BAB 7
MODEL SURVIVAL DATAR DIDUGA DARI DATA SAMPEL YANG TIDAK LENGKAP PROSEDUR MAXIMUM LIKELIHOOD
7.1 PENGANTAR
Pada bab ini kita memandang maximum likelihood estimation (MLE) sebagai suatu alternatif bagi penduga aktuaria dan penduga momen lainnya yang dikembangkan pada bab 6. Dianggap bahwa pembaca memiliki dasar pengenalan dengan MLE dari mata kuliah pendugaan statistik pada umumnya. Disini kita akan menerapkan teori MLE secara khusus untuk menduga qx diatas interval dasar (x,x+1], Mengingat kedua lingkungan pengurangan-tunggal dan pengurangan-ganda. Seperti pada bab 6, kita akan melihat bahwa lingkungan pengurangan-tunggal merupakan salah satu cara yang lebih mudah untuk menduga qx.
Dalam pendekatan momen pada bab 6 kita menyamakan jumlah kematian yang diharapkan dalam (x,x+1] dengan jumlah sebenarnya yang diamati. Ini berarti bahwa kita hanya memerlukan jumlah kematian yang diamati dalam (x,x+1], yang mana kita sebut dx.
dan bukan lokasi/daerah umur dari kematian tersebut di dalam (x,x+1]. Ingat kembali bahwa kita menggunakan umur yang spesifik dimana seseorang memulai pengamatan dan dijadwalkan untuk mengakhiri pengamatan, atau diamati untuk pengambilan, tetapi kita tidak pernah menggunakan umur kematian yang akurat dari grup dx untuk menduga qx.
Pada MLE, umur kematian yang akurat adalah informasi yang dapat di gabungkan menjadi prosedur pendugaan jika umur kematian yang akurat tersebut ada. Dengan demikian, kita membedakan dua subdivisi (cabang) MLE yang penting: keadaan dimana umur kematian yang akurat yang digunakan akan ditunjukkan sebagai keadaan data lengkap; keadaan dimana hanya jumlah kematian pada interval (x,x+1] yang digunakan akan ditunjukkan sebagai keadaan data parsial. Catat bahwa pendugaan momen yang sangat alami memerlukan data parsial kematian saja, sedangkan pendugaan maximum likelihood dapat berdasarkan data parsial atau data lengkap.
lengkap atau data parsial dalam kematian. Informasi ini akan membimbing kita pada fungsi likelihood. Kemudian kita akan perlu menyederhanakan pendugaan tertentu, seperti pendugaan distribusi kematian, yang bertujuan untuk menyelesaikan persamaan likelihood
untuk q^x .
Konsep dari umur yang keluar yang direncanakan, x+si, untuk orang ke-i yang berhubungan dengan interval pendugaan (x,x+1] tidak akan mengambil peranan besar pada bab ini.
Pendugaan maximum likelihood dari interval peluang kematian dibahas pada banyak buku teks analisis survival dan pendugaan model survival. Terutama karya dari Broffitt [14] adalah salah satu karya yang bagus, dan bagian dari bab ini berdasarkan pada karya tersebut.
7.2 LINGKUNGAN PENGURANGAN-TUNGGAL, KASUS KHUSUS A
Kita berharap memulai kasus ini sebagai sebuah cara untuk memperoleh pengenalan dengan pendekatan maximum likelihood dalam keadaan yang mungkin paling mudah. Kemudian kita dapat menghadapi keadaan yang lebih kompleks mengetahui bahwa teori dasar dengan nyaman dipahami.
7.2.1 Data Parsial
Seperti yang didefinisikan pada bagian 6.2.2, situasi ini dengan mudah menyatakan bahwa, dari sejumlah nx yang hidup tepat berusia x, sejumlah dx dari mereka mati dalam (x,x+1], dan sejumlah nx-dx bertahan hidup sampai umur x+1. Kita menyadari ini sebagai model/bentuk binomial, jadi likelihood sekedar merupakan peluang binomial dari perolehan hasil sampel yang sebenarnya diperoleh. Yaitu
L
(
qx|
nxdx)
= nx!dx!
(
nx−dx)
!(
qx)
dx(
1−qx
)
nx−dx(7.1)
(berbanding lurus) dengan sampel per se. Dengan demikian banyak penulis lebih memilih untuk menulis
L
(
qx|
nxdx)
∝(qx)dx.(1−qx)
nx−dx,(7.2)
Dimana ∝ dibaca “proporsional (berbanding lurus) terhadap.” Kita ingin mengambil sudut pandang bahwa sama layaknya menyebut sisi kanan dari (7.2) adalah likelihood itu sendiri. Seperti menyebutnya sesuatu dimana likelihood tersebut proporsional. Dengan demikian kita dapat menulisnya secara lebih sederhana
L
(
qx|
nxdx)
=(qx)dx.(1−qx)
nx−dx,(7.3)
Notasi L
(
qx|
nxdx)
mengingatkan kita bahwa likelihood merupakan fungsi dari qxyang tidak diketahui, dan nx dan dx merupakan nilai yang telah diberikan, yakni nilai-nilai yang diamati dalam sampel sebagai dasar dari pendugaan qx kita. Ketika tidak ada keraguan terhadap nilai yang tidak diketahui dan nilai yang diberikan, kita akan dengan mudah
menggunakan L dibandingkan L
(
qx|
nxdx)
. Pada akhirnya, untuk kemudahan kita, kitaakan sering menekan subskrip x. Dengan demikian kita akan menulis likelihood untuk kasus khusus A dengan keadaan data parsial sebagai berikut
L=qd.(1−q)n−d(7.4)
Gagasannya sekarang adalah untuk menemukan nilai q, yang disebut q^ , yang memaksimalkan persamaan (7.4). Secara umum, jika q^ ada, dengan L(^q)≥ L(q) untuk semua q lainnya, maka q^ merupakan maximum likelihood estimator (MLE) dari q.
Untuk menemukan q^ dengan teknik kalkulus dari keadaan dL
dq=0 akan
memerlukan sebuah aplikasi dari aturan hasil kali untuk mendiferensialkan (7.4). Meskipun ini bukanlah kasus yang sulit, kita akan melihat fungsi likelihood dapat menjadi jauh lebih kompleks, dan beberapa aplikasi dari aturan hasil kali mungkin diperlukan. Untuk menghindari ini, kita menggunakan log natural L sebelum mendiferensialkan. Maka, kita
menyelesaikan persamaan d
dihasilkan dari penyelesaian persamaan ini sama seperti dari penyelesaian dLdq=0 , karena
log natural merupakan transformasi monoton satu-ke-satu.
Dengan demikian kita mendefinisikan log-likelihood, ℓ, menjadi ln L, pemberlakuan, dalam kasus ini
Merupakan persamaan likelihood yang dengan mudah menghasilkan
^
qx=dx
nx
(7.7)
yang mana sama seperti penduga (6.7). Telah dicatat pada bagian 6.2.2 menjadi MLE.
CONTOH 7.1 Tunjukkan bahwa q^x yang sama akan dihasilkan untuk kasus khusus A data parsial bahkan jika transformasi log tidak digunakan.
PENYELESAIAN Kita akan mendiferensialkan (7.4) untuk memperoleh
7.2.2 Data Lengkap
Sekarang kita mengandaikan bahwa kita memiliki umur kematian yang akurat untuk masing-masing sejumlah dxyang mati dalam interval. Karena umur ini berbeda untuk masing-masing kematian, kita memandangnya secara tersendiri, dan menggunakan hasil kali dari masing-masing kontribusi kematian dalam fungsi likelihood.
Likelihood untuk kematian ke-i diberikan oleh probability density function (PDF) untuk kematian pada umur yang khusus, ditentukan hidup pada umur x. Yakni, untuk kematian pada umur xi,
Li=f
(
xi|
X>x)
=f(xi)S(x)=
S(xi)∙ λ(xi)
S(x) (7.8)
