RANDOM SUBGRAPH
TESIS
Oleh
LENA ROSDIANA P. 087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
RANDOM SUBGRAPH
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
LENA ROSDIANA P. 087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Judul Tesis : RANDOM SUBGRAPH Nama Mahasiswa : Lena Rosdiana P.
Nomor Pokok : 087021005 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Dr. Tulus, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 20 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc. Anggota : 1. Dr. Tulus, M.Si.
ABSTRAK
Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0,1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Ba-gian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evo-lutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algorit-ma sampling. Pada tahapan akhir, algoritalgorit-ma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph.
ABSTRACT
In this thesis, random even subgraph of a finite graphG with a general edge-weight
p∈(0,1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graphG= (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph.
KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Random Subgraph”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc.(CTM), Sp.A(K)selaku Rektor Universitas Sumatera Utara;
Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara Medan;
Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara;
Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai ketua komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini;
Dr. Tulus, M.Si, sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak mem-bantu dalam penulisan tesis ini; seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang memberikan ilmunya sela-ma perkuliahan;
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan, karena itu penulis terbuka untuk kritik dan saran dari pembaca.
Medan, Mei 2010 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . v
DAFTAR ISI . . . vi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Rumusan Masalah . . . 2
1.3 Tujuan Penelitian . . . 2
1.4 Metode Penelitian . . . 2
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 3
BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH . . . 9
3.1 Random Subgraph . . . 9
3.2 Finite Graph . . . 10
3.3 Sampling Subgraph . . . 11
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform 11 BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH . . . 13
4.1 Random Even Subgraph . . . 13
4.2 Sampling Even Subgraph . . . 16
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 20
ABSTRAK
Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0,1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Ba-gian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evo-lutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algorit-ma sampling. Pada tahapan akhir, algoritalgorit-ma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph.
ABSTRACT
In this thesis, random even subgraph of a finite graphG with a general edge-weight
p∈(0,1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graphG= (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graphG adalah pasangan terurut (V(G), E(G)) yang terdiri dari him-punan V(G) vertex dan himpunan E(G) yang disjoint dari V(G) yaitu edge, di-mana himpunan vertex dan himpunan edge merupakan fungsi incident ψG yang
mengaitkan dengan setiap edge di G yang merupakan pasangan tak terurut dari vertex di G (Bondy dan Murty, 2007). Secara umum, suatu graph F dikatakan subgraph dari graphG jika V(F)⊆V(G), E(F)⊆ E(G), dan ψF adalah batasan dariψGkeE(F). Sehingga dapat dikatakan bahwa GmemuatF atau F terdapat di G dan ditulis G ⊇ F atau F ⊆ G, secara berurut. (Bollobas, 1984) Ada-pun contoh random subgraph dari graph finite yakni subgraph dari graph lengkap G(V, p) yang vertexnya (V) diperoleh dengan cara menghapus edge secara bebas dengan peluang 1−pdan pertama sekali diperkenalkan oleh Erd¨os dan Renyi pada tahun 1960. Mereka menunjukkan bahwa ketika p diskalakan sebagai (1 +ε)V−1, ada suatu peralihan fase pada ε = 0 yang dalam pengertiannya bahwa ukuran dari komponen yang paling besar adalah θ(logV). Random even subgraph dari suatu graph yang finite G dengan bobot edge yang secara umum mengarah pada p∈(0,1). Grimmet (2009). Random even subgraph dari planar lattice mengalami suatu fase peralihan dengan nilai parameter 1
(ran-2
dom) dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1−pdan ρp adalah aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. Suatu model
diG mempunyai bentuk ruang dan juga memiliki ukuran suatu peluang. Ukuran random-cluster diGdengan parameterpdanq= 2 yang digambarkan secara umum untuk q > 0, namun hanya bersifat pada kasus q = 2. Hampir semua informasi yang mungkin kita dapat menyatakan bahwa subgraph dari beberapa host graph
(graf asal) sering kali mempunyai ukuran-ukuran besar yang menjadi penghalang atau memiliki informasi yang tidak lengkap. Pertanyaannya adalah apakah random subgraph dari graph yang diberikan harus ada atau tidak. Random subgraph Gp
dari graf Gterjadi apabila setiap edge di Gp bebas menghapus setiap edge dengan
peluang p, dan membuang edge dengan peluang 1−p.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan random even subgraph dari suatu graph dengan menggunakan algoritma sampling.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari graph yang finiteG= (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling.
1.4 Metode Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa hasil penelitian tentang random sub-graph.
Sesuatu yang finite dan simpel dari graph tak langsung Gmemiliki himpunan vertexV(G) dan himpunan edgeE(G). Dimana ordeGadalah |V(G)|dan ukuran maka random subgraph dari Cartesian power Kn
a atau Ka,an ini dapat terhubung.
Dimana Ka menunjukkan graph komplit dengan orde a dan Ka,a menunjukkan
graph bipartit komplit dengan bagian dari ordea.
Lemma 2.1 Untuk G = Kn
a dengan a ≥ 2 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ (a −1)s(n −
logas), 1 ≤ s ≤ an dan untuk G = Kn
a,a dengan a ≥ 1 dan n ≥ 1, bG(s) ≥
as(n−log2as), 1≤ s≤(2a)n. [Clark, 2002].
Misalkan Qn suatu graf dimana vertex-vertexnya merupakan semua vektor {x = (x1. . . xn)|xi ∈ {0,1}} dan dua vektor x dan y adjacent jika mereka
men-dapatkan satu koordinat, contohnya : P
i |
xi − yi| = 1. Dapat dikatakan Qn n
-dimensional cube atau n-cube. Lebih jelasnya Qn merupakan n-regular, bipartite
graph pada orde 2n. Random subgrafG(Qn, p) adalah ruang (space) peluang diskrit yang digabung pada semua subgraf n-cube, dimana setiap edge Qn bergantung
4
Teorema 2.2 Misalkan G(Qnp) random subgraf pada n-cube dan misalkan ∆ se-bagai derajat maksimum G. Maka dapat dipastikan bahwa largest eigenvalue pada matrix adjacent S diberikan :
λ1(G) = (1 +o(1)) max(
√
δ, np)
dimana o(1) menunjukkan 0 dan max(∆12(G), np) menunjukkan infinite.
Penggu-naan eigenvalue yang paling besar (largest) terdapat pada random subgraph hyper-cube (n-cube). Misalkan G adalah random subgraph darin-cube yang mana setiap edgenya muncul secara acak dan bebas dengan peluang p = p(n). Hasil pembuk-tian mereka adalah eigenvalue yang paling besar (largest) dari matrix adjacent G
sudah pasti λ1(G) = (1 +o(1)) max(Delta21(G), np) , dimana ∆(G) adalah derajat
maksimum G dan o(1) cenderung nol ketika maksimum (∆12(G), np) infinite.
Chung et al. (2002) menyampaikan bahwa random subgraph Gp dari host graph (graph asal) G dibentuk dari setiap edge di G dengan peluang (kemungki-nan) p atau dengan kata lain mereka menentukan komponen besar (giant) pada random subgraph dari graph yang diberikan. Erd¨os dan Rnyi menyatakan untuk kasus host graph (graf asal) Kn : jika p =
c
n untuk c < 1, maka G tidak mem-punyai komponen besar yang terhubung dan semua komponen berasal dari ukuran O(logn) dan sebaliknya jikac > 1 , maka ada komponen besar dari ukuran∈n.
Borgs et al. (2004) menyampaikan bahwa random subgraph pada graph tran-sitif terhubungGyang finite diperoleh dengan cara bebas menghapus edge dengan peluang 1−p. Model yang digunakan adalah fase transisi pada pc berhubungan
dengan fase transisi random graph dengan jumlah yang diperoleh, sehingga disebut diagram segitiga dengan ujung pc yang cukup kecil.
Grimmett dan Janson (2009) menyampaikan bahwa suatu subgraph (V, F) dari graf G = (V, E) dikatakan genap apabila F genap dan ǫ dikatakan sebagai himpunan untuk semua subset even F di E. Misalkan p ∈ (0,1) , maka random even subgraph Gdengan parameter pdapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F) =
1 ZEp
|F|(1−p)|E\F|, F ∈ε (2.1)
dimanaZE =ZE
G(p) adalah nilai konstan normal yang sesuai. Misalkanφp product measuredengan densityppada bentuk space Ω ={0,1}E. Dimanaφ
5
sebagai random subgrafGyang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random
subgraf yang berlaku jika genap. Random even subgraf berhubungan erat dengan model Ising dan model random-clusterGdan model ini dapat ditinjau ulang dengan singkat. Misalkan β ∈(0,∞) dan
p= 1e−2β = 2 tanhβ
1 + tanhβ (2.2)
Model Ising G mempunyai bentuk ruangP
=−1,+1V dan ukuran peluangnya
G(β) adalah fungsi pembagi (partition function) yang mana πβ
sebagai ukuran peluang dan e=hx, yi menunjukkan suatu edge dengan titik akhir x, y. Bentuk spin-cluster σ ∈ P
adalah subgraph terhubung yang maksimal di G untuk setiap vertex v yang mempunyai spin-value yang sama σy. Spin-cluster
disebutk cluster jikaσy =k untuk semuav yang menjadi milik cluster. Kuantitas
penting yang berhubungan dengan model Ising adalah fungsi korelasi dua titik, yaitu dimanaP(f) menyatakan ekspektasi variabel random f menurut ukuran peluang P. Ukuran random cluster di G dengan parameter p ∈(0,1) dan q= 2 diperoleh (dapat digambarkan untuk umumq >0, tetapi hanya bersifat pada kasus q= 2.
Misalkan S adalah suatu himpunan fixed yang tak kosong pada bilangan in-teger non-negatif. Dimisalkan ada suatu S-graph yang semua derajat vertexnya termasuk himpunan S. Contohnya jika S = {s} adalah singleton, dimana S-graf sama seperti graph reguler berderajats. Random graf Gn,p,S didefinisikan sebagai
Gn,p yang dikondisikan menjadi S-graph, dimana Gn,p merupakan random
sub-graph standar pada graf komplitKn yang mana dua vertexnya bergabung dengan
suatu edge yang peluangnya p∈ (0,1) dan kejadian n2 ini sesuai dengan edge di Kn yang independent (bebas). Dengan kata lain, Gn,p,S adalah suatu random S-subgraph diKnsehingga jikaGmerupakan subgraph diKnyaituS-graph, maka
P(Gn,p;S(G) =
pe(G)(1−p)( n2 )−e(G)
6
dimanae(G) adalah jumlah edge di G.
Contoh yang lain seperti : Misalkan S = 2Z≥0 bilangan genap. Sehingga,
φS(µ) = ini menyatakan bahwaλ≤1, µ = 0 hanya satu-satunya solusi, begitu juga dengan λ >1, Random even subgraf dengan parameter p ∈ [0,1
2] berhubungan dengan model random cluster G dengan parameter edge 2p dan faktor cluster-weighting q = 2. JikaGgraf planar, maka random even subgraph dapat diidentifikasikan dari dual-graph dengan batasan +/− pada model Ising dual graph G dengan suatu nilai parameter. Grimmet dan Janson (1996)
Kn+2 merupakan graph komplit dengan n + 2 vertex, yang mana labelnya
{0,1, . . . , n,∞}. Setiap edge e diberikan suatu random resistance R(e) dengan
dimanaF adalah suatu fungsi distribusi tetap dengan konsentrasi [0,∞) dan γ(n) merupakan barisan bilangan dari 0 ≤ γ(n) ≤ n. Semua resistance R(e), e ∈ Kn+2 , diasumsikan independent. Rn menunjukkan hasil (acak) efektif resistance
7
Lalu identifikasikan juga satu vertex pada tiap tingkat maksimal vertex di Gdimana sudah shortcircuited (terputus), sebagai contoh , tiap tingkat maksimal
ˆ
A={v1, . . . , vm}yang terdiri darivi, vjdi ˆAsehingga terdapatvi1, . . . , vir dan edge
e1 antara vil dan vil+1, l = 0, . . . , r , dengan vi0 =vi, vir+1 =vj dan R(e1) = 0, l =
0, . . . , r. Asumsikan ˆGadalah suatu hasil jaringan dari identifikasi yang diberikan.
Resistance (perlawanan) antara A0 dan A di G didefinisikan sebagai perlawanan antara ˆA0 dan ˆA1 di G. Untuk menghitung resistance ini diperlukan suatu fungsi potensial V(ˆv) dengan nilai batasan 0 di ˆA0 dan 1 di ˆA1. V(ˆv) ditentukan dari
Diberikan G(n, p, q), pilih salah satu dari komponen yang besar secara acak dan ditulis n untuk jumlah edge pada komponen ini. Juga, dikatakan n sebagai jum-lah edge pada graph seluruhnya (n, p, q). Asumsikan q > 1. Jumlah edge pada komponen kecil adalahr(ΨnΞn)n+op(n), sedangkan subgraphnya memiliki :
8
Ξn−
λ
qΘn{1 +
1 2q−1
BAB 3
RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar tentang random even graph yang akan dpergunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan sub-graph tersebut dan juga akan dibahas tentang gambaran prosedur random sam-pling.
3.1 Random Subgraph
Suatu subset F di E dikatakan genap jika, untuk semua x ∈ V, dima-na x berincident terhadap jumlah anggota F genap. Sehingga subgraph (V, F) dikatakan genap jika F genap dan ε ditulis sebagai himpunan dari semua subset genap F di E. Dikatakan standar jika setiap himpunan genap F bisa dihapus dari gabungan edge-disjoint di cycle-nya. Misalkanp∈ (0,1) , maka random even subgraph Gdengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F) =
Mencari ρp dapat juga menggunakan cara sebagai berikut. Misalkan φp
adalah product measure dengan density p pada bentuk ruang Ω = {0,1}E.
Un-tuk ω ∈ Ω dan e ∈ E, dikatakan ω-open jika ω(e) = 1 dan ω-closed untuk yang lainnya. Misalkan∂ω adalah himpunan dari vertexx∈V yang berincident dengan
jumlah edge ganjil pada ω-open. Sehingga
ρp(F) =
φp(ωF)
φp(∂ω =∅)
, F ∈ε (3.2)
dimanaωF adalah bentuk edge yang himpunan edge terbukanya adalahF. Dengan
kata lain,φp digambarkan sebagai random subgraph G yang diperoleh secara acak
dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1−p dan ρp
10
3.2 Finite Graph
Suatu graph dikatakan finite apabila suatu graph dengan jumlah yang finite di vertex dan edge-nya. Jika graph memilikinvertex dan tidak memiliki kelipatan edge atau graph yang loop, maka graph finite merupakan subgraph dari graph komplit Kn. Suatu graph yang tidak finite disebut dengan infinite. Jika setiap
vertex memiliki derajat yang finite, maka graph itu disebut sebagai daerah yang finite. (Biggs, 1993)
setiap even subgraph memiliki peluang yang sama, sehingga ρ1
2 dikatakan sebagai
random even subgraph yang uniform di G. Peluang yang dipilih p = 1
2 karena memberikan hasil pada persamaanρp, sedangkan jikap= 1 akan memberikan hasil
bernilai 0. Sehingga random subgraph dapat diperoleh sebagai berikut. Pertama-tama identifikasikan family dari semua spanning subgraph di G = (V, E) dengan family 2E dari semua subset di E. Family ini dapat diidentifikasikan lebih lanjut
dengan {0,1}E =ZE
2 dan dengan demikian ruang vektornya (vector space) diatas Z2; sebagai tambahannya adalah 2 modul tambahan cara pada {0,1}E , sehingga
diterjemahkan sebagai pengambilan perbedaan simetris pada himpunan edgenya : F1 +F2 = F1∆F2 untuk F1, F2 ⊆ E. Family dari even subgraph G merupakan bentuk dari subspace ε pada ruang vektor {0,1}E , sehingga F
1 +F2 = F1∆F2 dikatakan genap jika F1 dan F2 juga genap. (Pada kenyataannya, ε adalah ru-ang cycle (cycle space) Z1 pada Z2-homology di G sebagai suatu kompleks yang sederhana). Pada khususnya, jumlah even subgraph di G sama dengan 2c(G) , di-manac(G) = dim(ε) ; dengan demikianc(G) adalah jumlah cycle bebas di G, dan diperoleh :
c(G) =|E| − |V|+k(G)
Proposisi 3.1 Misalkan C1, . . . , Cc adalah himpunan maksimal dari cycle bebas di G. Misalkan ξ1, . . . ξc adalah bebas dari random variabel (sebagai contoh, hasil lemparan koin yang adil). Sehingga P
i
ξiCi merupakan random even subgraph yang
uniform di G.
11
yang dilakukan dalam memilihC1, . . . , Cc adalah dengan memanfaatkan dalil yang
berikutnya. Pada dalil yang berikutnya, akan menggunakan spanning subforest di Gyang berarti suatumaximal forestdiG, yaitu gabungan spanning tree dari setiap komponen diG.
Proposisi 3.2 Misalkan (V, F) adalah spanning subforest di G. Setiap subset X
di E\F dapat diselesaikan dengan kekhususan Y ⊆ F pada himpunan edge genap
Ex =X∪Y ∈ε. Memilih random subset yang uniformX ⊆E\F akan memberikan suatu random even subgraph yang uniform Ex juga di G.
Bukti: Setiap edgeei∈E\F dapat diselesaikan dengan edge diF pada cycle yang
unikCi ; dimana cycle ini merupakan dasar dari ε dan hasilnya seperti pada dalil
1. (Grimmet dan Janson, 2009)
3.3 Sampling Subgraph
Contoh-contoh algoritma subgraph n dari pemilihan edge secara acak yang terhubung dengan suatu himpunan n dapat dicapai. Selanjutnya digambarkan prosedur random sampling dari suatu n vertex subgraph pada suatu network (jaringan). Pilih edge secara acak dari jaringan, lalu perluas subgraph secara berulang-ulang dengan memilih edge tetangganya secara acak hingga memben-tuk subgraph n. Untuk setiap pilihan acak dari suatu edge, dalam memilih suatu edge sebaiknya ukuran subgraph diperluas dari pertama, kemudian siapkan daftar semua kandidat (calon) edge, lalu lakukan pemilihan edge secara acak dari daftar itu sendiri. Jadi, contoh subgraph dapat digambarkan sebagai suatu himpunan vertex n dan semua edge yang terhubung diantara vertex pada original network
(tidak hanya edge yang dipilih dengan proses perluasan).
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform
12
yang spesifik. Setiap jenis subgraph akan menerima skor/nilai. Kemudian, kita akan menambah skor berat W = 1
P untuk skor jenis subgraph yang relevan. Ini diulang untuk mendapatkan banyaknya sampel spanning tree.
BAB 4
RANDOM EVEN SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas lebih lanjut tentang Random Even Subgraph dan Sampling Even Subgraph.
4.1 Random Even Subgraph
Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0,1) didefinisikan dari per-samaanρp(F) =
1 ZEp
|F|(1p)|E\F|untuk suatu graph finiteG= (V, E). Selanjutnya
bagaimana memasangkan model random-cluster q= 2 dan random even subgraph diG. Misalkanp∈[0,1
2] danω sebagai realisasi model random cluster diGdengan parameter 2pdan q= 2. Misalkan R= (V, γ) sebagai random even subgraph yang uniform di (V, η(ω)).
Teorema 4.1 Misalkanp∈[0,1
2]. GraphR = (V, γ)adalah random even subgraph
di G dengan parameter p.
14
Misalkanp∈(12,1). JikaGgenap, maka contoh dariρp dengan sampling
(pe-ngambilan) pertama suatu subgraph (V, F) dari ρ1p dan komplemennya (V, E\F)
memiliki distribusi ρp. Jika G ganjil, maka akan disesuaikan seperti berikut ini.
Untuk W ⊆ V dan H ⊆ E;H dikatakan W-genap jika setiap komponen dari (V, H) terdiri dari jumlah anggota dari W genap. Misalkan W 6= ∅ adalah him-punan vertexGdengan derajat ganjil, sehingga, secara khusus,EadalahW -genap. Asumsikan ΩW = {ω ∈ Ω : η(ω) adalah W -genap. Untuk ω ∈ ΩW, pilih subset
yang disjointPi =Pi
ω, dimanai= 1,2, . . . ,21|W|, dariη(ω), yang merupakan path non-self-intersecting terbuka dengan titik akhir nyata yang terletak diW, sehingga setiap anggota diW merupakan titik akhir tepat satu path. DitulisPω =SiPωi.
Misalkan r= 2(1p), dan misalkan φW
r,2 adalah ukuran random cluster pada Ω dengan parameter r dan q = 2 bersyarat pada kejadian ΩW. Ambil sample dari
φW
r,2 untuk memperoleh subgraph (V, η(ω)), dengan memilih suatu random even subgraph yang uniform (V, γ).
Teorema 4.2 Misalkan p∈ 12,1
. Graph S = (V, E\(γ∆Pω)) adalah suatu ran-dom even subgraph di G dengan parameterp.
Teorema 4.1. dan teorema 4.2. dapat digabungkan sebagai berikut. Dengan mempertimbangkan model yang dibangun dengan satu parameterpe ∈(0,1) untuk
setiap edge e ∈E. Misalkan A ={e ∈E :pe > 12}. Didefinisikan bahwa re = 2pe
jikae 6∈Adanre= 2(1pe) jikae∈A. (Jadi 0 < re≤1). MisalkanW =WA adalah
himpunan vertex A-ganjil, sebagai contoh, titik akhir dari jumlah edge ganjil di A. Sample ω dari ukuran random-cluster dengan parameter r = (re : e ∈ E)
dan q = 2, sehingga η(ω) menjadi W-genap, misalkan Pω (untuk W =WA) , dan
sample random even subgraph yang uniform (V, γ) pada (V, η(ω)).
Teorema 4.3 Graph S = (V, γ∆Pω∆A) adalah random even subgraph di G de-ngan distribusi ρp.
Bukti : MisalkanF =γ∆Pω∆A merupakan hasil dari himpunan edge sehingga
15
Selanjutnya, jika F genap, maka F∆A mempunyai derajat ganjil tepat pada ver-texnya W =WA, karena itu pers. (4.3) menunjukkan bahwa ω ∈ΩW diperlukan.
Diberikan himpunan egde genap f ⊆ E, sehingga diperoleh F = f jika pemili-han pertama ω ∈ΩW dengan η(ω)⊇ f∆A dan kemudian (P
Dengan 1e yang merupakan fungsi indikator pada kejadian {e ∈ f}, dapat ditulis
kembali seperti berikut ini :
Ini bertentangan dengan dengan Teorema 4.1. Ambil random even subgraph (V, V) di G = (V, E) dengan parameter p ≤ 1
2. Untuk setiap e 6∈ F, dapat ditentukan suatu warna random bebas, biru dengan peluang p/(1p) dan merah untuk yang lainnya. MisalkanH diperoleh dari F dengan menambahkan di semua edge biru.
16
dimanaN(h) adalah jumlah subgraph genap di (V, h). Seperti pembuktian di atas, N(h) = 2|h|−|V|+k(h) dimanak(h) adalah jumlah komplemen dari (V, h).
Suatu edge e dari graph disebut cyclic jika edge tersebut termasuk di dalam beberapa cycle suatu graph.
Dengan menghitung di atase∈E, dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah edge terbuka dibawahρpadalah setengah dari rata-rata jumlah cyclic edge dibawahφ2p,2.
Bukti: Misalkanω∈Ω danCadalah maximal family dari cycle bebasω. Misalkan R= (V, γ) adalah random even subgraph yang uniform di (V, η(ω)), suatu tafsiran yang menggunakan Teorema 2.2 danC. Untuk e∈E, misalkan Me adalah jumlah
elemen dari C yang memasukkan e. Jika Me ≥ 1, maka jumlah cycleMe pada γ
yang telah terpilih dalam susunan/bentuk padaγ adalah sama seperti penggunaan genap atau ganjil. Oleh karena itu,
P(e∈γ|ω) =
Seperti dinyatakan diawal bahwa Teorema 4.1 memberikan suatu cara yang sistematis pada sampling even subgraph diG yang sesuai dengan ukuran peluang ηp dengan p ≤ 12. Coupling-from-the-past (cftp) hanya digunakan untuk memberi
contoh pada ukuran random-cluster φ2p,2, kemudian melepaskan koin secara adil
sekali untuk setiap anggota dari beberapa himpunan bebas yang maksimal dari cycleG. Diingatkan kembali bahwasannya implementasi (pelaksanaan) dari cftp ini berdasarkan pada periode waktuT secara acak yang bagian akhirnya dibatasi oleh suatu distribusi geometri ; yang berakhir dengan peluang 1 dengan suatu sample yang tepat dari target distribusi. Sedikit lebih rumit ketika p > 1
17
dalam Teorema 4.2 dan 4.3 baik monoton maupun anti-monoton. Kemudian akan dicari bagaimana menyesuaikan teknik cftp pada beberapa situasi.
Misalkan E adalah suatu himpunan finite tak kosong dan µ adalah ukuran peluang pada product space Ω ={0,1}E. Dikatakanµmonoton (respectively,
anti-monoton) jikaµ(1e|ξe) adalah non-decreasing (respectively, non-increasing) dimana
ξ∈Ω. Dimana, 1e adalah fungsi indikator yang edge-nyae adalah terbuka dan ξe
adalah bentuk yang diperoleh dariξpadaE\{e}. Untuke∈E, ψ ∈Ω, danb= 0,1 , maka ψb
e ditulis sebagai bentuk yang sesuai dengan ψ pada e dan memperoleh
nilai b pada e. Secara standar cftp mungkin dapat digunakan untuk sample dari µ jika µ adalah monoton dan akan dijelaskan bagaimana menyesuaikan apabila µ adalah anti-monoton. Suatu mekanisme diusulkan sebagai hasil dalam sample yang tepat dari µ tanpa asumsi apapun dari (anti-)monotonicity. Mekanisme ini dapat digunakan dalam kerangka umum yang lebih banyak pada bounding chain, akan tetapi tidak sesuai dalam pekerjaannya, karena pada kenyataannya Ω adalah
partially ordered(orde sebagian).
Misalkan Sµ = {ω ∈ Ω : µ(ω) > 0}, subset dari Ω yang mana µ adalah strictly positive (benar-benar positif) dan asumsikan secara sederhana bahwa Sµ adalah increasing dan 1 ∈ Sµ, dimana 1 (respectively, 0) menunjukkan bentuk
untuk semua bernilai 1 (respectively, semua bernilai 0). Asumsi ini dikatakan valid pada pengaturan sekarang ini (current setting) , tetapi tidak dapat digunakan untuk semuanya seperti berikut ini.
Dimulai dengan contoh Gibbs yang biasa/lazim digunakan untuk µ. Ini adalah suatu discrete-time Markov chain G = (Gn : n ≥ 0) pada state space
Ω. Anggap Gn =ξ. Secara uniform distribusi anggota di E sudah terpilih, sebut
saja e, dan juga variabel random U dengan distribusi uniform pada [0,1]. Kemu-dian Gn+1 =ξdimana ξ(f) untuk f 6=e dan ξ(e) =
0 jikaU > µ(1e|ξe)
1 jikaU ≤µ(1e|ξe) .
Aturan transisi baik digunakan jikalau ξ1
e ∈ Sµ. Ini baik sekali digunakan dalam
memperluas definisi dari susunan/bentuk yang tidak berada dalam Sµ dan pada
18
Misalkan (en, Un) adalah barisan yang independent (bebas). Asumsikan (An,
Bn : n ≥ 0) adalah Markov Chain dengan state space Ω2 dan (A0, B0) = (0,1). Anggap (An, Bn) = (ξ, η) dimana ξ ≤ η. Buat (An+1, Bn+1) = (ξ, η) dimana
ξ(f) =ξ(f), η(f) =η(f) untuk f 6=en+1, dimana e=en+1. Diperoleh :
ξ(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤α,
η(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤β, Dimana α =α(ξ, η) = min{µ(1e|ψe) :ξe ≤ψe ≤ηe}
β =β(ξ, η) = max{µ(1e|ψe) :ξe ≤ψe ≤ηe} (4.8)
Sehingga α≤β, kita mempunyaiξ ≤η.
Rantai (A, B) dimulai pada waktu yang negatif (negative times), merupakan cara yang ditentukan oleh cftp. Misalkan T adalah waktu perpaduan (coalescence time). Lebih tepatnya lagi, untuk m ≥ 0, misalkan (Ak(m), Bk(m) : −m ≤ k ≤
0) menunjukkan bahwa rantai dimulai dengan A−m(m) = 0, B−m(m) = 1, yang
menggunakan suatu barisan random yang fixed (en, Un)0−∞ untuk semua m, dan
diperoleh
T = min{m≥0 :A0(m), B0(m)} (4.9) Sehingga A0(T), B0(T).
Teorema 4.5 Jika Sµ increasing dan 1 ∈ Sµ, maka P(T < ∞) = 1 dan A0(T) memiliki aturan µ.
Bukti: Dari definisiSµdan persamaan (4.7), terdapatη =η(E, η)>0 sedemikian
sehingga µ(1e|ξe) ≥ η untuk semua e ∈ E dan ξ ∈ Ω. Pada setiap panjang
inter-val waktu yang diberikan|E|, terdapat peluang positif yang utuh yang barisannya (ei, Ui) memenuhiE ={ei} dan Ui < η untuk semua i. Pada kejadian ini, proses
Ayang rendah mendapat nilai 1 setelah intervalnya lewat, sehingga perpaduannya ada. Kejadian yang sesuai dengan interval waktu yang berbeda dikatakan bebas (independent), dimana bagian akhir dari waktu T tidak lebih besar daripada ge-ometri.
19
vektor dari (0,1] dan asumsikan φr,q sebagai ukuran random cluster di G dengan
parameter edge r dan q ≥ 1. Kemudian φW
r,q untuk φr,q ditulis sebagai
kejadi-an dimkejadi-ana graph terbuka adalah W-genap dan catatan bahwa φW
r,q baik monoton
maupun anti-monoton. Kejadian Sµ dapat dengan mudah meningkat (increasing)
dan 1 ∈ Sµ. Oleh karena itu, Teorema 4.5 dapat juga digunakan pada ukuran
µ=φW
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
Adapun kesimpulan dan saran dari penelitian ini :
1. Subgraph (V, F) dikatakan genap jika F-nya genap dan ditulis ε untuk him-punan semua subset genapF diE. F ⊆E dikatakan genap jika untuk semua x∈V, dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap.
2. Random even subgraph dengan parameter p∈[0,1) didefinisikan dari suatu persamaanρp(F) =
1 ZE p
|F|(1−p)|E\F|untuk suatu graph finiteG= (V, E).
3. Jika peluangnya p = 1
2 , maka setiap even subgraph akan memiliki pelu-ang ypelu-ang sama, sehingga ρ1
2 dikatakan sebagai random even subgraph yang
uniform diG.
4. Misalkan p ∈ (12,1), jika G genap, maka sampel dari ρp dengan sampling
pertama subgraph (V, F) dari ρ1−p dan komplemennya (V, E\F) memiliki
distribusi ρp. Sampling even subgraph di G menggunakan ukuran peluang
ηp dengan p ≤
1
2 . Sehingga hanya dengan menggunakan cftp inilah untuk memberi contoh (sample) pada ukuran random clusterφ2p,2.
DAFTAR PUSTAKA
Biggs N.L., (1993), Algebraic Graph Theory,2nd ed., Cambridge, England :
Cam-bridge University Press.
Bollobs B., (1984), Random Graphs,2nd ed., Cambridge, Baton Rouge.
Bollobs B., Grimmet G., Janson S., (1996), The Random Cluster Model On The Complete Graph,Math. Stat., 104, 283-317.
Bondy J.A. dan Murty U.S.R., (2007), Graph Theory, Springer, Berlin.
Borgs C., Chayes J.T., Hofstad R., Slade G., dan Spencer J., (2004), Random Subgraphs Of Finite Graphs : I. The Scaling Window Under The Triangle Condition, New York. www.math.ubc.ca/∼slade/ncube1.pdf. Diakses tanggal 18 Juni 2010.
Chung F., Horn P., dan Lu L., (2002),The Giant Component In A Random Subgraph Of A Given Graph, California.www.math.sc.edu/∼lu/papers/subgraph.pdf. Di-akses tanggal 23 Juni 2010.
Clark L., (2002), Random Subgraphs Of Certain Graph Powers, IJMMS 32:5 , 285-292.
Grimmett G. dan Janson S., (2009), Random Even Graphs, Electron. J. Combin. 16.
Grimmett G. dan Kesten H., (1984), Random Electrical Networks On Complete Graphs II : Proofs, J. Lond. Math. Soc., 30, 171-192.
Kashtan N., Itzkovitz S., Milo R., dan Alon U., (2004), Efficient Sampling Algo-rithm For Estimating Subgraph Concentrations And Detecting Network Mo-tifs, Bioinformatics, 20, 1746-1758.
