MASALAH KONTROL OPTIMUM
INFEKSI
WORM
KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2014
Sevira Rosana
ABSTRAK
SEVIRA ROSANA. Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO.
Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Konsep program worm yang menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain dikenalkan oleh John Brunner di tahun 1975 pada karya fiksi ilmiahnya yang berjudul The Shockwave Rider. Worm telah menjadi ancaman yang mematikan di internet sehingga beberapa peneliti menggunakan sebuah model epidemik untuk mempelajari penyebaran worm pada jaringan komputer. Pada karya ilmiah ini, dinamika penyebaran worm dirumuskan dalam bentuk model Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Masalah meminimumkan biaya perawatan dirumuskan dengan model kontrol optimum dan diselesaikan dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan pengaruh dari perubahan laju infeksi dan laju perawatan terhadap upaya meminimumkan biaya perawatan.
Kata kunci: worm, model epidemik, SIS, masalah kontrol optimum, prinsip minimum Pontryagin.
ABSTRACT
SEVIRA ROSANA. Optimal Control Model of Computer Worm Infection. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO.
Worm is a program which duplicates and fully spreads itself to other machines. The concepts of worm which spreads itself from one machine to another was firstly introduced by John Brunner in 1975 at his science fiction book entitled The Shockwave Rider. Worm has become a deadly threat on the intenet so that some researchers using the epidemic model to study the worm spreading in computer network. In this work, the dynamic of worm transmission is formulated as a Susceptible Infectious Susceptible (SIS) model. While, the problem of the treatment cost minimization is formulated by optimal control framework and solved by Pontryagin minimum principle. The result of the numerical simulation shows the effects of the change in the rate of infection and the rate of treatment on the cost minimization effort.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
MASALAH KONTROL OPTIMUM
INFEKSI
WORM
KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer Nama : Sevira Rosana
NIM : G54090026
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah Kontrol Optimum dengan judul “Masalah Kontrol Optimum Infeksi WormKomputer”.
Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Dr. Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing akademik dan pembimbing skripsi atas segala ilmu, nasihat serta bimbingannya. Dan juga kepada Drs. Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing skripsi kedua atas ilmu dan sarannya, serta kepada Dr. Paian Sianturi selaku penguji atas ilmu dan nasihatnya. Kepada dosen-dosen Departemen Matematika untuk ilmu yang kelak menjadi bekal bagi penulis untuk dapat mengabdi pada negerinya. Serta para staf Departemen Matematika atas segala bantuannya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
Penulis juga mendedikasikan terima kasih tertinggi untuk kedua orang tua yang tak pernah lelah atas kesabarannya memberikan kasih sayang dan semangat yang tak pernah henti. Dan untuk adikku atas segala perhatiannya. Keluarga besar Soemarno KS dan Keluarga besar (Alm) H. Mathohir atas cintanya yang terus memotivasi penulis untuk dapat menyelesaikan pendidikan ini. Sahabat-sahabat yang tak pernah putus memberikan semangat dan doa terbaiknya bagi penulis Salis, Oci, Puti, Sifa, Sarah, Syarifah, Yuli, Donna dan Galuh. Teman satu bimbingan Meda, Sonia, dan Syahrul. Matematika 46 yang selalu setia dengan semangatnya Windi, Anne, Dita, Widia, Desyi, Ermi, Risa, Fitri, Nisa, Randita, Nia, Danty, Elysa dan semua yang tidak dapat dituliskan satu per satu. Kakak Matematika 45, adik-adik Matematika 47 serta Keluarga Wisma Aulia atas kekeluargannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Masalah Kontrol Optimum 2
Prinsip Minimum Pontryagin 2
HASIL DAN PEMBAHASAN 3
Model Infeksi SIS 3
Masalah Kontrol Optimum 5
KESIMPULAN 9
DAFTAR PUSTAKA 10
LAMPIRAN 13
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan 4
2 Diagram model infeksi SIS dengan perawatan 5
3 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu 7
4 Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu 8
5 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju perawatan terhadap waktu 9
6 Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu 9
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin 11 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada
waktu t 12
3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0 13
4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0 14
5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm
berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu
dengan menggunakan Mathematica 9.0 15
6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0 16
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Virus komputer pertama kali tercipta bersamaan dengan komputer pada tahun 1949 oleh seorang pencipta komputer, John von Newman, yang menciptakan Electronic Discrete Variable Automatic Computer (EDVAC). Istilah virus komputer tak asing lagi bagi kalangan pengguna komputer saat ini. Virus yang terdapat pada komputer adalah program biasa, sebagaimana layaknya program-program lain (Pramuji 2010). Virus komputer merupakan program replikasi diri yang menyebar dengan menyisipkan salinan dirinya ke kode lain yang tereksekusi, dalam hal ini biasanya menyerang dokumen. Virus komputer berperilaku sama seperti virus biologis atau virus penyakit yang menyebar dengan memasukkan sendiri ke dalam sel hidup untuk memperluas analogi. Penyisipan virus ke dalam program disebut infeksi dan file yang terinfeksi disebut sebagai Shockwave Rider. Dia menyebut program ini sebagai tapeworm yang hidup dalam komputer dan menyebarkan ke komputer lain (Spafford 1988). Worm telah menjadi ancaman yang mematikan di internet, walaupun sebagian besar kasus yang terjadi secara spesifik adalah pada sistem berbasis Windows. Beberapa jenis
worm terbaru memanfaatkan electronics mail (e-mail) sebagai medium penyebarannya. Perbedaan mendasar antara worm dan virus terletak pada bagaimana mereka membutuhkan campur tangan pengguna untuk melakukan penggandaan diri dan menyebar menginfeksi sistem komputer. Virus lebih lambat dalam melakukan penyebaran jika dibandingkan dengan worm. Namun virus mempunyai kemampuan lebih untuk menghindari deteksi program antivirus yang berusaha mengidentifikasi dan mengontrol penyebaran virus pada sistem komputer bahkan pada praktek penyebarannya sebuah virus dapat menjadi sebuah
worm (Pramuji 2010).
2
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1 Mempelajari dinamika penyebaran dan pengendalian infeksi worm
pada komputer berdasarkan model epidemik SIS dengan atau tanpa perawatan,
2 menentukan fungsi perawatan yang meminimumkan biaya perawatan.
TINJAUAN PUSTAKA
Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari keadaan awal pada waktu ke keadaan terminal atau akhir pada waktu , sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif.
Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap yang dilambangkan dengan . Dengan memilih fungsi kontrol yang berbeda. Agar diperoleh solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria tertentu. Artinya, untuk setiap kontrol dan keadaan akhir dihubungkan dengan fungsi
∫ (2)
dengan fungsi yang diberikan, tidak harus ditentukan, dan memunyai kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga menjadi maksimum atau minimum. Kontrol bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah meminimumkan suatu fungsional (2) terhadap kendala (1).
Prinsip Minimum Pontryagin
Syarat perlu tercapainya kondisi optimum dalam masalah kontrol optimum adalah terpenuhinya prinsip minimum Pontryagin.
Misalkan terdapat masalah dalam memilih suatu vektor kontrol
dari himpunan semua fungsi kontinu bagian demi bagian,
3 dari keadaan awal ke keadaan akhir yang memberikan sebuah maksimum atau minimum ke suatu fungsi objektif
[ ] ∫
Misalkan sebagai vektor kontrol admissible yang membawa keadaan awal ke keadaan akhir dengan dan secara umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar menjadi solusi optimum adalah terdapat vektor sedemikian rupa sehingga:
1. dan merupakan solusi dari sistem kanonik:
̇
4
Infeksi tanpa perawatan
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa komputer yang rentan menjadi terinfeksi pada tingkat tertentu dan di waktu yang sama komputer yang terinfeksi disembuhkan dan terinfeksi kembali. Pada model ini, komputer yang sedang disembuhkan dan yang terinfeksi tidak memiliki kekebalan.
Misalkan merupakan banyaknya populasi komputer. Dengan . Pada model ini merupakan laju infeksi worm (waktu) sedangkan laju penyembuhan komputer yang terinfeksi worm (waktu). Jika dituliskan pada bentuk persamaan diferensial, maka Menggunakan metode fraksi parsial, banyaknya komputer yang terinfeksi worm
pada waktu didapatkan
5
Infeksi dengan perawatan
Perbedaan antara model SIS dengan atau tanpa perawatan adalah pada model ini komputer yang terinfeksi mendapatkan tindakan perawatan yang lajunya dilambangkan dengan (waktu), sehingga diperoleh model
dengan bahasan model fungsi objektif, fungsi kendala dan penyelesaian dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin.
Fungsi Objektif
Di dalam suatu populasi yang terjadi endemik penyakit terdapat suatu permasalahan, yaitu tingkat dari penyebaran penyakit tersebut. Penyebaran penyakit ini diakibatkan adanya kontak langsung dengan individu kelas yang terinfeksi (infectious) dan individu pada kelas rentan (suspect). Individu pada kelas rentan berperan besar terhadap penyebaran penyebaran penyakit di dalam suatu populasi sehingga diperlukan suatu cara untuk mengendalikannya agar meminimumkan jumlah populasi yang terinfeksi. Pada kasus ini komputer yang terinfeksi worm adalah variabel keadaan yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada variabel kontrol berupa tindakan perawatan terhadap komputer yang terinfeksi dapat mempengaruhi proses penyembuhan. Fungsi objektif yang digunakan adalah meminimumkan total biaya yang digunakan pada komputer yang terinfeksi dan biaya perawatan . merupakan konstanta yang diasumsikan bernilai tetap dan tidak tergantung terhadap waktu. Berbeda halnya
Gambar 2 Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
I
S
6
dengan yang nilainya berbeda-beda bergantung terhadap waktu. Dengan demikian masalah kontrol optimum pengendalian worm dituliskan sebagai
min ∫ [ ( )] (11)
Fungsi Kendala
Dari hasil modifikasi model infeksi SIS dengan perawatan didapatkan fungsi kendala:
̇ ( ) (12)
dan e a (13)
Persamaan (12) dan (13) menyatakan banyaknya individu pada kelas yang terinfeksi dipengaruhi oleh laju dari infeksi worm sehingga semakin banyaknya individu yang terinfeksi maka laju penyembuhan serta perawatannya semakin ditingkatkan.
7 terinfeksi worm untuk model infeksi SIS dengan atau tanpa perawatan serta banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan laju infeksi worm. Dengan memasukkan nilai parameter pada persamaan (20) dan (21), Gambar 3 menunjukkan nilai dari laju infeksi yang berubah, dengan nilai
Gambar 3 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai
laju infeksi (β) terhadap waktu
Gambar 3 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm. Garis titik-titik merah merupakan banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada model SIS tanpa perawatan, yaitu memasukkan nilai parameter pada persamaan (6). Jika dilihat lebih teliti banyaknya komputer yang terinfeksi mengalami
8
kenaikan, hal ini berkesinambungan dengan sifat fungsi eksponensial yang akan cekung ke atas. Namun hal ini berbanding terbalik apabila komputer yang terinfeksi diberikan perawatan. Jika dibandingkan pada garis berwarna biru yaitu dengan nilai laju infeksi sebesar 0.04 didapat banyaknya komputer yang terinfeksi akan signifikan mengalami penurunan. Komputer yang terinfeksi worm akan terlihat semakin sedikit sesuai dengan laju infeksinya. Semakin kecil laju infeksi maka akan membuat semakin sedikit pula komputer yang terinfeksi.
Perawatan dikatakan berhasil jika banyaknya komputer yang mendapat perawatan akan sedikit pada waktu awal. Hal ini terlihat pada garis berwarna hijau di Gambar 4. Jika laju infeksinya sedikit maka banyaknya komputer yang mendapat perawatan akan sedikit pula. Jika dibandingkan dengan Gambar 3, dengan bobot biaya sama didapatkan hasil yang berbeda.
Keterangan:
β = 0.01: β = 0.02: β= 0.04:
Gambar 4 Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Simulasi 2
Pada simulasi selanjutnya, parameter yang diubah adalah laju perawatannya. Laju perawatan adalah keadaan yang terjadi pada saat suatu komputer dalam masa penyembuhan mendapatkan perlakuan lebih pada waktu tertentu. Nilai parameter yang digunakan adalah erta
dengan nilai awal dan .
Gambar 5 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm
dengan perubahan nilai laju perawatannya. Sama seperti simulasi sebelumnya, pada gambar ini dibandingkan banyaknya komputer yang terinfeksi dengan menggunakan model SIS dengan atau tanpa perawatan. Untuk model SIS tanpa perawatan diperlihatkan oleh garis merah putus-putus. Karena nilai parameter yang dimasukkan sama dengan simulasi pertama maka garis merah putus-putus juga memperlihatkan bahwa banyaknya komputer yang terinfeksi akan cenderung meningkat tanpa adanya perawatan. Sedangkan untuk laju perawatan dengan nilai
9 paling besar akan terjadi penurunan yang signifikan untuk banyaknya komputer yang terinfeksi.
Keterangan:
Tanpa perawatan: = 0.1: Dengan perawatan:
= 0.06: = 0.08: = 0.1:
Gambar 5 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan penurunan nilai
laju perawatan terhadap waktu
Keterangan:
= 0.06: = 0.08: = 0.1:
Gambar 6 Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
10
Gambar 6 menunjukkan banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan untuk setiap perubahan laju perawatan. Untuk nilai laju perawatan yang semakin kecil maka banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan di waktu awal jumlahnya semakin sedikit. Hal ini berbanding terbalik dengan banyaknya komputer yang terinfeksi.
KESIMPULAN
Model Susceptible Infectious Suceptible (SIS) pada karya ilmiah ini menggambarkan masalah infeksi worm pada komputer, di mana dilakukan dua model infeksi, yaitu model infeksi tanpa perawatan dan model infeksi dengan perawatan. Pada model infeksi SIS tanpa perawatan didapatkan banyaknya komputer yang terinfeksi akan semakin banyak dari waktu ke waktu. Sedangkan jika dilakukan perawatan banyaknya komputer yang terinfeksi berbanding terbalik dengan sebelumnya, yaitu akan semakin menurun jika laju perawatannya dinaikkan. Jika dilihat banyaknya komputer yang mendapat perawatan, laju perawatan yang dinaikkan akan membuat jumlah komputer yang mendapat perawatan lebih sedikit, hal ini berbanding terbalik dengan penurunan dari laju perawatan yang akan membuat komputer yang terinfeksi worm meningkat. Jika laju penyembuhannya diperkecil akan membuat komputer yang mendapat perawatan semakin meningkat. Hal ini disebabkan karena laju infeksi worm lebih besar dibandingkan laju penyembuhannya.
DAFTAR PUSTAKA
Fosnock C. 2005. Computer Worms: Past, Present, Future. East Carolina University.
Kim J, Radhakrishnan S, Jang J. 2006. Cost Optimization in SIS Model of Worm Infection. ETRI Journal. 28(5): 692-695. doi: 10.4218/etrij.06.0206.0026. Pramuji T. 2010. Studi tentang Kombinasi Superworms vs Cryptovirologi. Orbith.
6(1): 86-89. Diunduh dari http://www.polines.ac.id/orbith/files/6-1-2010%20Hal%2089-96.pdf. Diakses April 2014.
Spafford EH. 1988. The Internet Worm Program: An Analysis. West Lavayette: Purdue University. Diunduh dari http://spaf.cerias.purdue.edu/tech-reps/823.pdf. Diakses Oktober 2013.
11 Lampiran 1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) dapat ditulis:
Syarat perlu masalah kakulus variasi dengan dan tidak ditentukan adalah
12
Lampiran 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada waktu t
Dengan mensubtitusikan persamaan (5.c) ke persamaaan (5.b) diperoleh nilai
13
Lampiran 3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan
Mathematica 9.0
14
15
16
Lampiran 6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0
[ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ]
[ [ [ ] ] ]
[ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ]
[ [ [ ] ] ]
[ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ]
[ [ [ ] ] ]
17
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada 6 September 1990. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara pasangan ayah Edi Rosadi dan ibu Titi Suprilani. Mempunyai seorang adik laki-laki yang bernama Muhammad Istiadi. Pada tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 104 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur USMI.
