PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL
NONPARAMETRIK
RONI WIJAYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Roni Wijaya
ABSTRAK
RONI WIJAYA. Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI.
Statistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat terpenuhi, seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Statistika nonparametrik sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (free-distibution procedures) karena tidak mengacu pada distribusi tertentu. Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang pendugaan fungsi sebaran dalam model nonparametrik dan dititik beratkan pada keluarga nonparametrik. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris, dinotasikan yang independent and identically distributed (iid) dan merupakan maximum likelihood untuk suatu fungsi sebaran yang tidak diketahui.
merupakan penduga takbias terhadap dengan
atau adalah uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) dan -konsisten untuk .
Kata kunci: penduga nonparametrik, fungsi sebaran secara empiris, likelihood.
ABSTRACT
RONI WIJAYA. Estimation in Nonparametric Models. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.
Nonparametric statistics are alternative for parametric statistics whenever no assumptionis satisfied in parametric statistics, for example the distribution function is not identified. Nonparametric statistics are often referred as free distribution procedures, because they are not referred to any particular distribution. This paper discusses the estimation of the distribution function in nonparametric models. It emphasizes on nonparametric family. The objective of this research is tostudy nonparametric estimation models on the empirical distribution functions, denoted by that is independent and identically distributed (i.i.d.) and is maximum likelihood for unknown distribution function. is unbiased estimator of with
or as an uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) and -consistent for .
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL
NONPARAMETRIK
RONI WIJAYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik Nama : Roni Wijaya
NIM : G54080042
Disetujui oleh
Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I
Drs Siswandi, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Dra Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih ialah pendugaan, dengan judul Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Drs Siswandi, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN Latar Belakang 1
Tujuan 1
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 3
Nilai Harapan, Ragam, dan Momen 3
Matriks 5
Multivariate Normal 6
Peubah Acak Bernoulli dan Binomial 6
Kekonvergenan Peubah Acak 7
Penduga dan Sifat-sifatnya 8
Beberapa Lema Teknis 9
HASIL DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter 11
Fungsi Sebaran dalam Kasusu iid Secara Empiris 15
Maximum Likelihood Estimator (MLE) di Model Nonparametrik 21
Metode Maximum Likelihoods 22
Contoh Penerapan 26
SIMPULAN 27
DAFTAR PUSTAKA 27
DAFTAR LAMPIRAN
1.Bukti Lema 2.1 Pertaksamaan Markov 30
PENDAHULUAN
Latar BelakangStatistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat terpenuhi seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Pada umumnya, setelah data dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah menduga nilai harapannya (mean) dan ragamnya (variance), kemudian dilakukan uji-z atau uji-t. Semua tindakan yang dilakukan di atas merupakan prosedur umum statistika parametrik yang mengacu pada suatu distribusi tertentu. Berbeda dengan statistika parametrik, statistika nonparametrik adalah prosedur statistika yang tidak mengacu pada distribusi tertentu. Itulah sebabnya, statistika nonparametrik sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (free-distibution procedures). Statistika nonparametrik digunakan bila distribusi dari data yang diamati tidak diketahui.
Salah satu peran dan kegunaan statistika dalam ilmu pengetahuan adalah sebagai alat analisis dan interpretasi data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga didapatkan suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam statistika dikenal sebuah istilah pendugaan. Istilah pendugaan yang sering didengar adalah terjemahan dari kata estimation. Pada dasarnya, metode pendugaan adalah suatu metode untuk memperkirakan kisaran nilai-nilai karakteristik suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Nilai karakteristik populasi sering disebut dengan parameter populasi, sedangkan nilai-nilai sampel sering disebut dengan statistik sampel. Dalam metode estimasi, parameter populasi yang ingin diduga adalah berupa nilai harapan dari peubah acak yang diberi notasi dan simpangan baku dengan notasi . Teori pendugaan sendiri digolongkan menjadi pendugaan titik (point estimation) dan pendugaan selang (interval estimation).
Misalkan diberikan data pengamatan peubah acak yang
independent and identically distributed (i.i.d.) dan , dengan adalah ruang dimensi dan adalah bilangan bulat positif.. Untuk menentukan distribusi dari ekivalen dengan menentukan fungsi sebarannya. Untuk menduga fungsi sebaran F dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik dilakukan jika asumsi bentuk fungsi F diketahui dan tergantung pada suatu
1 Mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris yang i.i.d.
2 Mempelajari metode maximumlikelihoods dalam model nonparametrik. 3 Membuktian bahwa penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi 1 (Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 2 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong.
(Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut:
3
4
jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 13 (Ragam)
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan Maka ragam dari , dinotasikan dengan atau , adalah
(Hogg et al. 2005)
Definisi 14 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak
X adalah
(Hogg et al. 2005)
Definisi 15 (Momen pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah
(Hogg et al. 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X dan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X.
Definisi 16 (Fungsi pembangkit momen)
Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak
X, didefinisikan sebagai
untuk .
(Hogg et al. 2005)
Jika adalah vektor peubah acak yang berukuran sedemikian rupa sehingga maka fungsi pembangkit momennya adalah
,
dengan adalah vektor berukuran sehingga , untuk .
5
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum matriks yang berukuran dapat ditulis dengan
merupakan matriks definit positif karena bentuk kuadrat
6
untuk .
Multivariate Normal
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan merupakan nilai dari peubah acak dan adalah matriks koragam simetrik definit positif yang berukuran dan adalah vektor nilai harapan dari peubah acak yang berukuran . Didefinisikan dengan adalah transpos dari dan anggota himpunan bilangan real. Suatu vektor peubah acak yang berukuran sedemikian rupa sehingga disebut memunyai sebaran multivariate normal dengan vektor nilai harapan dan matriks koragam , ditulis X menyebar , jika fungsi kepekatan peluangnya adalah
Suatu percobaan disebut percobaan Bernoulli jika hasilnya hanya ada dua
kemungkinan, yaitu ‘sukses’ dengan peluang atau ‘gagal’ dengan peluang . Jika suatu peubah acak X hanya memiliki dua nilai, yaitu bernilai 0 jika hasil
percobaan Bernoulli adalah ‘gagal’ dan bernilai 1 jika hasil percobaan Bernoulli adalah ‘sukses’, maka peubah acak tersebut dinamakan peubah acak Bernoulli.
Definisi 21 (Peubah acak Bernoulli) Jika percobaan Bernoulli diulang secara bebas dan identik sebanyak kali serta
7
Bukti: lihat Ghahramani (2005).
Kekonvergenan Peubah Acak Definisi 23 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang ( ). Barisan peubah acak dikatakan konvergen ke X, dilambangkan
, jika untuk setiap berlaku untuk (Grimmett and Stirzaker 1992)
Definisi 24 (Kekonvergenan dalam sebaran)
Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Misalkan adalah fungsi sebaran untuk , dan adalah fungsi sebaran untuk . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak , ditulis , jika dan hanya jika untuk setiap titik kontinu pada ,
(Shao 2007)
Definisi 25 (Kekonvergenan almost surely (a.s))
Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen hampir pasti (almost surely
(a.s)) ke peubah acak , ditulis , jika dan hanya jika
(Shao 2007)
Definisi 26 (Kekonvergenan dalam momen ke-p)
Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam momen ke- ke peubah acak , ditulis , jika dan hanya jika
(Shao 2007)
Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi 27 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
8
9 takbias terhadap disebut uniformly minimum variance unbiased estimator
10
Dengan kata lain, fungsi sebaran dari konvergen ke fungsi sebaran normal jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal.
(Grimmett and Welsh 1986)
11
Lema 6 (Sifat fungsi pembangkit momen berdasarkan teorema Taylor) Jika , dengan – dan , maka ada sebaran yang
Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas penggunaannya, tergantung dari beberapa konstanta yang dikenal dengan nama parameter. Jika parameter tidak diketahui, maka harus diduga dengan menggunakan data sampel. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi yang dinamakan statistik.
Pendugaan adalah proses yang menggunakan statistik sampel untuk menduga atau menaksir nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan sampel dari populasi. Dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Penduga (estimator) adalah contoh acak atau suatu statistik yang digunakan untuk menduga parameter atau fungsi parameter. Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap data dari semua contoh disebut nilai dugaan (estimate).
Sebuah nilai bagi suatu parameter disebut suatu nilai dugaan bagi parameter populasi. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai dugaan disebut estimator atau fungsi keputusan. Sifat yang seharusnya dimiliki oleh estimator adalah menghasilkan nilai dugaan parameter yang bersifat takbias (unbiased estimator).
12
Berikut dibuktikan Proposisi 1 yang digunakan untuk menunjukkan distribusi asimtotik dari suatu fungsi sebaran yang tidak diketahui.
Proposisi 1(Multivariate CLT) Vektor nilai harapan dan matriks koragamnya adalah sebagai berikut:
13
dan memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, , dengan adalah 13ector berukuran sehingga , untuk .
Misalkan
maka fungsi pembangkit momen dari adalah
Karena adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik maka
Karena memiliki fungsi pembangkit momen yang sama misalkan
didefinisikan dengan
maka
sehingga
14
Karena , maka
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) dengan tetap, maka diperoleh
Selanjutnya berdasarkan
sehingga konvergen ke . Berdasarkan Lema 5 fungsi sebaran dari konvergen ke fungsi sebaran normal multivariate jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal
multivariate, akibatnya
Dengan demikian Proposisi 1 terbukti.
Fungsi Sebaran dalam Kasus i.i.d. Secara Empiris
Misalkan adalah vektor peubah acak yang i.i.d. dengan dari fungsi sebaran yang tidak diketahui. Jika fungsi bukan dalam anggota keluarga parametrik, maka penduga nonparametrik dari adalah fungsi sebaran secara empiris yaitu:
15
Karena adalah i.i.d. peubah acak biner dengan
akibatnya peubah acak memiliki sebaran binomial .
Karena memiliki sebaran binomial maka dan
sehingga merupakan penduga takbias terhadap dan adalah
uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE).
Karena -konsisten untuk , untuk setiap m titik berbeda yang diketahui yaitu di maka berdasarkan Proposisi 1 dan (4) untuk
dengan adalah matriks koragam yang berukuran dengan elemen adalah
.
Hasil ini didapat tanpa ada asumsi untuk fungsi F.
Perhatikan adalah suatu fungsi sebaran terhadap dan anggota , dengan adalah koleksi himpunan fungsi sebaran di Berikut ini akan diberikan Definisi 35 untuk menjukan jarak di koleksi himpunan fungsi sebaran pada .
Definisi 35
i. Misalkan adalah himpunan bagian dari . Sebuah fungsi dari ke disebut jarak pada jika dan hanya jika ,
a) jika dan hanya jika , b) ,
c) .
ii. Misalkan ada dari suatu ruang vektor dengan
Norm pada didefinisikan sebagai fungsi dari ke yang memenuhi:
a) jika dan hanya jika , b) dan ,
16
Norm mengartikan suatu jarak yang diberikan oleh . Jarak yang paling umum digunakan adalah sup-norm jarak , yaitu jarak yang disebabkan oleh sup-norm
Lema 7 (Pertaksamaan Dvoretzky, Kiefer, and Wolfowitz (DKW) )
Misalkan adalah fungsi sebaran empiris dari peubah acak yang i.i.d. dengan dari suatu sebaran .
i. Ketika maka ada C konstanta positif yang tidak bergantung dengan F, sehingga
(8) untuk
ii. Ketika untuk setiap maka positif yang konstan dan tidak tergantung pada F, sehingga
(9) untuk
Bukti :
Misalkan merupakan fungsi yang terdistribusi secara empirik dari fungsi sebaran
Misalkan . Karena sehingga , maka ada sehingga untuk setiap , akibatnya
Berdasarkan Definisi 35 pertaksamaan di atas dapat ditulis
dengan C konstanta positif yang tidak bergantung dengan F.
17
Teorema 3
Misalkan adalah barisan peubah acak yang i.i.d. dari sebaran . Jika merupakan fungsi distribusi empirik dari F, maka
i) . (10) ii) . (11)
Bukti :
i) Dari pertaksamaan DKW untuk setiap ,
maka
akibatnya
sehingga .
ii)Dengan menggunakan pertaksamaan DKW, dengan
Jadi Teorema 3 terbukti.
Teorema 4 (Hukum Kuat bilangan besar (SLLN))
Jika adalah barisan peubah acak i.i.d. dengan dan
, maka berlaku
jika , sehingga
18
Bukti:
Karena adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik maka
Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa
dan
sehingga
Berdasarkan Lema 1 dengan , diperoleh
Jika , maka
19
Jadi Teorema 4 terbukti.
Dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa memenuhi SLLN jika
sehingga
Teorema 3(i) menunjukkan bahwa penduga konvergen sangat kuat (a.s.) ke seragam untuk setiap ,
,
sehingga penduga konsisten.
Teorema 3(ii) menunjukkan bahwa adalah hasil konsistensi yang lebih kuat dibandingkan dengan dari
Misalkan dan , yang merupakan himpunan bagian dari fungsi sebaran di yang memiliki momen. Didefinisikan jarak antara dengan di adalah sebagai berikut:
.
Misalkan , maka selama jika dan hanya jika dan untuk setiap , kontinu. Berdasarkan Teorema 3 dan SLLN bahwa
jika .
Ketika , jarak yang lain digunakan untuk mengukur kedekatan antara dengan adalah jarak , yaitu:
,
dengan .
Teorema 5
Misalkan barisan peubah acak i.i.d. dari fungsi sebaran . Jika merupakan fungsi distribusi secara empiris dari , maka
i) (12)
ii) , dan
20
Bukti : i) Karena
dan dari Teorema 3 untuk , maka
Misalkan
, maka adalah peubah acak yang i.i.d. dan
(14)
yang terbatas untuk . Berdasarkan SLLN didapat
Karena dan berdasarkan Teorema 3
sehingga
Hasil (15) di atas setara dengan
ii)Untuk
,
22
Bukti alternatif:
Kita cukup menunjukan bahwa
untuk setiap .
Misalkan adalah peubah acak yang mengambil nilai dengan kemungkinan , maka
yang hasinya tetap, sehingga fungsi sebaran empiris memaksimalkan dengan
Jadi Teorema 6 terbukti.
Metode Empirical Likelihoods
Metode empirical likelihoods ini berasal dari fungsi sebaran F yang dapat diperluas untuk berbagai situasi dengan beberapa modifikasi dari fungsi
nonparametric likelihood dan kendala . Modifikasi dari likelihood ini disebut dengan empirical likelihood. Estimator yang diperoleh dengan memaksimumkan kemungkinan empiris ini disebut dengan maximum empirical likelihood estimator (MELE).
Dari Teorema 6, fungsi sebaran empiris adalah maximum likelihood
dengan fungsi nonparametric likelihood dari ke yang didefinisikan sebagai berikut:
23
tentang F dan barisan peubah acak i.i.d. Misalkan ada fungsi Borel dari ke sehingga
(misalnya rata-rata dari beberapa komponen F adalah 0). Karena fungsi adalah penduga dari fungsi sebaran , maka berdasarkan (20)
25
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dan SLLN kembali, kita dapat
Jadi,
Hasil ini berdasarkan CLT dan fakta bahwa,
Berdasarkan (27) dan (7) jika dibandingkan, kita dapat menyimpulkan bahwa penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara asimtotik dibandingkan dengan .
Contoh Penerapan
26 Didefinisikan sebuah fungsi sebaran kontinu yang memberikan massa pada titik dan interval Misalkan dan
Pada tulisan ini dikaji suatu pendugaan di model nonparametrik dari sebaran empirik yaitu:
dengan .
27
1. merupakan penduga takbias terhadap dengan atau adalah uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) dan -konsisten untuk , untuk setiap m berbeda yang diketahui dan di .
2. adalah maximum likelihood dengan fungsi nonparametric likelihood dari ke adalah
untuk setiap , dan .
3. penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara asimtotik dibandingkan dengan jika menggunakan informasi .
DAFTAR PUSTAKA
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Third Ed. Prentice Hall. New Jersey.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Second Ed. Oxford (US): Clarendon Press.
Grimmett GR, Welsh D. 1986. Probability: An Introduction. Oxford University Press. USA.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
Kaplan EL, Meier P. 1958. Nonparametric estimation from incomplete observation. J. Amer. Statist. Assoc., 53: 457-906.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed. Ke-5. Bondan A, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Application.
Serfling RJ. 1980. Aproximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York (US): Springer.
Shao J. 2007. Mathematical Statistics. Second Ed. New York (US): Springer.
28
29
Lampiran 1 (Pembuktian Lema 1) Lema 1 (Pertaksamaan Markov)
Jika X adalah peubah acak yang taknegatif, maka untuk setiap ,
Bukti:
Jika X kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f, maka
Untuk kasus X diskret, dapat dibuktikan dengan cara serupa, yaitu dengan mengganti integral dengan notasi penjumlahan serta fungsi kepekatan peluang dengan fungsi kerapatan peluang. Jadi
Sehingga dapat ditulis
Jadi pertaksamaan Markov terbukti.
Lampiran 2 (Pembuktian Lema 2) Lema 2 (Pertaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk setiap k > 0,
Bukti:
Untuk membuktikan pertaksamaan Chebyshev menggunakan Lema 1.
30
31
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai :
ruas kanan adalah fungsi sebaran normal dengan nilai harapan 0 dan ragam 1.
Untuk menyelesaikan bukti Lema 4, digunakan Lema 3, sehingga diperoleh
Substitusi persamaan (34) ke persamaan (33) dengan
dan tetap, maka diperoleh
Selanjutnya, dicari limit dari sebagai berikut
Sehingga konvergen ke , yaitu pembangkit momen peubah acak normal baku.
32
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Padang Bintungan pada tanggal 08 Desember 1989 dari ayah Aly Fikri dan Ibu Suparni. Penulis adalah putra keempat dari empat bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus SMA Negri 1 Sitiung dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
