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) A A 4.2 Analisis Kestabilan

Misalkan pada persamaan (4.1) dinotasikan sebagai berikut :

1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) (4.3) f S V I g S V S SI S VI V V SI VI I S h S V I I I

dengan melakukan pelinearan persamaan-persamaan di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut.

1 1 1 1 1 0 ( , , ) f f f S V I g g g J S V I V S V I h h h S V I I S I I I S V

4.2.1 Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit

Pelinearan pada titik tetap E₀ akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut : 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 J E V S S V

sehingga akan diperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det J E₀ I 0.

Persamaan karakteristik dari J E₀ adalah :

1 1 2 0 1 0 3 1 2 1 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) ^c 1 S V S V S V R dengan

0 1 0 1 0 1 (4.4) ( ) c S V R

yang selanjutnya disebut sebagai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit pada strategi vaksinasi CVS.

Perhatikan bahwa nilai eigen yang kesemuanya adalah bilangan real akan negatif jika ₀c 1

R . Jadi kestabilan di titik tetap bebas penyakit bergantung pada

R . Kondisi stabil yang dipenuhi ketika ₀c 1

R dimana ₀c

R disini merupakan bilangan reproduksi dasar individu yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk kedalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi stabil asimtotik ketika R₀^c 1 karena individu yang terinfeksi hanya akan menularkan kurang dari satu individu baru yang terinfeksi yang artinya penyakit akan menghilang dari populasi. Sebaliknya, ketika ₀c 1

R merupakan kondisi yang tidak stabil karena penyakit dapat bertahan dan meningkat dalam populasi.

4.2.2 Kestabilan Titik Tetap Endemik

Pelinearan pada titik tetap E akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut : 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 J E V S S I S I I I S V S I I V V

Jika semua nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi J E mempunyai bagian real negatif, maka solusi titik tetap endemik adalah stabil. Nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menghitung det J E I 0 dan akan diperoleh persamaan karakteristik J E yaitu :

3 2 1 2 3 0 (4.5) a a a dengan 1 22 23 11 13 11 12 2 2 2 1 32 33 31 33 21 22 2 2 2 1 3 1 0 0 det 0 S a trace J E S V J J J J J J a V I S I J J J J J J V S I V I a J E S I V S

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kondisi kestabilan sistem (3.2) pada titik tetap endemik akan stabil jika dan hanya jika persamaan (4.5) memenuhi syarat-syarat berikut :

a1 0, a2 0 dan a a₁ ₂ a₃.

Perhatikan bahwa koefisien-koefisien pada persamaan (4.5) bernilai positif, berarti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik cukup dibuktikan bahwa a a₁ ₂ a₃ 0. Sehingga : 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 S a a a S I V I S I S V V V S I S I V I S I S V V V S I S I S I S I S V V

berdasarkan kriteria Routh-Hurwits maka disimpulkan titik tetap endemik E

adalah stabil asimtotik jika titik tetap endemik ini ada.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa keberadaan titik tetap E akan dipengaruhi oleh ₀c

R yaitu akan ada jika R₀^c 1. Nilai I adalah akar positif dari

2 1 2 3 ( ) g I A I A I A dengan 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) A A A Karena ₀ ¹ 1 c R maka persamaan 2 1 2 3 ( )

1 2 4 0

( ) (1 c)

g I A I A I A R dengan A₄ ( )( )( ₁) 0.

Keberadaan titik tetap endemik yaitu E dimana I adalah akar real yang bernilai positif dari persamaan 2

1 2 4 0

( ) (1 ^c)

g I A I A I A R terpenuhi jika ₀c ₁

R . Jadi titik tetap endemik E akan ada dan stabil jika ₀c ₁

R .

Tabel 1 Kondisi Kestabilan Titik Tetap

Kondisi E₀ E

0^c

1 R

^{Stabil asimtotik} ^{Tidak ada}

0^c

1 R

^{Tidak stabil} ^{Stabil asimtotik}

Tabel 1 menunjukkan bahwa dinamika sistem pada strategi vaksinasi CVS adalah sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Ketika ₀c 1

R titik tetap bebas penyakit E₀ akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Ketika ₀c ₁

R titik tetap endemik E akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.

Gambar 3 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan R₀^c 0.520833<1

Pada Gambar 3 di atas, diberikan parameter 0.1, 0.5,

1 0.05, 1 0.06 dan 0.06 dengan nilai awal S(0) 0.3, V(0) 0.1,

(0) 0.3

I , R(0) 0 dan 0.8 yaitu 80% populasi rentan divaksinasi yang

menyebabkan ₀c 0.520833

R terlihat bahwa kurva S, V, I dan R akan menuju ke titik tetapnya yaitu (0.111111, 0.555556, 0, 0.333333). Kurva I akan menuju nol dan stabil yang artinya bahwa pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Program untuk menampilkan Gambar 3 dapat dilihat pada lampiran 4.

Gambar 4 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan R₀^c 1,17187 1

Sedangkan pada gambar 4, dengan 0.2 yaitu 20% populasi rentan divaksinasi yang menyebabkan ₀c _1.17187

R kurva S, V, I dan R akan menuju titik tetapnya yaitu (0.285714, 0.34632, 0.1, 0.267966). Kurva I akan stabil menuju 0.1 yang artinya bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi. Progam untuk menampilkan Gambar 4 dapat dilihat pada lampiran 5.

Gambar 5 Dinamika Populasi I terhadap waktu dengan R₀^c 0.520833

0 10 20 30 40 50 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t _ . _ . S(t) . . . . V(t) ____ I(t) _ _ _ R(t)

Pada Gambar 5, diberikan nilai awal yang berbeda yaitu (0) 0.3, (0) 0.4, (0) 0.5 dan (0) 0.6

I I I I terlihat pada akhirnya kurva I

yaitu populasi yang terinfeksi akan stabil menuju nol untuk t yang semakin besar sehingga nilai awal tidak berpengaruh jika ₀c 1

R berapapun nilai awalnya, pada akhirnya akan menuju nol. Program untuk menampilkan Gambar 5 dapat dilihat pada lampiran 6.

4.3 Efek Dari Strategi Vaksinasi CVS

Hasil analisis pada strategi vaksinasi CVS menunjukkan bahwa dinamika sistem sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Sehingga efek dari vaksinasi bergantung pada bilangan reproduksi dasarnya.

Secara matematis diuraikan sifat-sifat bilangan reproduksi dasar strategi vaksinasi CVS sebagai berikut :

1. Ketika 0 yang berarti tidak ada vaksinasi, maka ₀c

R akan tereduksi menjadi ₀c ₀ ₀

R R yang adalah bilangan reproduksi dasar model SIR.

2. Ketika 0, maka akan terdapat dua kasus, yaitu :

i.Kasus ₁ 0 yang berarti bahwa individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya menjadi

0| 0 1

( )( )

c c

R R dan untuk nilai yang semakin besar maka R₁^c akan mendekati nol.

ii.Kasus ₁ 0 yang berarti bahwa individu yang divaksinasi masih memiliki kemungkinan untuk terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya adalah sama dengan ₀c

R dan untuk nilai yang semakin besar maka R₂ akan mendekati nilai 1

( )( ) ^.

Sehingga untuk menganalisa efek dari strategi vaksinasi CVS diasumsikan bahwa tanpa vaksinasi penyakit akan endemik atau tetap ada dalam populasi

Tabel 2 Bilangan Reproduksi Dasar

Untuk mengamati efek dari strategi vaksinasi CVS ini perlu diimplementasikan kedalam suatu contoh penyakit yang sesuai dengan model SVIR dalam hal ini penyakit campak. Sehingga dilakukan simulasi komputer dengan bantuan perangkat lunak Mathematica 7.0 dengan nilai-nilai parameter yang diambil dari d’Onofrio et al (2007).

1. merupakan laju rekrutmen atau laju kematian alami manusia, yakni 0.0

0003653/h 1

75 365 ^ari

L ^{, dimana} ^{L adalah angka harapan}

hidup.

2. 1

0.143/hari

D ^, ^D ⁷^{hari adalah waktu rata-rata individu yang} terinfeksi mendapatkan kekebalan.

3. Dimisalkan R₀ 1.5 maka diperoleh nilai 0.215/hari adalah waktu rata-rata individu yang rentan terinfeksi sebelum mengalami proses vaksinasi.

4.3.1 Kasus ₁ 0

Dimisalkan individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi ( ₁ 0) yang berarti bahwa efektivitas vaksin sangat tinggi. Secara matematis ₀c

R akan sama dengan ₁c

R yang akan menuju ke nol untuk nilai yang semakin besar. Karena

limR^c 0 maka dapat disimpulkan bahwa penyakit bisa diberantas dengan

Kasus 0 0 1 0 1 0| 0 1 1 ( )( ) lim 0 c c c R R R 0

R

1 0 ₁ 0 1 0 2 lim c c R R R

strategi CVS. Namun jika kemungkinan bagi penerima vaksin terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi CVS.

Gambar 6 Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus ₁ 0

Pada Gambar 6 terlihat bahwa ₀c ₁c

R R akan stabil turun menuju ke nol seiring dengan membesarnya nilai . Jika R₁^c 1 maka akan diperoleh nilai kritis

0 0.0000183787 dan agar ₀c 1

R maka ₀. Artinya dengan strategi vaksinasi CVS maka minimal 0.00183787% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Program untuk menampilkan Gambar 6 dapat dilihat pada lampiran 8.

Gambar 7 Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus ₁ 0 dan

0^c 0.97132 1

Pada Gambar 7, ketika dilakukan strategi vaksinasi CVS dengan 0.00002 atau 0.002% populasi rentan divaksinasi yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan ₀c _0.97132 ₁

R terlihat bahwa kurva R stabil naik menuju ke 0.8 dan kurva S akan turun stabil dari nilai awal 0.3 menuju titik tetapnya 0.2,

_ _ _ _ ₁c

R ___ ₀c

R . . . . R₀

kurva V turun stabil menuju nol begitu juga dengan kurva I. Sedangkan pada Gambar 8 ketika dengan strategi 0.00001 atau 0.001% populasi rentan yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan ₀c 1.18077 1

R , akan berlaku hal yang sama dengan gambar 7. Program untuk menampilkan Gambar 7 dan Gambar 8 dapat dilihat pada lampiran 9 dan lampiran 10.

Gambar 8 Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus ₁ 0 dan

0^c 1.18077 1

Pada Gambar 7 dan Gambar 8 terlihat bahwa terjadi over evaluating karena kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi diabaikan yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit ( ₀c) akan hilang, sehingga dengan strategi vaksinasi CVS ini maka penyakit akan bisa diberantas dengan strategi vaksinasi apapun atau nilai berapapun.

4.3.2 Kasus ₁ 0

Dimisalkan individu yang divaksinasi bisa terinfeksi ( ₁ 0), secara matematis ₀c

R adalah penurunan fungsi dari sehingga ₀c

R akan turun menuju

R untuk nilai yang semakin besar. Karena 1

0 2 1 lim ( )( ) c R R ,

maka kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas haruslah R₂ 1. Jika

2 1

R , maka akan terdapat konstanta yang unik yaitu ₀c

yang menyebabkan

0c 1

R sehingga kondisi untuk memberantas penyakit haruslah ₀c. _ . _ . S(t) . . . . V(t) ____ I(t) _ _ _ R(t)

Sebaliknya jika R₂ 1 maka ₀c ₂ 1

R R yang mengakibatkan penyakit tidak bisa diberantas untuk setiap nilai .

Kasus ketika ₁ 0 dan ₁ ₁

Pada kasus ini diasumsikan ₁ 0.5 0.1075 dan ₁ 0.1

Gambar 9 Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus ₁ 0

Gambar 10 Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus

1 0 dengan ₁ ₁.

Pada Gambar 9 terlihat bahwa kurva ₀c

R akan stabil turun menuju R₂ ketika semakin besar artinya dengan strategi vaksinasi CVS ini R₂ adalah kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Jika dimisalkan R₂ 1 maka akan diperoleh nilai kritis ₀ 0.00001710638555 seperti yang terlihat pada Gambar

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 R0 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 R0 _ _ _ _ R₂ ___ ₀c R . . . . R₀ _ _ _ _ R₂ 1 ___ ₀c R . . . . R₀

10. Sehingga haruslah minimal 0.001710638555% dari populasi rentan harus divaksinasi setiap hari agar penyakit bisa diberantas. Program untuk menampilkan Gambar 9 dan Gambar 10 dapat dilihat pada lampiran 11.

Kasus ketika ₁ 0 dan ₁ ₁

Pada kasus ini diasumsikan ₁ 0.25 0.0525 dan ₁ 0.1

Gambar 11 Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus

1 0 dengan ₁ ₁.

Pada Gambar 11, ketika ₁ ₁, terlihat bahwa nilai kritis agar penyakit bisa diberantas adalah ₀ 0.00001710409246 yang berarti bahwa minimal 0.001710409246% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Nilai kritis ini lebih kecil dari nilai kritis ketika ₁ ₁. Hal ini berarti bahwa ketika kemungkinan individu yang divaksinasi untuk terinfeksi lebih kecil dari kemungkinan individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan yaitu dengan efektivitas vaksin yang tinggi akan melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Program untuk menampilkan Gambar 11 dapat dilihat pada lampiran 12.

Dari hasil simulasi pada penyakit campak, didapatkan dua nilai kritis yaitu, ₀( ₁ ₁) 0.00001710638555 dan ₀( ₁ ₁) 0.00001710409246

yang artinya bahwa minimal 0,001710638555% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari ketika ₁ ₁ atau 0,001710409246% populasi rentan harus

_ _ _ _ R₂ 1 ___ ₀c

divaksinasi setiap hari ketika ₁ ₁ , terlihat bahwa ketika efektifitas vaksin semakin tinggi yang menyebabkan pengurangan nilai ₁ dan kenaikan nilai ₁ akan semakin melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit.

Dari hasil analisis matematis dan simulasi didapatkan nilai parameter ₁ dan ₁ sangat mempengaruhi nilai R₂, dimana ₁ adalah laju individu yang divaksinasi terinfeksi dan 1 / ₁ adalah waktu rata-rata penerima vaksin mendapatkan kekebalan penuh, nilai kedua parameter ini ditentukan oleh efektifitas vaksin. Jika vaksin semakin efektif maka nilai ₁ akan semakin meningkat dan mengurangi nilai ₁ sehingga nilai R₂ akan semakin kecil yang artinya melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit.

Vaksinasi sangat membantu untuk mengendalikan penyebaran penyakit dengan dapat menurunkan bilangan reproduksi dasarnya dan mengurangi fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik. Tapi ada kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas. Jika kemungkinan bagi individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit akan hilang, sehingga penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun atau nilai berapapun. Efektifitas strategi vaksinasi bergantung pada kemungkinan penerima vaksin untuk terinfeksi kecil ( ₁ kecil) atau waktu untuk mendapatkan kekebalan singkat ( ₁ besar). Jadi semakin tinggi efektifitas vaksin akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit.

V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, hasil analisis yang telah dilakukan pada model matematika strategi vaksinasi kontinu (CVS) diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Dari analisis kestabilan, dinamika CVS ini sepenuhnya bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Ketika bilangan reproduksi dasarnya kurang dari satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Jika bilangan reproduksi dasarnya lebih dari satu maka titik tetap endemik akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi.

Selanjutnya, dari analisis matematis dan simulasi terhadap efek dari strategi vaksinasi CVS diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Vaksinasi bermanfaat untuk mengendalikan penyebaran penyakit yaitu dengan mereduksi bilangan reproduksi dasarnya dan menurunkan fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik.

2. Ketika kemungkinan bagi individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan, maka kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit akan hilang (over evaluating), sehingga penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun. 3. Strategi yang diperlukan untuk memberantas penyakit bergantung pada

kemungkinan individu penerima vaksin terinfeksi ( ₁ kecil) dan individu penerima vaksin mendapatkan kekebalan ( ₁ besar). Ketika kemungkinan individu penerima vaksin terinfeksi itu lebih kecil dari pada kemungkinan individu penerima vaksin mendapatkan kekebalan ( ₁ ₁) maka efektifitas vaksinasi akan semakin baik. Dengan kata lain, semakin tinggi efektifitas vaksin maka akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit.

5.2 Saran

Penelitian ini perlu dilanjutkan dengan strategi vaksinasi yang berbeda yaitu strategi vaksinasi terputus (Pulse Vaccination Strategy-PVS) dan membandingkannya dengan strategi CVS, yang telah dibahas disini.

Dalam dokumen A Continuous Vaccination Strategy in the SVIR Epidemic Model (Halaman 60-82)