Penyelesaian masalah optimasi linear menggunakan metode titik interior primal-dual dengan langkah newton penuh

(1)

PENYELESAIAN MASALAH OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN

METODE TITIK-INTERIOR PRIMAL-DUAL

DENGAN LANGKAH NEWTON-PENUH

BRAMMANTO PRATAMA BASKARA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

BRAMMANTO PRATAMA BASKARA.Penyelesaian Masalah Optimasi Linear Menggunakan Metode Titik-Interior Primal-Dual dengan Langkah Newton-Penuh. Dibimbing oleh BIB

PARUHUM SILALAHI dan FARIDA HANUM.

Optimasi adalah suatu ilmu dari matematika terapan yang mempelajari masalah-masalah dengan tujuan mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi yang memenuhi kendala-kendala. Sedangkan optimasi linear khusus mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi linear dengan kendala linear. Salah satu cara penyelesaian masalah optimasi linear adalah dengan menggunakan metode-metode titik-interior. Terdapat beberapa variasi dari metode titik-interior, dalam karya ilmiah ini dibahas mengenai metode titik-interior primal-dual dengan langkah Newton-penuh. Metode ini mengikuti suatu lintasan yang disebut dengan central path. Pergerakan central path akan dianalisis berdasarkan metode ini dan diimplementasikan dengan MATLAB. Dari hasil simulasi yang dilakukan, central path mendekati solusi optimal dari masalah optimasi linear.

(3)

ABSTRACT

BRAMMANTO PRATAMA BASKARA. Linear Optimization Problem Solving Using Primal-Dual Interior-Point Method with Full-Newton Steps. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and FARIDA HANUM.

Optimization is a branch of applied mathematics, which studies problems in order to find the maximum or minimum value of a function that satisfies certain constraints. Especially, a linear optimization studies things that maximizes or minimizes a linear function with linear constraints. One of the ways for solving linear optimization problems is by using interior-point method. There are several variations of the point method, but the aim this paper is to discuss the interior-point method with primal-dual full-Newton steps. This method follows a guideline called the central path. The movement of the central path are analyzed by this method and implemented with MATLAB. Simulation result shows that the central path approaches the optimal solution of a linear optimization problem.

(4)

PENYELESAIAN MASALAH OPTIMASI LINEAR MENGGUNAKAN

METODE TITIK-INTERIOR PRIMAL-DUAL

DENGAN LANGKAH NEWTON-PENUH

BRAMMANTO PRATAMA BASKARA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Penyelesaian Masalah Optimasi Linear Menggunakan Metode

Titik-Interior Primal-Dual dengan Langkah Newton-Penuh

Nama

: Brammanto Pratama Baskara

NIM

: G54080056

Menyetujui

Pembimbing I,

Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom.

NIP: 19670101 199203 1 004

Pembimbing II,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP: 19651019 199103 2 002

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP: 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta selawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang setinggi-tingginya kepada:

1. Keluargaku tersayang: Bunda Neneng Suprihatin dan Ayah Dwi Heriyanto (terima kasih atas doa, cinta yang tulus, dukungan, kesabaran, dan kepercayaannya), ketiga adikku (terima kasih atas doa, dukungan, dan motivasinya), serta keluarga besar baik dari Bunda maupun Ayah (terima kasih atas doanya),

2. Para donatur dan staf program beasiswa Yayasan Karya Salemba Empat, terima kasih atas doa, motivasi, dan bantuan finansial selama perkuliahan,

3. Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom.selaku dosen pembimbing I yang telah mencurahkan segala ilmu, motivasi, kesabaran, dan bantuannya untuk menyelesaikan karya ilmiah ini, 4. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas ilmu, kesabaran,

kritik, saran, dan dukungannya),

5. Dr. Ir. Fahren Bukhari, M.Sc.selaku penguji (terima kasih atas dorongan semangat, ilmu, dan sarannya),

6. segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Pak Kutha, Pak Wayan, Pak Amril, Pak Prapto, Pak Jahar, Bu Endar, Bu Sri, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan),

7. staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Alm. Pak Bono, Bu Ade, Pak Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya),

8. kakak-kakak Matematika angkatan 42, 43, dan 44 yang memberikan inspirasi untuk menjadi pribadi yang lebih baik,

9. teman-teman seperjuangan, Matematika angkatan 45: Haya, Irwan, Rini, Arbi, Ari, Chastro, Dimas, Dini, Dono, Fenny, Fikri, Tiwi, Fina, Fuka, Haryanto, Herlan, Heru, Ijun, Irma, Khafidz, Kunedi, Mega, Prama, Rian, Ridwan, Roni, Yunda, dan yang lainnya yang selalu mengisi semangat,

10. adik-adik Matematika angkatan 46, 47, dan 48 yang terus mendukung agar berkembang, 11. Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) yang memberikan pengalaman baru, 12. dan semua pihak yang membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Maret 2013

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 5 Desember 1989 dari pasangan Bapak Dwi Heriyanto dan Ibu Neneng Suprihatin. Penulis merupakan putra pertama dari empat bersaudara.

Tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Polisi 5 Bogor, tahun 2005 lulus dari SMP Negeri 7 Bogor, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor, dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Kewirausahaan Agribisnis, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Pengantar Metode Komputasi (S1) pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011, 2011-2012, dan 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pemrograman Linear (S1) pada semester genap tahun akademik 2010-2011. Pada tahun 2010-2013 penulis mendapatkan beasiswa dari Yayasan Karya Salemba Empat.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 1

II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Maksimum dan Minimum Lokal ... 2

2.2 Metode Pengali Lagrange ... 2

2.3 Metode Newton ... 2

2.4 Aljabar Linear ... 3

2.5 Matriks ... 5

2.6 Matriks Diagonal ... 5

2.7 Sistem Persamaan Linear ... 5

2.8 Ortogonalitas ... 6

2.9 Optimasi Linear ... 6

2.10 Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual ... 7

III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Pendekatan Barrier dan Kondisi Fisibel Titik-Interior ... 7

3.2 Central Path ... 9

3.3 Langkah Newton-Penuh ... 10

3.4 Transformasi Vektor , dan ke Vektor dan dalam Sistem (3.5) ... 11

3.5 Langkah Newton-Penuh dari Titik di Daerah Fisibel ke -center ... 12

3.6 Algoritme untuk Metode Titik-Interior Primal-Dual ... 13

IV APLIKASI DAN IMPLEMENTASI ... 14

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ... 16

5.2 Saran ... 16

DAFTAR PUSTAKA ... 16

LAMPIRAN ... 17

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Central path ... 7

2 Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-1 ... 14

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Transformasi Persamaan (10) menjadi Persamaan (11)... 18

2 Transformasi Sistem (3.5) menjadi Sistem (3.7) ... 18

3 Penentuan Solusi , , dan ... 21

4 Program MATLAB untuk contoh kasus ke-1 ... 23

5 Program MATLAB untuk contoh kasus ke-2 ... 25

6 Program MATLAB untuk Newton_step ... 27

(10)

I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Optimasi adalah suatu bidang dari

matematika terapan yang mempelajari

masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada.

Optimasi linear khusus mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan meminimumkan atau memaksimumkan fungsi-fungsi linear, dengan kendala yang juga linear (berupa persamaan atau pertidaksamaan).

Optimasi linear muncul menjadi suatu model matematika pada situasi perang dunia II, ketika Dantzig (1947) mengajukan

penggunaan metode simpleks untuk

menyelesaikan masalah pemrograman linear. Saat itu kata pemrograman tidak berarti

penulisan program komputer, seperti

penggunaan secara umum kata pemrograman saat ini. Untuk menghindarkan kerancuan, pada saat ini makin banyak orang yang lebih senang menggunakan kata optimasi daripada

pemrograman (Silalahi 2011). Sebuah

organisasi dalam bidang matematika

optimasi, Mathematical Programming

Society, sekarang telah berubah nama menjadi Mathematical Optimization Society.

Daerah fisibel dari masalah optimasi linear adalah suatu polihedron. Metode simpleks bergerak dari verteks ke verteks untuk memperoleh solusi optimal. Metode ini dirancang sedemikian rupa sehingga nilai dari fungsi objektif berubah secara monoton ke arah nilai optimal. Penemuan Dantzig telah

menginspirasi banyak penelitian dalam

matematika, khususnya bidang optimasi. Metode simpleks merupakan suatu algoritme yang efisien untuk menyelesaikan masalah optimasi linear (Nematollahi & Terlaky 2008). Terdapat banyak variasi dari metode simpleks. Variasi-variasi tersebut dibedakan oleh aturan untuk memilih verteks yang akan dikunjungi yang biasa disebut aturan pivot.

Keefisienan metode simpleks untuk

menyelesaikan banyak problem optimasi linear, memunculkan pertanyaan saat itu: apakah ada masalah optimasi linear yang memerlukan iterasi yang eksponensial bila diselesaikan dengan metode simpleks. Per-tanyaan ini dijawab oleh Klee dan Minty pada tahun 1972, dengan memberikan suatu contoh

masalah optimasi linear yang memiliki

pertidaksamaan dan memerlukan

iterasi (Silalahi 2011). Hal ini memacu

penelitian-penelitian untuk menemukan

algoritme optimasi linear yang memerlukan iterasi yang polinomial (Silalahi 2011).

Metode elipsoid yang diusulkan oleh

Khachiyan pada tahun 1979 dapat

menyelesaikan masalah optimasi linear

dengan kompleksitas polinomial. Meskipun

metode elipsoid memiliki kompleksitas

polinomial, namun dalam penerapan secara

komputasi metode ini tidak efisien.

Kekonvergenan metode ini lebih lambat dari metode simpleks (Silalahi 2011).

Metode proyektif yang dipaparkan oleh

Karmarkar pada tahun 1984 dapat

menyelesaikan masalah optimasi linear

dengan kompleksitas yang lebih efisien daripada metode elipsoid. Metode proyektif Karmarkar memulai revolusi dalam bidang optimasi karena memunculkan sesuatu yang

disebut interior-point methods (metode–

metode titik-interior). Berbeda dengan metode simpleks yang bergerak dari verteks ke verteks, metode–metode titik-interior bergerak di interior dari domain untuk menemukan nilai optimal (Silalahi 2011). Ada beberapa variasi dari metode titik-interior, di antaranya

metode path-following, dengan penentuan

solusi optimal menggunakan central path. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas algoritme primal-dual Newton-penuh dengan central path untuk menentukan solusi optimal dari masalah optimasi linear. Sumber utama karya ilmiah ini adalah buku berjudul Interior Point Methods for Linear Optimization (Roos et al. 2006).

1.2Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini ialah sebagai berikut:

1. menjelaskan dan mengonstruksi kembali

langkah Newton-penuh pada metode titik-interior primal-dual,

2. menganalisis pergerakan central path

terhadap masalah optimasi linear

berdasarkan metode titik-interior primal-dual dengan ..langkah-lnNewton-penuh

dan mengimplementasikannya dengan

(11)

II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1Maksimum dan Minimum Lokal

Salah satu penggunaan turunan adalah penentuan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Pada subbab ini, turunan parsial akan digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi dua

variabel. Misalkan fungsi adalah fungsi dua

variabel yang memuat variabel dan .

Andaikan nilai variabel berubah-ubah

sedangkan nilai variabel tetap, dapat

dikatakan dengan adalah konstanta

sehingga fungsi dapat dipandang sebagai

fungsi dengan variabel tunggal , yaitu

. Andaikan juga fungsi

mempunyai turunan di sehingga dapat

dinotasikan yang berarti

turunan parsial dari terhadap di .

Definisi 1(Maksimum Lokal)

Fungsi dua variabel mempunyai

maksi-mum lokal di jika

ketika dekat untuk semua titik di dalam suatu cakram dengan pusat .

(Stewart 2000) Definisi 2(Minimum Lokal)

Fungsi dua variabel mempunyai minimum lokal di jika ketika dekat untuk semua titik di

dalam suatu cakram dengan pusat .

(Stewart 2000)

Teorema 1

Jika mempunyai maksimum atau

minimum lokal di dan turunan parsial

orde pertama dari ada di maka

dan .

(Stewart 2000)

Teorema 2 (Uji Turunan Kedua) Misalkan turunan parsial kedua dari

kontinu pada cakram dengan pusat serta

dan . Misalkan

1. Jika dengan

maka adalah nilai minimum lokal.

2. Jika dengan

maka adalah nilai maksimum

lokal.

3. Jika maka bukan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. (Stewart 2000)

2.2Metode Pengali Lagrange

Metode pengali Lagrange adalah suatu prosedur untuk menentukan maksimum atau minimum fungsi objektif terhadap kendala persamaan. Misalkan diberikan masalah pengoptimuman sebagai berikut

maks

terhadap ,

dengan dan adalah fungsi dari

vektor berukuran .

Fungsi Lagrange dari masalah ini ialah ∑

dengan variabel adalah pengali Lagrange.

Syarat perlu untuk titik stasioner dari adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange sama dengan nol

(Jensen & Bard 2002)

2.3Metode Newton

Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan masalah tak-linear. Misalkan persamaan adalah

persamaan taklinear dengan merupakan

penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan.

Pada solusi eksak , nilai fungsi dapat

dinyatakan sebagai dan nilai dari fungsi

turunan pertama adalah . Nilai

adalah solusi yang diperoleh pada iterasi ke-. Misalkan , turunan dapat diartikan

sebagai laju perubahan terhadap .

Andaikan berubah dari ke maka

perubahan pada adalah .

Perubahan ini diperlukan untuk mengubah

nilai fungsi menuju nol. Selanjutnya,

metode Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari di sekitar , sebagai berikut

sehingga

( )

Tetapkan pendekatan sama dengan 0

(12)

3

Titik adalah solusi pendekatan

fungsi . Jika titik awal cukup dekat

dengan maka nilai dari akan mendekati

dengan .

Metode Newton dapat juga digunakan untuk mengubah bentuk suatu fungsi taklinear menjadi bentuk fungsi linear dari fungsi

multivariabel. Misalkan persamaan

adalah persamaan taklinear dengan vektor dari persamaan multivariabel tersebut dan matriks Jacobi pada dinyatakan sebagai berikut ( ) kemudian dengan menggunakan deret Taylor orde pertama di sekitar titik dan dengan

menetapkan diperoleh

dengan dan .

Titik adalah solusi pendekatan

fungsi . Jika titik cukup dekat dengan

titik maka nilai dari akan mendekati

dengan (Jensen & Bard 2002).

Contoh 1

Diketahui suatu fungsi taklinear

dengan hampiran awal

. Metode Newton dapat digunakan

untuk mengubah bentuk fungsi taklinear

menjadi fungsi linear sebagai

berikut

dengan ( ) dan

(

) saat sehingga diperoleh

( )( )

( )

Jadi fungsi taklinear dapat diubah

menjadi fungsi linear .

2.4Aljabar Linear

Definisi 3(Ruang Vektor)

Misalkan adalah himpunan dengan

pendefinisian operasi penjumlahan dan

operasi perkalian dengan skalar. Setiap

pasangan elemen dan di dalam terdapat

suatu elemen yang tunggal juga berada di dalam serta setiap elemen di dalam dan setiap skalar terdapat yang tunggal

juga berada di dalam . Himpunan dengan

operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ini dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut

1. , .

2. , . 3. Terdapat sehingga

, .

4. Untuk setiap , terdapat

sehingga .

5. , dan skalar .

6. , dan skalar serta skalar .

7. , dengan skalar dan skalar .

8. , .

Elemen dalam adalah vektor sedangkan

simbol menyatakan vektor nol.

(Leon 1998) Contoh 2

Misalkan dengan

menyatakan himpunan vektor berukuran dengan entri bilangan real. Misalkan vektor

[ ], [ ] elemen dari .

(13)

4 [ ]

dan operasi perkalian dengan skalar

[ ] [

]

maka himpunan adalah ruang vektor.

Contoh 3

Misalkan menyatakan himpunan

matriks berukuran dengan entri

bilangan real. Misalkan matriks ,

dengan [ ] [ ]

Didefinisikan operasi penjumlahan [ ]

dan operasi perkalian dengan skalar

[

]

maka himpunan adalah ruang vektor.

Definisi 4(Ruang Bagian)

Jika adalah himpunan bagian takkosong

dari suatu ruang vektor dan memenuhi

syarat-syarat berikut

1. jika untuk sembarang skalar ,

2. jika dan , maka disebut ruang bagian dari .

(Leon 1998)

Definisi 5(Kombinasi Linear)

Misalkan adalah

vektor-vektor dalam suatu ruang vektor-vektor . Jumlah

vektor-vektor yang berbentuk

dengan skalar-skalar disebut kombinasi linear dari .

(Leon 1998)

Definisi 6(Rentang)

Misalkan adalah

vektor-vektor dalam suatu ruang vektor-vektor . Himpunan

semua kombinasi linear dari disebut rentang (span) dari vektor-vektor

yang dituliskan sebagai Rentang ( ).

(Leon 1998)

Definisi 7(Himpunan Perentang)

Himpunan { } disebut

himpunan perentang untuk jika dan hanya

jika setiap vektor dalam dapat ditulis

sebagai kombinasi linear dari . (Leon 1998)

Definisi 8(Bebas Linear)

Vektor-vektor dalam

ruang vektor disebut bebas linear jika

mengakibatkan semua skalar-skalar

harus sama dengan nol. (Leon 1998)

Definisi 9(Basis)

Vektor-vektor

mem-bentuk basis untuk ruang vektor jika dan hanya jika

1. bebas linear, 2. merentang .

(Leon 1998)

Definisi 10 (Dimensi)

Misalkan adalah ruang vektor. Jika memiliki basis yang terdiri atas vektor,

maka dikatakan memiliki dimensi .

(Leon 1998)

Definisi 11 (Ruang Baris)

Misalkan matriks berukuran dan

diketahui ruang vektor menyatakan

himpunan semua vektor berukuran

dengan entri bilangan real. Ruang bagian dari _{yang direntang oleh vektor-vektor baris} dari disebut ruang baris dari .

(Leon 1998)

Definisi 12 (Pangkat)

Pangkat dari matriks adalah dimensi dari ruang baris .

(14)

5

Definisi 13 (Pangkat Penuh dan Pangkat Baris Penuh)

Pangkat penuh dari suatu matriks

dengan baris dan kolom adalah

sedangkan pangkat baris penuh dari matriks adalah .

(Leon 1998)

2.5Matriks

Definisi 14 (Matriks Identitas)

Matriks identitas adalah matriks ( ) yang berukuran , dengan

{

(Leon 1998)

Definisi 15 (Invers dari Suatu Matriks)

Suatu matriks yang berukuran

dikatakan taksingular jika terdapat matriks

sehingga . Matriks dikatakan

invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan .

(Leon 1998)

Definisi 16 (Transpos dari suatu Matriks) Transpos dari suatu matriks ( )

yang berukuran adalah matriks

( ) yang berukuran yang didefinisikan oleh

untuk setiap dan . Transpos dari

dinotasikan oleh .

(Leon 1998)

Definisi 17 (Matriks Simetris)

Suatu matriks berukuran disebut

matriks simetris jika .

(Leon 1998)

2.6Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks berukuran yang semua unsur selain diagonal utama ialah nol. Matriks diagonal berukuran dapat ditulis sebagai

[ ]

dengan , , , disebut unsur diagonal

utama. Matriks diagonal memiliki invers

yang dapat dinyatakan sebagai

(

₎

dengan semua unsur diagonal utama adalah taknol sehingga . Matriks dapat dikatakan matriks simetris karena

(Anton & Rorres 2005).

2.7Sistem Persamaan Linear

Definisi 18 (Persamaan Linear)

Suatu persamaan linear dalam variabel adalah persamaan dengan bentuk

dengan , , …, , dan adalah

bilangan-bilangan real dan , , …, adalah

variabel.

(Leon 1998)

Definisi 19 (Sistem Persamaan Linear) Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari persamaan dalam variabel adalah suatu sistem berbentuk

dengan dan ( , )

adalah bilangan-bilangan real dan , , …,

adalah variabel. SPL tersebut disebut sebagai SPL berukuran .

Penyelesaian SPL berukuran adalah

sebuah vektor kolom berukuran , yaitu

[ ],

yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Vektor yang demikian disebut sebagai vektor penyelesaian.

(Leon 1998)

Selain itu, SPL berukuran tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk

dengan matriks dan vektor kolom

(masing-masing berukuran dan )

adalah

(15)

6

[

]

[ ]

Matriks disebut sebagai matriks koefisien,

sedangkan vektor kolom disebut sebagai

vektor konstanta.

(Leon 1998)

Definisi 20 (Kekonsistenan suatu Sistem Persamaan Linear)

Suatu SPL dikatakan konsisten jika mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai penyelesaian dikatakan takkonsisten.

(Leon 1998)

2.8 Ortogonalitas

Definisi 21 (Hasil Kali Skalar di )

Misalkan dengan

[ ] [ ]

maka hasil kali skalar dari dan adalah

(Leon 1998)

Definisi 22 (Hasil Kali Hadamard)

Diketahui dan adalah ruang

vektor. Vektor dan matriks _{. Jika} _dan _{didefinisikan sebagai}

[ ] [ ]

dan adalah matriks diagonal dengan unsur diagonal utama ialah elemen vektor sehingga

[ ]

maka hasil kali Hadamard dari dan adalah

Dengan perkataan lain, hasil kali

Hadamard adalah perkalian antara unsur dengan unsur yang seletak (componentwise) dari dua buah vektor yang berukuran sama. Selanjutnya dalam karya ilmiah ini, hasil kali Hadamard dinotasikan sebagai (Roos et al. 2006).

Contoh 4(Hasil Kali Hadamard)

Misalkan serta

dengan [ ], [ ], ,

. Hasil kali Hadamard dari dan dinyatakan sebagai

[

] [ ] [ ]

[ ] [

] [ ] . Dapat juga ditulis sebagai berikut

[ ] [ ] [ ]

Definisi 23 (Norm dari suatu Vektor di )

Misalkan dengan

[ ]

maka norm dari vektor di adalah

‖ ‖ √ √ (Leon 1998)

2.9Optimasi Linear

Optimasi adalah suatu bidang dari

matematika terapan yang mempelajari

masalah-masalah yang bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi, dengan memenuhi kendala-kendala yang ada.

(16)

7

Definisi 24 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel dari masalah optimasi linear adalah himpunan titik-titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada optimasi linear tersebut.

(Winston 2004)

Definisi 25 (Solusi Optimal)

Untuk masalah maksimisasi, solusi

optimal pada optimasi linear adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling besar sedangkan untuk masalah minimisasi, solusi optimal pada optimasi linear adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling kecil.

(Winston 2004)

2.10Bentuk Standar Primal dan Bentuk Standar Dual

Masalah optimasi linear dalam bentuk standar diberikan sebagai berikut

min{ }

dengan vektor , serta

_{adalah matriks berpangkat baris}

penuh. Masalah disebut masalah primal.

Masalah dual dari masalah primal diberikan sebagai berikut

maks { }

dengan dan . Masalah

disebut masalah dual.

Daerah fisibel dari masalah

didefinisi-kan sebagai

{ }

sedangkan daerah fisibel dari didefinisi-kan sebagai

{ }

Daerah interior masalah didefinisikan

sebagai berikut

{ } sedangkan daerah interior dari masalah didefinisikan sebagai

{ } (Silalahi 2011)

Proposisi 1(Dualitas Lemah)

Misalkan adalah solusi fisibel untuk

dan adalah solusi fisibel untuk

maka . disebut

kesenjangan dualitas. Akibatnya, adalah

batas atas untuk nilai optimal dari , jika

ada, serta adalah batas bawah untuk nilai

optimal dari , jika ada. Selanjutnya, jika kesenjangan dualitas adalah nol maka

adalah solusi optimal dari dan

adalah solusi optimal dari .

(Roos et al. 2006)

Teorema 3 (Dualitas)

Jika dan fisibel maka kedua

masalah tersebut mempunyai solusi optimal; kemudian, dan adalah solusi optimal jika dan hanya jika .

Definisi 26 (Central Path)

Central path adalah suatu kurva yang bergerak dari bagian dalam pada daerah fisibel menuju solusi optimal.

(Silalahi 2011)

Gambar 1Central path.

III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1Pendekatan Barrier dan Kondisi Fisibel Titik-Interior

Berdasarkan Teorema 3, penentuan solusi

optimal dari dan setara dengan

penyelesaian sistem berikut:

, , (1)

, , (2) (3.1)

, (3)

dengan vektor-vektor , sedangkan

vektor-vektor , serta matriks

_{adalah matriks berpangkat baris} penuh. Hasil kali pada sistem (3.1) adalah hasil kali Hadamard dari vektor dan vektor

. Simbol adalah vektor nol. Perkalian

(17)

8

Sistem (3.1) adalah kondisi optimal untuk masalah primal-dual. Persamaan (1) pada sistem (3.1) adalah kendala fisibel untuk

masalah primal dan persamaan (2)

merupakan kendala fisibel untuk masalah dual . Persamaan (3) dari sistem (3.1) adalah kendala pelengkap. Kendala taknegatif dalam kondisi fisibel membuat penyelesaian dari masalah menjadi taktrivial, hanya metode iteratif yang dapat memperoleh solusi dari sistem linear yang melibatkan kendala pertaksamaan (Silalahi 2011).

Persamaan (3) dari sistem (3.1) merupakan persamaan taklinear sehingga diperlukan suatu pendekatan untuk menentukan solusi agar sistem (3.1) menjadi optimal. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah pendekatan barrier. Ide pendekatan barrier diperkenalkan oleh Frisch pada tahun 1955 (Roos et al. 2006). Metode ini bermula dari suatu titik di interior dari pertidaksamaan dan , lalu dikonstruksi barrier sedemikian rupa sehingga variabel tidak menyentuh batas daerah fisibel.

Penambahan ke fungsi objektif

merupakan salah satu cara dari pendekatan barrier ini. Penambahan menyebabkan nilai fungsi objektif mengalami kenaikan atau penurunan tanpa batas (apabila atau ). Kesulitan dari ide ini ialah jika titik optimal berada pada batas, misalnya satu atau lebih . Untuk mengatasi kesulitan ini,

digunakan parameter untuk menentukan

nilai maksimum atau minimum fungsi objektif dari bentuk barrier.

Masalah primal-barrier ditulis sebagai berikut

minimumkan ∑ ( )

terhadap

dan masalah dual-barrier dapat ditulis sebagai berikut

maksimumkan ∑ ( )

terhadap .

Masalah tersebut memiliki fungsi objektif yang taklinear dengan kendala persamaan linear, sehingga dapat diselesaikan dengan metode Lagrange untuk tetap.

Misalkan adalah fungsi Lagrange

masalah primal.

∑ ( )

Fungsi diturunkan secara parsial terhadap dan dengan . Pertama, fungsi diturunkan terhadap dengan ∑ ∑

Kemudian fungsi diturunkan terhadap

dengan ∑

Fungsi adalah fungsi Lagrange masalah

dual.

∑ ( )

Fungsi diturunkan secara parsial terhadap , , dan dengan . Pertama,

fungsi diturunkan terhadap dengan

Selanjutnya fungsi diturunkan terhadap dengan

(18)

9

∑

Kemudian fungsi diturunkan terhadap

dengan ∑

Variabel dual merupakan pengali Lagrange

untuk masalah primal dan variabel primal merupakan pengali Lagrange untuk masalah dual.

Kendala pelengkap diganti menjadi

, agar solusi sistem dari sistem yang baru mendekati solusi sistem (3.1), dengan

parameter adalah sembarang bilangan

positif dan adalah vektor yang semua

unsurnya bernilai satu. Kendala ini

disebut juga kondisi-pemusat pada

(Silalahi 2011).

Dengan demikian, sistem (3.1) menjadi sistem yang baru

, ,

, , (3.2)

, (4)

dengan vektor-vektor , sedangkan

vektor-vektor , serta matriks

_{adalah matriks berpangkat baris}

penuh. Vektor adalah vektor yang semua

unsurnya bernilai satu dengan . Sistem

ini merupakan kondisi optimal untuk masalah minimisasi (Silalahi 2011).

Jika sistem (3.2) memiliki solusi untuk beberapa nilai positif dari parameter maka

daerah fisibel primal mengandung vektor

positif, dan daerah fisibel dual mengandung

pasangan dengan vektor positif

sehingga daerah fisibel dan daerah fisibel mengandung vektor positif. Hal tersebut

merupakan kondisi fisibel titik-interior.

Demikian juga sebaliknya, jika daerah fisibel

dan mengandung vektor positif maka

sistem (3.2) memiliki solusi untuk setiap positif. Hal ini merupakan konsekuensi dari teorema berikut.

Teorema 4

Misalkan . Daerah fisibel dan mengandung vektor positif jika dan hanya jika sistem (3.2) memiliki solusi yang tunggal.

(Roos et al. 2006).

3.2Central Path

Pada kondisi fisibel titik-interior, sistem (3.2) memiliki solusi tunggal untuk setiap nilai positif dari . Solusi ini dinotasikan sebagai , dan . Solusi

adalah -center dari dan solusi

( ) adalah -center dari .

Himpunan { } merupakan suatu

kurva di yang disebut central path dari . Demikian pula dengan himpunan {( ) } merupakan suatu kurva di yang disebut central path dari (Silalahi 2011).

Jika maka

masing-masing konvergen ke analytic center

dari dan .Definisi dari analytic center

adalah sebagai berikut. Definisi 27 (Analytic Center)

Misalkan notasi { } adalah

yang memaksimumkan nilai fungsi .

Analytic center primal adalah { } sedangkan analytic center dual adalah { }

(Silalahi 2011) Contoh 5

Misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut:

minimumkan

terhadap

Masalah pada Contoh 5 dapat ditulis dalam bentuk standar dual sebagai berikut:

maksimumkan

terhadap

...

Penentuan analytic center dual adalah sebagai berikut

{ } dengan

(19)

10

[ ]

{ [ _] [ ] [ ] [ ] }

sehingga { } menjadi

dengan .

Berdasarkan Teorema 1 untuk menentukan nilai maksimum diperoleh

Titik kritis fungsi adalah . Selanjutnya uji titik kritis dengan uji turunan kedua sebagai berikut

dan . Kemudian ditentukan ( ) .

( )

lalu ditentukan ,

( )

sehingga dari Teorema 2 titik adalah titik maksimum lokal.

Jadi nilai analytic center dual dari Contoh 5

adalah .

3.3Langkah Newton-Penuh

Langkah Newton-penuh merupakan

metode yang dapat digunakan untuk mencari pendekatan penyelesaian sistem (3.2), untuk

suatu yang tetap. Misalkan diberikan

pasangan solusi fisibel primal-dual ( ). Akan didefinisikan, pencarian arah , ,

dan sehingga

memenuhi (3.2). Dengan perkataan lain,

(5)

(6) (3.3) (7)

dengan , , , , , , , , dan _{. Pada persamaan (7) berlaku hasil}

kali Hadamard. Diketahui dan

. Dari persamaan (5) diperoleh,

Dari persamaan (6),

Dari persamaan (7),

(20)

11

sehingga sistem (3.3) setara dengan

.(8)

.(9) (3.4) (10)

Pada sistem (3.4), persamaan (10) adalah persamaan taklinear karena mengandung

bentuk sehingga metode Newton

diperlukan untuk mengubah bentuk

persamaan (10) menjadi persamaan linear sebagai berikut (penghitungan lengkap lihat Lampiran 1)

Jadi sistem (3.4) dapat ditulis kembali sebagai sistem berikut

(11)

(3.5)

Sedangkan solusi sistem (3.5) dapat diketahui dari teorema berikut.

Teorema 5 (Solusi Sistem (3.5))

Sistem (3.5) memiliki solusi yang tunggal, yaitu

Solusi , , dan dinamakan arah Newton primal-dual. Dengan mengambil langkah sepanjang arah Newton primal-dual, diperoleh nilai , , dan yang baru dengan

notasi , , dan sehingga diperoleh

solusi yang baru sebagai berikut

(3.6)

Solusi , , dan disebut langkah

Newton-penuh.

3.4Transformasi Vektor , dan ke Vektor dan dalam Sistem (3.5)

Pada proses central path menuju solusi optimal, transformasi vektor , dan

menjadi dan diperlukan untuk

membangkitkan suatu urutan titik dalam

lingkungan central path. Dalam melakukan

transformasi ini, berlaku hasil kali Hadamard. Sama halnya dengan hasil kali Hadamard, yaitu perkalian unsur dengan unsur yang seletak (componentwise) antara dua vektor, hasil bagi dari dua vektor berukuran sama juga berlaku pembagian unsur dengan unsur

yang seletak (componentwise) antara dua

vektor. Sebelum melakukan transformasi pada

sistem (3.5), terlebih dahulu akan

didefinisikan vektor-vektor , , , dan

matriks √ ⁄ . Pendefinisian

vektor-vektor ini berdasarkan Roos et al. tahun 2006.

√ _√ ...(12)

√ √ √

√ ...(13)

√ √ ...(14) Persamaan (12) dapat ditulis sebagai

_√

√ √

kemudian √ √ disubstitusi ke per-samaan (13), diperoleh

√ √ √ √ √ √ √

Misalkan , kemudian substitusi

persamaan (12), vektor menjadi

√

_√√ √

Misalkan

√ dinotasikan sebagai vektor . Dengan manipulasi aljabar diperoleh

√ √ √ √

...(15)

Persamaan (12) dapat ditulis kembali sebagai

_√

√ √

Kemudian √ √ disubstitusi ke

per-samaan (13), diperoleh √ √

√ √

Misalkan , kemudian substitusi

persamaan (12), vektor menjadi

√ √ √ √ Misalkan

(21)

12 √ √ √ √ ...(16)

Dari persamaan (8) dengan substitusi persamaan (15) diperoleh

Kemudian substitusi persamaan (13) menjadi

√

Dari persamaan (9) dengan substitusi

persamaan (14) dan persamaan (16) diperoleh,

√

Kemudian substitusi persamaan (13)menjadi √

√

Selanjutnya persamaan (11) dengan substitusi persamaan (15) dan persamaan (16) diperoleh,

Lalu substitusi vektor menjadi

√

sehingga sistem (3.5) setara dengan sistem hasil transformasi berikut (bukti Lampiran 2)

(3.7)

3.5Langkah Newton-Penuh dari Titik di Daerah Fisibel ke -center

Solusi , , dan dapat ditentukan berdasarkan pemisalan berikut.

Misalkan persamaan ketiga pada sistem (3.7) dapat ditulis sebagai (bukti Lampiran 3) _...(17) persamaan (1) dapat ditulis sebagai

...(18) dan persamaan (3) menjadi

...(19) Selanjutnya, akan ditentukan solusi , , dan sebagai berikut.

Dari persamaan (5) diperoleh,

Kemudian substitusi persamaan (18) diperoleh

Lalu substitusi persamaan (15) diperoleh √ √

Dari persamaan (6) diperoleh, Kemudian substitusi persamaan (19), √ _...(20)

(22)

13 √ √ √ ₍ ₍ √ )) ( ( √ ))

Solusi , , dan ini yang akan digunakan dalam algoritme dan program MATLAB pada subbab selanjutnya. Serupa dengan solusi (3.6), sistem solusi (3.8) menggunakan solusi , , dan seperti penurunan langkah Newton-penuh dari titik di daerah fisibel ke -center sehingga diperoleh solusi baru sebagai berikut

(3.8)

Solusi , , dan disebut langkah Newton-penuh dari titik di daerah fisibel ke -center.

3.6Algoritme untuk Metode Titik-Interior Primal-Dual

Metode titik-interior primal-dual merupa-kan salah satu metode iteratif untuk

menyelesaikan masalah optimasi linear.

Proses iterasi pada algoritme untuk metode interior primal-dual menghasilkan titik-titik pada interior daerah fisibel yang akan

membentuk central path menuju solusi

optimal. Lema 1

Langkah Newton primal-dual adalah fisibel jika dan hanya jika serta langkah Newton primal-dual adalah fisibel strictly jika dan hanya jika

(Roos et al. 2006) Teorema 6

Jika langkah Newton primal-dual adalah

fisibel maka .

Vektor dan merupakan langkah

se-panjang arah Newton primal-dual dan adalah banyaknya variabel dari masalah primal-dual.

Sebelum itu, akan diperkenalkan notasi-notasi untuk iterasi-iterasi yang berurutan ini.

Misalkan vektor adalah titik yang terletak

pada daerah fisibel yang dihasilkan saat iterasi

ke- . Vektor dan adalah titik yang

terletak pada daerah fisibel yang dihasilkan

saat iterasi ke- . Parameter adalah

bilangan positif yang dihasilkan saat iterasi ke- . , , dan berturut-turut adalah

selisih antara ke , ke ,

dan ke . Simbol dan adalah

parameter.

Algoritme atau langkah-langkah untuk mendapatkan solusi optimal dengan metode

titik-interior primal-dual adalah sebagai

berikut.

Input : Matriks , vektor untuk masalah

primal, vektor , vektor untuk

masalah dual, , , dan .

Output : Gambar central path, banyaknya ite-rasi, dan nilai solusi optimal.

Langkah 1. Pilih titik sembarang pada daerah

fisibel yang ditandai dengan dan di , di , positif, , , dan .

Langkah 2. Dengan langkah Newton-penuh

untuk positif. Tentukan dan

sehingga .

Langkah 3. Selama lanjut ke

Langkah 4; selainnya, STOP.

Langkah 4. Hitung langkah Newton-penuh

pada solusi (3.8)

Langkah 5. Perbarui solusi,

Selanjutnya , kembali ke Langkah 3.

(23)

14

IV

APLIKASI DAN IMPLEMENTASI

Algoritme untuk metode titik-interior primal-dual diimplementasikan dengan mem-buat program pada MATLAB. Program MATLAB dari algoritme untuk metode titik-interior primal-dual terdapat pada Lampiran 4, Lampiran 5, dan Lampiran 6. Input dari program ini adalah matriks koefisien dari kendala, vektor pembatas dari kendala, vektor fungsi objektif, titik awal sembarang di interior, dan sembarang nilai , sedangkan outputnya adalah banyak iterasi dan gambar dari central path. Pembangkitan metode titik-interior primal-dual mengguna-kan fasilitas penulisan program M-File pada MATLAB yang telah disediakan oleh Silalahi tahun 2011.

Untuk contoh kasus ke-1, misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut:

Min

terhadap

.

Masalah pada contoh ke-1 dapat juga ditulis dalam bentuk masalah standar dual berikut:

Maks

terhadap

.

Kendala dapat ditulis dalam matriks sebagai

[ _] [ ] [ ] [ ]

Lalu inputkan ke dalam program serta titik

awal sembarang di interior diberikan

[ ] , , dan . Selanjutnya, akan dibandingkan untuk nilai , , dapat dilihat pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 berikut

Gambar 2Pola titik di sekitar central path ketika dari contoh kasus ke-1.

Nilai yang diinputkan ke dalam program

diubah-ubah sedemikian rupa sehingga

(24)

15

juga dilihat dari pola titik-titik berwarna biru yang terletak di sekitar central path.

Contoh kasus ke-2, misalkan diberikan masalah optimasi linear berikut:

Min terhadap

.

Masalah pada contoh ke-2 dapat juga ditulis dalam bentuk masalah standar dual berikut:

Maks

terhadap

.

Kendala dapat ditulis dalam matriks sebagai

[

] [ ] [ ] [ ]

lalu inputkan ke dalam program serta titik

awal sembarang di interior diberikan

[ ] , , dan . Selanjutnya, akan dibandingkan untuk nilai , , dapat dilihat pada Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7 berikut

Nilai yang diinputkan ke dalam program

diubah-ubah sedemikian rupa sehingga

terlihat lompatan titik-titik di sekitar central path. Nilai berada di antara selang 0 dan 1. Ketika nilai banyak iterasi sebesar 123, terjadi iterasi sebesar 19, dan hanya terdapat 9 iterasi. Hal ini dapat juga dilihat dari pola titik-titik berwarna biru yang terletak di sekitar central path.

Fungsi objektif pada kedua contoh kasus tersebut adalah . Fungsi objektif ini diminimumkan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Baik contoh kasus ke-1 maupun contoh kasus ke-2 memiliki solusi optimal di dengan nilai optimal fungsi objektif sebesar .

Titik awal yang ditentukan di interior pada contoh kasus ke-1 adalah . Titik awal ini tepat dengan titik analytic center

untuk takhingga. Namun titik awal yang

diberikan pada contoh kasus ke-2, yaitu , tidak tepat dengan titik analytic center untuk takhingga sehingga terjadi pencarian titik menuju titik analytic center ketika takhingga. Hal ini dapat juga dilihat dari Gambar 5 hingga Gambar 7...

(25)

16

V

SIMPULAN DAN SARAN

5.1Simpulan

Metode titik-interior primal-dual dapat

dikonstruksi kembali dengan langkah

Newton-penuh. Dengan metode titik-interior primal-dual, solusi optimal diperoleh melalui pergerakan titik di sekitar central path. Nilai yang berbeda akan mengakibatkan pergerakan titik yang berbeda pula di sekitar central path. Ketika nilai mendekati nol, titik di sekitar central path menjadi rapat sedangkan bila

nilai mendekati satu maka titik di sekitar central path menjadi renggang.

5.2Saran

Untuk penelitian selanjutnya, nilai yang terbaik agar mendapatkan iterasi minimum dapat ditentukan dengan memperhatikan lompatan titik di sekitar central path. Perlu dilakukan analisis algoritme metode titik-interior primal-dual berdasarkan kompleksitas komputasi yang terbaik.

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2005. Elementary Linear Algebra. Ed ke-9. New Jersey: John Wiley and Sons.

Jensen PA, Bard JF. 2002. Operations

Research: Models and Methods. New York: John Wiley and Sons.

Leon SJ. 1998. Linear Algebra with

Applications. Ed ke-5. New Jersey: Prentice Hall.

Nematollahi E, Terlaky T. 2008. A Simpler

and Tighter Redundant Klee-Minty

Construction. Optimization Letters

2(3):403-414.

Roos C, Terlaky T, Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear Optimization. New York: Springer.

Silalahi BP. 2011. On the Central Path of Redundant Klee-Minty Problems. PhD

thesis. Roos C (promotor). Delft

University of Technology. The

Netherlands: TU Delft.

Stewart J. 2000. Calculus: Concepts and

Contexts. Edisi ke-2. California: Brooks/Cole Publishing.

Winston WL. 2004. Operations Research:

(26)

(27)

18

Lampiran 1

Transformasi Persamaan (10) menjadi Persamaan (11)

Misalkan fungsi taklinear dengan hampiran awal .

Kemudian menggunakan metode Newton sebagi berikut

dengan dan (

) untuk , diperoleh

dengan substitusi diperoleh

sehingga fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi linear

Lampiran 2

Transformasi Sistem (3.5) menjadi Sistem (3.7)

√

√ ...(12)

√ √ √

√ ...(13)

√ √ ...(14) Persamaan (12) dapat ditulis sebagai

_√

√

√ √ √

kemudian √ √ disubstitusi ke persamaan (13), diperoleh

√ √ √

√

Misalkan , kemudian substitusi persamaan (12) vektor menjadi

√

√ √

Misalkan

√ √ √ √

(28)

19

Kedua ruas dari persamaan √

√ √ dikalikan √

√ menjadi

√

√ √ √ √

√

...(15)

Persamaan (12) dapat ditulis kembali sebagai

_√

_√√ √ √

kemudian √ √ disubstitusi ke persamaan (13), diperoleh √ √

√ √ √

√ √

Misalkan , kemudian substitusi persamaan (12) vektor menjadi

√

√ √

√ Misalkan

√

√ √ √ √ √

√

Kedua ruas dari persamaan _√ √

√ dikalikan √

√ menjadi

√ √

√ √ √ √

√

...(16)

Dari persamaan (8) dengan substitusi persamaan (15) diperoleh

Substitusi persamaan (13)menjadi

√

√ √ √

√ √ √_√

(29)

20

Dari persamaan (9) dengan substitusi persamaan (14) dan persamaan (16) diperoleh,

√

Kedua ruas dari persamaan _√ dikalikan menjadi

√

Substitusi persamaan (13)menjadi

√

√ √

√

Kemudian persamaan (11) dengan substitusi persamaan (15) dan persamaan (16) diperoleh,

Substitusi vektor menjadi

√ √

√

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

√

(30)

21

Lampiran 3

Penentuan Solusi , , dan

Dari persamaan (5) diperoleh,

Substitusi persamaan (18) diperoleh

Substitusi persamaan (15) diperoleh

√

√ √ √

√

Dari persamaan (6) diperoleh, Substitusi persamaan (19) diperoleh,

√

Kedua ruas dari persamaan _√ dikalikan dengan menjadi

√ √

√

_...(20)

Kedua ruas persamaan (20) dikalikan dengan matriks sehingga

(31)

22

√

Dari persamaan

√ , diperoleh dengan mengalikan kedua ruas

dengan

√ ...(21)

sehingga diperoleh solusi , , dan yang tunggalsebagai berikut

√ √ ( ₍

√ ))

( ( √ ))

(32)

23

Lampiran 4

Program MATLAB untuk contoh kasus ke-1

function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] = zigzag_Nematollahi(n)

n=4

A=[-1 1 0 0; 0 0 -1 1]

b=[-1;-1] c=[0;1;0;1]

% figures figure(3) clf

%draw_feas_region(A,b,c) % pause

y = [0.5 0.5]'; %zeros(size(b));

% A' % d=A'*y % d(1) % d(2)

s = c - A'*y

mu = 100; x = mu./s rb = A*x-b

% compute (feasible!) 1-center figure(3)

axis([0 1 0 1])

line('color',[0 0

0],'linestyle','*','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2),'marke

rsize',5);%gambar titik awal di daerah fisibel

for i = 1:250,

[x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu);

line('color',[0 0

rsize',5);

end

rb = A*x-b

rc = c - A'*y - s [x s]

x y x.*s

mu=(x'*s)/(n);

(33)

24

Lanjutan Lampiran 4

theta = 0.1 %pilih 0.5 %pilih 0.8

%hilangkan tanda persen jika digunakan

eps = 10^(-3) %seberapa dekat dgn solusi optimal

figure(3)

line('color',[0 1

0],'linestyle','o','erase','none','xdata',y(1),'ydata',y(2),'marke

rsize',5.8);%gambar fix titik analitik center

it=0

while n*mu>eps,

mu = (1-theta)*mu;

line('color',[0 0

rsize',6);%tebal garis central path

it=it+1

% pause(0.2)

end

line('color',[1 0

rsize',8);%titik solusi optimal

axis([-0.02 0.02 0 10^(0)]) %set(gca,'yscale','log'); axis([-0.3 0.3 0 1]) axis([-0.01 1.01 0 1.01])

xx=[0 1 1 0] yy=[0 0 1 1]

line('color',[1 0 0],'linestyle',

'-','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',2);

y

(34)

25

Lampiran 5

function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] = zigzag_Nematollahi(n)

n=4

A=[-1 1 1/3 1/3 ; 0 0 -1 1 ]

b=[-1;-1] c=[0;1;0;1]

% figures figure(3) clf

%draw_feas_region(A,b,c) % pause

y = [0.5 0.5]'; %zeros(size(b));

s = c - A'*y

mu = 100; x = mu./s rb = A*x-b

% compute (feasible!) 1-center figure(3)

axis([0 1 0 1])

line('color',[0 0

rsize',5);%gambar titik awal di daerah fisibel

for i = 1:250,

line('color',[0 0

rsize',5);

end

rb = A*x-b

rc = c - A'*y - s [x s]

x y x.*s

mu=(x'*s)/(n);

%xsu=(sqrt(x.*s/mu)-sqrt(ones(size(x))*mu./(x.*s))); %delta=normest(xsu)/2

theta = 0.1 %pilih 0.5 %pilih 0.8

(35)

26

Lanjutan Lampiran 5

eps = 10^(-3) figure(3)

line('color',[0 1

rsize',5.8);%gambar fix titik analitik center

it=0

while n*mu>eps,

mu = (1-theta)*mu;

line('color',[0 0

rsize',6);%tebal garis central path

it=it+1

% pause(0.2)

end

line('color',[1 0

rsize',8);%titik solusi optimal

axis([-0.02 0.02 0 10^(0)]) %set(gca,'yscale','log'); axis([-0.3 0.3 0 1]) axis([-0.01 1.01 0 1.01])

xx=[0 1 1 0] yy=[0 0.3 0.7 1]

line('color',[1 0 0],'linestyle',

'-','erase','none','xdata',xx,'ydata',yy,'linewidth',2);

y

(36)

27

Lampiran 6

Program MATLAB untuk Newton_step

function [x,y,s]= Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu);

rb = b - A*x; rc = c - A'*y - s; v = sqrt(x.*s/mu);

r = v.^(-1)-v;

D = diag(sqrt(x./s)); AA=A*D;

M=AA*AA'; % MM=M\A; % MM1=MM*r; % ds=D*A'*MM1; % dx=r-ds;

rhs = rb/sqrt(mu)+AA*(diag(v./s)*rc - r);

dy=M\rhs;

Dy = sqrt(mu)*dy;

ds = diag(v./s)*rc - AA'*dy; dx = r - ds;

Dx = x.*dx./v; Ds = s.*ds./v;

alpha = 1;