BAB II
TINJAUAN PUSTAKA DAN KERANGKA PIKIR
A. Tinjauan Pustaka 1. Pengertian Matematika
Kata matematika berasal dari perkataan latin matematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal kata dari mathema yang berarti pengetahuan dan ilmu atau knowledge, science. Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar atau berpikir.
Matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan atau menelaah bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan-hubungan di antara hal-hal itu.Untuk dapat memahami struktur-struktur serta hubungan-hubungan, tentu saja diperlukan pemahaman tentang konsep-konsep yang terdapat di dalam matematika itu.
Definisi atau pengertian matematika oleh beberapa pakar yang diungkapkan oleh R. Soedjadi: (1). Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara sistematis, (2). Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, (3). Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Menurut Marsigit, matematika adalah himpunan yang dilengkapi dengan bukti.9Sedangkan Erman Suherman, dkk, mengatakan bahwa “matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif”.10
Menurut August Comte (1851: 20), definisi matematika adalah suatu ilmu pengukuran tidak langsung, bagaimana menentukan jumlah yang tidak dapat diukur secara langsung. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak.Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur.Sedang Soedjadi berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.
penelusuran yang memerlukan imajinasi, intuisi, dan penemuan sebagai kegiatan pemecahan masalah dan alat komunikasi, pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi serta hubungan di antara hal-hal tersebut.
Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya.
Berdasarkan uraian di atas, agar supaya simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut.Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan.Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik B( 6, 9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9. Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.
2. Pengertian Belajar
kelompok. Dalam interaksi tersebut akan terjadi sebuah proses pembelajaran, pembelajaran secara umum didefinisikan sebagai suatu proses yang menyatukan kognitif, emosional, dan lingkungan pengaruh dan pengalaman untuk memperoleh, meningkatkan, atau membuat perubahan pengetahuan satu, keterampilan, nilai, dan pandangan dunia (Illeris, 2000; Ormorod, 1995).
Uzer Usman, berpendapat bahwa belajar adalah proses perubahan tingkah laku pada diri individu karena adanya interaksi antar individu dan interaksi antar individu dengan lingkungannya. Hal ini berarti seseorang setelah mengalami proses belajar, akan mengalami perubahan tingkah laku, baik aspek pengetahuannya, keterampilannya maupun aspek sikapnya.
Menurut Anita Lie, belajar adalah suatu kegiatan yang dilakukan siswa bukan suatu yang dilakukan terhadap siswa. 14 Menurut Johnson dan Smith yang juga dikutip oleh Anita Lie menyatakan bahwa belajar merupakan suatu proses pribadi, tetapi juga proses sosial yang terjadi ketika masing-masing orang berhubungan dengan yang lain, membangun pengertian, dan pengetahuan bersama.
Belajar sebagai suatu proses berfokus pada apa yang terjadi ketika belajar berlangsung. Penjelasan tentang apa yang terjadi merupakan teori-teori belajar. Teori belajar adalah upaya untuk menggambarkan bagaimana orang dan hewan belajar, sehingga membantu kita memahami proses kompleks interen pembelajaran. Bertolak dari perubahan yang ditimbulkan oleh perbuatan belajar, para ahli teori belajar berusaha merumuskan pengertian belajar.Di bawah ini dikutip beberapa batasan belajar, agar dapat menjadi bahan pemikiran dan renungan mengenai pengertian belajar yang berlangsung di kelas.Belajar proses perubahan tingkah laku seseorang terhadap sesuatu situasi tertentu yang disebabkan oleh pengalamannya yang berulang-ulang dalam situasi itu, di mana perubahan tingkah laku itu tidak dapat dijelaskan atau dasar kecendrungan respon pembawaan, pemaksaan, atau kondisi sementara (seperti lelah, mabuk, perangsang dan sebagainya).
3. Hasil Belajar Matematika
Hasil belajar adalah sesuatu yang diperoleh seseorang setelah melakukan kegiatan belajar. Hasil belajar tampak dari perubahan tingkah laku pada diri siswa, yang dapat diamati dan diukur daalm bentuk perubahan pengetahuan sikap dan keterampilan. Hamalik (2002) menyatakan bahwa “Perubahan disini dapat diartikan terjadinya peningkatan dan pengembanganyang lebih baik di bandingkan dengan sebelumnya, misalnya dari tidak tau menjadi tahu”.
Menurut Sudjana (2001), “Hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimiliki siswa setelah ia menerima pengalaman belajarnya. Hasil peristiwa belajar dapat muncul dalam berbagai jenis perubahan atau pembuktian tingkah laku seseorang”. Selanjutnya menurut Slameto (dalam Emarita, 2001) menyatakan: “Hasil belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan sebagai hasil pengalamannya sendiri”.
Oemar Hamalik (2006: 30) menegaskan bahwa hasil belajar adalah bila seseorang telah belajar akan terjadi perubahan tingkah laku pada orang tersebut, misalnya dari tidak tahu menjadi tahu, dan dari tidak mengerti menjadi mengerti.
4. Pengertian Pembelajaran Matematika Realistic
Pembelajaran matematika realistik atau Realistic Mathematics Education (RME) adalah sebuah pendekatan pembelajaran matematika yang dikembangkan Freudenthal di Belanda.Gravemeijer menjelaskan bahwa RME dapat digolongkan sebagai aktivitas yang meliputi aktivitas pemecahan masalah, mencari masalah dan mengorganisasi pokok persoalan.Matematika realistik yang dimaksudkan dalam hal ini adalah matematika sekolah yang dilaksanakan dengan menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran.Masalah-masalah realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal.
Keunggulan pembelajaran matematika realistic
a. Karena membangun sendiri pengetahuannya, maka siswa tidak pernah lupa. b. Suasana dalam proses pembelajaran menyenangkan karena menggunakan realitas
kehidupan, sehingga siswa tidak cepat bosan untuk belajar matematika.
c. Siswa merasa dihargai dan semakin terbuka, karena sikap belajar siswa ada nilainya.
e. Melatih keberanian siswa karena siswa harus menjelaskan jawabannya. f. Melatih siswa untuk terbiasa berfikir dan mengemukakan pendapat. g. Mendidik budi pekerti
5. Pembelajaran Matematika Realistik
Salah satu pendekatan pembelajaran matematika yang mengaitkan pengalaman kehidupan nyata peserta didik dengan materi matematika adalah Realistic Mathematics Education (RME). RME di Indonesia dikenal dengan nama pendidikan matematika realistik dan secara operasional disebut pembelajaran matematika realistik. Pembelajaran matematika realistik pertama kali diperkenalkan dan di kembangkan di Belanda pada tahun 1970-an oleh Institut Frudenthal. Frudenthal (1991) menyatakan bahwa matematika merupakan aktivitas insani (mathematics as human activity) yang memandang siswa bukan sebagai penerima pasif matematika yang sudah jadi (passive receivers of ready-made mathematics). Namun, ia harus diberi kesempatan untuk menemukan kembali matematika di bawah bimbingan orang dewasa (Gravemeijer, 1994). Lebih lanjut Frudenthal menyatakan bahwa aktivitas poko yang dilakukan dalam pembelajaran matematika realistik meliputi menemukan masalah (loking for problems), menyelesaikan masalah (solving problems), dan mengorganisir bahan ajar (organizing a subject matter).
kepada baigamana guru harus mengelola pembelajaran matematika. Selain itu juga akan berdampak kepada bagaimana membiasakan peserta didik melakukan kegiatan yang diharapkan muncul sesuai kemampuan yang dimilikinya. Keduanya akan berpengaruh kepada budaya guru dalam mengajar dan bagaimana budaya peserta didik harus belajar. Dengan demikian, pembelajaran matematika realistik tidak sekedar akan memungkinkan perubahan peta konsep materi matematika dan hubungannya, namun yang tidak kalah pentingnya adalah akan mengubah budaya ke arah yang lebih dinamis namun tetap dalam koridor proses pendidikan.
Oleh karena itu, pembelajaran matematika realistik adalah inovasi pendekatan pembelajaran yang menekankan bahwa matematika merupakan suatu aktivitas manusia yang harus dikaitkan dengan kehidupan nyata sehari-hari yang menggunakan konteks dunia nyata sebagai pangkal tolak pembelajaran, sehingga siswa mempunyai kesempatan untuk menemukan kembali dan mengkonstruk konsep-konsep matematika atau pengetahuan matematika formal melalui matematisasi horizontal atau vertikal.
B. Materi Himpunan a. Konsep Himpunan
1. Pengertian dan notasi himpunan
Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, C,. . .,Z) dan anggota dari himpunan dituliskan di antara tanda kurung kurawal (tanda {})
Contoh :
Misalkan A adalah himpunan lampu lalu lintas. Himpunan A ditulis: A = {merah, kuning hijau}
2. Penyajian himpunan
Dalam himpunan terdapat tiga cara penyajian himpunan, yaitu : a. Cara mendaftar anggota (enumerasi)
Cara mendaftar adalah cara menyajikan himpunan dengan mendaftar semua anggotanya.
Contoh:
P = {1, 2, 3, 5, 7} W = {a, i, u, e, o}
b. Menyatakan simbol baku (deskripsi)
Himpunan ini dinyatakan dengan simbol-simbol tertentu yang sudah di sepakati atau dengan kata-kata.
Contoh :
c. Menuliskan notasi pembentukan himpunan
Secara umum penyajian dengan metode ini dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.
Contoh:
P={x|x<11,x bilangan prima}
W={y|y huruf vokal}
(simbol x dan y dapat digantikan dengan variabel (huruf) yang lain, misalnya a, b, c, . . ., z)
b. Himpunan Semesta dan Diagram Venn
Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U
Contoh:
A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 2, 3, 5, 7}
Himpunan semesta dari himpunan A dan B adalah S = himpunan bilangan bulat positif.
dituliskan oleh kurva tertutup, misalnya: lingkaran atau elips. Tiap anggota ditampilkan oleh titik dan nama anggota ditulis di dekatnya.
Contoh:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 2, 3, 5, 7}
c. Relasi Himpunan 1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun anggota.Dinotasikan dengan kurung kurawal tanpa satupun objek didalamnya “{ }”. Himpunan kosong juga dilambangkan dengan ∅ .
Contoh:
E = {x|x<1,x bilangan prima}
E = { } atau ∅
2. Himpunan Bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. Keadaan ini dinotasikan dengan A
213
4
5
6
7
8
A B
⊂ B (A subset B). Jika ada anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, A disebut bukan himpunan bagian dari himpunan B, notasinya A ⊄ B
Contoh:
[image:13.612.113.456.194.379.2]a. A = {1, 2, 3} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (himpunan bagian) b. A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 4, 5} (bukan himpunan bagian)
Gambar a Gambar b
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Misalkan banyak anggota himpunan A = n(A), banyak himpunan bagian dari A adalah 2n.
Contoh : D = {a, b}, sehingga n(D) = 2 Banyak himpunan D = 2n → 22 = 4 Cara menentukan himpunan bagian a. Cara penghapusan b. Cara diagram
3. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari A adalah n(P(A)) = 2n(A).
2135
0
4
S
A
B S 23
5
4
6
A
Contoh:
Diketehaui B = {x|x bilangan kelipatan3kurang dari11}
B = {3, 6, 9}
Sehingga himpunan kuasa dari B adalah {{ }, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}}
4. Kesamaan Dua Himpunan dan Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan (A dan B) dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A. Notasinya adalah A = B. Dua himpunan yang sama mempunyai anggota
yangsama. Jika hanya anggota yang sama, kedua himpunan tersebut dinamakan dua himpunan ekuivalen.
Contoh:
a. A = { a, i, u, e, o} B = { a, e, o, u, i}
Himpunan A dan B dikatakan himpunan yang sama, karena kedua anggota himpunan yang sama (beda urutan) dan berjumlah sama
b. G = {a, b, c} H = {1, 2, 3}
Himpunan G dan H dikatakan ekuivalen karena jumlah anggotanya sama n(G) = n(H). Tetapi tidak memiliki anggota himpunan yang sama.
Himpunan A dan B dikatakan saling beririsan jika ada anggota yang menadi anggota himpunan A dan menjadi anggota himpunan B.
Notasinya adalah A ∩ B = { y│ y ∈A dan y∈B} .
2. Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
Notasinya adalah A ∪ B = { y│ y ∈A , atau y∈B , atau y∈A∈B}
3. Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya menjadi hipunan semesta S tetapi tidak menjadi anggota himpunan A. Komplemen himpunan A dinotasikan dengan Ac.
S A B
S
A
4. Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat
semua anggota A dan tidak memuat anggota B. Notasinya adalah A
– B.
5. Sifat operasi himpunan
Terdapat beberapa sifat dalam operasi himpunan, antara lain ialah: a. Idempotent
Sifat idempotent yaitu: untuk sebarang himpunan A berlaku A ∪ A = A dan A ∩ A = A
b. Identitas
sifat identitas yaitu: untuk sebarang himpunan A berlaku A ∪∅ = A dan A ∩∅ = ∅
c. Komutatif
Sifat komutatif pada himpunan sebagai berikut: 1. A ∪ B = B ∪ A
2. A ∩ B = B ∩ A d. Asosiatif
sifat asosiatif pada himpunan sebagai berikut: 1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) C. Kerangka Pikir
Pemahaman konsep siswa dalam pembelajran matematika masih rendah.Hal ini disebabkan karena pengajaran matematika yang umumnya didominasi dengan pengenalan rumus-rumus serta konsep-konsep secara verbal.Tanpa ada perhatian yang cukup terhadap pemahaman siswa. Guru cenderung menggunakan metode pembelajaran yang monoton. Rendahnya pemahaman konsep siswa dalam pembelajaran matematika mengakibatkan prestasi belajar siswa menjadi kurang.
Adapun langkakh-langkah implementasi model pemelajaran Matematika Realistik yaitu dalam model pembelajaran ini siswa dibagi dalam beberapa kelompok 4 – 5 orang, kemudian guru akan menyediakan alat peraga dan permasalahan-permasalahan sehari-hari yang kontekstual. Selanjutnya memberikan alat peraga untuk membantu menyelesaikan masalah dan membuat pemyelesaian sendiri (self analysis).Pada tahap selanjutnya merumuskan prinsip dan generalisasi hasil penemuan.Tahap akhir, member latihan soal kontekstual kepada siswa dan penilaian secara individu.
Kondisi akhir yang diharapkan dengan penggunaan model pembelajaran Matematika Realistikadalah proses belajar mengajar lebih efektif dan menarik sehingga pemahaman konsep matematika siswa menjadi lebih baik.
