PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN
MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis PENANGANAN MASALAH
HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL
BLACK-SCHOLES adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi manapun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Februari 2009
Moses Alfian Simanjuntak
ABSTRACT
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. The Conditional Heteroscedasticity
Handling with ARCH-GARCH Model and Black-Scholes Model. Supervised
by MUHAMMAD NUR AIDI and I MADE SUMERTAJAYA.
An important class of time series models is the family of AutoRegressive
Integrated Moving Average (ARIMA) models that involving three steps:
identification, estimation and diagnostic checking was first developed by Box and
Jenkins (1976). The variance of residuals (step-3) are assumed to have a constant
(homoskedasticity). On the other hand, this condition was termed
heteroscedasticity. The ARCH model process was first developed by Engle (1982)
and GARCH model by Bollerslev (1986) in order to accommodate
heteroscedasticity. The ARCH-GARCH model process involving three steps that
refer to ARIMA steps. Black-Scholes model need just two assumptions: that both
the risk-free interest rate and stock return volatility are constant. The conditional
heteroscedasticity is directly dependent on conditional higher variance, kurtosis
(> 6) and skewness (Yan, 2005). This research consider to: indicate
heteroscedasticity, compare both models in MSE of NYSE returns, and forecast of
NYSE returns. In this research find that (i) Plot of Reuter Holdings daily stock is
not constant in volatility and have higher kurtosis of stock return=6,06 so that
from both informations have result ARCH-GARCH model, (ii) Time series model
always perform better because this model with the lowest MSE value (iii) The
best forecasting model is time series model because this model with the lowest
MAPE value but both MAPE values approximately to be equal. In some special
cases, if time series model can not be used to forecast then can be guided by
Black-Scholes model as the alternative model.
RINGKASAN
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. Penanganan Masalah Heteroskedasitas
dengan Model ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh
MUHAMMAD NUR AIDI dan I MADE SUMERTAJAYA.
Data deret waktu dapat dimodelkan dengan menggunakan model deret
waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), model Black-Scholes, model MIMIC
(Multiple Indicators and Multiple Causes), model Markov Switching, dan model
Time Varying Coefficient. Dalam penulisan ini, model yang digunakan adalah
model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes.
Model deret waktu yang menggunakan persamaan rataan (ARIMA)
membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan
pemeriksaan diagnostik (Brooks, 2002). Pada pemeriksaan diagnostik, ragam
sisaan diasumsikan konstan, pelanggaran terhadap asumsi ini sering disebut
heteroskedasitas. Pendeteksian masalah heteroskedasitas dapat dilakukan dengan
uji-LM dan menganalisis volatilitas (pola ragam) data. Masalah heteroskedasitas
ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah
heteroskedasitas diatasi dengan persamaan ragam (ARCH-GARCH) yang
memodelkan sisaan tersebut menjadi konstan. Langkah lain untuk menangani
masalah heteroskedasitas adalah dengan melakukan transformasi data. Seperti
halnya persamaan rataan, persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan, yaitu:
pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji keberadaan ARCH
(Brooks, 2002).
Model Black-Scholes merupakan pemodelan data dengan asumsi utama
adalah suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan (Bodie et al.,
1999). Model Black-Scholes yang diperkenalkan oleh Fischer Black, Myron
Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada
tahun 1997.
Model deret waktu merupakan model yang sangat baik, namun memiliki
seakan-akan model sesuai dengan data. Untuk menangani penentuan orde, dapat
dilakukan dengan pemodelan ragam dan pemodelan Scholes. Model
Black-Scholes merupakan model yang sederhana, namun model ini memiliki kelemahan
yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan tidak dapat
menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan model
Black-Scholes terhadap model deret waktu secara berarti. Jika suatu penelitian dalam
memprediksi data menggunakan model deret waktu mengalami kendala yang
diakibatkan tidak terpenuhinya sebagian langkah, maka dapat digunakan model
Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data.
Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data
yang memiliki volatilitas (pola ragam) yang berbeda di sepanjang periode waktu.
Volatilitas data yang berbeda di sepanjang periode waktu ini akan menghasilkan
ragam sisaan yang tidak konstan. Oleh karena itu, diduga bahwa ada hubungan
ragam sisaan yang tidak konstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi
yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness.
Sebagai studi kasus, data yang digunakan adalah data harga saham harian dari
5 perusahaan yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange),
yaitu: General Motor, Minnesota Mining, Reuters Holdings, Time Warner dan
Washington Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan
yaitu: pertama, sudah mewakili berbagai perusahaan yang bergerak di bidang
bisnis jasa dan produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif
tidak stabil). Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun,
yaitu: 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan
2000-2004. Ke-9 kategori periode tahun dipilih untuk melihat perubahan data,
perubahan model dan perubahan MSE (Mean Square Error).
Penelitian ini menghasilkan tiga hasil, yaitu: pertama, dengan membandingkan
uji-LM, simpangan baku, skewness dan kurtosis dari data 5 perusahaan, didapat
bahwa adannya kecenderungan menghasilkan kondisi heteroskedasitas, sehingga
model deret waktu membutuhkan persamaan ARCH-GARCH. Data-data
perusahaan yang tidak memiliki masalah heteroskedasitas menghasilkan
ARCH(1)-GARCH(1), ARCH(2)-GARCH(1), ARCH(1)-GARCH(2), dan
ARCH(2)-GARCH(1). Model ARIMA yang dihasilkan adalah: ARIMA(0,1,1),
ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2), dan ARIMA(2,1,1); kedua, berdasarkan analisis
dengan menggunakan boxplot, didapat bahwa model deret waktu lebih baik
dibandingkan model Black-Scholes karena memiliki rataan MSE dan simpangan
baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebih baik dibandingkan model
deret waktu dalam hal penyebaran data MSE yang kekar (robust); ketiga, jika
peramalan data deret waktu mengakibatkan tidak adanya model deret waktu, maka
dapat digunakan model Black-Scholes sebagai alternatif pemilihan model karena
nilai MAPE kedua model tadi tidak berbeda secara berarti.
@Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang.
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN
MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
LEMBAR PENGESAHAN TESIS
Judul Tesis :Penanganan Masalah Heteroskedasitas dengan Model
ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes.
Nama : Moses Alfian Simanjuntak
NIM : G151040091
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN
MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis PENANGANAN MASALAH
HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL
BLACK-SCHOLES adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi manapun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Februari 2009
Moses Alfian Simanjuntak
ABSTRACT
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. The Conditional Heteroscedasticity
Handling with ARCH-GARCH Model and Black-Scholes Model. Supervised
by MUHAMMAD NUR AIDI and I MADE SUMERTAJAYA.
An important class of time series models is the family of AutoRegressive
Integrated Moving Average (ARIMA) models that involving three steps:
identification, estimation and diagnostic checking was first developed by Box and
Jenkins (1976). The variance of residuals (step-3) are assumed to have a constant
(homoskedasticity). On the other hand, this condition was termed
heteroscedasticity. The ARCH model process was first developed by Engle (1982)
and GARCH model by Bollerslev (1986) in order to accommodate
heteroscedasticity. The ARCH-GARCH model process involving three steps that
refer to ARIMA steps. Black-Scholes model need just two assumptions: that both
the risk-free interest rate and stock return volatility are constant. The conditional
heteroscedasticity is directly dependent on conditional higher variance, kurtosis
(> 6) and skewness (Yan, 2005). This research consider to: indicate
heteroscedasticity, compare both models in MSE of NYSE returns, and forecast of
NYSE returns. In this research find that (i) Plot of Reuter Holdings daily stock is
not constant in volatility and have higher kurtosis of stock return=6,06 so that
from both informations have result ARCH-GARCH model, (ii) Time series model
always perform better because this model with the lowest MSE value (iii) The
best forecasting model is time series model because this model with the lowest
MAPE value but both MAPE values approximately to be equal. In some special
cases, if time series model can not be used to forecast then can be guided by
Black-Scholes model as the alternative model.
RINGKASAN
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. Penanganan Masalah Heteroskedasitas
dengan Model ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh
MUHAMMAD NUR AIDI dan I MADE SUMERTAJAYA.
Data deret waktu dapat dimodelkan dengan menggunakan model deret
waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), model Black-Scholes, model MIMIC
(Multiple Indicators and Multiple Causes), model Markov Switching, dan model
Time Varying Coefficient. Dalam penulisan ini, model yang digunakan adalah
model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes.
Model deret waktu yang menggunakan persamaan rataan (ARIMA)
membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan
pemeriksaan diagnostik (Brooks, 2002). Pada pemeriksaan diagnostik, ragam
sisaan diasumsikan konstan, pelanggaran terhadap asumsi ini sering disebut
heteroskedasitas. Pendeteksian masalah heteroskedasitas dapat dilakukan dengan
uji-LM dan menganalisis volatilitas (pola ragam) data. Masalah heteroskedasitas
ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah
heteroskedasitas diatasi dengan persamaan ragam (ARCH-GARCH) yang
memodelkan sisaan tersebut menjadi konstan. Langkah lain untuk menangani
masalah heteroskedasitas adalah dengan melakukan transformasi data. Seperti
halnya persamaan rataan, persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan, yaitu:
pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji keberadaan ARCH
(Brooks, 2002).
Model Black-Scholes merupakan pemodelan data dengan asumsi utama
adalah suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan (Bodie et al.,
1999). Model Black-Scholes yang diperkenalkan oleh Fischer Black, Myron
Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada
tahun 1997.
Model deret waktu merupakan model yang sangat baik, namun memiliki
seakan-akan model sesuai dengan data. Untuk menangani penentuan orde, dapat
dilakukan dengan pemodelan ragam dan pemodelan Scholes. Model
Black-Scholes merupakan model yang sederhana, namun model ini memiliki kelemahan
yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan tidak dapat
menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan model
Black-Scholes terhadap model deret waktu secara berarti. Jika suatu penelitian dalam
memprediksi data menggunakan model deret waktu mengalami kendala yang
diakibatkan tidak terpenuhinya sebagian langkah, maka dapat digunakan model
Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data.
Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data
yang memiliki volatilitas (pola ragam) yang berbeda di sepanjang periode waktu.
Volatilitas data yang berbeda di sepanjang periode waktu ini akan menghasilkan
ragam sisaan yang tidak konstan. Oleh karena itu, diduga bahwa ada hubungan
ragam sisaan yang tidak konstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi
yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness.
Sebagai studi kasus, data yang digunakan adalah data harga saham harian dari
5 perusahaan yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange),
yaitu: General Motor, Minnesota Mining, Reuters Holdings, Time Warner dan
Washington Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan
yaitu: pertama, sudah mewakili berbagai perusahaan yang bergerak di bidang
bisnis jasa dan produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif
tidak stabil). Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun,
yaitu: 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan
2000-2004. Ke-9 kategori periode tahun dipilih untuk melihat perubahan data,
perubahan model dan perubahan MSE (Mean Square Error).
Penelitian ini menghasilkan tiga hasil, yaitu: pertama, dengan membandingkan
uji-LM, simpangan baku, skewness dan kurtosis dari data 5 perusahaan, didapat
bahwa adannya kecenderungan menghasilkan kondisi heteroskedasitas, sehingga
model deret waktu membutuhkan persamaan ARCH-GARCH. Data-data
perusahaan yang tidak memiliki masalah heteroskedasitas menghasilkan
ARCH(1)-GARCH(1), ARCH(2)-GARCH(1), ARCH(1)-GARCH(2), dan
ARCH(2)-GARCH(1). Model ARIMA yang dihasilkan adalah: ARIMA(0,1,1),
ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2), dan ARIMA(2,1,1); kedua, berdasarkan analisis
dengan menggunakan boxplot, didapat bahwa model deret waktu lebih baik
dibandingkan model Black-Scholes karena memiliki rataan MSE dan simpangan
baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebih baik dibandingkan model
deret waktu dalam hal penyebaran data MSE yang kekar (robust); ketiga, jika
peramalan data deret waktu mengakibatkan tidak adanya model deret waktu, maka
dapat digunakan model Black-Scholes sebagai alternatif pemilihan model karena
nilai MAPE kedua model tadi tidak berbeda secara berarti.
@Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang.
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN
MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
LEMBAR PENGESAHAN TESIS
Judul Tesis :Penanganan Masalah Heteroskedasitas dengan Model
ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes.
Nama : Moses Alfian Simanjuntak
NIM : G151040091
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
PRAKATA
Terima kasih kepada semua pihak yang mendukung penulisan penelitian
ini dapat diselesaikan dengan baik.
Dalam proses pembuatan tesis ini, penulis banyak dibantu oleh berbagai
pihak diantaranya keluarga, dosen, rekan-rekan mahasiswa Pascasarjana program
studi Statistika IPB. Dengan segala keterbatasan, akhirnya tesis yang berjudul
“PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES” dapat diselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ayah, Ibu dan adik-adik tercinta yang telah memberikan segala bantuan dan
juga doa sehingga penulis mampu menyelesaikan pendidikan hingga jenjang
Magister.
2. Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS. dan Bapak Dr. Ir. I Made
Sumertajaya, M.Si. selaku ketua dan anggota komisi pembimbing.
3. Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. dan Ibu Dr. Ir. Erfiani, MS. yang
banyak membantu saya untuk menyelesaikan studi.
4. Rekan-rekan STK 2004 yang telah memberikan bantuan, saran, dan dukungan
dalam penulisan ini.
Akhir kata dengan kerendahan hati, penulis mohon maaf jika masih terdapat
banyak kekurangan pada tesis ini, semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2009
RIWAYAT HIDUP
Penulis adalah anak pertama dari pasangan Bapak Simanjuntak dan Ibu
Aritonang, lahir di Banjarmasin tanggal 7 Oktober 1971. Penulis menyelesaikan
pendidikan SD hingga SMA di Medan, kemudian melanjutkan studinya di Institut
Teknologi Bandung jurusan Matematika lulus tahun 1998.
Lulus dari perguruan tinggi, penulis sempat bekerja di Bank BNI46 dan
PT I3 Networking. Akhirnya, penulis tertarik dengan dunia pendidikan maka pada
tahun 2004 melanjutkan pendidikan di Sekolah Pascasarjana IPB jurusan
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
1. PENDAHULUAN………..….…. 1
1.1 Latar Belakang... 1
1.2 Tujuan Penelitian... 2
2. TINJAUAN PUSTAKA... 3
2.1 Model ARIMA dan model ARCH-GARCH... 3
2.1.1 Model ARIMA... 3
2.1.2 Model ARCH-GARCH... 10
2.2 Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi... 13
2.3 Model Black-Scholes... 14
2.4 Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE... 16
2.5 Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan... 17
3. METODOLOGI... 18
3.1 Data………... 18
3.2 Metode ………... 18
4. HASIL DAN PEMBAHASAN... 21
4.1 Deskriptif data………... 21
4.2 Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas………. 25
4.3 Pemodelan deret waktu... 27
4.4 Pemodelan Black-Scholes... 30
4.5 Perbandingan kedua model berdasarkan boxplot MSE... 33
4.6 Peramalan dan interpretasi hasil... 34
5. SIMPULAN DAN SARAN... 36
5.1 Simpulan... 36
5.2 Saran... 37
DAFTAR PUSTAKA... ………... 38
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.d
Desember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun...23
Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas
(Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk lima
perusahaan pada sembilan kategori tahun………..26 Tabel 3. Model deret waktu dari lima perusahaan pada sembilan
kategori tahun……….…29
Tabel 4. Data masukkan model Black-Scholes dari lima perusahaan pada
sembilan kategori tahun………..31
Tabel 5. Nilai MSE dari model deret waktu dan model
Black-Scholes untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun…32
Tabel 6. Perbandingan nilai MAPE dariharga saham pada model
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari
lima perusahaan...21
Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari
lima perusahaan...22
Gambar 3. Boxplot MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Proses pembentukan model ARIMA dan ARCH-GARCH
untuk data harga saham harian perusahaan Reuters Holding
pada tahun 2002...40
Lampiran 2. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) untuk lima perusahaan
pada sembilan kategori tahun...44
Lampiran 3. SBIC dari model deret waktu untuk lima perusahaan pada
1
1.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Data deret waktu dapat dimodelkan dengan menggunakan model deret
waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), model Black-Scholes, model MIMIC
(Multiple Indicators and Multiple Causes), model Markov Switching, dan model
Time Varying Coefficient. Dalam penulisan ini, model yang digunakan adalah
model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes.
Model deret waktu yang menggunakan persamaan rataan (ARIMA)
membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan
pemeriksaan diagnostik (Brooks, 2002). Pada pemeriksaan diagnostik, ragam
sisaan diasumsikan konstan, pelanggaran terhadap asumsi ini sering disebut
heteroskedasitas. Pendeteksian masalah heteroskedasitas dapat dilakukan dengan
uji-LM dan menganalisis volatilitas (pola ragam) data. Masalah heteroskedasitas
ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah
heteroskedasitas dapat diatasi dengan persamaan ragam (ARCH-GARCH) yang
memodelkan sisaan tersebut menjadi konstan. Langkah lain untuk menangani
masalah heteroskedasitas adalah dengan melakukan transformasi data. Seperti
halnya persamaan rataan, persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan, yaitu:
pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji LM-ARCH (Brooks, 2002).
Model Black-Scholes merupakan pemodelan data dengan asumsi utama
adalah suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan (Bodie et al.,
1999). Model Black-Scholes yang diperkenalkan oleh Fischer Black, Myron
Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada
tahun 1997.
Model deret waktu merupakan model yang sangat baik, namun memiliki
kelemahan dalam penentuan orde. Penentuan orde yang tidak sesuai berakibat
seakan-akan model sesuai dengan data. Untuk menentukan orde dalam model
deret waktu dibutuhkan data yang benar-benar stasioner baik rataan maupun
ragam. Apabila kestasioneran rataan tidak dipenuhi dapat ditangani dengan proses
2 ditangani dengan transformasi, pemodelan ragam atau pemodelan Black-Scholes.
Model Black-Scholes merupakan model yang sederhana, namun model ini
memiliki kelemahan yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan
tidak dapat menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan
model Black-Scholes terhadap model deret waktu secara berarti. Jika suatu
penelitian dalam memprediksi data menggunakan model deret waktu mengalami
kendala yang diakibatkan tidak terpenuhinya sebagian langkah, maka dapat
digunakan model Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data.
Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data
yang memiliki volatilitas (pola ragam) yang berbeda di sepanjang periode waktu.
Volatilitas data yang berbeda di sepanjang periode waktu ini akan menghasilkan
ragam sisaan yang tidak konstan. Oleh karena itu, diduga bahwa ada hubungan
ragam sisaan yang tidak konstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi
yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness.
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan:
1. Identifikasi heteroskedasitas pada data deret waktu dan penanganannya.
2. Perbandingan antara model deret waktu dan model Black-Scholes
3. Peramalan data dengan menggunakan model deret waktu dan model
3
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model ARIMA dan model ARCH-GARCH
Model deret waktu satu peubah adalah suatu spesifikasi model yang
digunakan untuk memprediksi peubah tersebut di masa yang akan datang dengan
menggunakan informasi dirinya sendiri dan pola sisaan dari periode waktu
sebelumnya. Seperti yang sudah dijelaskan di bagian pendahuluan, model deret
waktu satu peubah terdiri dari dua model, yaitu: model ARIMA dan model
ARCH-GARCH. Model ARIMA membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi
model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik. Model ARCH-GARCH
membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik
dan uji keberadaan heteroskedasitas. Model ARCH-GARCH dibutuhkan jika
syarat ragam sisaan pada model ARIMA tidak konstan.
2.1.1 Model ARIMA
Metode Box dan Jenkins (1976) digunakan untuk membangun model ARIMA.
Model ARIMA melalui tiga langkah dalam pembentukannya (Brooks, 2002),
yaitu:
1. Spesifikasi model
2. Pendugaan parameter.
3. Pemeriksaan model secara diagnostik.
Spesifikasi model
Spesifikasi model adalah pemilihan suatu model yang mengikuti bentuk
dinamika data. Penelitian empiris biasanya merupakan proses yang saling
berinteraksi. Suatu proses yang dimulai dengan spesifikasi model berhubungan
langsung dengan pendugaan parameter. Suatu proses pemilihan spesifikasi model
biasanya melibatkan beberapa pilihan, yaitu: peubah yang harus dimasukkan
kedalam model, fungsi tertentu yang berhubungan dengan peubah, dan
menganalisis struktur dinamik dari peubah-peubah yang saling berhubungan.
Sebelum melakukan spesifikasi model, data peubah harus terlebih dahulu
4 Misalkan Yt adalah peubah acak yang mewakili data deret waktu pada periode
ke-t, t = 1,2,3,... dan Yt disebut stasioner jika memiliki rataan konstan, ragam
konstan dan struktur autokoragam konstan. Ketiga parameter tersebut dinyatakan
sebagai berikut:
1. Rataan konstan, )... ( )
2 ( ) 1
(y E y E yt
E
2. Ragam konstan, )2 ... ( )2 2
2 ( 2 ) 1
(y E y E yt
E
3. Autokoragam konstan, E[yt E(yt)][yts E(yts)]
s s,t0,1,2,...Data yang stasioner sangat kuat mempengaruhi perilaku pembentukan model.
Di sisi lain, jika data tidak stasioner berakibat model menjadi semu cocok dengan
data (Brooks, 2002).
Alat ukur untuk mengetahui apakah data sudah memenuhi asumsi
kestasioneran adalah dengan menganalisis plot ACF (Autocorrelation Function)
dan plot PACF (Partial Autocorrelation Function). Data stasioner dapat diketahui
dari 3 kemungkinan pola plot dari ACF dan PACF, yaitu:
1. Plot ACF mengalami perilaku menurun perlahan, sedangkan plot PACF
mengalami penurunan drastis pada suatu lag.
2. Plot ACF mengalami penurunan drastis pada suatu lag, sedangkan plot PACF
mengalami perilaku menurun perlahan.
3. Plot ACF maupun plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan secara
bersamaan.
Plot ACF
Koefisien Autocorrelation antara Yt dan Yt-1 (saat lag-1) adalah 1 dan dinyatakan sebagai berikut
n t Y t Y n t Y t Y Y t Y 1 2 ) _ ( 2 ) _ 1 )( _ ( 0 1 1 5
n t Y t Y n k t Y k t Y Y t Y k k 1 2 ) _ ( 1 ) _ )( _ ( 0 dengann adalah banyaknya data selama waktu t.
k = 0,1,…,K
Plot antara k dan k menghasilkan suatu grafik yang dikenal dengan nama ACF. Pada umumnya, contoh autocorrelation diambil dengan: K n/4 (Montgomery et al. 1990). Data stasioner jika pada lag-1 atau lag-2 akan drastis
turun ke nol (Makridakis et al.,1983).
Plot PACF
PACF yang dinotasikan kk adalah alat ukur korelasi antara data lag-k dan yt, setelah mengkondisikan data tertentu sebelum lag-k.
Bentuk umum persamaan PACF, yaitu:
2 ), 1 1 0 , 1 1 (
kk i i y i y k i i k y i k y
kk
Pada lag-1, nilai ACF dan nilai PACF adalah sama, dengan nilai PACF = 11 = 1
. Nilai PACF juga didefinisikan sebagai koefisien terakhir dari model AR(p). Untuk data yang memiliki nilai ragam relatif tidak konstan, dilakukan
transformasi, misalkan dengan transformasi logaritma natural. Transformasi
logaritma natural juga dapat menghilangkan pengaruh satuan dengan persamaan
t t t t y y y S ln ,
1
adalah data peubah. Dalam ilmu keuangan, transformasi ini
dikenal dengan nama continuously compounding return. Untuk data yang
memiliki nilai rataan relatif tidak konstan, dilakukan selisih atau diferensiasi
ordo-d (Integrated), yaitu:
t d t
6 dimana BdSt Std dan d adalah ordo selisih dengan nilai 1,2,3....
Pengujian data stasioner dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller
(ADF)
Ho: Data tidak stasioner, yt ut (a unit root)
H1: Data stasioner, yt yt1tut(no unit root)
dengan
ytadalah peubah tak bebas pada saat t.
yt yt yt1
adalah parameter model adalah parameter model (drift)
tadalah parameter model pada saat t (time trend) ut adalah sisaan pada saat t.
Statistik uji-t =
)
ˆ
(
ˆ
SE
Model AR (Autoregressive)
Pada model ini peubah tak bebas dipengaruhi oleh pengamatan itu sendiri
pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan
pada saat p tidak bebas, namun setelah waktu p bebas. AR (p) dengan ordo-p,
memiliki persamaan
t
p
i
i t i
t Y u
Y
1
(2.1)
dengan
Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
dan i adalah parameter model
p adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model AR
7 Model MA (Moving Average)
Pada model ini peubah tak bebas merupakan nilai sisaan pada periode waktu
sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan pada saat q tidak
bebas, namun setelah waktu q bebas. MA (q) dengan ordo-q, memiliki persamaan
t q j j t j
t u u
Y
1
(2.2)
dengan
Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
dan j adalah parameter modelMA
q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model MA
ut adalah sisaan pada saat t.
Model ARMA (Autoregressive Moving Average)
Model ini merupakan campuran antara AR(p) dan MA(q). ARMA(p,q) dengan
ordo-p dan ordo-q, memiliki persamaan
t q j j t j p i i t i
t Y u u
Y
1 1
(2.3)
dengan
Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
,idan jadalah parameter modelARMA
p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARMA
ut adalah sisaan pada saat t.
Model ARIMA (p,d,q) pada model deret waktu adalah
t q j j t j p i i t i
t dY u u
Y
d
1 1
(2.4)
dengan dst. 2, -ordo selisih adalah 1 -ordo selisih adalah 1 2 1 t t t t t t Y Y Y Y Y Y
Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
8 p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA
d adalah banyaknya selisih ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA
ut adalah sisaan pada saat t.
Data yang tidak stasioner dalam rataan dapat diatasi dengan mengambil
selisih orde-1 atau orde-2 saja (Box & Jenkins, 1976). Jika diambil selisih dengan
orde yang lebih besar lagi, akan berakibat kesulitan dalam menginterpretasi plot
autocorrelation dan ragamnya juga akan membesar. Ini menunjukkan bahwa
proses selisih tidak ada gunanya (Abraham & Ledolter, 1983). Model ARMA(p,q)
yang datanya diperlakukan dengan selisih ordo-d disebut model ARIMA(p,d,q).
Untuk nilai d = 0 maka model ARIMA(p,d,q) sama dengan ARMA(p,q).
Spesifikasi model ARIMA didasarkan pada rekomendasi hasil analisis
terhadap plot ACF dan plot PACF, yaitu:
1. Model AR(p) mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF dan
menurun drastis pada lag ke-p untuk plot PACF.
2. Model MA(q) mengalami perilaku menurun drastis pada lag ke-q untuk plot
ACF dan menurun perlahan pada plot PACF.
3. Model ARMA(p,q) mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF
maupun plot PACF.
Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, plot ACF dan plot
PACF belum tentu sama dengan hasil rekomendasi. Hal ini dikarenakan oleh
karakteristik dan pola suatu data dapat berbeda dengan data yang lain, misalkan
data saham berbeda dengan data nilai tukar kurs. Oleh karena itu, model deret
waktu dalam pembentukannya tidak hanya memperhatikan plot ACF dan plot
PACF pada rekomendasi saja, dan pemilihan ordo-p dan ordo-q dapat dilakukan
dengan mengambil kombinasi ordo-1 dan ordo-2. Software statistik seperti
E-views yang digunakan untuk membentuk model deret waktu sudah dilengkapi
dengan proses pendeteksian kestasioneran data (testing for no unit root).
Pendugaan parameter model
Pendugaan parameter yang nyata berhubungan langsung dengan
spesifikasi model. Pendugaan parameter model menggunakan Metode Kuadrat
9 Dari berbagai model alternatif, dipilih suatu model yang memiliki parameter yang
nyata.
Diagnostik model
Pemeriksaan diagnostik melibatkan pemeriksaan model seperti apakah suatu
model sudah memenuhi spesifikasi dan pendugaan parameter. Diagnostik model
dilakukan untuk menganalisis apakah model sudah layak dengan data. Dalam hal
ini, Box dan Jenkins (1976) menyarankan dua metode yaitu: diagnostik sisaan dan
kecocokan model.
Diagnostik sisaan terdiri dari 2 syarat, yaitu: kebebasan antar sisaan dan sisaan
berdistribusi normal dengan rataan nol serta ragam konstan. Diagnostik sisaan
dilakukan dengan 3 metode, yaitu: uji statistik Box-Pierce, korelasi plot ACF dan
PACF, dan uji statistik Ljung-Box dan uji statistik Jarque-Bera.
Salah satu alat menguji kelayakan model adalah uji statistik Box-Pierce atau
uji Port Manteau (Cryer, 1986):
k i i k Q 1 2 Sisaan, ut ~ N(0,
2
) dan saling bebas jika 2
q p k Q
diinginkan yang lag maksimum adalah k i -ke lag pada sisaan si autokorela adalah dengan 2 i
p dan q adalah lag pada ARIMA
Kelayakan model dapat dilihat dari korelasi plot ACF dan plot PACF. Model
layak jika tidak ada korelasi plot tadi secara nyata (Bowerman & O’Connell, 1987).
Uji statistik Ljung-Box berguna untuk menguji sisaan saling bebas,
sedangkan uji statistik Jarque Bera berguna untuk menguji kenormalan sisaan.
Sisaan saling bebas, E(ut,us) = 0, t s
Statistik uji Ljung-Box diformulasikan sebagai
k
10 ARIM A pada lag adalah q dan p pengamatan banyaknya adalah n diinginkan yang lag maksimum adalah k i -ke lag pada sisaan si autokorela adalah 2 dengan 1994) (Hamilton, 2 q -p -k Q jika bebas saling Sisaan i
Uji kenormalan sisaan
Statistik uji Jarque Bera diformulasikan sebagai
JB = 1/6(n-K)(S2+1/4(p-3)2)
Sisaan berdistribusi normal jika 2 2
JB (Tagliafichi, 2003)
dengan
S adalah parameter kemenjuluran
K adalah parameter keruncingan
p adalah banyaknya parameter model
n adalah banyaknya pengamatan
Jika persamaan rataan sudah memenuhi persyarat yang ditentukan, maka
langkah terakhir adalah kecocokan model. Kecocokan model dilakukan dengan
proses overfitting, yaitu: melakukan analisis respon data terhadap model dan
mengevaluasi dampak dari grafik model terhadap data, kemudian hasilnya
digunakan untuk melihat faktor-faktor mana saja yang dapat dikurangi.
2.1.2 Model ARCH-GARCH
Asumsi dari ragam sisaan model ARIMA haruslah konstan. Jika kondisi ini
tidak dipenuhi maka ragam sisaan akan berubah ubah setiap waktu, sehingga
model ARIMA mengalami kendala dalam memprediksi data. Kondisi yang
demikian memenuhi E(ut2)2 dengan t 1,2,...,T. Ragam sisaan yang tidak konstan mengakibatkan model pendugaan tidak lagi efisien digunakan. Kondisi
ini dikenal dengan heteroskedasitas, untuk mengakomodasinya digunakan model
ARCH (Watsham & Parramore, 1997). Uji keberadaan heteroskedasitas
menggunakan statistik uji LM (Lagrange Multiplier) yang diformulasikan sebagai
11 LM = n.R2
Model memenuhi E(ut2)2 dengan t 1,2,...,T jika LM a2 (Tagliafichi, 2003).
dengan
n adalah banyaknya data selama waktu ke-t.
n i i n i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2adalah besarnya kontribusi keragaman yang dapat
dijelaskan data deret waktu sebelumnya.
yi
^
adalah data model
y adalah rataan data aktual
yi adalah data aktual
a adalah banyaknya waktu sebelumnya yang mempengaruhi data sekarang.
Ada dua alasan utama mengapa harus memodelkan volatilitas (pola ragam).
Pertama, kebutuhan akan menganalisis resiko dalam memegang aset. Kedua,
selang kepercayaan dari suatu parameter dapat berubah jika periode waktu
berubah, sehingga pemodelan volatilitas dibutuhkan agar penaksiran lebih efisien
(Eviews 5 User’s Guide). Model ARCH merupakan suatu model yang secara
spesifik dirancang untuk meramalkan berbagai kondisi ragam. Model ARCH
pertama sekali diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982. Selanjutnya, melalui
model ARCH ini, Engle mendapatkan hadiah Nobel bidang ekonomi pada tahun
2003. Model ARCH sangat luas dipakai dalam ilmu ekonometrik, terutama dalam
analisis keuangan deret waktu. Modifikasi model AR(p) dengan mentransformasi
sisaan menjadi bentuk sisaan kuadrat menghasilkan model ARCH. Persamaan
model ARCH adalah:
1. ARCH (1): t2 Var(ut |ut1,ut2,...)E(ut2 |ut1,ut2,...)0 1ut21 Data sisaan (ut) didapat dari sisaan model ARIMA, sehingga
t t u t v
12
2. ARCH(c):
c i i t i t u 1 2 0
2
(2.5)
Pada tahun 1986, Bollerslev dan Taylor membuat bentuk umum dari ARCH
dengan maksud menghindarkan struktur lag ragam sisaan yang panjang pada
model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan GARCH(c,d) dengan
persamaan:
d j j t j c i i t i t u 1 2 1 2 02
(2.6)
dengan
t2adalah fungsi dari sisaan kuadrat pada saat t. 0,idan j adalah parameter model
ut2i adalah sisaan kuadrat pada saat t-i.
c dan d adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARCH-
GARCH.
Z adalah peubah berdistribusi normal baku.
Persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan (Eviews 5 User’s Guide), yaitu:
pendugaan parameter, diagnostik sisaan dan pengujian keberadaan ARCH dengan
LM (Lagrange Multiplier)-Test. Pendugaan parameter menggunakan metode
kemungkinan maksimum (maximum likelihood), quasi-maximum likelihood dan
algoritma Gauss-Newton. Maximum likelihood digunakan untuk memprediksi
parameter dengan menggunakan fungsi logaritma natural. Quasi-maximum
likelihood digunakan untuk memprediksi parameter yang konsisten walaupun
tidak terpenuhinya asumsi distribusi data. Algoritma Gauss-Newton mengikuti
metode Newton Raphson dan digunakan untuk permasalahan kuadrat terkecil
dalam bentuk umum non linier. Diagnostik sisaan menggunakan langkah yang
sama seperti prosedur ARIMA. Dari berbagai model deret waktu yang memenuhi
persyaratan, dipilih satu model yang terbaik berdasarkan kriteria pemilihan model
13
2.2 Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi
Analisis deret waktu menggunakan data yang tidak stationer berakibat
menghasilkan plot ACF dan plot PACF yang sulit diinterpretasi sehingga
mengalami kesulitan dalam membuat spesifikasi model untuk data tersebut. Cara
lain untuk mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan kriteria informasi
(information criteria). Kriteria informasi sering digunakan sebagai suatu panduan
dalam memilih model (Grasa, 1989). Nilai kriteria informasi dapat
mengakomodasi pengukuran informasi secara langsung yang membuat
keseimbangan antara pengukuran goodness of fit dan penghematan parameter
model. Ada 3 kriteria informasi yang paling terkenal, yaitu:
1. Akaike’s information criterion, AIC 2(l/T)2(k/T)
l adalah nilai dari algoritma fungsi likelihood.
k adalah parameter harapan yang menggunakan T pengamatan.
AIC cenderung memilih model dengan jumlah parameter yang lebih banyak.
Kelebihan dari AIC adalah lebih efisien, namun memiliki kekurangan yaitu
tidak konsisten. Konsisten adalah suatu kondisi dimana jika terjadi perubahan
besar pada data maka parameter tidak akan berubah. Efisien adalah suatu
kondisi dimana perolehan parameter lebih cepat dengan menggunakan data
yang ada.
2. Schwarz’s Bayesian information criterion, SBIC2(l/T)klog(T)/T
Kelebihan dari SBIC adalah lebih konsisten namun kelemahannya adalah
tidak efisien.
3. Hannan-Quinn information criterion, HQIC2(l/T)2klog(log(T))/T
HQIC merupakan gabungan antara SBIC dan AIC.
Informasi kriteria lain yang dapat dipakai adalah adjusted-R2. Kelebihan dari
adjusted-R2 adalah membesar jika ditambah peubah bebas (hal ini tidak berlaku
untuk R2). Pemilihan model terbaik adalah dengan memilih nilai adjusted-R2
maksimum, namun untuk AIC maupun SBIC adalah minimum dan banyak
pengamatan antar model harus sama.
Persamaan model deret waktu dan model Black-Scholes yaitu memiliki
asumsi data yang stasioner dalam rataan maupun ragam. Perbedaan kedua model
14 merupakan model perkalian parameter dengan waktu ke-t dan merupakan
keluarga fungsi eksponensial, sedangkan model deret waktu merupakan model
penjumlahan yang memodelkan peubah diri sendiri (AR), sisaan (MA) dan pola
sisaan kuadrat (ARCH/GARCH) dan merupakan keluarga fungsi linier dan fungsi
non linier.
2.3 Model Black-Scholes
Berbagai perusahaan dalam mengembangkan bisnisnya melakukan transaksi
surat-surat berharga di pasar modal. Surat-surat berharga yang ditransaksikan di
pasar modal misalkan saham, obligasi dan opsi.
Opsi adalah salah satu instrumen keuangan yang memberikan hak kepada
pemegangnya untuk membeli atau menjual saham atau komoditi di masa yang
akan datang dengan kesepakatan nilai tertentu. Dalam perkembangan sebelumnya,
belum ada suatu model baku yang dikenal untuk memprediksi opsi secara berarti,
hanya dengan perasaan saja. Model Black-Scholes merupakan suatu pegangan di
awal era derivatif keuangan modern. Model ini digunakan untuk memprediksi
suatu ekuitas seperti opsi secara berarti. Ekuitas adalah kewajiban perusahaan
kepada pihak lain untuk membayar suatu nilai tertentu. Model Black-Scholes yang
diperkenalkan Fischer Black, Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat
hadiah Nobel dibidang ekonomi pada tahun 1997.
Ada beberapa asumsi yang digunakan pada model Black-Scholes (Bodie et al.,
1999), yaitu
1. Dividen saham tidak diberikan selama pemberlakuan opsi.
2. Suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan selama
pemberlakuan opsi.
3. Data mengalami perubahan setiap saat.
Dari ketiga asumsi ini, yang paling utama adalah asumsi bahwa suku bunga dan
ragam dari harga saham adalah konstan selama pemberlakuan opsi.
Proses dalam pembentukan model Black-Scholes
Data yang dikemukakan oleh model ini mengalami perubahan setiap saat.
Data sebelum dan sesudah periode tertentu akan memiliki dua faktor, yaitu
15 Faktor/efek naik-tetap n t n t n t e u 2 2
1
Faktor/efek turun n t n t n t e d 2 2
1
dengan 2
adalah ragam dari data.
t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan.
n adalah banyaknya data selama waktu t.
Misalkan dari jam 800 (awal pembukaan transaksi) s/d 1600 (akhir penutupan
transaksi) terdapat 640 data transaksi, maka rata-rata dari data transaksi yang
terkumpul setiap jam sebanyak 80 data (
80 1 640 8 n t jam/data).
Misalkan peubah L berdistribusi binomial dengan n (banyaknya data selama
waktu t) dan p (peluang peubah L akan naik-tetap dari waktu i-1 ke waktu i,
t i
0 ), maka E[L] = np dan Var[L] = np(1-p) dimana
d u d n rt p 1 n t n t n t n rt 2 2 2 4 2 2 1 n t n t r dengan
r adalah suku bunga
Didefinisikan peubah W1 = L nt
n t
16
E[W1] = E L nt
n
t
[ ]
2
= np nt
n t 2 = ) 2 1 ( 2 nt p
4 2 2 n t n t r nt
= r )t
2 2 (
Var[W1] = ( )
2
2 Var L
n t
= 42tp(1 p) 2t
Black-Scholes mendefinisikan peubah W r )tZ t
2 2 ( = 0 ln Y Yt
sehingga E[W] = r )t
2 2
( dan Var[W] = 2t, maka
t Z t r
t
Y
e
Y
( 2 )0 ^
2
(Ross, 1999) (2.7)
dengan
Y0 adalah data awal pada saat t = 0.
r adalah suku bunga
2
adalah ragam dari data.
t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan.
Z adalah peubah berdistribusi normal baku
2.4 Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE
Model terbaik yang dipilih berdasarkan nilai MSE (Mean Square Error)
terkecil. Alat ukur ini dapat menjelaskan seberapa besar penyimpangan antara
data yang digunakan dalam pemodelan ragam aktual terhadap dugaan model.
17 t -ke saat pada dugaan data adalah t -ke saat pada data adalah dengan ) ( ^ 1 2 ^ t t n t t t Y Y n Y Y MSE
2.5 Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan
Misalkan peramalan data ke-j = T+1, T+2,...,T+h, dan dinotasikan data
aktual pada saat ke-t adalah yt dan data peramalan pada saat ke-t adalah
t y .
Tingkat keakuratan hasil peramalan dapat diukur dengan MAPE (Mean Absolute
Percentage Error ), yang dirumuskan sebagai berikut:
MAPE = 100 h
h T
T
t yt t y t y / 1
MAPE dapat digunakan untuk membandingkan model dari gugus pengamatan
yang berbeda karena tidak dipengaruhi oleh n data, hal ini tidak dimiliki oleh
18
3. METODOLOGI
3.1 Data
Data diperoleh langsung dari perusahaan sekuritas Equis International, A
Reuters Company (online system). Penelitian ini menggunakan data deret waktu
harga saham harian periode tahun 2000-2004. Data diperoleh dari 5 perusahaan
yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange), yaitu: General
Motor, Minnesota Mining, Reuters Holdings, Time Warner dan Washington
Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan, yaitu: pertama,
sudah mewakili berbagai perusahaan yang bergerak di bidang bisnis jasa dan
produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif tidak stabil).
Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun, yaitu:
2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan 2000-2004.
Pengkategorian tahunan didasarkan adanya laporan keuangan perusahaan setiap
akhir tahun dan progres untuk tahun-tahun berikutnya. Ke-9 kategori periode
tahun dipilih untuk melihat perubahan data, perubahan model dan perubahan
MSE.
3.2 Metode
Metode penelitian membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pemodelan deret waktu,
pemodelan Scholes dan perbandingan model deret waktu dan model
Black-Scholes.
Tahapan pertama, pemodelan deret waktu.
1. Kestasioneran data dalam rataan dan ragam.
Data yang digunakan adalah return harga saham harian, yaitu:
1 ln
t t t
Y Y S
dengan Yt adalah data harga saham harian masing-masing perusahaan.
Kestasioneran data dapat dilihat dari plot ACF dan plot PACF yang menurun
perlahan secara geometri. Jika data tidak stasioner maka data harus
ditransformasi. Jika data yang sudah ditransformasi tadi belum stasioner maka
19 atau ordo-2 atau data dikelompokkan berdasarkan periode waktu yang
berbeda.
2. Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan rataan
a. Spesifikasi model
Spesifikasi model ARIMA didasarkan pada rekomendasi hasil analisis
terhadap plot ACF dan plot PACF.
b. Pendugaan parameter.
Pemilihan model berdasarkan parameter model yang nyata
c. Pemeriksaan diagnostik model untuk memeriksa kelayakan model, yang
memenuhi
Diagnostik sisaan
Kecocokan model
3. Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan ragam
Model ARIMA dan model ARCH-GARCH dipilih secara simultan.
4. Lakukan langkah 1 s/d 3 sehingga dihasilkan beberapa kandidat model deret
waktu, kemudian pilih satu model berdasarkan nilai Schwarz’s Bayesian information criterion (SBIC) minimum.
5. Penghitungan masing-masing nilai MSE dari model dengan menggunakan
data return harga saham harian dari suatu perusahaan untuk satu kategori
periode tahun.
6. Lakukan langkah 1 s/d 5 sehingga menghasilkan nilai MSE pada 9 kategori
periode tahun untuk 5 perusahaan. Tahapan pertama ini menghasilkan 45 nilai
MSE.
Tahapan kedua, pemodelan Black-Scholes.
1. Model return yang digunakan yaitu:
) 1 ( ) 2 2 ( ^ 1
ln
r Z t t
t y
t
y
kemudian lakukan pemilihan r = suku bunga, perhitungan nilai ragam return,
20 2. Penghitungan masing-masing nilai MSE dari model dengan menggunakan
data return harga saham harian dari suatu perusahaan untuk satu kategori
periode tahun.
3. Lakukan langkah 1 s/d 2 sehingga menghasilkan nilai MSE pada 9 kategori
periode tahun untuk 5 perusahaan. Tahapan kedua ini menghasilkan 45 nilai
MSE.
Tahapan ketiga, perbandingan model deret waktu dan model Black-Scholes.
1. Perbandingan kedua model berdasarkan box plot MSE.
21
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskriptif data
Harga saham harian dari kelima perusahaan selama tahun 2000-2004
dicatat selama 1256 hari. Data harga saham harian secara umum dari kelima
perusahaan sangat berfluktuasi dan bergerak dari batas bawah USD 9,59 sampai
[image:47.595.116.499.258.460.2]dengan batas atas USD 153,625.
Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari
lima perusahaan
Dari Gambar 1 dan Tabel 2 didapat bahwa volatilitas harga saham harian
dari beberapa perusahaan relatif tidak konstan. Data yang digunakan untuk
memperoleh model deret waktu pada Tabel 2, menggunakan data stasioner yaitu
return harga saham harian t
t t
t y
y y S ln ,
1
adalah harga saham harian (Lampiran
2). Ragam dari data harga saham harian untuk perusahaan Reuters Holdings dan
General Motor relatif tidak konstan dan kecenderungan nilai rataan menurun.
Ragam dari data harga saham harian untuk perusahaan Time Warner sebelum hari
ke-700 relatif tidak konstan dan kencenderungan nilai tengah menurun, namun
22 perusahaan Minnesota Mining dan Washington Mutual memiliki ragam yang
relatif tidak konstan dan kecenderungan nilai rataan menaik.
Dalam pembentukan model deret waktu dibutuhkan data dengan ragam
yang relatif konstan. Data return St merupakan tingkat pengembalian majemuk
(continuously compounding return) harga saham harian dan dapat menghilangkan
pengaruh satuan. Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa data return harga saham
harian dari kelima perusahaan sudah memiliki ragam yang relatif konstan
(Lampiran 2). Tingkat pengembalian majemuk harga saham harian dari kelima
[image:48.595.113.541.272.568.2]perusahaan bergerak dari batas bawah -0,27 sampai dengan batas atas 0,23.
Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari
lima perusahaan
Untuk semua kelompok pengamatan pada Tabel 1, data return St memiliki
nilai rataan yang berada dalam batas selang kepercayaan 95%, artinya tidak
berbeda dengan nol (Lampiran 2). Hal ini berarti bahwa fluktuasi data return St
Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun.
Tahun Banyak Simpangan baku Skewness Kurtosis
data GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM
2000 251 0,03 0,02 0,05 0,04 0,03 -0,10 0,78 1,02 -0,13 0,89 0,90 2,34 3,56 3,03 4,61
2001 247 0,02 0,02 0,03 0,04 0,02 -0,75 0,24 0,06 0,21 -0,65 5,20 1,09 0,44 2,33 3,35
2002 251 0,03 0,02 0,04 0,04 0,02 0,26 0,32 -1,03 -0,21 -0,07 1,51 2,40 8,47 1,65 1,86
2003 251 0,02 0,01 0,03 0,02 0,02 0,06 0,43 -0,20 -1,22 -1,11 1,47 1,11 1,40 7,57 5,67
2004 251 0,01 0,01 0,03 0,01 0,01 -0,37 -0,27 2,10 0,03 0,49 1,60 4,56 14,45 1,22 13,53
2000-2001 498 0,03 0,02 0,04 0,04 0,03 -0,38 0,61 0,83 0,00 0,35 2,52 2,14 3,64 2,78 4,50
2000-2002 749 0,03 0,02 0,04 0,04 0,02 -0,13 0,55 0,21 -0,08 0,30 2,12 2,30 5,37 2,35 4,56
2000-2003 1000 0,02 0,02 0,04 0,04 0,02 -0,15 0,55 0,13 -0,2 0,21 2,47 2,86 5,09 3,15 5,34
2000-2004 1251 0,02 0,02 0,04 0,03 0,02 -0,15 0,51 0,25 -0,24 0,24 3,05 3,27 6,06 4,28 6,40
24 Simpangan baku adalah penyebaran data terhadap rataan. Penyebaran data
return St terkecil yaitu 0,01 terdapat pada perusahaan General Motor di periode
tahun 2004, perusahaan Minnesota Mining di periode tahun 2003 dan tahun 2004,
perusahaan Time Warner di periode tahun 2004 dan perusahaan Washington
Mutual di periode tahun 2004. Oleh sebab itu, tingkat pengembalian majemuk
harga saham harian pada masing-masing perusahaan tadi relatif tidak berfluktuasi
(relatif stabil) di periode tahun yang sudah disebutkan. Penyebaran data return St
terbesar yaitu 0,05 terdapat pada perusahaan Reuters Holdings di periode tahun
2000. Hal ini berarti bahwa tingkat pengembalian majemuk harga saham harian
pada perusahaan ini relatif berfluktuasi (relatif tidak stabil) selama periode tahun
2000.
Skewness adalah suatu alat ukur ketidaksimetrian distribusi data disekitar
rataan. Nilai skewness terbesar yaitu 2,1 terdapat pada data return St perusahaan
Reuters Holdings di periode tahun 2004. Hal ini berarti bahwa data return St pada
perusahaan ini memiliki distribusi dengan ekor yang menjulur ke kanan. Jadi,
banyak data return St mengelompok di sekitar rataan dan sedikit data return St
yang menjauh dari rataan ke arah sumbu horizontal positif, hal ini akan
mengakibatkan terjadinya perbedaan pola data atau pola sisaan. Untuk nilai
skewness terkecil yaitu -1,22 terdapat pada data return St perusahaan Time
Warner di periode 2003, yang berarti data return St memiliki distribusi dengan
ekor yang menjulur ke kiri. Karena itu, banyak data return St mengelompok di
sekitar rataan dan sedikit data return St yang menjauh dari rataan ke arah sumbu
horizontal negatif. Pada periode 2000-2001, data return St perusahaan Time
Warner memiliki nilai skewness yaitu 0, yang berarti data return St memiliki
distribusi simetri.
Kurtosis adalah suatu alat ukur untuk mengetahui tingkat kepadatan
sebaran (memuncak atau mendatar). Nilai kurtosis terbesar yaitu 14,45 terdapat
pada data return St perusahaan Reuters Holding di periode tahu 2004, yang berarti
tingkat kepadatan sebarannya memuncak (lebih dari 3, berarti puncaknya relatif di
atas puncak distribusi normal). Data return St perusahaan Reuters Holding
memiliki nilai kurtosis terkecil yaitu 0,44 di periode 2001, yang berarti tingkat
25 puncak distribusi normal). Pada periode 2000, data return St perusahaan Time
Warner memiliki nilai kurtosis sebesar 3,03 yang berarti memiliki tingkat
kepadatan sebarannya mendekati puncak distribusi normal.
4.2 Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas
Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas dengan menggunakan
uji-LM (Tabel 2) dan kurtosis (Tabel 1). Uji keberadaan heteroskedasitas (Tabel
2) mula-mula menggunakan model ARIMA yang memiliki ragam sisaan yang
konstan. Jika model ARIMA menghasilkan ragam sisaan yang tidak konstan maka
pemodelan menggunakan model ARIMA-ARCH/GARCH atau Konstan-
ARCH/GARCH .
General Motor pada kategori tahun 2000, 2001, 2004 dan 2000-2001
memiliki ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 5,2 di
keempat kategori periode tahun tersebut. Minnesota Mining pada kategori tahun
2000, 2001, 2003 dan 2004 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan
kurtosis terbesar = 4,56 di keempat kategori periode tahun tersebut. Reuters
Holdings tidak memiliki ragam sisaan yang konstan (uji-LM) untuk setiap
kategori tahun dengan kurtosis > 5,2 terjadi pada kategori tahun 2002, 2004,
2002, dan 2004. Time Warner pada kategori tahun 2000, 2001,
2000-2001, 2000-2003 dan 2000-2004 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM)
dengan kurtosis terbesar = 4,28 di kelima kategori periode tahun tersebut.
Washington Mutual pada kategori tahun 2000 dan 2003 memilik ragam sisaan
yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 5,67 di kedua kategori periode
tahun tersebut.
Dengan membandingkan uji-LM dan kurtosis, didapat bahwa keberadaan
heteroskedasitas dengan kurtosis > 5,67. Jika dibandingkan dengan penelitian Yan
(2005) menyatakan bahwa kurtosis > 6 mengidentifikasikan keberadaan
Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas (Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun
Tahun Banyak
Nilai-p untuk model ARIMA
Nilai-p untuk model ARIMA-ARCH/GARCH
Nilai-p untuk model Konstan-ARCH/GARCH
data GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM
2000 251 0,81 0,68 - 0,68 0,36 - - - 0,49 - -
2001 247 0,79 0,19 - 0,19 - - - 0,51 - - 0,29 - -
2002 251 - - - 0,38 - 0,06 - - - 0,33 - 0,70 0,49
2003 251 - 0,73 - - 0,86 - - - 0,71 - 0,54 0,63 -
2004 251 0,41 0,65 - - - 0,69 - - - 0,76 - 0,97
2000-2001 498 0,22 - - 0,54 - - 0,11 - - 0,62 - - 0,71 - -
2000-2002 749 - - - 0,48 - - 0,46 0,59 - 0,62 0,84 -
2000-2003 1000 - - - 0,19 - - 0,29 - - 0,31 0,61 - 0,45 - -
2000-2004 1251 - - - 0,15 - 0,77 0,67 - - 0,36 - - 0,64 - -
27
