Bab2-grup dan semigrup

i

r

. .

Pada Bab 2 ini kita akan menambahkan beberapa aksiorpa untuk mendapatkan Sistem Aljabar yang lebih khusus, yakni Sistem Aljabar Grup.

DERNISI GRUP

Definisi

2,1

(Grup)

Misalkan G adalah suatu himpunan tidak hampa dengan sebuah operasi binar. Maka G disebut suatuGrupjika tiga aksioma berikut terpenuhi:

[GI] Hukum Asosjatif,yakni, untuk sembarang a, b, c pada G, berlaku

(ab)c

=

a(bc)

[G2] Elemen Identitas, yakni, terdapat suatu elemen e pada G sedemikian sehingga

ae=ea=a

untuk sembarang elemen a pada G

[G3] Invers, yakni, untuk masing-masing a pada G, terdapat suatu elemen a-I (invers dari a) pada G, sedemikian sehingga

Penambahan aksioma ([G2] dan [G3] mengubah Semigrup menjadi suatu Grup.

Definisi

2.2

(Grup Abel)

Suatu Gmp G dikatakanGrup AbelatauGrup Abelian,atauGrup Komutatif,

jika hukum komutatif berlaku: yakni, jika

ab=ba

Bila operasi binar dinyatakan hanya dengan blank seperti diatas, maka Grop G dikatakanGrup aditif.

Pada Gmp aditif ini, elemen identitas dinyatakan dengan 0 dan disebutelemen nol atau elemen zero.

lovers dari elemen a dinyatakan dengan -a dan disebutnegatifdari a.

Dalam hal A dan B adaJah subset dari G, kita dapat mendefmisikan 2 operasi AB, dan A+B yang kita tulis

AB

=

{ab: ae A, be B} atau A+B

=

{a+b: a e A, b e B}

Sekarang kita definisikan order dari suatu Grop, dan Grop hingga.

Definisi

2.3

Order)

Order dari Gmp G adalah banyaknya elemen Grop G, dinyatakan dengan 101.

Definisi

2.4

(Grup Hingga)

G adalah suatuGrup Hingga,jika order dari 0 hingga.

CONTOH GRUP

Contoh 2.1

Himpunan integer Z, himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C masing-masingMaIah Grop Abel di bawah operasi penjumlahan.

Contoh 2.2

Contoh

2.3

Himpunan bilangan rasional tidak nol Q\{O}membentuk Grup Abel di bawah perkalian. Oi sini bilangan rasional I adalah elemen identitas danq/padalah invers multiplikatif dari bilangan rasionalp/q.

Contoh 2.4

Pal)dang S adalah himpunan matriks n x n dengan elemen rasional, di bawah operasi perkalian matriks.

Meskipun perkalian matriks adalah asosiatif dan perkalian matriks mempunyai elemen identitas I (d~nganelemen rasional), S bukanlah suatu Grup, karena invers tidak selalu ada.

Contoh 2.5

Sementara itu himpunan G dari matriks nonsingular n x n membentuk Grup di bawah perkalian matriks.

Elemen identitasnyaadalahmatriks identitas I, dan inversdari A adalah matriks invers A-I. Ini adalah suatu eontoh dari Grup yang tidak Abel, karena perkalian matriks tidak komutatif.

Khususnya,bila n = 2 makaI =

1

0

o

1

e

b adalahAI =

d

-e/IAI

d/IAI allAI

-b/IAI dan invers dari A

=

a

PERMUTASI DAN GRUP SIMETRIS BERDERAJAT

N

Sekarang akan kuta detfnisikan Grup simetris berderajat n, yang dinyatakan dengan sn'

Definisi 2.5

Suatu pemetaansatu-satu(one-to-one)0 dari himpunan{1,2,...,n}ke dalam

dirinyasendiri,disebut

permutasi.

Permutasi seperti itu kerap kali dinyatakan dengan

dengan jj

=

O(i).

Himpunan dari permutasi seperti ini, dinyatakan dengan Sn' dan terdapat n!

=

1

·2.

...

·

n permutasi.

Komposisi dari permutasi pada Sn termasuk juga pada Sn' pemetaan identitas termasuk Sn' dan i~Yers dari permutasi pada Sn termasuk Sn pula. Karenanya Sn membentuk suatu Grup di bawah komposisi pemetaan.

Definisi

2.6

(Grup Simetris)

Grup Sn dari Koleksi semua permutasidalam S disebut

Grup Simmetris

berderajat n.

Sekarang kita menentukan elemen dan tabel perkalian dari Grup SimetrisS3'

S3 mempunyai 3!

=

6 elemen,sebagaiberikut:

123 123 123

E

=

123 _O2

=

321 _01k

=

_{2 3 1}

123 123 123

Untuk menentukankomposisisi dua Pennutasi, misalnya

123 3 2 1

1 2 3 2 3 1

dapat kita lakukan sebagai berikut

3 ~ 1 diperoleh 2--;-73

1~2

1~1 2~3 3~2

Secara lengkap, tabel perkalian dari S3 terlihat pada Gambar 2-1.

Gombar 2-1

atau diperoleh 1 2 3

1 3 2

Berarti

O201k = 01

E _{al a2 a3 f/J1 f/J2}

E I E _al a2 a3 _{01 O2}

al al E 01 O2 a2 a3

a2 a2 _O2 E ₀₁ a3 _al

a3 a3 _{01 O2} E _al a2

01 01 a3 _al a2 _O2 E

SIFAT GRUP

Sitat

2.1

Elemen identitas pada suatu Grup G adalah tunggal atau unik.

Bukti

Pandang e dan e' adalah elemen identitas pada G. Maka ee'

=

e karena e' adalah elemen identitas, dan ee'

=

e' karena e adalah elemen identitas . Karenanya

e=e'._

Sitat 2.2

Invers a-I dari a, sembarang elemen G, adalah unik.

Bukti

Misalkaninversdari a adalahb dan b'. Diperoleh

b*(a*b')

=

b*e

=

b dan (b*a)*b'

=

e*b'

=

b'

Karena G asosiatif, (b*a)*b'

=

b*(a*b'); karenanya b

=

b'._

Sitat 2.3

Hokum penghapusan kiri dan kanan terpenuhi pada G.

Bukti

Jika ab

=

ac, maka

b

= eb

= (a-Ia)b

= a-I(ab)

= a-I(ac)

= (a-1a)c

=ec

= c

Sitat 2.4

Pada Grup G berlaku bahwa (a-It'

=

a, untuk sernbarang elernen a pada G.

Buldi

Karena a-I adalah invers dari a, kita dapatkan

Karenanya a adalah invers dari a-I; yakni a

=

(a-Itl,

..

Sitat 2.5

Berlaku bahwa (abtl

=

b-Ia-I

Buldi

Di sini

(b-Ia-I)(ab)

=

b-I(a-Ia)b

=

b-Ieb

=

b-Ib

=

e

Secara yang sarna,

Karenanya, b-Ia-I adalah invers dari ab, yakni bahwa b-Ia-I

=(abt',

..

CONTOH

Contoh 2.6

Untuk mendapatkan a*b pada G, kita tentukan sisa pdari hasil kali ab dibagi dengan 7. Sebagai contoh, 5

·

6

=

30 yang menghasilkansisa 2 bila dibagi dengan 7; karenanya 5*6

=

2 pada G, Tabel perkalian dari G terlihat pada Gambar 3-2.

Dapat dicatat bahwa 1 adalah elemen identitas dari G. Kemudian ingat bahwa a-I adalah elemen dari G sedemikian sehingga aa-1

=

1. Karenanya sebagai contoh

2-1

=

4, 3-1

=

5, dan 6-1

=

6.

SUBGRUP

.--Sekarang kita defmisikan suatu Subgrup dari sebuah Grup.

Definisi

2.7

(Subgrup)

Suatu subset H dari suatu Grup G disebut sebuah Subgrup dari G, jika H sendiri membentuk sebuah Grup di bawah operasi dari G.

Teorema 2.1

Pandang H adalah sebuah subset dari sebuah Grup G. Maka H adalah sebuah Subgrup dari G jika H mempunyai tiga sifat berikut:

*

I _{I 2 3 4 5 6}

I 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

(i) Elemen identitas e tennasuk H

(ii) H tertutup di bawah operasi dari G, yakni jika a, b e H maka ab e H (Hi) H tertutup di bawah invers, yakni, jika a e H, maka a-I e H.

Bukti

H tidak hampa dan mempunyai sebuah elem~n identitas berdasarkan (i). Operasi adalah terdifinisi rapi pada H berdasarkan (ii). lovers terdapat pada H berdasarkan (Hi).Terakhir, hokum asosiatif berlaku pada H karena ia berlaku pada G. Karenanya H adalah sebuah SubgriJp dari G.

CONTOH SUBGRUP

Contoh. 2.7

Kita bicarakan Grup Z dari integer, di bawah penjumlahan.Misalkan H adalah subset dari Z berisi semua kelipatan dari integer positif m; yakni H

=

{

...,-3m,-2m. -m, 0, m, 2m, 3m, ... }. Kita tunjukkan bahwa H adaJah sebuah Subgrup dari Z.

(i) (ii)

H mengandung elemen identitas 0 dari Z.

Jika rIDdan sm adalah sembarang elemen dari H, maka jumlah rID + sm

=

(r+s) m adalah juga sebuah elemen dari H.

(iii) Jika rm adalah sembarang elemen dari H, maka negatifnya -rID juga

tennasuk H. .

GRUP

SIKLIK

Misalkan G adalah sembarang Grup dan misalkan a adal3h sembarang elemen dari G. Sekarang kita defmisikan Grup Siklik yang dibangun oleha, yang dinyatakan dengan gp(a).

Sebagaimana biasa, kita mendefmisikan 30

=

e dan an+ I

=

an

·

a.Jelas,am. an

gp(a)

=

{..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}

Karenanya gp(a) mengandung e, tertutup di bawah .operasi Grup, dan mengandung invers. !(arena itu, gp(a) adalah sebuah Subgrup dari G.

Definisi

2.8

(Subgrup Siklik)

Subgrup dari G,

gp(a)

=

{..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}

disebut Grup Siklik yang dibangun oleh a.

Misalkan a adalah sembarang elemen pada sebuah Grup G. Sekarang kita akan menyatakan Grup Siklik gp(a), bila gp(a) hingga, dan akan mendefinisikan order dari a.

Jika gp(a) hingga, maka beberapa pangkat dari a adaIah sarna, katakanlah ar

=

as, dengan r > s. Berarti ar-s

=

e dengan r-s > O.

Definisi

2.9

(Order Grup Siklik)

Integer positif terkecil IIi, sedemikian sehingga

disebut order dari a, dan dinyatakan dengan Ia!.

Jika Ia!

=

m, maka Subgrup Sikliknya gp(a) mempunyai m elemen, yakni:

gp(a)

=

fe, a, a2. a3, ..., am-I}

CONTOH

GRUP SIKLIK

Contoh 2.8

Kita bicarakan Grup Abel G modulo 7 dari Contoh yang lalu. Akan kita tentukan order dan Subgrup yang dibangun oleh 2 dan 3.

Kita peroleh 21

=

2

22

=

4

tetapi 23

=

1

Karenanya 121

=

3, dan gp(2) = {l,2,4}.

Kita peroleh 31

=

3

32

=

2 33

=

6

34

=

4

3s

=

5 36

=

1

Karenanya 131

=

6 dan gp(3)

=

G.

Jelas bahwa G ada1ah Siklik 1carena G

=

gp(3).

KOSET

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Deflnlsl 2.10 (Koset)

Ha

=

{ha: h e H}

disebutKoset Kanan dari H. Analog dengan itu,

aH

=

{ah: h e H}

disebutKoset Kiri dari H..

Teorema

2.29.2

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Koleksi Koset kanan Ha membentuk sebuah partisi dari G.

Bulct/

.

Karena e e H, rnaka a

=

ea e Ha; karenanya setiap e1ementennasuk suatu Koset, yakni, a e Ha.

Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. Katakanlah c e Ha e Hb. Bukti kita adalah lengkap dengan menunjukkan bahwa Ha

=

Hb.

Karena c tennasuk kedua Ha dan Hb, kita peroleh

dengan hI'

~

e H

Karenanya

dan karenanya

x

=

h3a

=

h3h1-1~b

dengan h3 e H

Karena H adalah sebuah Subgrup, maka

karena itu x e Hb.

Karena x adalah sembarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalah subset Hb. Seciu'ayang sarna, kita peroleh Hb subset Ha.

Hal ini berakibat Ha

=

Hb, dan teorematerbukti..

Sebelum membuktikan teorema Lagrange berikut, kita perhatikan teorema bantu berikut ini:

Teorema Bantu 2.1

Misal H adalah sebuah Subgrup hingga dari G. Akan temyata bahwa H dan sembarang Koset Ha mempunyai jum1ah elemen berbeda yang sarna. Perhatikan, misalkan

dengan H mempunyai k elemen. Karenanya

Karena di sini ~a

= ~a berakibat~ = ~;

maka pada Ha juga terdapat k elemen yang berbeda.

Teorema

2.39.3.

(Lagrange)

Buldi

Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s Koset 1cananyang beIbeda. Dari teorema 9.2, Koset mempartisi G, dan dari teoremabantn di atas, masing-masing Koset mempunyai r elemen. Karenanya G mempunyai rs elemen, dan karenan itu order dari H membagi order dari G'"

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Kita akan

mendefinisikanindeksdari H pada G, dinyatakandengan[G:8].

Definisi

2.11

(Indeks)

Indeks dari H pada G adalah sarna dengan banyaknya Koset 1canan (atau kiri)

dari H pada G. Jika G dan H adalah hingga, maka [G:8]

=

101/181.

Misalkan H adalah a Subgrop dari suatu Grop G. Kita akan mendefinisikan suatu 5istem penyaji-Koset untuk

a

pada G.

Definisi

2.12

(Penysj/-Koset)

Suatu subset C dari G adalah suatu sistem penyaji-Koset dari H, jib C mengandung tepat satu elemen dari masing-masing Koset Masing-masing e1emen serupa itu disebut penyaji-Koset.

Banyaknya elemen pada C atau, dengan kata lain, banyaknya penyaji-Koset, adalah sarna dengan [G:8], indeks dari H pada G.

MisalkanH adalah Subgropdari suatuGmp hinggaG. Tedapat 181cara memilih suatu elemen dari sembarangKoset,dan terdapat [G:8] Koset yang berbeda. Karena itu terdapat IHI[G:H]sistem penyaji-Koset untuIc:Koset dari H.

CONTOH KOSET

Contoh 2.9

Dibicarakan Grop Z dari integer, di bawah penjumlahan dan Subgrop H

=

{...,

Terdapat lima Koset (kiri) yang berbeda dari H pada Z, sebagai berikut O+H

=

H

=

{..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

l+H

=

{..., -9, -4, 1,6, 11, ...}

2+H

=

{..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}

l+-H

=

{..., -7, -2, 3, 8, 13, ...} 4+H = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

Koset yang lain n+H akan sarna dengan salah satu Koset dia atas

Meskipun Z dan H keduanya adalah tak hingga, indeks dari H pada Z adalah hingga. Di sini [Z:H]

=

5, yang merupakan juga banyaknya Koset.

Sekarang kita akan menentukan Suatu sistem penyaji-Koset untuk Subgrup H dari Z di atas. Sistem penyaji- Koset tersebut di antaranya adalah

{0,1,2,3,4} atau {-1,0,1,2,3}.

Sebagai catatan, kita biasanya memilih integer nonnegatifterkecil, atau integer terkecil sebagai penyaji-Koset untuk suatu Subgrup H dari Z. Secara umum, kita memilih elemen identitas untuk penyaji dari H.

Contoh 2.10

Pandang Grup Simetrik S3 yang lalu. Kita akan menentukan order dari 3 tersebut, dan Subgrup yang dibangun oleh masing-masing elemen S3'

e 1

=

e, karenanyaIeI = I dan gp(e) = {e} · ~ll = e 1

~ 2 - _{e .}

5ecara yang sarna

1021

=

2, gP(02)

=

{02' e }; dan

1031

=

2, gp(e 3)

=

{0:3,e }. Kib peroleh

Karenanya 1011

=

3 dan gp(01)

=

{e, 01, O2}.

Juga, 012 = O2

0l

= 01

023 = 01802 = e

Di sini 53 adalah tidak 5iklik, karena 53 tidak dibangun oleh sembarang elemennya.

Kita akan menentukan suatu 5ubgrup H herorder empat untuk Grup 5imetrik

Order dari 53 adalah 6. Dari teorema Lagrange, order dari H haruslah membagi order dari 53. Karenanya tidak terdapat suatu 5ubgrup herorder 4.

Contoh

2.11

DibicarakanGmp 5imetrik 53padaGarnbar2.1.MisalkanA

=

{OI'~} dan

B

=

{01'02}. Tentukan

(a) Kalikan masing-masing elemen dari A dengan masing-masing elemen dari B:

=~

= ~ =

020.

=

3,

=

0.

(b) Kalikan 03 dengan masing-masing elemen dari A~

030.

= 0.

0302 ;: O2

(c) Kalikan masing-masin~ elemen dari A dengan 03:

0.03

=

O2

~03 =.0.

Contoh 2.12

DibicarakanSubgmpH

=

gp(o.)dan K

=

gp(02)dari S3 pada Gambar 2.1. Di sini HK bukan suatu Subgrup dari S3'

Contoh 2.13

Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa HH

=

H.

Karena H adalah Tertutup di bawah o~rasi dari-a,kita mempunyai HH C H. Pada lain pihak, pandang h E H..Karena H adalah suatu Subgrup, elemen identitas

e termasukH. Karenanyaeh

=

h

E

HH, dan karenanyaH C HH. Keduahal ini

mengakibatkan HH

=

H.

Contoh 2.14

Satu-satunya Subgrup dari Grup Siklik berorder p, dengan p prima adalah {E }, berdasarkan teorema Lagrange.

Contoh 2.15

Kita akan menentukan suatu subset S dari Grup Z dari integer di bawah penjumlahan, sedemikian sehingga S + S "*S, dan a ~ a + S untuk beberapa elemen a E Z.

Misalkan S

=

{1,2,3,...}.Maka S + S

=

{2,3,4,...}"*S, dan 2 + S

=

{3,4,S,u.} tidak mengandung 2.

Contoh 2.16

Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa Ha

=

Hb jika dan hanya jika ab-l E H.

Jika Ha

=

Hb, maka a E Ha

=

Hb. Karenanya terdapat h E H sedemikian

sehingga a

=

hb, dan ab-l

=

h termasuk H. Ada lain pihak, pandang h

=

ab-l E H.

Maka a

=

hbE Hb. Tetapi a E Ha. Karena itu Ha

=

Hb, sebab Koset membentuk

Contoh

2.17

Misalkan G ad~ah suatu Grup Hingga berorder n. Tunjukkan bah~a ~

=

e

untuk sembarang a

e

G.

Jika 19p(a)1

=

In, maka am

=

e. Dari teorema Lagrange, m membagi n; katakanlah,