B. Teori Dasar 1. Kadar Air Kayu 1.Kadar Air Kayu
5. Transformasi Fourier, DFT dan FFT
Dan tidak berdimensi (tidak mempunya satuan). Dengan mensubstitusikan persamaan 2.6 dan 2.7 ke persamaan 2.5 maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
(2.8) sehingga:
⁄⁄ (2.9) Dari persamaan di atas, dapat dilihat hubungan modulus elastis terhadap perubahan panjang adalah berbanding terbalik. Jika modulus elastis besar maka kecil, sebaliknya jika modulus elastic kecil maka besar.
5. Transformasi Fourier, DFT dan FFT
a. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi domain frekuensi.
Transformasi Fourier didefinisikan sebagai berikut.
∫ (2.10) dimana
x (t) = fungsi atau sinyal dalam domain waktu, = fungsi kernel,
x(f) = fungsi dalam domain frekuensi dan f = frekuensi.
Persamaan (2.10) digunakan untuk mentransformasikan sinyal dari domain waktu ke dalam domain frekuensi.
Domain waktu periode suatu sinyal dinyatakan sebagai T = N t, sedangkan pada domain frekuensi = dengan menyatakan interval antar frekuensi dan = Dengan demikian, dalam persamaan (2.11) , yang merupakan penghubung antara domain waktu dengan domain frekuensi. Bila jumlah data lebih kecil dari fs maka frekuensi yang dihasilkan tidak presisi. Disisi lain fs haruslah
untuk menghindari aliasing frekuensi di dekat frekuensi yang dicari. Aliasing merupakan fenomena munculnya frekuensi yang sama dari hasil transformasi yang mana kita tidak bisa membedakan antara frekuensi yang asli dengan frekuensi (Permana, 2010).
Pada umumnya, transformasi Fourier menggunakan alat yang disebut real-time spectrum analyzer yang telah terintegrasi dalam bentuk chip untuk menghitung sinyal diskret dalam domain waktu yang berasal dari microphone. Untuk dapat menganalisis spektrum frekuensi, di dalam prosessor DSP disusun program Discrete Fourier Transform (DFT) (Schuler, 2003: 477).
b. Discrete Fourier Transform (DFT)
Discrete Fourier Transformasi (DFT) adalah deretan yang terdefinisi pada kawasan frekuensi–diskrit yang merepresentasikan Transformasi Fourier terhadap suatu
deretan terhingga (Finite Duration Sequence). DFT berperan penting untuk implementasi algoritma suatu varitas pengolahan sinyal, karena efisien untuk komputasi berbagai aplikasi. Fast Fourier Transformation atau Transformasi Fourier Cepat, merupakan proses lanjutan dari DFT. Transformasi Fourier ini dilakukan untuk mentransformasikan sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi. DFT merupakan cara mengubah suatu fungsi atau sinyal dalam kawasan (domain) waktu ke kawasan frekuensi.
∫
(2.11) Dengan,
= fungsi kawasan frekuensi, = fungsi kawasan waktu.
Karena komputer hanya bisa melakukan operasi aritmatika dan logika, maka persamaan 2.11 fungsi kawasan frekuensi dimana t (waktu) dirubah ke n (diskrit) dan dirubah ke , ∫ (2.12) Jika , ∫ (2.13) Untuk yang panjangnya berhingga N (n=0 ...N-1), maka:
∫
Jika suatu sinyal panjangnya berhingga N, maka dapat disampling atau dicuplik dalam satu periode saja, dimana maka sehingga persamaan 2.14 menjadi | ∑ (2.15) Dimana, , maka atau ∑ 가 ∑ (2.16) Dimana, ,
DFT dalam bentuk matrik yaitu:
(2.17) Dimana: = koefisien DFT merupakan matrik .
= input sinyal diskrit .
= matrik disebut matrik DFT.
Untuk bentuk matriknya dapat dilihat sebagai berikut:
{ } [ ] [ ] c. Fast Fourier Transform (FFT)
Algoritma lain yang lebih cepat dari DFT adalah Fast Fourier Transform (FFT). Prinsip kerja FFT adalah membagi sinyal hasil penyamplingan menjadi beberapa
bagian yang kemudian masing-masing bagian diselesaikan dengan algoritma yang sama dan hasilnya dikumpulkan kembali. Ada tiga kelas FFT yang umum digunakan di dalam suatu software DSP yaitu Decimation in Time (DIT), Decimation in Frequency (DIF) dan Split Radix. Ide ketiga jenis FFT tersebut adalah proses iterasi sequence data dilakukan secara berbeda dan memanfaatkan fungsi kernel yang memiliki sifat yang simetris pada suatu nilai tertentu dalam satu periode suatu sinyal. Jenis lain FFT yang sudah digunakan adalah paralel FFT dimana sequence data dikerjakan dengan menggunakan parallel computing sehingga proses transformasi akan lebih cepat (Chu dkk, 2000).
Decimatoin adalah proses pembagian sinyal menjadi beberapa bagian yang lebih kecil yang bertujuan untuk memperoleh waktu proses yang lebih cepat. Jika input sinyal pada time domain dari N-points adalah x(n), langkah awal yang dilakukan adalah dengan memisahkan menjadi 2 bagian yang sama (N/2 points) berindek ganjil dan genap.
∑
∑
(2.18) genap ganjil
Misalkan genap = , ganjil = , maka persamaan 2.28 menjadi: ∑
∑ (2.19) Untuk,
( ) ⁄ (2.20) dan (2.21) dengan mensubsititusikan persamaan 2.13 dan 2.30 ke 2.12, maka didapat persamaan 2.16
∑
∑ (2.22) atau
(2.23) dimana: = DFT titik data dengan indek genap,
= DFT titik data dengan indek ganjil.
Komputasi DFT adalah komputasi yang memerlukan waktu untuk proses looping dan memerlukan banyak waktu. Dengan menerapkan metode FFT, laju komputasi dari perhitungan transformasi Fourier dapat ditingkatkan, perhitungan DFT dapat dipersingkat, dalam hal ini proses looping dapat direduksi (Tanudjaja, 2007).
d. Software Matlab
Matlab singkatan dari Matrix Laboratory, adalah software yang dibuat oleh Mathworks dengan bahasa C. Matlab merupakan software yang berisi fungsi-fungsi matematika lengkap dengan fasilitas grafis yang menarik. Fungsi matematika yang disediakan oleh Matlab bisa bersifat numeric maupun simbolik (Suciati dan Surtono, 2012). Matlab adalah bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk
komputasi teknik. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab memberikan system interaktif yang menggunakan konsep array/matrik sebagai standar variabel elemennya tanpa membutuhkan pen-deklarasi-an array seperti pada bahasa lainnya (Away, 2006). Beberapa bagian dari window matlab adalah:
Current Directory
Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.
Command History
Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-erintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap Matlab.
Command Window
Window ini berfungsi sebagai tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variabel, menjalankan proses-proses, serta melihat isi variabel.
Workspace
Workspace berfunsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang sedang aktif pada saat pemakaian Matlab.apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan
melakukan double klik. Matlab secara otomatis akan menampilkan window
“array editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user.
Gambar 2.9 Tampilan antar muka dari Matlab
Tipe data yang dikenal dalam pemrograman Matlab hanya dua yaitu Numeric dan String. Tidak seperti bahasa pemrograman yang lain, dalam pemrograman Matlab tidak dibutuhkan deklarasi eksplisit yang menyatakan tipe data, karena Matlab memiliki kemampuan tersendiri untuk mngenali tipe data yang dimasukkan oleh pemrograman pada setiap variabelnya, dan dapat secara dinamismengganti tipe data tersebut pada waktu yang relative bersamaan tanpa adanya kesalahan. Namun demikian ada beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak, yaitu:
1. Penamaan variabel bersifat case sensitive, artinya Matlab akan membedakan adanya huruf besar dan kecil dalam penamaan (misal, lbr akan tidak sama dengan Lbr).
3. Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf, tidak boleh dengan bilangan simbol dan lain-lain.
Matlab ini dimaksudkan untuk mengenalkan bahasa pemrograman sekaligus alat visualisasi, yang menawarkan banyak kemampuan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang berhubungan langsung matematika, seperti bidang rekayasa teknik, fisika, statistika, komputasi dan modeling. (Away, 2006).
