LOGIKA MATEMATIKA
DAN HIMPUNAN
•
R Burham I, S.Si, M.Kom
•
HP: 0852 9201 6258
•
Email, FB :
rbifarid@gmail.com
KATA MAJEMUK
Proposisi adalah kalimat yg memiliki nilai BENAR atau SALAH tapi tidak keduanya.
• a. 2 + 2 = 4
• b. 4 adalah bilangan prima
• c. Bangka adalah ibukota negara Indonesia
• d. Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta
• a. Dimanakah letak pulau Bali?
• b. Siapakah namamu?
• c. Simon lebih tinggi dari Lina
• d. x + y = 2
KATA MAJEMUK
Untuk menghubungkan 2 proposisi diperlukan kata penghubung. Yang biasa dipakai adalah negasi,konjungsi,disjungsi,implikasi, dan biimplikasi
Untuk diingat. Yang kita pakai adalah P, Q, R, S dengan nilai kebenaran :
P
Q
R
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
1. NEGASI ( ~ )
Adalah Ingkaran atau penyangkalan atau lawannya Notasinya adalah ~
Tabel Kebenaran:
P
~P
Q
~Q
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
2. KONJUNGSI ( )
Adalah penghubung DAN Notasinya adalah ᴧ
Tabel Kebenaran:
P
Q
P
ᴧ
Q
Q
ᴧ
P
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
SOAL
P
Q
R
S
P
ᴧ
R
R
ᴧ
Q
~(S
ᴧ
P)
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
3. DISJUNGSI ( )
Adalah penghubung ATAU Notasinya adalah ᴠ
Tabel Kebenaran:
P
Q
P ᴠ Q
Q ᴠ P
B
B
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
SOAL
P Q R S
P ᴠ R
~ P ᴠ S
~R ᴠ Q
S ᴠ ~R
~S ᴠ ~Q
B B S S
B S S B
S B B S
SOAL
P Q R S P ᴠ R ᴧ S Q ᴠ ~ S ᴧ P) ~ R ᴠ P ᴠ Q ᴧ S ) Q ᴠ S ᴠ P ᴧ ~R
B B S S
B S S B
S B B S
4.IMPLIKASI
Adalah penghubung JIKA…..MAKANotasinya adalah →
Yang harus diingat bahwa urutan derajatnya adalah:
1. ᴧ dan ᴠ adalah derajat ter rendah shg dikerjakan dulu 2. → derajat lebih tinggi dari ᴧ dan ᴠ
Adalah penghubung JIKA…..MAKA Notasinya adalah →
Tabel Kebenaran:
P
Q
P
→
Q
Q
→
P
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
P Q R S P ᴠ R →S Q →~(S ᴧ P) ~( R ᴧ P ᴠ Q →S ) Q → ( S ᴠ P ᴧ ~R
B B S S
B S S B
S B B S
S S B B
P Q R S P ᴧ Q → R ᴠ ~( S →R ᴧ Q ) S →R ᴧ ~(Q ᴠ S →P)
B B S S
B S S B
S B B S
5.BIIMPLIKASI
Adalah penghubung …. Jika Dan Hanya Jika …Notasinya adalah ↔
P
Q
P
↔
Q
Q
↔
P
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
P Q R S P ↔ R →S Q →~(S↔P) R → P ᴠ Q ↔ S Q ↔ P ᴠ S → P ᴧ R
B B S S
B S S B
S B B S
S S B B
P Q R S P ᴧ Q →~( R ᴠ S →R) ↔ Q P ᴧ Q →~ ( ~ ( R ᴠ S →R) ↔ Q)
B B S S
B S S B
S B B S
SOAL UAS NO 1 dan NO 2 (Dikerjakan di rumah)
P Q R S R → ~( P ᴧ Q → R ᴠ ~S ↔ R ) ᴠ ~ P → R ᴠ S ↔ S ᴧ Q )
B B S S
B S S B
S B B S
S S B B
P Q R S ~ R ᴠ Q → ~Q ᴧ ( (Q → R ᴠ ~S) → P ↔ R ) ↔ P ᴠ R ↔ S → Q )
B B S S
B S S B
S B B S
DIAGRAM VENN HIMPUNAN
Operasi Terhadap Himpunan
1. IRISAN
Notasi: A B Artinya ada di A dan ada di B
Contoh:
• Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A B = {4, 10}
• Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { 1, 6 },
2. GABUNGAN
Notasi: A B Artinya A digabung dengan B, elemen yg sama
dihitung satu
Contoh
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
3. KOMPLEMEN
Notasi: Ac Artinya ada di Semesta tetapi tidak ada di A
Contoh
Misalkan S = { 1, 2, 3, ..., 9 },
• jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ac = {2, 4, 5, 6, 8}
• jika A = { x | x = bilangan genap di S }, maka Ac= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Misal S={ , , ,… }
Jika A={1,4,7,9} B={2,5,7,8} Maka (A B) c =
4. SELISIH
Notasi: A – B atau B – A
Artinya A – B = Ada di A tetapi tidak ada di B
Contoh
• Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =
• {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2} Misal S={1,2,3,…,12}
5. BEDA SETANGKUP
Notasi:A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A) Contoh
• Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 },
SOAL 2 Himpunan:
• Misalkan S = { 0, 1, 2, …, 1 }
• A = { 1, 3, 7, 8, 11, 13}
• B = { 3, 4, 6, 7, 9, 13 }
Maka carilah elemen dari himpunan berikut ini dan gambarkan diagram Venn nya dari
• ( A – B ) C ( A B )
SOAL 3 HIMPUNAN UAS No 3 (Dikerjakan di Rumah)
• Misalkan S = { 1, 2, …, 1 }
• A = { 1, 2, 3, 5, 10, 11}
• B = { 3, 5, 6, 8, 11, 14}
• C = { 1, 5, 6, 7, 9, 13, 14 }
Maka carilah elemen dari himpunan berikut ini a). ( B – C ∩ A – C ) (A B C ) C
Jawaban PR Soal 1: ( B – C ∩ A – C ) (A B C ) C
Langkah Penyelesaian:
( B – C ) = (3, 8, 11)
( A – C ) = (2, 3, 10, 11)
(A B C ) = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14) (A B C ) C = (4, 12, 15)
( B – C ∩ A – C ) = (3, 11)
Soal 2: A ∩ B ∩ C (B C) ∩ C
Langkah Penyelesaian:
A ∩ B ∩ C ) = (5)
(B C) = (1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14) (B ∩ C) = (5, 6, 14)
(B C) = (B C)-(B ∩ C) = (1, 3, 7, 8, 9, 11, 13)
A ∩ B ∩ C (B C) = (1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13)
PRINSIP INKLUSI EKSLUSI
UNTUK 2 HIMPUNAN Rumus= |A B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
|A B| = |Semesta|- |BUKAN| Dengan
|A| = Banyaknya himpunan A |Hanya A|= |A|-|A ∩ B| |B| = Banyaknya himpunan B |Hanya B|= |B|-|A ∩ B| |A ∩ B| = Banyaknya yang masuk A masuk B juga
|A B| = Banyaknya gabungan A dan B |Semesta| = Total jumlah semuanya
SOAL:
Pada sebuah pertemuan reuni yang dihadiri oleh 30 wanita, 17 orang merupakan keturunan daerah Sungailiat,
16 keturunan daerah Toboali,
dan 5 bukan keturunan Sungailiat maupun Toboali.
• Berapa orang keturunan sungailiat dan toboali yg ikut reuni?
• Berapa banyak di antara 30 wanita itu yang keturunan Sungailiat dan Toboali?
• Berapa yang hanya keturunan Sungailiat
Pada sebuah pertemuan reuni yang dihadiri oleh 30 wanita
|SEMESTA|, 17 orang merupakan keturunan daerah Sungailiat |A|, 16 keturunan daerah Toboali |B|, dan 5 bukan keturunan Sungailiat maupun Toboali |BUKAN|.
|A B| = |A| + |B| - |A ∩ B| |A B| = |Semesta|- |BUKAN|
|A B| = |Semesta|- |BUKAN| = 30 – 5 = 25 |A B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
25 = 17 + 16 -|A ∩ B|
SOAL
Dari 16 mahasiswa ditanya mengenai ekstrakurikuler diperoleh: Mhs yg HANYA SUKA sepakbola ada 5, Mhs yg HANYA SUKA basket ada 4, dan ternyata ada 3 Mhs yg TIDAK SUKA keduanya.
• Berapa yang ikut ekstrakurikuler?
• Berapa yang suka sepakbola?
Jawab
Dari 16 mahasiswa ditanya mengenai ekstrakurikuler |SEMESTA|
diperoleh:Mhs yg HANYA SUKA sepakbola ada 5 |Hanya A| , Mhs yg HANYA SUKA basket ada 4 |Hanya B| , dan ternyata ada 3 Mhs yg TIDAK SUKA keduanya |BUKAN|.
• Berapa yang ikut ekstrakurikuler? =|A B|= 16-3 = 13
• Berapa yang suka sepakbola? |A|= 9
PRINSIP INKLUSI EKSLUSI
UNTUK 3 HIMPUNAN Rumus=
A B C=A + B + C – A B – A C – B C + A B C
Soal:
Di antara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan
biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut.
• Berapa banyak yang mempelajari ketiga bidang tersebut
Soal:
Di antara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan
JAWAB
Di antara 100 mahasiswa |SEMESTA| , 32 mempelajari matematika |A|
, 20 mempelajari fisika |B|, 45 mempelajari biologi |C|, 15 mempelajari matematika dan biologi |A C| , 7 mempelajari matematika dan fisika
|A B|,10 mempelajari fisika dan biologi |B C| , dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut |BUKAN|.
A B C= |Semesta|- |BUKAN| = 100 – 30 = 70
A B C=A + B + C – A B – A C – B C + A B C
70 = 32 + 20 + 45 – 7 – 15 – 10 + A B C
Soal UAS NO ……….
Setelah dilakukan polling disebuah majalah terkenal, diketahui hasilnya:
Ada 8 orang yang tidak suka SBY atau Jokowow ataupun Prabowow dan mereka berencana GOLPUT di PEMILU nanti,
Yang hanya suka SBY dan benar-benar fanatic ada 12 orang
Yang hanya suka SBY dan Prabowow dan tidak suka dengan Jokowow ada 3 orang Yang suka SBY ada 23 orang
Yang hanya suka Jokowow dan Prabowow dan tidak suka dengan SBY ada 2 orang Yang suka Prabowow ada 23 orang
Yang suka Jokowow ada 27 orang
Yang hanya suka Prabowow dan benar-benar fanatik ada 13 orang
• Berapa yang hanya suka SBY dan Jokowow dan tidak suka dengan Prabowow?
• Berapa yang suka SBY sekaligus suka Jokowow dan suka Prabowow juga?
