Pascal's Triangle & Binomial Theorem

Integration (Part – 3)

(Integration by parts and Integration by partial fraction) Shirin Sultana

Lecturer

Department of GED

Daffodil International University

Integration by Parts:

If and are functions of x, ( and ), then

 

L I A T E

L : Logoritmic function

I : Inverse Trigonometric Function A : Algebraic Function

T : Trigonometric Function E : Exponential Function Guideline for selecting and :

¿ ∫ � � ∙ ���

¿ ∫ � ∙ � � ��

Evaluate

 

∫ � � ���

Here,

∴ ∫ � � ��� = �� � − � � +�

∫ ( �� ) �� =� ∫ � �� − ∫ ( �� �� ∫ � �� ) ��

¿ � ∫ �

^�

�� − ∫ [ �� � ( � ) ∫ �

^�

�� ] ��

¿ � ∙ � � − ∫ [ 1 ∙ � � ] ��

¿ �� � − ∫ � � ��

¿ � �^� −�^�+�

� = �

: Algebraic function (A)

�=�^� : Exponential function (E)

L I A T E

L : Logoritmic function

I : Inverse Trigonometric Function A : Algebraic Function

T : Trigonometric Function E : Exponential Function

Evaluate

 

∫ ln ���

Here,

∴ ∫ ln ��� = � ln � − � + �

∫ ( �� ) �� =� ∫ � �� − ∫ ( �� �� ∫ � �� ) ��

¿ ln � ∫ 1 �� − ∫ [ �� � ( ln � ) ∫ 1 �� ] ��

¿ ∫ ln � ∙ 1 ��

¿ ln � ∙ ( � ) − ∫ [ � 1 ∙ ( � ) ] ��

¿ � ln � − ∫ 1 ��

¿ � ln � − � + �

�= ln �

: Logoritmic function (L)

� =1

: Algebraic function (A)

L I A T E

L : Logoritmic function

I : Inverse Trigonometric Function A : Algebraic Function

T : Trigonometric Function E : Exponential Function

¿ ∫ ln � ∙ 1 ��

Evaluate

 

∫ � 2 cos ���

Here,

∴ ∫ � 2 cos ��� =� 2 sin � + 2 � cos � − 2sin � + �

∫ ( �� ) �� =� ∫ � �� − ∫ ( �� �� ∫ � �� ) ��

¿ ∫ � 2 ∙ cos ���

¿ � 2 ∙ sin � − ∫ [ 2 � ∙ sin � ] ��

¿ �

²

sin � − [ 2 � ∫ sin � �� − ∫ { �� � ( 2 � ) ∫ sin � �� } �� ]

�=�² : Algebraic function (A)

�=cos � : Trigonometric function (T)

L I A T E

L : Logoritmic function

I : Inverse Trigonometric Function A : Algebraic Function

T : Trigonometric Function E : Exponential Function

¿ � 2 sin � − [ − 2 � cos � + 2 ∫ cos ��� ]

¿ � 2 sin � − [ 2 � ( − cos � ) − ∫ { 2 ( − cos � ) } �� ]

¿ ∫ � 2 ∙ cos ���

¿ �

²

∫ cos � �� − ∫ [ �� � ( �

²

) ∫ cos � �� ] ��

Exercise

Evaluate the followings:

Prove that

 

¿

∫ [ �2+1�� + �2−1�� ]��

Proof

∫ ��

�

²

− �

²

Now,

∴ ∫ ��

�

²

− �

²

= 1

2 � �� | � � − + � � | + �

¿ 1

2 � ∫ [ � + 1 � + � − 1 � ] ��

Exercise: Prove that

∫ �

′

( � )

� ( � ) ��= �� | � ( � ) | + �

Integration by Partial Fraction:

¿ ∫ 1

( �+ � ) ( � − � ) ��

Evaluate

 

¿ ∫ [ � 1 + 2 + � − + 1 3 ] ��

∫ ��

�

²

+ 5 � + 6

Here,

∴ ∫ ��

�

²

+5 � + 6 = ln | � � + + 2 3 | + �

∫ �

′

( � )

� ( � ) �� =�� | � ( � ) | + �

⟹ ∫ �

2

��

+ 5 � +6 = ∫ � 1 + 2 �� − ∫ � 1 + 3 ��

¿ln|�+2|−ln|�+3|+�

¿ ln

|

^��+⁺²3

|

^+�

¿ ∫ � 1

( � + 3 ) + 2 ( � +3 ) ��

¿ ∫ 1

( � + 2 ) ( � + 3 ) ��

¿ ∫ [ � 1 + 2 − � 1 + 3 ] ��

¿ ∫ 1

�

²

+ 3 � + 2 � + 6 ��