PENERAPAN MODEL ARCH/GARCH PADA DATA PERUBAHAN
CURAH HUJAN HARIAN DI KABUPATEN SAMBAS, KALIMANTAN
BARAT, PERIODE 2010-2011
HANIK AULIA
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
HANIK AULIA
.
Penerapan Model ARCH/GARCH pada Data Perubahan Curah Hujan Harian di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat, Periode 2010-2011.
Dibimbing oleh AAM ALAMUDI dan YENNI ANGRAINI.
Adanya perubahan curah hujan yang ekstrem mengakibatkan mutu dari buah jeruk yang dihasilkan di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat rendah. Selain itu perubahan curah hujan ekstrem juga mengakibatkan adanya fenomena pecah buah yang membuat petani mengalami kerugian. Perubahan curah hujan ekstrem ini sulit untuk diprediksi sehingga petani mengalami kesulitan untuk menyiapkan berbagai langkah antisipasi. Untuk itu diperlukan suatu pemodelan yang dapat digunakan untuk melakukan peramalan terhadap besarnya perubahan curah hujan yang akan terjadi di masa mendatang. Analisis deret waktu merupakan analisis yang biasa digunakan untuk melakukan peramalan terhadap suatu data yang diamati berdasarkan deret waktu. Namun analisis ini umumnya menggunakan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) pada model rataannya dengan asumsi ragam sisaan yang konstan (homogen). Jika asumsi kehomogenan ragam sisaan tersebut tidak terpenuhi maka metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah tersebut adalah pemodelan sisaan Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) atau Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
(GARCH). Data perubahan curah hujan di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat tidak memenuhi asumsi kehomogenan ragam sisaan. Oleh karena itu dilakukan pemodelan sisaan dengan menggunakan ARCH/GARCH. Dari hasil pemodelan data perubahan curah hujan tersebut diperoleh model terbaik yaitu model rataan ARMA(1,0) dan model ragam GARCH(1,1). Hal ini berarti ragam bersyarat dari sisaan dipengaruhi oleh kuadrat sisaan dan ragam bersyarat satu periode yang lalu. Hasil validasi model dengan menggunakan kriteria MAD (20,42) dan RMSEP (28,13) menunjukkan nilai yang masih cukup besar. Akan tetapi, dari plot antara nilai ramalan perubahan curah hujan dengan nilai aktualnya dapat dilihat bahwa nilai ramalan perubahan curah hujan sudah cukup mendekati nilai aktualnya.
PENERAPAN MODEL ARCH/GARCH PADA DATA PERUBAHAN
CURAH HUJAN HARIAN DI KABUPATEN SAMBAS, KALIMANTAN
BARAT, PERIODE 2010-2011
HANIK AULIA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul
:
Penerapan Model ARCH/GARCH pada Data Perubahan Curah Hujan Harian di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat, Periode 2010-2011Nama : Hanik Aulia
NIM : G14080045
Disetujui
Pembimbing I, Pembimbing II,
Ir. Aam Alamudi, M.Si. Yenni Angraini, S.Si., M.Si. NIP. 19650112 199103 1 001 NIP. 19780511 200701 2 001
Diketahui
Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS. NIP. 19650421 199002 1 001
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas limpahan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini dengan sebaik-baiknya. Penulisan karya ilmiah ini merupakan syarat bagi penulis untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika dari Departemen Statistika Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam dan Matematika Institut Pertanian Bogor.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam proses penulisan penulisan karya ilmiah ini, antara lain:
1. Bapak Ir. Aam Alamudi, M.Si. dan Ibu Yenni Angraini, S.Si.,M.Si. selaku dosen pembimbing
2. Bapak Arry Supriyanto, salah satu peneliti senior di Balai Penelitian Tanaman Jeruk dan Buah Subtropika (Balitjestro), yang telah memberikan banyak wacana mengenai pertanian jeruk di Kabupaten Sambas Kalimantan Barat
3. Balai Besar Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika Wilayah II Ciputat yang telah bekerja sama dalam hal ketersediaan data
4. Bapak, Ibu, dan keluarga atas doa dan kasih sayangnya
5. Anna, Dinia, Hana, dan Iia yang selalu memberi semangat dengan tulus 6. Salman selaku teman satu bimbingan
7. Statistika 45 atas kebersamaannya
8. Rina Hartini, S.Si. atas semua saran dan nasihatnya
9. Segenap keluarga Wisma Novia II terutama Achi, Enha, Ummi, Opi, Nurul, Indah, Woro, Atim, dan Anyun untuk semua suka dan duka ketika bersama
10. Segenap TU Departemen Statistika terutama Bu Mar dan Bu Tri
Penulis menerima dengan lapang dada saran dan kritik yang membangun. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Demak pada tanggal 19 Agustus 1990 dari pasangan Bapak Ghoif dan Ibu Hartatik. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Penulis menyelesaikan pendidikan dasar sampai menengah pertama di kota Demak, yaitu SD Negeri Mijen 1 pada tahun 2002 dan SMP Negeri 1 Dempet pada tahun 2005. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan menengah atas di Semarang yaitu SMA Negeri 3 Semarang dan selesai pada tahun 2008. Selanjutnya pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika FMIPA IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dengan mata kuliah minor Ilmu Ekonomi dan Studi Pembangunan.
Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam kepengurusan Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta (GSB) sebagai staf Department of Science periode 2010 dan bendahara umum periode 2011. Penulis juga aktif terlibat dalam berbagai kepanitiaan seperti MPKMB 46, MPF 46, MPD 47 (WCS 47), Statistika Ria, Lomba Jajak Pendapat Statistika (LJPS), Pesta Sains Nasional, dan SPIRIT. Selain itu, sejak tahun 2010 penulis terdaftar sebagai pengajar dan Data Analyst di salah satu lembaga konsultasi Statistika di Bogor yaitu Statistics Centre.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... 1
Tujuan ... 1
TINJAUAN PUSTAKA ... 1
Studi Terdahulu ... 1
Pemodelan Data Deret Waktu ... 2
Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ... 2
Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) ... 3
Uji Bartlett ... 3
Uji Jarque Bera ... 3
Autoregressive Conditional Heteroscedastcity (ARCH) ... 3
Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastcity (GARCH) ... 4
Uji Ljung-Box ... 4
Uji Lagrange Multiplier (LM) ... 4
Kriteria Pemilihan Model ... 5
Validasi Model ... 5
METODOLOGI ... 5
Data ... 5
Metode ... 5
HASIL DAN PEMBAHASAN ... 5
Eksplorasi Data ... 5
Pemodelan ARIMA Box-Jenkins ... 6
Model ARCH/GARCH ... 7
Identifikasi Model ... 7
Pengujian Keheterogenan Ragam Bersyarat ... 7
Pendugaan Parameter Model ARCH/GARCH ... 7
Pemilihan Model Terbaik ... 8
Pemeriksaan Model ... 8
Validasi Model ... 8
SIMPULAN DAN SARAN ... 9
Simpulan ... 9
Saran ... 9
DAFTAR PUSTAKA ... 10
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Hasil Pengujian Autokorelasi Sisaan dan Kuadrat Sisaan ... 7
2. Hasil Pengujian Pengaruh ARCH dengan Uji LM ... 7
3. Ringkasan Hasil Pendugaan Parameter GARCH(1,1) ... 8
4. Hasil Pengujian Pengaruh ARCH dengan Uji LM Setelah Pemodelan ... 8
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Plot Deret Waktu Data Perubahan Curah Hujan ... 6
2. Plot Hasil Peramalan dan Nilai Aktualnya ... 8
3. Plot Ragam Bersyarat ... 9
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Plot ACF Data Curah Hujan ... 11
2. Plot PACF Data Curah Hujan ... 11
3. Ringkasan Model Rataan Tentatif Data Curah Hujan ... 12
4. Plot ACF Sisaan ARMA(1,0) ... 12
5. Plot PACF Sisaan ARMA(1,0) ... 13
6. Uji Kenormalan Sisaan Model ARMA(1,0) ... 13
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Curah hujan merupakan salah satu unsur dari cuaca (Prawirowardoyo 1996). Curah hujan yang ekstrem dapat menjadi salah satu tanda adanya cuaca yang ekstrem pula. Adanya curah hujan yang ekstrem memberikan dampak buruk di berbagai bidang. Pertanian merupakan bidang yang terkena dampak langsung dari curah hujan yang ekstrem.
Pertanian tanaman hortikultura jeruk di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat merasakan dampak langsung dari adanya curah hujan ekstrem. Masalah serius yang dihadapi petani saat ini adalah mutu buah yang dihasilkan rendah. Salah satu parameter yang digunakan untuk mengukur mutu buah adalah kemanisan buah. Kemanisan buah ini sangat dipengaruhi oleh intensitas curah hujan. Jika curah hujan ekstrem tinggi, kadar air dalam daging buah menjadi tinggi, melebihi kadar gulanya. Akibatnya buah menjadi kurang manis.
Masalah serius lain yang dihadapi petani adalah banyaknya buah yang mengalami pecah buah sebelum waktu panen. Salah satu faktor yang menjadi penyebab adanya pecah buah ini adalah perubahan curah hujan yang ekstrem. Pecah buah sering terjadi ketika turun hujan setelah mengalami masa kering (kemarau) yang panjang dimana pada saat itu terjadi peningkatan kadar air dan kelembaban tanah yang sangat besar diiringi suhu tanah yang menurun secara nyata (Supriyanto et al.
2012). Hal ini tentu menyebabkan kerugian yang tidak sedikit bagi para petani di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat.
Perubahan curah hujan yang ekstrem ini sangat sulit untuk diprediksi. Akibatnya petani mengalami kesulitan untuk melakukan berbagai langkah antisipasi. Untuk itu diperlukan suatu pemodelan yang dapat digunakan untuk melakukan peramalan terhadap besarnya perubahan curah hujan yang akan terjadi di masa mendatang. Dengan demikian adanya risiko kerugian di sisi petani yang dikarenakan perubahan curah hujan yang ekstrem dapat dihindarkan atau paling tidak diminimalkan.
Analisis deret waktu merupakan analisis yang biasa digunakan untuk melakukan peramalan terhadap suatu data yang diamati berdasarkan deret waktu. Namun analisis ini
umumnya menggunakan model
Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA) pada model rataannya dengan
asumsi ragam sisaan yang konstan (homogen). Data perubahan curah hujan di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat, diduga tidak memenuhi asumsi kehomogenan ragam sisaan karena nilainya yang cukup ekstrem. Apabila data perubahan curah hujan tersebut tidak memenuhi asumsi kehomogenan ragam sisaan maka salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah tersebut adalah pemodelan sisaan Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) atau Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
(GARCH). Beberapa penelitian sebelumnya mengenai curah hujan telah dilakukan oleh Rachmat (2008) dengan judul Pendugaan Curah dengan Bayesian Networks (Studi Kasus: Curah Hujan di Daerah Indramayu), Irfan (2011) dengan judul Sebaran Pareto Terampat untuk Menentukan Curah Hujan Ekstrem (Studi Kasus: Curah Hujan Periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga), serta Saputro (2012) dengan judul Model Aditif
Vector Autoregressive Exogenous untuk Peramalan Curah Hujan di Kabupaten Indramayu.
Tujuan
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model peramalan terbaik untuk data perubahan curah hujan di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat, yang diduga mempunyai ragam sisaan heterogen.
TINJAUAN PUSTAKA
Studi Terdahulu
Kajian mengenai curah hujan telah banyak dilakukan baik untuk keperluan peramalan maupun pendugaan faktor-faktor yang memengaruhi intensitas curah hujan itu sendiri. Berikut ini adalah rangkuman dari hasil beberapa penelitian terdahulu mengenai curah hujan dengan berbagai metode:
1. Pendugaan Curah dengan Bayesian Networks (Studi Kasus: Curah Hujan di Daerah Indramayu) (Rachmat 2008): Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membangun model peluang dan untuk membandingkan ketergantungan spasial antar peubah untuk menduga curah hujan dengan metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang mengasumsikan kebebasan spasial di antara peubah. Pada penelitian ini, pendugaan curah hujan didasarkan terhadap kombinasi antara Gaussian
2
yang selanjutnya disebut dengan BNARIMA. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa BNARIMA lebih efektif untuk memprediksi curah hujan dibandingkan dengan ARIMA.
2. Sebaran Pareto Terampat untuk Menentukan Curah Hujan Ekstrem (Studi Kasus: Curah Hujan Periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) (Irfan 2011): Penelitan ini bertujuan untuk mengkaji data curah hujan ekstrem dengan menggunakan sebaran Pareto terampat. Berdasarkan nilai Mean Absolute Precent Error (MAPE), hasil ramalan dalam penelitian ini menunjukkan periode musim hujan memiliki hasil ramalan yang lebih baik dibandingkan periode tahunan. Periode musim hujan untuk tiga bulan ke depan memiliki hasil ramalan terbaik dari semua periode analisis yang digunakan dan masih cukup relevan untuk digunakan di lapangan.
3. Model Aditif Vector Autoregressive Exogenous untuk Peramalan Curah Hujan di Kabupaten Indramayu (Saputro 2012): Salah satu tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model Vector Autoregressive (VAR), Vector Autoregressive Exogenous (VARX), dan model aditif-VARX. Dari hasil pemodelan tersebut dapat diperoleh informasi mengenai faktor-faktor dominan yang memengaruhi curah hujan di setiap wilayah di Kabupaten Indramayu sehingga dapat dilakukan prediksi terhadap nilai curah hujan.
Pemodelan Data Deret Waktu
Salah satu metode pemodelan data deret waktu yang sering digunakan adalah metode
Autoregressive Integrated Moving Average
(ARlMA) Box-Jenkins (Enders 2004). Bentuk umum dari ARIMA adalah :
=∅0+ ∅=1 − +� − =1� �− i = 1, 2, ..., p
j = 1, 2, ..., q.
Adapun tahapan dari pemodelan data deret waktu menurut Box-Jenkins adalah:
1. Penentuan model tentatif: Tahapan ini merupakan tahapan identifikasi model, dapat digunakan model tentatif lebih dari satu. Identifikasi dapat dilakukan dengan melihat plot Autocorrelation Function
(ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Sebelum dilakukan identifikasi model, dipastikan terlebih dahulu bahwa data sudah stasioner, baik dalam rataan maupun ragam. Jika data
tidak stasioner dalam rataan maka dilakukan differencing hingga model stasioner. Apabila ketidakstasioneran terjadi dalam ragam maka dapat dilakukan transformasi. Terdapat tiga klasifikasi model yaitu Autoregressive Model (AR (p) atau ARIMA (p,0,0));
Moving Average Model (MA (q) atau ARIMA (0,0,q)); Model campuran ARIMA (p,d,q).
2. Pendugaan parameter model: Pada tahapan ini dilakukan pendugaan parameter model - model tentatif yang diperoleh pada tahap pertama metode Box-Jenkins. Model – model tentatif tersebut diperiksa dengan menggunakan kriteria parsimony (efisiensi) yang merupakan ide dasar dari pendekatan Box-Jenkins. Box-Jenkins mengemuka-kan bahwa model yang parsimony akan menghasilkan peramalan yang lebih baik dibandingkan model dengan terlalu banyak parameter.
3. Diagnostik model –overfitting: Merupa-kan tahapan untuk memeriksa kelayaMerupa-kan model dengan melakukan over fitting
(penambahan ordo). Syarat pada tahapan ini adalah sisaan harus acak, homogen, dan normal. Untuk melihat apakah syarat
– syarat tersebut terpenuhi atau tidak dapat dilakukan pemeriksaan secara eksploratif dengan membuat plot ACF dan PACF sisaannya, dan secara formal peubah deret waktu dengan dirinya sendiri dengan selisih waktu 0, 1, 2, atau lebih (Makridakis et al. 1983). Secara umum fungsi autokorelasi contoh untuk lag 1, 2, ..., k dapat
k = banyaknya lag yang diamati
t = 1, 2, 3, ..., n.
Sedangkan autokorelasi parsial diguna-kan untuk mengukur asosiasi antara yt dengan
3
1, 2, 3, ..., k-1. Koefisien autokorelasi parsial berordo p didefinisikan sebagai koefisien regresi diri terakhir dari model AR (p). Fungsi autokorelasi parsial contoh dapat dirumuskan:
Uji Augmented Dickey – Fuller (ADF)
Uji Augmented Dickey – Fuller (ADF) adalah uji formal yang digunakan untuk melihat kestasioneran dari set data. Uji ini merupakan pengembangan dari uji Dickey – Fuller (Enders 2004).
Uji ADF menggunakan proses higher - order autoregressive untuk peubah terikat. Proses ini memungkinkan pengujian pada ordo tinggi. Misal, persamaan autoregressive ordo ke –p
=∅0+∅1 −1+∅2 −2+⋯+∅ − +�
Pendekatan ADF mengontrol korelasi ordo lebih tinggi dengan menambahkan
lagged difference term dari peubah terikat y
terhadap sisi kanan persamaan sehingga diperoleh digunakan. Hipotesis nol ditolak jika statistik uji ADF (ρ) lebih kecil dari nilai kritis Dickey-Fuller pada taraf nyata tertentu. Dengan demikian data dapat dikatakan sudah stasioner dalam rataan (Hamilton 1994).
Uji Bartlett
Uji Bartlett merupakan salah satu alat uji statistik yang dapat digunakan untuk menguji keheterogenan suatu data. Uji ini digunakan untuk mendeteksi apakah set data yang akan digunakan untuk pemodelan sudah stasioner dalam ragam atau belum. Adapun hipotesis
ni = banyaknya amatan pada kelompok data ke-i
r = banyaknya kelompok data
i = 1, 2, ..., r j = 1, 2, ..., ni.
Statistik uji Bartlett ini mengikuti sebaran Khi-kuadrat dengan derajat bebas r-1. H0 akan
ditolak jika statistik uji B lebih besar dari nilai
�2−1 dengan taraf nyata tertentu. Jika H0
ditolak maka dapat dikatakan bahwa data tidak stasioner dalam ragam (data memiliki ragam heterogen) karena paling sedikit ada sepasang gugus data yang memiliki ragam tidak sama.
Uji Jarque Bera
Salah satu uji statistik yang digunakan untuk menguji kenormalan sisaan adalah uji Jarque Bera (Gujarati 2004). Hipotesis yang akan diuji adalah :
H0 : Sisaan menyebar normal
H1 : Sisaan tidak menyebar normal
Statistik uji Jarque Bera adalah :
4 sama dengan nol. Adapun ragam tak bersyarat dari proses ARCH(q) adalah:
�2 =
Pemodelan ARCH cenderung digunakan untuk model yang memiliki ordo rendah. Model ARCH dengan orde yang sangat besar akan lebih sederhana jika direpresentasikan dalam model GARCH sehingga lebih mudah dalam identifikasi dan pendugaan (Enders 2004). Model GARCH yang ditemukan oleh Bollerslev pada tahun 1986 merupakan perluasan dari model ARCH. Perluasan model ARCH ke model GARCH sebenarnya mirip dengan perluasan model AR ke model ARMA. Bentuk umum dari proses GARCH dengan bersyarat didefinisikan sebagai fungsi linier dari kuadrat sisaan sebelumnya, maka pada GARCH(p,q) ragam bersyarat merupakan fungsi linier dari kuadrat sisaan dan ragam bersyarat sebelumnya.
Proses GARCH(p,q) akan stasioner jika:
� = 0 , menguji kelayakan model yang dipilih. Model dikatakan layak jika sisaan sudah tidak berpola atau tidak ada autokorelasi antar sisaan untuk
semua lag k. Statistik uji Ljung – Box dinyatakan sebagai berikut (Enders 2004):
=�(�+ 2)
2
�−
=1
dengan 2 adalah autokorelasi galat ke –j, n
adalah banyaknya pengamatan dan j adalah lag maksimum yang diinginkan. Hipotesis yang akan diuji adalah:
H0 : Tidak terdapat autokorelasi antar sisaan
di semua lag k
H1 : Terdapat autokorelasi antar sisaan di
semua lag k
Statistik uji Ljung – Box menyebar Khi-kuadrat dengan derajat bebas k-p-q, dimana p Lagrange Multiplier (LM) merupakan uji formal untuk mendeteksi ada atau tidaknya pengaruh ARCH/GARCH. Uji ini ditemukan oleh Engle pada tahun 1982 sehingga uji ini disebut juga Engle Lagrange Multiplier (Engle LM). Ada dua tahapan yang dilakukan dalam pengujian ini (Enders 2004), yaitu:
1. Tentukan model yang cocok dari data deret waktu (model regresi linier atau ARIMA), kemudian cari sisaan �
2. Hitung kuadrat sisaan �2, kemudian
regresikan kuadrat sisaan tersebut terhadap nilai �2−1 , �
−2 2 , ..., �
− 2
sehingga diperoleh persamaan regresi :
�2=�
0+�1�2−1+�2�2−2+⋯+
� �2− .
Jika nilai dugaan 1 sampai dengan q bernilai
nol, maka dapat disimpulkan bahwa �2 tidak
memiliki autokorelasi yang nyata atau dengan kata lain tidak terdapat pengaruh ARCH. Sehingga hipotesis yang digunakan dalam pengujian ini adalah :
H0 : 1 = …= q=0 (Tidak ada pengaruh
ARCH/GARCH)
H1 : Paling sedikit ada satu i di mana i 0
dengan statistik uji LM sebagai berikut:
LM = nR2
di mana n merupakan jumlah amatan dan R2
5
lebih besar dari nilai �2 dengan taraf nyata tertentu.
Kriteria Pemilihan Model
Kriteria pemilihan model yang paling umum digunakan adalah AIC (Akaike Information Criterion) dan SBC (Schwartz Bayesian Criterion) yang dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:
AIC = n ln (Jumlah Kuadrat Sisaan) + 2p
SBC = n ln (Jumlah Kuadrat Sisaan) + p ln (n) keterangan:
p = banyaknya parameter yang diduga
n = banyaknya amatan
Model dikatakan baik jika memiliki nilai AIC atau SBC yang kecil (Enders 2004).
Validasi Model
Validasi model digunakan untuk mengetahui ketepatan model yang diperoleh. Ukuran yang digunakan dalam validasi model ini adalah Mean Absolute Deviation (MAD) Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat, dari tanggal 1 Januari 2010 sampai dengan 31 Desember 2011. Perubahan yang dimaksud adalah selisih antara curah hujan periode sekarang dengan curah hujan satu periode sebelumnya yang diukur dalam satuan milimeter (mm). Data tersebut diperoleh dari Balai Besar Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika Wilayah II Ciputat.
Metode
Tahapan analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan eksplorasi data:
a. Membuat plot perubahan nilai curah hujan
b. Memeriksa kestasioneran data, baik dalam rataan maupun ragam 2. Melakukan tahapan – tahapan dalam
pemodelan ARIMA Box-Jenkins yaitu: pendugaan model tentatif, pendugaan parameter, dan diagnostik model 3. Menentukan model ARCH/GARCH:
a. Identifikasi model: Menentukan model rataan terbaik
b. Pengujian keheterogenan ragam bersyarat dengan menggunakan uji LM
c. Pendugaan parameter model ARCH/GARCH
d. Pemilihan model terbaik dengan menggunakan ukuran AIC dan SBC e. Pemeriksaan model: Pemeriksaan keberadaan pengaruh ARCH dengan menggunakan uji LM 4. Melakukan validasi model.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data perubahan curah hujan dari tanggal 1 Januari 2010 sampai dengan 31 Desember 2011 dengan pembagian bulan Januari 2010 – November 2011 untuk pemodelan dan Desember 2011 untuk validasi model. Plot deret waktu data perubahan curah hujan dapat dilihat pada Gambar 1. Plot deret waktu pada Gambar 1 tersebut menunjukkan adanya perubahan besarnya curah hujan yang cukup ekstrem. Salah satu contoh titik ekstrem yang terjadi dapat dilihat pada Gambar 1 (lingkaran merah), yaitu pada tanggal 23 September 2010 terjadi perubahan curah hujan sebesar 106,5 mm dan kemudian pada hari berikutnya yaitu tanggal 24 September 2010 terjadi perubahan curah hujan sebesar -103,3 mm. Hal ini berarti pada tanggal 23 September 2010 terjadi peningkatan curah hujan secara drastis sebesar 106,5 mm kemudian pada hari berikutnya yaitu tanggal 24 September 2010 terjadi penurunan curah hujan secara drastis pula sebesar 103,3 mm.
6
Gambar 1 Plot Deret Waktu Data Perubahan Curah Hujan
Selanjutnya dilakukan pengujian kestasioneran data dalam ragam dengan menggunakan uji Bartlett. Pengujian ini dilakukan dengan membuat sekat-sekat pada data yang membagi data menjadi tiga bagian gugus data. Pemilihan letak sekat tersebut didasarkan pada keragaman data yang dapat dilihat pada Gambar 1. Gugus data pertama merupakan data perubahan curah hujan dari tanggal 1 Januari - 10 Oktober 2010 dan 3 Agustus – 30 November 2011, gugus data ke dua merupakan data perubahan curah hujan dari tanggal 10 Oktober 2010 – 26 Maret 2011, dan gugus data ke tiga merupakan data perubahan curah hujan dari tanggal 27 Maret – 2 Agustus 2011. Dari pengujian kehomogenan ragam yang dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett diperoleh nilai Khi-kuadrat sebesar 54,342 dengan nilai-p sebesar <0,0001. Karena nilai-p (<0,0001) lebih kecil dibandingkan α maka H0 ditolak. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa data memiliki ragam yang tidak homogen atau dengan kata lain data perubahan curah hujan tersebut tidak stasioner dalam ragam.
Untuk mengatasi ketidak-stasioneran data dalam ragam, dilakukan transformasi terhadap data aktual dengan menggunakan metode transformasi Box-Cox. Dari prosedur Box-Cox tersebut dihasilkan lambda sebesar 1,03. Karena lambda yang dihasilkan mendekati satu, maka dalam analisis data deret waktu, data tidak perlu ditransformasi (Wei
Tahapan awal dalam penentuan model ARIMA Box-Jenkins adalah penentuan model
tentatif. Penentuan model tentatif ini dilakukan dengan melihat pola dari plot ACF dan PACF data curah hujan pada Lampiran 1 dan 2. Pada Lampiran 1 terlihat bahwa plot ACF memiliki pola cuts off dan nyata hanya pada satu lag pertama. Sedangkan pada Lampiran 2 terlihat bahwa plot PACF memiliki pola tails off dan nyata pada sepuluh lag pertama. Dengan demikian model tentatif yang dapat dibentuk adalah ARMA(1,0), ARMA(0,1), ARMA(0,2), ARMA(0,3), ARMA(1,1), ARMA(1,2), dan ARMA(1,3). Ringkasan hasil pendugaan parameter model - model tentatif tersebut dapat dilihat pada Lampiran 3. Dari Lampiran 3 tersebut diperoleh hanya satu model tentatif yang nyata yaitu model tentatif yang parameternya memiliki nilai-p lebih kecil apabila dibandingkan dengan α. Adapun model tentatif yang dimaksud adalah ARMA(1,0).
7
Lampiran 6 dapat dilihat hasil pemeriksaan asumsi kenormalan sisaan dengan menggunakan uji Jarque Bera. Model tentatif tersebut memiliki nilai statistik uji Jarque Bera yang lebih besar dibandingkan dengan nilai tabel Khi-kuadrat (�22 0,05 ) yaitu sebesar 5,991. Hal ini menyebabkan penolakan terhadap hipotesis nol yang menyatakan bahwa sisaan menyebar normal.
Model ARCH/GARCH
Identifikasi Model
Pada sub bab sebelumnya telah dibahas model tentatif yang memiliki penduga parameter yang nyata yaitu ARMA(1,0). Dari tiga asumsi sisaan yang harus dipenuhi, hanya asumsi keacakan sisaan yang dapat dipenuhi oleh model tentatif tersebut. Oleh karena itu,
overfitting tidak dilakukan. Karena hanya ada satu model tentatif yang nyata, maka model rataan tersebut yang akan digunakan untuk pemodelan ragam sisaan.
Pengujian Keheterogenan Ragam
Bersyarat
Pengujian keheterogenan ragam bersyarat ini dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh ARCH pada sisaan model rataan. Dari pemeriksaan sisaan pada model rataan yang dipilih dengan menggunakan uji Ljung-Box, ditemukan adanya autokorelasi sisaan dan autokorelasi kuadrat sisaan yang nyata sampai lag ke-12 (Tabel 1). Hal tersebut merupakan indikasi awal bahwa ragam sisaan tidak homogen.
Untuk memastikan ada atau tidaknya pengaruh ARCH pada sisaan model rataan, maka dilakukan pengujian keheterogenan ragam bersyarat dengan menggunakan uji LM. Adanya pengaruh ARCH ditunjukkan oleh nilai-p LM yang kurang dari α. Hasil uji LM atau dengan kata lain ragam sisaan dari model rataan tidak homogen.
Banyaknya ordo ARCH dapat dilihat dari banyaknya lag yang signifikan pada uji LM. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pengaruh ARCH pada sisaan model rataan memiliki ordo sebanyak 12. Akan tetapi, ordo ARCH yang terlalu banyak menyebabkan model ragam menjadi tidak parsimony (efisien). Hal ini dapat diatasi dengan menggunakan
perluasan dari model ARCH, yaitu model
8
GARCH(2,1). Pendugaan parameter untuk model-model tersebut dilakukan dengan menggunakan metode Penduga Kemungkinan Maksimum (PKM).
Hasil dari pendugaan parameter ketiga model ragam tentatif dapat dilihat pada Lampiran 7. Dari pendugaan parameter ketiga model ragam tentatif tersebut, diperoleh satu model ragam tentatif yang memiliki dugaan parameter yang signifikan (nilai-p < ) yaitu GARCH(1,1).
Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan model terbaik ini dilakukan berdasarkan nilai AIC dan SBC yang paling kecil di antara model-model tentatif yang memiliki penduga parameter nyata. Selain itu, model yang dipilih adalah model dengan nilai koefisien yang positif dan memenuhi syarat kestasioneran.
Pada tahap pendugaan parameter model ragam diperoleh hanya satu model yang memiliki penduga parameter yang nyata. Oleh karena itu model ragam yang dipilih adalah model ragam tersebut yaitu GARCH(1,1). Hal ini berarti ragam bersyarat dari perubahan nilai curah hujan dipengaruhi oleh kuadrat sisaan dan ragam bersyarat satu periode yang lalu. Koefisien yang dihasilkan memiliki nilai yang positif sehingga ragam bersyarat yang dihasilkan memiliki nilai lebih besar dari nol. Model tersebut juga dapat dikatakan stasioner karena jumlah dari koefisien yang dihasilkan kurang dari satu.
Tabel 3 Ringkasan Hasil Pendugaan Parame-ter GARCH(1,1)
sebagai model ragam. Hasil pendugaan parameter dari model tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.
Pemeriksaan Model
Pemeriksaan model ini dilakukan untuk memastikan bahwa sudah tidak ada pengaruh ARCH pada sisaan. Dari hasil uji LM pada Tabel 4, diperoleh bahwa dari lag 1 – 12 statistik uji LM memiliki nilai-p yang tidak signifikan atau lebih besar dari α. Hal ini menunjukkan bahwa dari lag 1 – 12 sudah tidak ditemukan lagi adanya pengaruh ARCH.
Tabel 4 Hasil Pengujian Pengaruh ARCH
9
dilihat bahwa hasil peramalan perubahan curah hujan dengan model yang diperoleh cukup mendekati nilai aktualnya.
Model GARCH mencoba memodelkan ragam bersyaratnya sebagai fungsi dari kuadrat sisaan dan ragam bersyarat periode sebelumnya. Ragam bersyarat ini memperlihatkan perilaku perubahan curah hujan itu sendiri. Adapun ragam bersyarat dari peramalan perubahan curah hujan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 Plot Ragam Bersyarat GARCH(1,1)
Selain validasi model AR(1)-GARCH(1,1), dilakukan pula pembandingan antara model AR(1) dengan AR(1)-GARCH(1,1). Pembandingan ini dilakukan dengan membuat plot hasil peramalan dari memperlihatkan bahwa model AR(1) dan AR(1)-GARCH(1,1) memiliki garis yang berimpit. Hal tersebut menunjukkan bahwa kedua model memberikan hasil peramalan yang tidak berbeda jauh. Pada Tabel 5 dapat dilihat bahwa model AR(1) memiliki nilai
MAD dan RMSEP yang hampir sama dengan model AR(1)-GARCH(1,1). Sedangkan untuk nilai MAPE, model AR(1) memiliki nilai yang jauh lebih besar apabila dibandingkan dengan model AR(1)-GARCH(1,1). Dengan demikian penggunaan model AR(1) dengan pemodelan ragam GARCH(1,1) lebih baik dibandingkan model AR(1) tanpa pemodelan ragam.
Dari hasil pemodelan data perubahan curah hujan, terlihat bahwa model ARCH/GARCH dapat diterapkan pada data klimatologi. Data klimatologi yang dimaksud adalah set data deret waktu klimatologi yang memiliki ragam sisaan tidak homogen. Salah satu indikasi dari ragam sisaan yang tidak homogen adalah adanya nilai-nilai ekstrem pada set data.
Hasil validasi model dengan menggunakan kriteria MAD dan RMSEP menunjukkan nilai yang masih cukup besar. Akan tetapi, dari plot antara nilai ramalan perubahan curah hujan dengan nilai aktualnya dapat dilihat bahwa nilai ramalan perubahan curah hujan sudah cukup mendekati nilai aktualnya.
Saran
Adapun saran-saran yang dapat diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut:
1. Perlu dikaji lebih lanjut mengenai adanya pencilan pada set data yang mungkin menjadi penyebab data tidak stasioner, yaitu dengan menggali secara dalam informasi mengenai penyebab adanya pencilan tersebut sehingga dapat ditentukan model intervensi yang tepat untuk menangani keberadaan pencilan tersebut
10
menjadi stasioner, baik dalam rataan maupun dalam ragam
3. Mencoba pemodelan ragam sisaan lain seperti EGARCH, IGARCH, dan TARCH.
DAFTAR PUSTAKA
Cryer JD. 2008. Time Series Analysis 2nd edition. New York : Springer.
Enders W. 2004. Applied Econometric Time Series 2nd edition. New York : John Willey & Sons, Inc.
Gujarati DN. 2004. Basic Econometric 4th edition. New York : McGraw-Hill. Hamilton JD. 1994. Time Series Analysis.
New Jersey : Princeton University Press. Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat
untuk Menentukan Curah Hujan Ekstrem (Studi Kasus: Curah Hujan Periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor (IPB).
Makridakis S, SC Wheelwright, & VE McGee. 1983. Forecasting : Methods and Application 2nd edition. New York: John Willey & Sons, Inc.
Montgomery DC, LA Johnson, & JS Gardiner. 1990. Forecasting and Time Series Analysis 2nd edition. Singapore : McGraw-Hill, Inc.
Prawirowardoyo S. 1996. Meteorologi. Bandung : Penerbit ITB.
Rachmat HF. 2008. Pendugaan Curah Hujan dengan Bayesian Networks (Studi Kasus: Curah Hujan di Daerah Indramayu) [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor (IPB).
Saputro DRS. 2012. Model Aditif Vector Autoregressive Exogenous untuk Peramalan Curah Hujan di Kabupaten Indramayu [disertasi]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor (IPB).
Supriyanto A, Zuhran M, Azri, Purba T, Abduchalek B. Teknologi Pengendalian Pecah Buah pada Jeruk Keprok Terigas di Kabupaten Sambas, Kalimantan Barat
[jurnal online].
http://kalbar.litbang.deptan.go.id/ind/inde x.php. [23 Mei 2012].
12
Lampiran 1. Plot ACF Data Curah Hujan
Autocorrelations
Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error
0 507.717 1.00000 | |********************| 0 1 -269.273 -.53036 | ***********| . | 0.037823 2 36.493139 0.07188 | . |*. | 0.047280 3 -24.218726 -.04770 | .*| . | 0.047436 4 23.108673 0.04551 | . |*. | 0.047505 5 -10.043374 -.01978 | . | . | 0.047567 6 -15.692974 -.03091 | .*| . | 0.047579 7 -22.527341 -.04437 | .*| . | 0.047608 8 54.040963 0.10644 | . |** | 0.047667 9 -35.437568 -.06980 | .*| . | 0.048006 10 3.153578 0.00621 | . | . | 0.048151 11 13.013128 0.02563 | . |*. | 0.048152 12 -17.843395 -.03514 | .*| . | 0.048171 13 28.919644 0.05696 | . |*. | 0.048208 14 -34.311613 -.06758 | .*| . | 0.048304 15 17.510187 0.03449 | . |*. | 0.048439 16 4.913091 0.00968 | . | . | 0.048474 17 -6.034536 -.01189 | . | . | 0.048477 18 -6.136917 -.01209 | . | . | 0.048481 19 26.034664 0.05128 | . |*. | 0.048486 20 -26.553708 -.05230 | .*| . | 0.048563 21 18.530826 0.03650 | . |*. | 0.048644 22 -30.981320 -.06102 | .*| . | 0.048683 23 27.242255 0.05366 | . |*. | 0.048792 24 6.779825 0.01335 | . | . | 0.048876
Lampiran 2. Plot PACF Data Curah Hujan
Partial Autocorrelations
Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
13
Lampiran 3. Ringkasan Model Rataan Tentatif Data Curah Hujan
Model Tentatif AIC SBC Parameter t-hitung Nilai-p
ARMA(1,0) 6111,655 6120,754 AR(1) -16,51 <0,0001* ARMA(0,1) 5893,515 5902,615 MA(1) 0,22 0,8220 ARMA(0,2) 5894,598 5908,247 MA(1) 0,33 0,7421 MA(2) 0,31 0,7552
ARMA(0,3) 5894,237 5912,435
MA(1) 0,54 0,5887 MA(2) -0,64 0,5227 MA(3) 0,54 0,5862 ARMA(1,1) 5894,312 5907,961 AR(1) 1,11 0,2663 MA(1) 0,22 0,8289
ARMA(1,2) 5896,797 5914,996
AR(1) -2,60 0,0094* MA(1) 0,08 0,9330 MA(2) 0,51 0,6098
ARMA(1,3) 5891,449 5914,198
AR(1) 0,72 0,4707 MA(1) 0,45 0,6538 MA(2) -0,42 0,6722 MA(3) 0,37 0,7148 Ket : (*) signifikan pada alpha 5%
Lampiran 4. Plot ACF Sisaan ARMA(1,0)
Autocorrelation Plot of Residuals
Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error
14
Lampiran 5. Plot PACF Sisaan ARMA(1,0)
Partial Autocorrelations
Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 -0.15495 | ***| . | 2 -0.32971 | *******| . | 3 -0.12783 | ***| . | 4 -0.10985 | **| . | 5 -0.09378 | **| . | 6 -0.17994 | ****| . | 7 -0.15624 | ***| . | 8 -0.04834 | .*| . | 9 -0.13095 | ***| . | 10 -0.08280 | **| . | 11 -0.08410 | **| . | 12 -0.09430 | **| . | 13 -0.04788 | .*| . | 14 -0.11582 | **| . | 15 -0.05787 | .*| . | 16 -0.06202 | .*| . | 17 -0.06618 | .*| . | 18 -0.04282 | .*| . | 19 0.00368 | . | . | 20 -0.03748 | .*| . | 21 -0.02980 | .*| . | 22 -0.07814 | **| . | 23 0.00651 | . | . | 24 -0.00249 | . | . |
Lampiran 6. Uji Kenormalan Sisaan Model ARMA(1,0)
Model Tentatif Skewness Kurtosis
Statistik Uji Jarque
Bera
Khi-kuadrat
Tabel
ARMA(1,0) 1,0471 4,6132 212,2632 5,9915
Lampiran 7. Ringkasan Pendugaan Parameter Model Ragam Tentatif
Model
Tentatif AIC SBC Parameter t-hitung Nilai-p
GARCH(1,1) 6029,1539 6051,8949
ARCH0 7,39 <0,0001* ARCH1 4,43 <0,0001* GARCH1 2,43 0,0149*
GARCH(1,2) 6053,4652 6076,2063
ARCH0 17,40 <0,0001*
ARCH1 1,06 0,2889
ARCH2 2,76 0,0058* GARCH1 -85125 <0,0001
GARCH(2,1) 6100,4050 6123,1389
ARCH0 2026,26 <0,0001
ARCH1 0,00 0,9972
