SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL
DATA
ENVELOPMENT ANALYSIS
2-TAHAP
TESIS
Oleh
SHEILA EKA PUTRI S 117021031/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL
DATA
ENVELOPMENT ANALYSIS
2-TAHAP
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SHEILA EKA PUTRI S 117021031/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
Judul Tesis : SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA
ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
Nama Mahasiswa : Sheila Eka Putri S.
Nomor Pokok : 117021031
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si ) (Dr. Marwan Ramli, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan,
Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si 2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Dr. Yulita Molliq, M.Sc
PERNYATAAN
SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA
ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
T E S I S
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister disuatu perguruan tinggi dan sepanjang sepengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Juni 2013
Penulis,
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis(DEA) merupakan suatu metodologi yang didasarkan pada program linier yang digunakan untuk menentukan nilai efisiensi kinerja re-latif suatu Decision Making Unit (DMU). Penelitian ini menyelidiki model DEA 2-tahap dalam menentukan nilai efisiensi baru yang selanjutnya disebut sebagai super efisiensi model DEA. Penelitian dilakukan dengan mengembangkan model Banker, Charnes dan Cooper (BCC) dan Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) terhadap model DEA 2-tahap didasarkan pada orientasi input dan output data. Hasil penelitian ini diperoleh dua solusi utama, yaitu super efisiensi pada suatu data dengan memperhatikan orientasiinputdan outputpada model DEA dan pe-ngurutan (ranking) DMU didasarkan pada masing-masing nilai super efisiensi-nya.
Kata kunci: Data Envelopment Analysis (DEA), Program linier,Decision Ma-king Unit (DMU), Super efisiensi, Pengurutan
ABSTRACT
Data Envelopment Analysis (DEA) is a methodology based on linear program-ming that used to measure the relative performances efficiency score of Decision Making Unit (DMU). This research determined the 2-stage DEA model analysis in obtain new efficiency score, called super efficiency DEA model. The results of the research is obtained by developing Banker, Charnes and Cooper (BCC) and Charnes, Cooper and Rhodes (CCR) model into 2-stage DEA model based on input-output oriented data. The results obtained by the two major solutions, super efficiency in data by considering input output oriented in DEA model and DMU ranking based on each its super efficiency value.
KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kepada Allah yang Maha Pengasih La-gi Penyayang atas segala Rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis sesuai dengan waktu yang telah dialokasikan. Tesis ini berjudul ”Super Efisiensi dengan Model Data En-velopment Analysis 2-Tahap”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K)selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Univer-sitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkangselaku ketua Program Studi Magister Mate-matika di Fakultas MateMate-matika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Suma-tera Utara yang telah penuh memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis hingga penulisan tesis ini telah diselesaikan.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku sekretaris Program Studi Magister Mate-matika di Fakultas MateMate-matika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumate-ra UtaSumate-ra yang telah banyak memberikan motivasi belajar selama masa perkuliahan serta selaku anggota komisi pembanding yang telah memberikan masukan dalam perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku ketua komisi pembimbing yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Yulita Molliq, M.Sc sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Seluruh staf pengajardi Program Studi Magister Matematika Universitas Su-matera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumate-ra UtaSumate-ra.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih dan sayang yang men-dalam kepada orang tua penulis,(Alm.) Ir. Moch. Sjofian S. dan Sri Wita Siregar, S.Hdan kedua adik penulis,Nadhira Dwi SabrinadanAzzahra Tri Najla serta keluarga penulis atas dukungan selama menjalani pendidikan,Affan Harifsyah Siregar, S.E(Ak) dan Hardy Alamsyah Siregar, S.H.
Ucapan terimakasih juga kepada teman dan kolega penulis, Cut Latifah, M.Si,Ayril, Yurida Atmaja Parasari, dan Yazeni Diana Putri, S.Si atas doa, dukungan dan semangat kepada penulis selama penulisan tesis ini. Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun demikian penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya. Sekian dan terimakasih.
Medan, Juni 2013
Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Sheila Eka Putri S. dilahirkan di Bandung pada tanggal 1 Agustus 1989 merupakan anak pertama dari 3 bersaudara dari Ayah (Alm.) Ir. Moch. Sjofi-an S. dSjofi-an Ibu Sri Wita Siregar, S.H. MenamatkSjofi-an Sekolah Dasar (SD) Swasta Assalaam Bandung pada tahun 2001, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 11 di Bandung pada tahun 2004 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 3 di Medan jurusan IPA pada tahun 2007. Pada tahun 2007 memasuki Perguru-an Tinggi jenjPerguru-ang Strata-1 jurusPerguru-an Matematika Fakultas Matematika dPerguru-an Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada tahun 2011. Kemudian tahun 2011 penulis melanjutkan pen-didikan di Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR SIMBOL x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
2.1 Model Dasar DEA 4
2.1.1 Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) 5
2.1.2 Model Banker, Charnes dan Cooper (BCC) 10
2.2 Super Efisiensi 13
2.2.1 Orientasiinput (’io’) 16
2.2.2 Orientasioutput (’oo’) 17
3.2 Model BCC dengan model DEA 2-tahap 21
3.2.1 Model BCC orientasi input dan output 22
3.3 Komputasi dan Hasil Perhitungan 23
3.3.1 Uji data 1 24
3.3.2 Uji data 2 28
BAB 4 KESIMPULAN 30
4.1 Kesimpulan 30
4.2 Saran 30
4.3 Riset Lanjutan 30
DAFTAR PUSTAKA 32
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
2.1 Kelebihan dalam model DEA 5
2.2 Kekurangan dalam model DEA 5
3.1 Uji data 1 24
3.2 Nilai super efisiensi dengan model Xu dan Ban (2012) 25
3.3 Hasil penaksiran nilai super efisiensi untuk model CCR 27
3.4 Perbandingan nilai super efisiensi Xu dan Ban (2012) dan Sheila
(2013) 28
DAFTAR SIMBOL
Simbol Definisi
Ej efisiensi tiap DMUj, j = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n total jumlah DMU hingga ke-n
xij masukan tiap DMUj dengan i= 1, . . . , m
xik masukan ke-iuntuk DMU ke-k yang dievaluasi,j 6=k
yrj keluaran tiap DMUj dengan r = 1, . . . , s
yrk keluaran ke-i untuk DMU ke-k yang dievaluasi, j 6=k
θ∗
k nilai super efisiensi untuk DMU ke-k yang dievaluasi untuk
model CCR, j 6=k
β∗
k nilai super efisiensi untuk DMU ke-k yang dievaluasi untuk
model BCC, j 6=k
λj bobot atau nilai tiap DMUj
BCC Banker, Charnes and Cooper
CCR Charnes, Cooper and Rhodes
CRS Constant Returns to Scale
DEA Data Envelopment Analysis
DMU Decision Making Unit
VRS Variable Returns to Scale
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis(DEA) merupakan suatu metodologi yang didasarkan pada program linier yang digunakan untuk menentukan nilai efisiensi kinerja re-latif suatu Decision Making Unit (DMU). Penelitian ini menyelidiki model DEA 2-tahap dalam menentukan nilai efisiensi baru yang selanjutnya disebut sebagai super efisiensi model DEA. Penelitian dilakukan dengan mengembangkan model Banker, Charnes dan Cooper (BCC) dan Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) terhadap model DEA 2-tahap didasarkan pada orientasi input dan output data. Hasil penelitian ini diperoleh dua solusi utama, yaitu super efisiensi pada suatu data dengan memperhatikan orientasiinputdan outputpada model DEA dan pe-ngurutan (ranking) DMU didasarkan pada masing-masing nilai super efisiensi-nya.
ABSTRACT
Data Envelopment Analysis (DEA) is a methodology based on linear program-ming that used to measure the relative performances efficiency score of Decision Making Unit (DMU). This research determined the 2-stage DEA model analysis in obtain new efficiency score, called super efficiency DEA model. The results of the research is obtained by developing Banker, Charnes and Cooper (BCC) and Charnes, Cooper and Rhodes (CCR) model into 2-stage DEA model based on input-output oriented data. The results obtained by the two major solutions, super efficiency in data by considering input output oriented in DEA model and DMU ranking based on each its super efficiency value.
Keywords: Data Envelopment Analysis (DEA), Linear programming,Decision Making Unit (DMU), Super efficiency, Ranking
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu model yang digunakan untuk menaksir suatu batasan dalam mengevaluasi kinerja atau efisiensi seluruh entitas data yang diuji. Model DEA pertama kali dikaji oleh Charnes et al. (1978) yang dikenal sebagai model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) dan selanjutnya dikembangkan oleh Banker et al. (1984) yang dikenal sebagai model Banker, Charnes dan Cooper (BCC).
Secara garis besar, model DEA dapat dinyatakan ke dalam dua bentuk umum, yaitu bentuk program linier dan bentuk analisis regresi. Model DEA menggunakan metode program linier dimana nilai bobot sebagai variabel kepu-tusan yang menghasilkan nilai efisiensi tiapDecision Making Unit (DMU) sebagai solusi dari model DEA (lihat Seiford dan Thrall, 1990; Lovell, 1994; Cooper et al, 2000; Thanassoulis, 2001). Menurut Charnes et al. (1978), DEA merupakan model analisis multi-faktor produktivitas yang digunakan untuk menaksir nilai efi-siensi relatif pada suatu himpunan Decision Making Unit (DMU) homogen yang dinyatakan dengan
Efisiensi = jumlah bobot keluaran
jumlah bobot masukan ×100%
2
Riset terdahulu mengenai model DEA 2-tahap telah dikaji sebelumnya dalam beberapa aplikasi. Banker dan Watarajan (2008) mengembangkan model DEA 2-tahap menggunakan bentuk analisis regresi linier yaitu simulasi Monte-Carlo dalam menentukan estimator 2-DEA terhadap konteks variabel tertentu dengan adanya kendala yang pasti pada vektor input dalam model.
Simar dan Wilson (2011) mengembangkan metodemaximum likelihood da-lam menentukan regresi 2-tahap terhadap model DEA dengan hasil yang diperoleh merupakan DEA estimator untuk model DEA 2-tahap. Hoff (2007), McDonald (2009) dan Ramalho et al. (2010) mengkaji spesifikasi log-linier dari hasil esti-masi teknikOrdinary Least Squares(OLS) atau regresi tobit untuk regresi 2-tahap tanpa memperhatikan hasil estimasi DEA 1-tahap.
Lotfi et al. (2012) juga memberikan pandangan bahwa DEA merupakan alat bantu nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis nilai efisiensi didasarkan pada perbandingan antara jumlah bobot input dan bobot output dengan mem-perhatikan taksiran dari segi kualitatif dan kuantitatif, sedemikian hingga nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1. Model DEA menggunakan fungsi batasan (fron-tier) dalam penaksiran nilai efisiensi, sehingga diperoleh suatu himpunan yang terdiri atas unit nilai efisiensi dan nilai inefisiensi yang menunjukkan masing-masing efisiensi DMU.
Riset ini difokuskan pada analisis terhadap pengembangan model CCR dan BCC terhadap model DEA 2-tahap dalam menentukan dan meningkatkan nilai efisiensi dengan memperhatikan orientasiinput danoutput pada data. Hasil yang diperoleh dari model DEA 2-tahap selanjutnya disebut super efisiensi yang kemu-dian dapat digunakan dalam pengurutan (ranking) DMU didasarkan pada nilai masing-masing super efisiensi.
Penulisan tesis ini disusun sebagai berikut: Bab I menjelaskan latar belakang dan masalah yang dikaji dalam penelitian ini. Bab II menjelaskan kajian teori dan riset-riset terdahulu yang berkaitan dengan riset. Bab III mengembangkan model DEA 2-tahap dalam menentukan super efisiensi berdasarkan orientasiinput dan output disertai dengan hasil perhitungan secara komputasi pada suatu data tertentu. Bab IV memberikan kesimpulan dan saran dari hasil riset tesis untuk riset selanjutnya yang mungkin dapat dikembangkan.
3
1.2 Perumusan Masalah
Penelitian ini dilakukan dengan mengembangkan model CCR dan BCC de-ngan model DEA 2-tahap. Pengembade-ngan model yang dihasilkan memperhatikan orientasi input dan output tiap DMU, sehingga diperoleh penaksiran nilai super efisiensi dan pengurutan (ranking) DMU.
1.3 Tujuan Penelitian
Salah satu pengembangan model DEA 2-tahap untuk penaksiran nilai super efisiensi telah dilakukan sebelumnya oleh Xu dan Ban (2012). Kekurangan dari model ini adalah model yang dikembangkan hanya untuk model CCR. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan model CCR dan BCC dengan model DEA 2-tahap dengan memperhatikan orientasi input dan output tiap DMU.
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Istilah-istilah baku pada Data Envelopment Analysis(DEA) dalam penelitian ini bersumber pada Cooper et al. (2006). DEA didasarkan pada proses ”menelu-suri” dengan tujuan diperoleh suatu batasan yang digunakan untuk mengevaluasi seluruh entitas kinerja atau performa yang ada. Selanjutnya terdapat Decision Making Unit(DMU) untuk masing-masing entitas yang dievaluasi sebagai bagian dari suatu himpunan dengan tujuan diperoleh jumlah keluaran yang berbanding sama dengan jumlah masukan. Hasil evaluasi berkisar antara 0 dan 1 dimana ni-lai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.
2.1 Model Dasar DEA
Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu model analisis multi faktor produktivitas untuk mengevaluasi efisiensi relatif pada suatu himpunan homogen Decision Making Unit (DMUs), yang juga merupakan alat bantu yang digunakan untuk mengevaluasi dan meningkatkan kinerja atau mutu pelayanan suatu perusahaan (Charnes et al. 1994) yang dinyatakan dengan
Efisiensi = jumlah bobot keluaran
jumlah bobot masukan ×100%
Cooper et al. (2006) menambahkan bahwa DEA merupakan suatu model yang digunakan untuk menaksir suatu ”batasan” yang digunakan dalam mengevaluasi kinerja pada seluruh entitas yang dievaluasi oleh model. Hasil evaluasi berki-sar antara 0 dan 1 dimana nilai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.
5
Pada Tabel 2.1 di bawah ini dijelaskan beberapa kelebihan dalam model DEA yang menjadi faktor utama digunakan dalam menaksir nilai efisiensi.
Tabel 2.1 Kelebihan dalam model DEA No Kelebihan dalam model DEA
1. Dapat menganalisis data dengan jumlah input dan output ganda. 2. Dapat menganalisis data dengan input dan output yang
mempu-nyai unit ukuran yang berbeda.
3. Merupakan metode nonparametrik yang tidak memerlukan suatu bentuk fungsional dalam menaksir efisiensi.
4. Dapat menaksir nilai efisiensi dan inefisiensi dari input dan output. 5. Dapat diselesaikan menggunakan teknik benchmarking untuk unit
efisiensi sebagai pembanding dalam mengevaluasi unit inefisiensi. 6. Dapat digunakan dalam penaksiran produktivitas dengan adanya
analisis efisinesi.
Sumber: Berg (2010)
dan juga beberapa kekurangan yang menjadi batasan penggunaan model DEA antara lain:
Tabel 2.2 Kekurangan dalam model DEA No Kekurangan dalam model DEA
1. Analisis yang digunakan dalam program linier untuk semua DMU yang diuji membutuhkan waktu yang lama.
2. Hasil penaksiran hanya berupa efisiensi relatif, bukan merupakan efisiensi mutlak atau efisiensi maksimum.
3. Penyajian analisis yang rumit menggunakan hipotesis secara statis-tik sebagai suatu metode nonparametrik.
Sumber: Berg (2010)
2.1.1 Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR)
berturut-6
Ambil u dan v sebagai bobot input dan output, berturut-turut. Untuk masing-masing DMU, mempunyai bobot input dan output yang dinyatakan sebagai beri-kut.
input =v1x1k+· · ·+vmxmk
output =u1y1k+· · ·+usxsk
(2.1)
dan nilai efisiensi dapat ditentukan dengan
efisiensi = jumlah output
Variabel keputusan pada model dasar ini adalah jumlah bobot yang diperoleh dari program linier untuk tiap DMU yang dievaluasi. Asumsikan terdapat DMUj, j = 1, . . . , n. Untuk DMUk yang dievaluasi, program linier dapat dinyatakan ke
dimana vrk dan uik merupakan variabel keputusan dan Ek adalah nilai efisiensi untuk DMUk. Model dasar ini selanjutnya diubah ke dalam program linier
de-ngan objektif merupakan suatu objektif linier sederhana yang dinyatakan sebagai berikut.
7
Cooper et al. (2006) memberikan pendapat mengenai model CCR dengan asumsi terdapat n DMU (j = 1, . . . , n) dengan m masukan dan s keluaran untuk tiap DMUj pada indeks (x1j, x2j. . . , xmj) dan (y1j, y2j. . . , ysj), berturut-turut.
Data masukan matriks X dan data keluaran matriks Y dapat direpresentasikan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.
X=
dengan X merupakan matriks hasil perkalian (m × n) dan Y adalah matriks hasil perkalian (s×n). Untuk setiap DMUj yang diuji, dapat diselesaikan dengan
8
Selanjutnya, model diubah menjadi suatu program linier (LPk) yang dapat di-modelkan sebagai berikut.
max
µ,υ θ =µ1y1k+· · ·+µsysk
Kendalav1x1k+· · ·+vmxmk= 1
µ1y1j +· · ·+µsysj ≤v1x1j +· · ·+vmxmj(j = 1, . . . , n)
v1, v2, . . . , vm≥0
µ1, µ2, . . . , µs≥0
(2.7)
Teorema 2.1.1 Program linier sederhana (F Pk) adalah ekuivalen dengan pro-gram linier (LPk).
Bukti (berdasarkan Cooper et al. 2006) Asumsikan untuk setiapv 6= 0 danX >
0, maka penyebut dari bentuk pembagian F Pk adalah positif untuk setiap j dan hasil perkalian adalah suatu bilangan yang tidak sama dengan 0. Ambil penyebut padaF Pkadalah 1 dan suatu solusi optimalLPk yaitu (v =v∗, µ=µ∗) dengan
ni-lai objektif optimalθ∗. Solusi (v =v∗, µ =µ∗) juga merupakan solusi optimal dari F Pk. Terbukti bahwaF Pk danLPk mempunyai nilai objektif optimal yang sama,
θ∗.
Teorema 2.1.2 (berdasarkan Cooper et al. 2006) Nilai optimal dari maxθ =θ∗
pada persamaan (2.6)-(2.7) adalah nilai yang saling bebas pada unit input dan output yang diperoleh untuk masing-masing DMU yang dievaluasi.
Dari teorema 1 dan teorema 2, Cooper et al. (2006) memberikan pandangan mengenai definisi efisiensi-CCR sebagai berikut.
Definisi 1 (Efisiensi-CCR)
1. DMUk merupakan efisiensi-CCR jika θ∗ = 1 dan terdapat sedikitnya satu
nilai optimal (v∗, u∗) dengan v∗ >0 dan u∗ >0.
2. Dan sebaliknya, DMUk merupakan inefisiensi-CCR.
9
Coelli et al. (2005) memberikan pandangan mengenai model CCR dengan definisi dari beberapa notasi berikut. Asumsikan terdapat data dengan N ma-sukan dan M keluaran untuk masing-masing I fasilitas dimana tiap fasilitas ke-i
direpresentasikan oleh vektor kolom xi dan qi. Matriks masukan N ×I, X, dan matriks keluaranM×I,Q, menunjukkan data seluruhI fasilitas yang ada dimana tiap fasilitas dapat ditentukan perbandingan antara seluruh jumlah masukan dan keluaran, yaitu u′qi/v′xi. Bobot optimal diperoleh dengan menggunakan
per-soalan pemrograman secara matematika sebagai berikut.
max
Model ini digunakan untuk menentukan nilai u dan v, dimana penaksiran nilai efisiensi untuk fasilitas ke-iadalah memaksimumkan, sehingga kendala untuk selu-ruh penaksiran nilai efisiensi adalah lebih kecil atau sama dengan 1 yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
dimana model ini merupakan model DEA dalam pemrograman linier yang selan-jutnya disebut sebagai bentuk pengali. Gunakan dualitas dalam pemrograman linier, sehingga diperoleh bentuk model DEA sebagai berikut.
min
10
Model CCR merupakan model yang didasarkan pada konsep Constant Re-turns to Scale(CRS) dimana efisiensi diperoleh dari hasil penaksiran perbanding-an perbanding-antara masukperbanding-an dperbanding-an keluarperbanding-an tperbanding-anpa adperbanding-anya bobot yperbanding-ang ditentukperbanding-an dalam model. Pada model terdapat matriks positif masukan dan keluaran (xj, yj)(j = 1, . . . , n) padan DMU. Andaikanxij, i= 1, . . . , m dan yrj, r = 1, . . . , s berturut-turut menyatakan masukan ke-idan keluaran ke-r pada DMU ke-k. Model DEA untuk penaksiran efisiensi relatif pada DMUj dengan asumsi Constant Returns to
Scale (CRS) pada model CCR sebagai berikut
[Model Primal] max
2.1.2 Model Banker, Charnes dan Cooper (BCC)
Model BCC merupakan model yang dikembangkan oleh Banker et al. (1984). Model ini diformulasikan didasarkan pada hasil modifikasi model CCR yang me-naksir suatu batasan pada convex hull tiap DMU yang dievaluasi. Banker et al. (1984) telah mengembangkan model BCC dengan adanya himpunan hasil perkalian PB yang didefinisikan dengan
PB ={(x, y)|x≥Xλ, y ≤Y λ, eλ= 1, λ≥0} (2.11)
dimanaX = (xj)∈Rm×n dan Y = (yj)∈Rs×n merupakan suatu himpunan data
yang diberikan,λ ∈Rn dan e adalah baris vektor dengan seluruh elemen adalah
11
sama dengan 1. Dengan kata lain, model BCC merupakan model dual dari model dasar DEA yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
Min θk
Perbedaan antara kedua model tersebut hanya pada beberapa bentuk persamaan linier. Asumsikan terdapat suatu DMUj(j = 1, . . . , n), sehingga dapat
disele-saikan dengan program linier sebagai berikut.
(BCCk) min
dengan θB merupakan suatu skalar (Cooper et al., 2006).
Yun et al. (2003) mengemukakan pendapatnya mengenai model BCC di-dasarkan pada perluasan dari model CCR yang telah dibahas pada bagian 2.1.1 mengenai model CCR, sehingga model BCC yang diperoleh sebagai berikut.
12
Model BCC mempunyai variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n. Sehingga diperoleh suatu himpunan khusus bobot tiap DMU untuk masing-masinginputdan output. Dari pengkajian model CCR pada bagian 2.1.1 dan model BCC pada bagian 2.1.2, diperoleh ke-simpulan bahwa model CCR merupakan model DEA yang menggunakan prinsip Constrant Returns to Scale (CRS) dan model BCC adalah model DEA dengan prinsip Variable Returns to Scale(VRS).
Model BCC merupakan model yang didasarkan pada konsep Variable Re-turns to Scale (VRS) dimana model menggunakan variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n sehingga diper-lukan nilai bobot pada masing-masing DMU. Andaikan terdapat n DMU di-mana masing-masing DMUj, j = 1, . . . , n mempunyai masukan xij(i= 1, . . . , m)
dan menghasilkan keluaran yrj(r = 1, . . . , s). Nilai efisiensi pada DMUk, k ∈
{1, . . . , n}secara khusus dapat dievaluasi dengan model BCC dengan asumsi Vari-able Returns to Scale (VRS) sebagai berikut.
13
2.2 Super Efisiensi
DEA digunakan untuk mengidentifikasi titik batasan sehingga diperoleh nilai efisiensi 0≤E ≤1 untuk setiapn DMUs. Nilai ini diperoleh dengan melakukan perbandingan antara nilai masing-masing DMU dengan nilai efisiensi DMUs se-cara keseluruhan. Lotfi et al. (2012) memberikan pandangan bahwa DEA meru-pakan alat bantu nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis nilai efisien-si didasarkan pada perbandingan antara jumlah bobot input dan bobot output dengan memperhatikan taksiran dari segi kualitatif dan kuantitatif, sedemikian hingga nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1. Model DEA juga digunakan sebagai fungsi batasan (frontier) dalam penaksiran nilai efisiensi, sehingga diperoleh suatu himpunan yang terdiri atas unit nilai efisiensi dan nilai inefisiensi. Nilai efisiensi yang diperoleh mengalami proses eliminasi data pada DMUk yang dievaluasi dari
himpunan solusi. Untuk masukan pada model ini diperoleh nilai efisiensi sesuai DMUk yang selanjutnya digunakan dalam menentukan urutan DMUs. Ini
ber-akibat terdapat beberapa DMU yang tidak digunakan didasarkan pada efisiensi DMUs (Cooper et al. 2006).
Super efisiensi pada model DEA digunakan dalam persoalan pengurutan ki-nerja tiap DMUs, dimana nilai super efisiensi dapat diperoleh dengan penggunaan ketentuan CRS atau VRS. Lovell dan Rouse (2003) memberikan pandangan bah-wa formula dari super efisiensi adalah suatu kolom yang menjadi bagian dari suatu matriks program linier DEA yang berkaitan dengan DMU dalam suatu penelitian, sehingga diperoleh super efisiensi pada masing-masing DMU. Hasil yang diperoleh merupakan suatu program linier yang layak dengan nilai super efisiensi yang lebih besar dari 100%, dimana Lovell dan Rouse (2003) menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut. Definisikan bahwa terdapat keluaran (y1, . . . , ys) dan masukan
(x1, . . . , xm) untuk DMUs j = 1, . . . , n. Y merupakan suatu matriks keluaran
s ×(n −1), X adalah suatu matriks masukan m×(m −1) dan λ merupakan suatu (n −1)-vektor dimensional pada variabel intensitas di DMUs, j dengan
j 6= k. Untuk variabel yk dan xk masing-masing menyatakan vektor keluaran dan masukan untuk DMUk yang dievaluasi, danλk merupakan variabel intensitas
untuk DMUk. Asumsikan bahwa masukan dan keluaran adalah suatu bilangan
14
setiap DMU. Maka model dapat dinyatakan sebagai berikut.
min θk
Andersen dan Petersen (1993) memberikan suatu model yang digunakan da-lam menentukan super efisiensi dengan menggunakan model CCR sebagai berikut.
[Super Radial] θ∗ = min
merupakan kendala nonnegatif dan ε > 0 adalah elemen non-Archimedean biasa dan e adalah suatu baris vektor untuk semua elemen. Model ini dikenal sebagai model ”super efisiensi radial”. Hasil yang diperoleh merupakan suatu matriks X, Y >0 dengan seluruh elemen adalah positif dengan nilai optimal φ∗ = 1/θ∗.
Ebadi (2012) mengembangkan model BCC dalam menentukan super efisiensi dengan orientasi input-output data dengan asumsi DMUj(j = 1, . . . , n) dengan yrj(r = 1, . . . , s) output pada xij(i = 1, . . . , m) input. Untuk DMUk = (xk, yk)
yang dievaluasi, model DEA dapat dinyatakan sebagai berikut.
15
Xu dan Ban (2012) memberikan cara lain dalam menentukan penaksiran ni-lai super efisiensi dengan mengembangkan model CCR berdasarkan pada batasan efisiensi. Diberikan asumsi bahwa terdapatnDMU dimana masing-masing DMUj
(j = 1, . . . , n) mempunyai masukan Xj = (xij, x2j, . . . , xmj) dan keluaran Yj =
(yij, y2j, . . . , ysj) untuk semua DMU non-negatif dan tiap DMU sedikitnya
mem-punyai satu masukan dan keluaran data. Ambil (Xj, Yj) untuk menotasikan tiap DMUj dan DMUk(k ∈ 1, . . . , n) menyatakan DMU ke-k yang dievaluasi, maka
himpunan hasil yang mungkin dinotasikan sebagai
T ={(Xk, Yk) :Xkλ≤Xk, Yjλ≥Yk, λ≥0}
dimana λ merupakan suatu vektor non-negatif di Rn dan T merupakan nilai
efi-siensi tiap DMU. Berbalik dengan T, quasi-production possibility set dinotasikan dengan
P ={(Xk, Yk) :Xjλ≥Xk, Yjλ≤Yk, λ≥0}
dimana titik jangkauan diP merupakan batas anti-efisien dan titik lainnya sebagai anti-efisien tiap DMU. Xu dan Ban (2012) memperkenalkan suatu model quasi-CCR (Qquasi-CCR) yang didasarkan pada batasan anti-efisien yang dinyatakan sebagai berikut
ρ∗
k maxρk
kendala
n
X
j=1
λjxij ≥ρkxik, i= 1, . . . , m
n
X
j=1
λjyrj ≥yrk, r= 1, . . . , s
λj ≥0, j = 1, . . . , n
(2.18)
dan memberikan definisi, yaitu
Definisi 2 Suatu DMUk adalah anti-efisiensi jika ρ∗k= 1.
16
2.2.1 Orientasi input (’io’)
Untuk setiap masukan i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil
xij >0 dan suatu parameter skalar αi = maxxij/minxij dengan ketentuan α = max(α1, . . . , αm) + 1. Andaikan suatu super efisien DMU adalah efisien setelah
penaksiran dengan α, maka DMU merupakan kategori nilai super efisiensi (N). Akibatnya, terdapat sedikitnya satu keluaran ke DMUk dengan nilai yang lebih
besar dibandingkan dengan nilai keluaran DMU lainnya.
Teorema 2.2.1 Untuk suatu orientasi masukan, α merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk xk dengan DMUk∈N ∪super−ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk∈N, maka λk = 0 dan
Y λ+yk(0)≥yk Xλ+αxk(0) ≤αxkθ
Σα+ (0) = 1
Karenaαi = maxxij/minxij dan Xλ < αxk, maka θ > 1.
2. Jika DMUk ∈ super−ef isiensi, maka Y λ < yk. Maka terdapat paling
sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kon-tradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γx > α, maka DMUk adalah inefisien. Untuk DMUkinN, λk haruslah sama dengan 0 dan
Y λ+yk(0)≥yk Xλ+γxxk(0) ≤γxxkθ
Σγ+ (0) = 1
KarenaY λ < yk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak ter-dapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk
γx → ∞.
Dengan pembuktian teorema diatas, makaαmerupakan skalar yang meme-nuhi untukxk dengan DMUk ∈N ∪super−ef isiensi.
17
2.2.2 Orientasi output (’oo’)
Untuk setiap keluaran r = 1, . . . , s dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil minyrj >0 dan hitungβr = (maxyrj/minyrj)+1 dimanaβ ={max(β1, . . . , βs)}−1.
Teorema 2.2.2 Untuk suatu orientasi keluaran, skalarβ merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk yk dengan DMUk ∈N∪super−ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk∈N, maka λk = 0 dan
Y λ+βyk(0)≥βykφ Xλ+xk(0) ≤xk
Σλ+ (0) = 1
Karenaβi ={max(maxyij/minyij) + 1}−1
dan Y λ > βyk, maka
φ >1.
2. Jika DMUk ∈ super−ef isiensi, maka Xλ < xk. Maka terdapat paling
sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kon-tradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γy < β, maka DMUkadalah inefisien. Maka, untuk DMUk ∈N,λkharuslah sama dengan
0 dan
Y λ+γyyk(0) ≥γyykφ Xλ+xk(0) ≤xk
Σλ+ (0) = 1
KarenaXλ > xk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak ter-dapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk
λy →ε >0.
BAB 3
SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DEA 2-TAHAP
Penelitian ini membahas pengembangan model DEA 2-tahap dalam memperoleh super efisiensi dengan melakukan modifikasi terhadap model CCR dan BCC. Da-lam pengembangan model DEA 2-tahap ini digunakan beberapa notasi matema-tika sebagai berikut. Asumsikan terdapat DMUj(j = 1, . . . , n). Masing-masing
DMUj mempunyai m masukan, xij(i = 1, . . . , m) yang menghasilkan keluaran s
keluaran, yrj(r = 1. . . , s).
3.1 Model CCR dengan model DEA 2-tahap
Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) merupakan model DEA dasar di-mana penaksiran nilai efisiensi didasarkan pada perhitungansingle inputkesingle output dan multiple input kemultiple output tanpa adanya variabel bobot dalam model. Asumsikan terdapat pasangan input dan output non-negatif (xj, yj)(j = 1, . . . , n) pada n DMU, sehingga diperoleh pasangan input semi positif x ∈ Rn
dan outputy∈Rn dengan notasi (x, y) yang merupakanproduction possibility set P. Ambil himpunan data pada suatu matriksX = (xj) dan Y = (yj), maka
P ={(x, y)|x≥Xλ, y ≤Y λ, λ≥0}
dimanaλadalah vektor semi positif diRn. Selanjutnya, Banker dan Thrall (1992)
memberikan pandangan terhadap beberapa kondisi dalam penaksiran nilai super efisiensi dengan model CCR seperti yang dinyatakan dalam teorema 5.
Teorema 3.1.1 (Banker dan Thrall, 1992) Andaikan terdapat suatu titik(xk, yk) sebagai titik pada batasan efisien. Gunakan model CCR untuk memperoleh suatu solusi optimum (λ∗
j = 1 dalam suatu solusi optimum alternatif, maka solusi yang
diperoleh merupakan returns to scale.
(ii) Jika
n
P
j=1
λ∗
j > 1 untuk semua solusi optimum alternatif, maka solusi yang
diperoleh merupakan returns to scale yang cenderung turun.
19
j < 1 dalam suatu solusi optimum alternatif, maka solusi yang
diperoleh merupakan returns to scale yang cenderung naik.
Dari teorema 5, dikembangkan model CCR terhadap model DEA 2-tahap yang dapat dituliskan sebagai berikut.
dimana xj, yj merupakan nilai input vektor yang menunjukkan suatu DMU yang dievaluasi. Vektor slacks, s−, s+
dan vektor ˆλ merupakan kendala non-negatif dalam model. θ∗
k diperoleh dari hasil evaluasi model DEA 1-tahap seperti yang
telah dijelaskan pada persamaan (2.12) yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
θ∗
Selanjutnya, model 3.1 dikembangkan model CCR dengan model DEA 2-tahap dengan memperhatikan orientasi input dan output pada masing-masing DMU. Dalam penelitian ini digunakan suatu variabel yang menyatakan bobot tiap DMU dan dinotasikan sebagai
n
P
j=1,j6=k
λj ≥ 1. Bagian 3.1.1 dan 3.1.2
meru-pakan hasil pengembangan model CCR dengan model DEA 2-tahap berdasarkan orientasi input dan output tiap DMU.
3.1.1 Model CCR orientasi input dan output
20
Fungsi objektif (3.3) bertujuan untuk menentukan nilai super efisiensi baru mi-nimum dari hasil penaksiran orientasi input yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.4) dan (3.5)
menen-tukan masing-masing persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang
dinyatakan ke dalam bentuk program linier. Kendala (3.6) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j 6= k adalah 1. Kendala (3.7) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0. Sedangkan untuk model CCR dengan orientasiinput adalah
θ∗
Fungsi objektif (3.8) menentukan nilai super efisiensi baru maksimum dari hasil penaksiran orientasioutput yang di-augmenteddengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUkyang diuji. Kendala (3.9) dan (3.10) menentukan bentuk persamaan
DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam bentuk
pro-gram linier. Kendala (3.11) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j 6= k adalah 1. Kendala (3.12) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensiθ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.
21
Masing-masing notasi yang digunakan dalam model adalah sebagai berikut.
θk : super efisiensi orientasioutput pada DMUk xij : input ke-i pada DMUj (j = 1, . . . , n) yrj : output ke-r pada DMUj (j = 1, . . . , n) xik : input ke-i pada DMUk
yrk : output ke-r pada DMUk
λj : bobot atau nilai pada masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n)
Sebagai suatu analisis rasio atau nilai efisiensi, penaksiran yang dilakukan ter-hadap input dengan tujuan untuk meningkatkan nilai efisiensi DMU yang dieva-luasi merupakan orientasi input pada model DEA. Sebaliknya, penaksiran yang dilakukan terhadapoutput dengan tujuan meningkatkan nilai efisiensi DMU yang dievaluasi merupakan orientasi output pada model DEA.
3.2 Model BCC dengan model DEA 2-tahap
AsumsiConstant Returns to Scale(CRS) yang digunakan dalam model DEA untuk menentukan efisiensi sangat sesuai saat semua DMUj yang diuji berada
22
3.2.1 Model BCC orientasi input dan output
Banker et al. (1984) memberikan pandangan terhadap model BCC berda-sarkan orientasiinputtiap DMU yang dinyatakan seperti pada model 3.13 berikut.
max
Dalam penelitian ini diasumsikan terdapat beberapa notasi sebagai berikut. DMUk
merupakan DMU yang sedang dievaluasi;ur multiplier pada keluaran danvi mul-tiplier pada input. Sehingga, diperoleh model (3.14) - (3.18) untuk model BCC berdasarkan orientasiinput
Fungsi objektif (3.14) menentukan nilai super efisiensi baru minimum dari hasil penaksiran orientasi input yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.15) dan (3.16) menentukan bentuk
per-samaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam
ben-tuk program linier. Kendala (3.17) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j 6=k adalah 1. Kendala (3.18) memastikan bahwa besar bobot λj
dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.
23
Sedangkan untuk model BCC dengan orientasi output adalah
β∗
k : super efisiensi orientasi output pada DMUk xij : input ke-i pada DMUj (j = 1, . . . , n) yrj : output ke-r pada DMUj (j = 1, . . . , n) xik : input ke-i pada DMUk
yrk : output ke-r pada DMUk
λj : bobot atau nilai pada masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n)
dimana fungsi objektif (3.19) menentukan nilai super efisiensi baru maksimum dari hasil penaksiran orientasioutputyang di-augmenteddengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.20) dan (3.21) menentukan bentuk
persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam
bentuk program linier. Kendala (3.22) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j 6= k adalah 1. Kendala (3.23) dan (3.24) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.
3.3 Komputasi dan Hasil Perhitungan
24
Sedangkan uji data 2 merupakan evaluasi terhadap masing-masing DMU dalam menentukan nilai super efisiensi didasarkan pada metode CCR dan BCC yang telah dikembangkan pada bagian 3.1 dan 3.2. Berikut hasil evaluasi data Xu dan Ban (2012) terhadap model penelitian.
3.3.1 Uji data 1
Dalam penelitian ini digunakan uji data seperti pada Tabel 3.1 dalam menen-tukan super efisiensi pada masing-masing DMU dengan masukan data x1,x2 dan
keluaran data y seperti pada tabel 3.1.
Tabel 3.1 Uji data 1
DMUj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 1 1.5 2 3 4 2 4 6 4 3.5
x2 4 3 2 1.5 1 5 4 2 2 3.5
y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sumber: Xu dan Ban (2012)
Lakukan evaluasi pada masing-masing DMU dengan menggunakan model yang telah dikembangkan oleh Xu dan Ban (2012) yang direpresentasikan ke dalam bentuk program linier. Sebagai ilustrasi, ambil DMU 1 untuk diuji pada model yang telah dikembangkan oleh Xu dan Ban (2012) yang kemudian direpresen-tasikan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut.
ρ∗
k = maxρk
kendala 1.5λ2+ 2λ3 + 3λ4 + 4λ5+ 2λ6 + 4λ7 + 6λ8+ 4λ9+ 3.5λ10 ≤1ρ
3λ2+ 2λ3+ 1.5λ4 + 1λ5+ 5λ6 + 4λ7 + 2λ8+ 2λ9+ 3.5λ10 ≤4ρ
λ2 +λ3+λ4+λ5 +λ6+λ7+λ8+λ9+λ10= 1
(3.25)
Dari representasi model 3.25, diperoleh nilai super efisensi dan pengurutan seperti pada tabel 3.2.
25
Tabel 3.2 Nilai super efisiensi dengan model Xu dan Ban (2012)
DMUj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 1 1.5 2 3 4 2 4 6 4 3.5
x2 4 3 2 1.5 1 5 4 2 2 3.5
y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ρ∗
k 1.02 1.02 1.02 1.02 1.01 0.96 0.95 0.95 0.99 0.97
rank 4 2 1 3 5 8 10 9 6 7
Kemudian dilakukan evaluasi terhadap masing-masing DMU dengan model yang telah dikembangkan pada bagian 3.1.1 dan 3.1.2 untuk model CCR dan BCC, sehingga model dapat direpresentasikan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut.
1. Evaluasi DMU 1
θ∗
k = minθk
kendala 1.5λ2+ 2λ3+ 3λ4+ 4λ5 + 2λ6 + 4λ7+ 6λ8+ 4λ9 + 3.5λ10 ≤1θ
3λ2+ 2λ3 + 1.5λ4+ 1λ5 + 5λ6 + 4λ7+ 2λ8+ 2λ9 + 3.5λ10 ≤4θ
λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10= 1
(3.26)
2. Evaluasi DMU 2
θ∗
k = minθk
kendala 1λ1+ 2λ3 + 3λ4+ 4λ5+ 2λ6 + 4λ7+ 6λ8+ 4λ9+ 3.5λ10 ≤1.5θ
4λ1+ 2λ3 + 1.5λ4+ 1λ5 + 5λ6 + 4λ7+ 2λ8+ 2λ9 + 3.5λ10 ≤3θ
λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10= 1
(3.27)
3. Evaluasi DMU 3
θ∗
k = minθk
kendala 1λ1+ 1.5λ2+ 3λ4+ 4λ5 + 2λ6 + 4λ7+ 6λ8+ 4λ9 + 3.5λ10 ≤2θ
4λ1+ 3λ2 + 1.5λ4+ 1λ5 + 5λ6 + 4λ7+ 2λ8+ 2λ9 + 3.5λ10 ≤2θ
λ1+λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10= 1
27
9. Evaluasi DMU 9
θ∗
k = minθk
kendala 1λ1+ 1.5λ2+ 2λ3+ 3λ4 + 4λ5 + 2λ6+ 4λ7+ 6λ8 + 3.5λ10 ≤4θ
4λ1+ 3λ2 + 2λ3+ 1.4λ4 + 1λ5 + 5λ6+ 4λ7+ 2λ8 + 3.5λ10 ≤2θ
λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10= 1
(3.34)
10. Evaluasi DMU 10
θ∗
k = minθk
kendala 1λ1+ 1.5λ2 + 2λ3+ 3λ4 + 4λ5 + 2λ6+ 4λ7+ 6λ8+ 4λ9 ≤3.5θ
4λ1+ 3λ2 + 2λ3+ 1.4λ4 + 1λ5 + 5λ6+ 4λ7+ 2λ8+ 2λ9 ≤3.5θ
λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9 = 1
(3.35)
Berikut bahasan terhadap DMU 1 sampai dengan DMU 10 tersebut. Dari hasil evaluasi terhadap model yang telah dikembangkan, diperoleh penaksiran nilai su-per efisiensi sesu-perti pada tabel 3.3.
Tabel 3.3 Hasil penaksiran nilai super efisiensi untuk model CCR
DMUj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 1 1.5 2 3 4 2 4 6 4 3.5
x2 4 3 2 1.5 1 5 4 2 2 3.5
y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
θ∗
k 1.5 1.00 1.12 1.00 1.5 0.66 0.5 0.6 0.75 0.57
rank 1 5 3 4 2 7 10 8 6 9
28
Tabel 3.4 Perbandingan nilai super efisiensi Xu dan Ban (2012) dan Sheila (2013)
DMU x1 x2 y Xu dan Ban (2012) rank Sheila (2013) rank
1 1 4 1 1.02 4 1.5 1
2 1.5 3 1 1.02 2 1.00 5
3 2 2 1 1.02 1 1.12 3
4 3 1.5 1 1.02 3 1.00 4
5 4 1 1 1.01 5 1.5 2
6 2 5 1 0.96 8 0.66 7
7 4 4 1 0.95 10 0.5 10
8 6 2 1 0.95 9 0.6 8
9 4 2 1 0.99 6 0.75 6
10 3.5 3.5 1 0.97 7 0.57 9
Dari hasil yang diperoleh, maka pengurutan nilai super efisiensi tiap DMU adalah
DMU1 ≻ DMU5 ≻ DMU3 ≻ DMU4 ≻ DMU2 ≻ DMU9 ≻ DMU6 ≻ DMU8 ≻
DMU10≻DMU7.
3.3.2 Uji data 2
Untuk evaluasi DMU pada uji data berikut, diperoleh nilai super efisiensi untuk masing-masing model CCRinput oriented (CCR-in), CCRoutput oriented (CCR-out), BCC input oriented (BCC-in) dan BCC output oriented (BCC-out) yang telah dipaparkan pada bagian 3.1 dan 3.2. Berikut hasil penaksiran nilai super efisiensi seperti pada tabel 3.5.
Tabel 3.5 Nilai super efisiensi dari pengembangan model BCC dan CCR
DMU x1 x2 y CCR-io CCR-oo BCC-io BCC-oo
1 1 4 1 1.5 0.66 1.5 -∞
2 1.5 3 1 1.0 1.0 1 1
3 2 2 1 1.12 0.88 1.12 −∞
4 3 1.5 1 1.0 1.0 1.0 1
5 4 1 1 1.5 0.66 1.5 −∞
6 2 5 1 0.66 1.5 0.66 1
7 4 4 1 0.5 2.0 0.5 1
8 6 2 1 0.6 1.66 0.6 1
9 4 2 1 0.75 1.33 0.75 1
10 3.5 3.5 1 0.57 1.75 0.57 1
29
serta pengurutan (ranking) DMU sebagai berikut.
CCR-io DMU1 ≻ DMU5 ≻ DMU3 ≻DMU2 ≻ DMU4 ≻ DMU9 ≻ DMU6 ≻
DMU8 ≻ DMU10 ≻ DMU7
CCR-oo DMU7 ≻ DMU10 ≻ DMU8 ≻ DMU6 ≻ DMU9 ≻ DMU2 ≻ DMU4 ≻
DMU3 ≻ DMU5 ≻DMU1
BCC-io DMU5 ≻ DMU1 ≻ DMU3 ≻ DMU4 ≻ DMU2 ≻ DMU9 ≻DMU6 ≻
DMU8 ≻ DMU10 ≻ DMU5
BCC-oo DMU2 ≻DMU4 ≻ DMU6 ≻DMU7 ≻ DMU8 ≻ DMU9 ≻ DMU10 ≻
DMU1 ≻DMU3 ≻ DMU5
BAB 4 KESIMPULAN
4.1 Kesimpulan
Dalam penelitian tesis ini diperkenalkan konsep pada super efisiensi model DEA 2-tahap dan direpresentasikan oleh dua pendekatan model dalam menen-tukan super efisiensi: model CCR dan model BCC dengan memperhatikan kon-sep orientasi masukan (input) dan keluaran (output) dalam penaksiran nilai super efisiensi. Dari kedua model yang telah dikaji diperoleh bahwa model CCR mem-berikan hasil penaksiran super efisiensi yang lebih baik. Ini dikarenakan oleh model CCR yang digunakan menggunakan asumsi variabel bobot untuk masing-masing DMU dimana model didasarkan pada konsep constant returns to scale terhadap nilai super efisiensi yang diperoleh. Hasil penelitian tesis ini juga me-representasikan hasil perhitungan super efisiensi secara komputasi dan diperoleh pengurutan (ranking) masing-masing DMUj(j = 1, . . . , n).
Penaksiran super efisiensi dapat digunakan pada aplikasi DEA seperti eva-luasi indeks produktivitas Malmquist dalam bidang keuangan dan perbankan, menentukan keterhubungan atau pengaruh suatu faktor tertentu yang mempe-ngaruhi fasilitas layanan seperti rumah sakit, sekolah, bank dan menentukan per-bandingan kinerja dari DMU yang diberikan pada suatu data tertentu.
4.2 Saran
Prosedur model DEA 2-tahap dalam menentukan super efisiensi yang di-representasikan oleh model CCR dan model BCC perlu dikembangkan sehingga dapat memberikan penyelesaian optimal dan dapat berlaku pada suatu data de-ngan dimensi besar.
4.3 Riset Lanjutan
Penelitian ini mempunyai beberapa batasan: (i) kajian terbatas pada pe-naksiran nilai super efisiensi suatu data dengan memperhatikan orientasi input danoutputdan (ii) model yang diperoleh tidak memperhatikan faktor-faktor yang mempengaruhiinput pada data. Dalam penelitian lanjutan dikembangkan model
31
DAFTAR PUSTAKA
Afriat, S.N. (1972). Efficiency estimation of production functions, International Economic Review, Vol.13, No.3, pp.568-598.
Agrell, P.J. and Bogetoft, P. (2013). Smart-grid investments, regulation and orga-nization, Energy Policy, Elsevier, Vol.52, pp.656-666.
Andersen, P. and Petersen, N.C. (1993). A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis, Management Science, Vol.39, pp.1261-1264.
Banker, R.D., Charnes, A. and Cooper, W.W. (1984). Some model for estimating technical and scale efficiencies in data envelopment analysis, Management Science, Vol.30, pp.1078-1092.
Banker, R.D. and Thrall, R.M. (1992). Estimation of returns to scale using da-ta envelopment analysis, European Journal of Operational Research, Vol.62, No.1, pp.74-84.
Banker, R.D. and Natarajan, R. (2008). Evaluating contextual variables affecting productivity using data envelopment analysis, Operations Research, Vol.56, pp.48-58.
Berg, SV. (2010). Water utility benchmarking: Measurement, methodology and performance incentives. Article, University of Florida, USA.
Charnes, A., Cooper, W.W., and Rhodes,E. (1978). Measuring the efficiency of de-cision making units,European Journal of Operational Research, Vol.2, pp.429-444.
Charnes, A., Cooper, W.W., Lewin, A.Y., and Seiford, L.M.(Eds.). (1994). Da-ta envelopment analysis: Theory, methodology, and applications. Boston: Kluwer.
Coelli, T.J., Rao, D.S.P., O’Donnell, C.J. and Battese, G.E. (2005). An introduc-tion to efficiency and productivity analysis, 2nd ediintroduc-tion, Springer Science and Business Media, Inc., New York, USA.
Cooper, W.W., Seiford, L.M., and Tone, K. (2000). Data Envelopment Analysis, Kluwer Academic Publishers.
Cooper, W.W., Seiford, L.M. and Tone, K. (2006). Introduction to data envelop-ment analysis and its uses, Springer Science and Business Media, Inc., New York, USA.
Ebadi, S. (2012). Using a super efficiency model for ranking units in DEA,Applied Mathematical Sciences, Vol.6, No.41, pp.2043-2048.
F¨are, R., Grosskopf, S. and Lovell, C.A.K. (1983). The structure of technical effi-ciency, Scandinavian Journal of Economics, Vol.85, No.2, pp.181-190.
Hoff, A. (2007). Second stage DEA: comparison of approaches for modelling the DEA score, European Journal of Operational Research, Vol.181, pp.425-435.
Lotfi, F.H., Eshlaghy, A.T., Shafiee, M., Saleh, H., Nikoomaram, H., and Seyedho-seini, S.M. (2012). A new two-stage DEA model for evaluating the bank per-formance of banks, African Journal of Business Management, Vol.6, No.24, pp.7230-7241.
33
Lovell, C.A.K. (1994). Linear programming approaches to the measurement and analysis of productive efficiency, Journal of Spanish Society of Statistics and Operations Research, Springer, Vol.2, No.2, pp.175-248.
Lovell, C.A.K. and Rouse, APB. (2003). Equivalent standard DEA models to provide super-efficiency scores, Journal of the Operational Research Society, Vol.54, pp.101-108.
McDonald, J. (2009). Allowing the different frontier and sub-frontier relationships in second stage DEA efficiency analysis, Lecture notes, Flinders Business School, Flinders University.
Ramalho, E.A., Ramalho, J.J.S., and Henriques, P.D. (2010). Fractional regre-ssion models for second stage DEA efficiency analysis,Journal of Productivity Analysis, Vol.34, No.3, pp.239-255.
Seiford, L.M. and Thrall, R.M. (1990). Recent developments in DEA, Journal of Econometrics, Vol.46, No.3, pp.7-38.
Simar, L. and Wilson, P.M. (2011). Two-stage DEA: Caveat emptor, Journal of Productivity Analysis, Vol.36, No.2, pp.205-218.
Thanassoulis, E. (2001). The use of data envelopment analysis in the regulation of UK water utilities,European Journal of Operational Research, Vol.126, No.2, pp.436-453.
Yun, Y.B., Nakayama, H. and Tanino, T. (2003). A generalized model for data envelopment analysis, European Journal of Operational Research, Vol.157, 87-105.
