Studi Perbandingan Metodologi Analisis Korelasi Rank Spearman dan Korelasi Rank Kendall

(1)

STUDI PERBANDINGAN METODOLOGI ANALISIS KORELASI RANK SPEARMAN DAN KORELASI RANK KENDALL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

Nise Fauzianasari 110823001

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

STUDI PERBANDINGAN METODOLOGI ANALISIS KORELASI RANK SPEARMAN DAN KORELASI RANK KENDALL

SKRIPSI

NISE FAUZIANASARI 110823001

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PESETUJUAN

Judul : Studi Perbandingan Metodologi Analisis Korelasi Rank Spearman dan Korelasi Rank Kendall.

Kategori : Skripsi

Nama : Nise Fauzianasari

Nomor Induk Mahasiswa : 110823001

Program studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di

Medan, Januari 2014

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si Drs. Rachmad Sitepu, M.Si NIP. 19531218 198003 1 003 NIP. 19530418 198703 1 001

Diketahui oleh :

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus. M,Si

(4)

PERNYATAAN

STUDI PERBANDINGAN METODOLOGI ANALISIS KORELASI RANK SPEARMAN DAN KORELASI RANK KENDALL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2014

(5)

PENGHARGAAN

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang yang tiada hentinya memberikan nikmat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan Skripsi ini dengan judul Studi Perbandingan Metodologi Analisis Korelasi Rank Spearman dan Korelasi Rank Kendall.

Dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si dan Bapak Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen pembimbing 1 dan 2 yang telah bersedia meluangkan waktu kepada penulis dengan memberikan bimbingan sehingga dapat menyelesaikan Skripsi ini dengan sebaiknya.

2. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom dan Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku dosen penguji atas kritik, saran dan masukan yang diberikan 3. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan

Program S1 Matematika Ekstensi.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.

5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU.

6. Seluruh staf dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU dan rekan-rekan kuliah.

7. Teristimewa penulis ucapkan terimakasih kepada kedua orangtua penulis Bapak Mayazir, Ibu Isdahniar, kakak-kakak penulis Prima Isma Putri, S.Pd, Ade Madya Febrina, S.Pd, dan teman-teman penulis baik dikantor maupun kampus, serta kak Ratna Dewi yang selalu memberi motivasi. Semoga Allah akan membalasnya.

Medan, Januari 2014

Penulis

(6)

STUDI PERBANDINGAN METODOLOGI ANALISIS KORELASI RANK SPEARMAN DAN KORELASI RANK KENDALL

ABSTRAK

(7)

STUDY OF THE COMPARISON BETWEEN ANALYSIST CORRELATION RANK SPEARMAN METHOD AND

RANK KENDALL CORRELATION ABSTRACT

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel vii

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Tujuan Penelitian 2

1.4. Kontribusi Penelitian 3

1.5. Tinjauan Pustaka 3

1.6. Metodologi Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1Metode Statistik Nonparametrik 6

2.2Skala Pengukuran 6

2.3Metode Korelasi Rank Spearman 8

2.3.1 Rank Kembar 11

2.3.2 Uji Signifikansi 12

2.3.3 Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Spearman 13

2.4 Metode Korelasi Rank Kendall 14

2.4.1 Rank Kembar 14

2.4.2 Uji Signifikan 15

2.4.3 Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Rank Kendall 16

Bab 3 Pembahasan 18

3.1.Contoh Aplikasi Pengujian Korelasi Rank Kendall dan Korelasi

Spearman Pada Data Soal 18

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 47

4.1. Kesimpulan 47

4.2. Saran 49

Daftar Pustaka

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Makna Korelasi Rank Spearman 8

Tabel 3.1 Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa 19

Tabel 3.2 Rank Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa 19

Tabel 3.3 Rank Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa 21

Tabel 3.4 Rank Secara Natural Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa 22

Tabel 3.5 Nilai Dekan dan Pembantu Dekan dari 15 Orang Dosen 24

Tabel 3.6 Rank Nilai Dekan dan Pembantu Dekan dari 15 Orang Dosen 25

Tabel 3.7 Rank Nilai Dekan dan Pembantu Dekan dari 15 Orang Dosen 26

Tabel 3.8 Rank Secara Natural Dekan dan Pembantu Dekan Untuk 15 Orang Dosen 27

Tabel 3.9 Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktik dari 16 Orang Mahasiswa 29

Tabel 3.10 Rank Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa 30

Tabel 3.11 Rank Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa 31

Tabel 3.12 Rank Secara Natural Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa 32

Tabel 3.13 Nilai Aptitude Test Score dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman 34

Tabel 3.14 Rank Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman 35

Tabel 3.15 Rank Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman 37

Tabel 3.16 Rank Secara Natural Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman 37

Tabel 3.17 Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien 40

Tabel 3.18 Rank Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien 41

Tabel 3.19 Rank Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien 43

Tabel 3.20 Rank Secara Natural Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien 43

Tabel 3.21 Perbandingan nilai korelasi 46

(10)

STUDI PERBANDINGAN METODOLOGI ANALISIS KORELASI RANK SPEARMAN DAN KORELASI RANK KENDALL

ABSTRAK

(11)

STUDY OF THE COMPARISON BETWEEN ANALYSIST CORRELATION RANK SPEARMAN METHOD AND

RANK KENDALL CORRELATION ABSTRACT

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bagi kebanyakan orang, statistika dianggap suatu ilmu yang ruwet, penuh dengan rumus-rumus yang rumit dan diperlukan ketelitian serta ketepatan dalam menghitungnya. Walau demikian dalam dunia penelitian atau riset, di mana pun dilakukakan bukan saja telah mendapat manfaat yang baik dari statistika tetapi sering harus menggunakannya. Untuk mengetahui apakah cara yang baru ditemukan lebih baik dari pada cara lama, melalui riset yang dilakukan di laboraturium, atau penelitian yang dilakukan di lapangan, perlu diadakan penilaian dengan statistika.

Statistika juga telah cukup mampu untuk menentukan apakah faktor yang satu dipengaruhi atau mempengaruhi faktor lainnya. Kalau ada hubungan antara faktor-faktor, berapa kuat adanya hubungan itu. Penelitian dibidang ilmu sosial seringkali menjumpai kesulitan untuk memperoleh data kontinu yang menyebar mengikuti distribusi normal. Data penelitian ilmu-ilmu sosial yang diperoleh kebanyakan hanya berupa kategori yang hanya dapat dihitung frekuensinya atau berupa data yang hanya dapat dibedakan berdasarkan tingkatan atau rankingnya.

Pada kasus data kategorikal atau data ordinal penulis menggunakan metode statistik nonparametrik. Metode statistik nonparametrik adalah suatu metode yang modelnya tidak menetapkan syarat-syarat mengenai parameter-parameter populasi yang merupakan induk sampel penelitiannya. Metode statistik

(13)

Metode statistik nonparametrik dipakai untuk menganalisis data dalam skala ordinal dan nominal. Ukuran – ukuran kordinasi nonparametrik untuk data ordinal yaitu analisis korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall. Analisis korelasi rank Spearman adalah yang paling awal dikembangkan dan mungkin yang paling dikenal dengan baik hingga kini. Ini adalah ukuran asosiasi yang menuntut kedua variabel diukur sekurang-kurangnya dalam skala ordinal sehingga objek-objek yang dipelajari dapat diranking dalam dua rangkaian berurut.

Analisis korelasi rank Kendall cocok sebagai ukuran korelasi dengan jenis data yang sama seperti data di mana korelasi rank Spearman dapat dipergunakan. Artinya jika sekurang-kurangnya tercapai pengukuran ordinal terhadap variabel-variabel X dan Y, sehingga setiap objek dapat diberi ranking pada X maupun Y maka korelasi rank Kendall akan memberikan suatu ukuran tingkat asosiasi atau korelasi antara kedua himpunan ranking itu.

1.2 Perumusan Masalah

Bagaimana ciri data yang cocok dalam penggunaan analisis korelasi rank Spearman dan analisis korelasi rank Kendall dalam hal pengukuran jenis data ordinal.

1.3 Tujuan Penelitian

(14)

1.4 Kontribusi Penelitian

Dari data yang diolah diharapkan:

1. Dapat mengetahui bagaimana ciri data yang cocok untuk penggunaan analisis korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall.

2. Efisiensi penggunaan metode dalam mencari nilai korelasi pada masing-masing jumlah N yang akan diuji.

1.5 Tinjauan Pustaka

Korelasi rank Spearman adalah metode statistik yang pertama kali dikembangkan berdasarkan rank dan diperkirakan yang paling banyak dikenal dengan baik hingga kini yang ditemukan oleh Spearman. Nilai statistiknya disebut rho, disimbolkan dengan �_�. Korelasi rank Spearman dipakai apabila kedua variabel yang akan dikorelasikan mempunyai tingkatan data ordinal, jumlah anggota sampel dibawah 30 dan datanya ordinal (Husnaini Usman, 1995)

Rumus yang paling efisien digunakan untuk menghitung �_� adalah

�

_�

= 1

−

6 ∑��=1��2

�3_−�

dengan:�_� = koefisien korelasi rank Spearman.

N = jumlah pasangan observasi antara satu variabel terhadap variabel lainnya.

d = perbedaan rangking yang diperoleh pada tiap pasangan observasi.

(15)

memberikan suatu ukuran tingkat asosiasi atau korelasi antara kedua himpunan ranking itu.

Koefisien korelasi rank kendall adalah rasio:

�

=

skornyata (��)

Maksimumskorkemungkinan

Pada umumnya nilai maksimum skor ditentukan oleh susunan ��

2�, yang

dapat diuraikan menjadi 1

2�(� −1). Dengan demikian hasil penyesuaian ini

merupakan pembagi terhadap skor nyata. Sebagai pembilang yang merupakan penjumlahan skor dari pasangan-pasangan selanjutnya diberi simbol S. Dengan demikian

�

=

₁ �

2�(�−1)

dengan:

�

= koefisien korelasi rank kendall.

N = jumlah objek atau individu yang di rank pada X dan Y. S = penjumlahan skor dari pasangan-pasangan.

(Sidney Siegel, 2011)

1.6 Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam studi perbandingan dua korelasi ini adalah:

1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai apakah metodologi analisis korelasi rank Spearman lebih baik dari pada analisis korelasi rank Kendall dalam hal pengukuran jenis data ordinal.

2. Menjelaskan apa itu analisis korelasi rank Spearman, analisis korelasi rank Kendall, dan data ordinal secara terperinci.

(16)

4. Membandingkan hasil dari penggunaan analisis korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Metode Statistik Nonparametrik

Metode statistik nonparametrik adalah metode yang modelnya tidak menetapkan syarat-syarat mengenai parameter-parameter populasi yang merupakan induk sampel penelitiannya. Beberapa asumsi yang berhubungan erat dengan metode statistika nonparametrik adalah bahwa pengamatan tersebut bebas dan variabel yang diamati kontinu, tetapi asumsi yang dibuat adalah lebih lemah dan kurang teliti bila dibandingkan dengan uji parametrik. Uji nonparametrik tidak membutuhkan suatu pengukuran dengan tingkat ketelitian yang tinggi seperti uji parametrik. Uji nonparametrik dipakai untuk menganalisis data dalam skala ordinal dan nominal (Sidney Siegel, 2011).

2.2 Skala Pengukuran

Teori pengukuran dapat dibedakan menurut perbedaan dalam tingkat pengukurannya yang dapat dibagi dalam skala-skala yaitu:

Skala Nominal

(18)

Skala Ordinal

Skala ordinal dapat didefinisikan sebagai objek-objek dalam suatu kategori mungkin tidak berbeda dengan objek yang lain, tetapi masing-masing objek tersebut tergabung dalam satu hubungan. Hubungan tersebut berupa suatu sifat atau keadaan lebih tinggi, lebih sukar, lebih disukai, lebih menderita, lebih masak, dan sebagainya. Keadaan ini disimbolkan dengan tanda “carat” (>) yang mengartikan suatu sifat “lebih”. Skala ordinal digunakan pada suatu hubungan yang mempunyai sifat selalu sama.

Skala Interval

Skala interval dapat didefinisikan sebagai suatu pengukuran terhadap selisih dari tiap-tiap angka dalam skala ordinal yang diketahui besarnya dengan lebih teliti. Dalam penggunaan skala interval, tiap angka pengamatan dalam skala tidak terpengaruh kalau dikalikan dengan suatu angka positif yang tetap dan kemudian ditambahkan suatu konstanta pada hasil perkalian tersebut.

Skala Rasio

(19)

2.3 Metode Korelasi Rank Spearman(�_�)

Korelasi rank Spearman adalah alat uji statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis asosiatif dua variabel bila datanya berskala ordinal (ranking). Metode statistik ini merupakan yang pertama kali dikembangkan berdasarkan rank dan diperkirakan yang paling banyak dikenal dengan baik hingga kini. Metode korelasi rank Spearman diperkenalkan oleh Spearman pada tahun 1904. Nilai statistiknya disebut rho, disimbolkan dengan �_�. Metode korelasi rank Spearman adalah ukuran asosiasi yang menuntut kedua variabel diukur sekurang-kurangnya dalam skala ordinal sehingga objek-objek atau individu-individu yang dipelajari dapat di ranking dalam dua rangkaian berurut. Jadi metode korelasi rank Spearman adalah metode yang bekerja untuk skala data ordinal atau rangking dan bebas distribusi.

[image:19.595.158.421.516.606.2]

Nilai korelasi rank Spearman berada diantara -1 s/d 1. Bila nilai = 0, berarti tidak ada korelasi atau tidak ada hubungannya antara variabel independen dan dependen. Nilai = +1 berarti terdapat hubungan yang positif antara variabel independen dan dependen. Nilai = -1 berarti terdapat hubungan yang negatif antara variabel independen dan dependen.

Tabel 2.1 Makna Nilai Korelasi Rank Spearman

Nilai Makna

0,00 – 0,19 0,20 - 0,39 0,40 – 0, 59

0,60 – 0,79 0,80 – 1,00

Sangat lemah Lemah Sedang Kuat Sangat kuat

(20)

Jika � =� − ��, di mana �� mean skor pada variabel �, dan jika �= � − ��, maka rumus umum suatu koefisien korelasi adalah

�

=

∑ ��

�∑ �2_{∑ �}2 (2.1)

di mana jumlah-jumlah mencakup harga-harga N dalam sampelnya. Bila � dan �

adalah harga-harga ranking � =�_�, dan jumlah N bilangan bulat 1, 2, …, � maka

∑ �

=

�(�+1)

2 (2.2)

jumlah kuadrat bilangan-bilangan itu 12, 22, … , �2 dapat ditunjukan sebagai

∑ �

2

=

�(�+1)(2�+1)

6

∑ �

2

=

∑

(

� − �

�

)

2

=

∑ �

2

− ∑ ��

2

=

∑ �

2

−

(∑ �)2 �

=

�(�+1)(2�+1)

6

−

��(�+1₂ )�2 �

= �(�+1)(2�+1)

6

−

�2(�+1)2 4

�

= 2�

3₊_�2₊₂_�2₊_�

6

−

�(�2+2�+1)

4

=2�

3₊₃_�2₊_�

6

−

�3₊₂_�2₊_�

4

=

�4�

3₊₆_�2₊₂_��−�₃_�3₊₆_�2₊₃_��

12

=

�3−�

12 (2.3)

Hal yang sama untuk variabel Y:

∑ �

2

=

�3−� 12

Andaikan

�

=

� − �

�

2

= (

� − �

)

2

(21)

∑ �

2

=

∑ �

2

+

∑ �

2

−

2

∑ ��

Dari rumus (2.1) menyatakan bahwa:

�

=

∑ ��

�∑ �2_{∑ �}2

=

�

� jika observasi-observasi di ranking.

∑ ��

=

�

_�

�∑ �

2

∑ �

2

dan

∑ �

2

=

∑ �

2

+

∑ �

2

−

2

�

�∑ �

2

∑ �

2

�

_�

�∑ �

2

∑ �

2

=

∑ �

2

+

∑ �

2

− ∑ �

2

Maka:

�

=

∑ �

2_{+∑ �}2_{−∑ �}2

2�∑ �2∑ �2 (2.4)

dengan X dan Y dalam rank, dapat mensubstitusikan

∑ �

2

=

�

3_−�

12

=

∑ �

2

ke dalam rumus (2.4), sehingga didapatkan:

�

=

�3−�

12 +�3−�12 −∑ �2

2��3−�₁₂ ��3−�₁₂ �

=

2�

�3−�

12 �−∑ �2

2��3−�₁₂ �

= 1

−

∑ �2

2��3−�₁₂ �

= 1

−

∑ �2

��3−�₆ �

�

= 1

−

6 ∑ �

2

�3−� (2.5)

Karena � =� − � = (� − ��)−(� − ��) =� − � dalam rank, dapat dituliskan

�

_�

= 1

−

6 ∑��=1��2

�3_−� (2.6)

(22)

N = jumlah pasangan observasi antara satu variabel terhadap variabel lainnya.

d = perbedaan rangking yang diperoleh pada tiap pasangan observasi. Rumus (2.6) adalah rumus yang paling efisien digunakan untuk menghitung �_� Spearman (Sidney Siegel, 2011).

Metode perhitungan nilai �_� bisa dilakukan dengan membuat deretan N subjek. Kemudian pada tiap subjek yang telah tersusun, tentukan rank untuk variabel X dan juga pada variabel Y. Variasi nilai �_� = perbedaan antara dua rank X dan Y. Kuadratkan tiap nilai �_� dan kemudian jumlahkan nilai �_�2ini untuk

mendapatkan ∑�_�=1�_�2. Kemudian nilai ∑�_�=1�_�2 dan N (jumlah subjek) langsung masukkan ke dalam rumus (2.6).

2.3.1. Rank Kembar

Kadang-kadang dijumpai dua subjek atau lebih yang menerima nilai yang sama dalam perubah yang sama. Jika terjadi nilai yang sama, masing-masing diberi rank rata-rata, sehingga pengaruh nilai yang sama dapat diatasi. Jika cuplikan yang mempunyai nilai kembar ini tidak begitu banyak, maka rank kembar ini dapat dikatakan tidak berpengaruh terhadap �_�, oleh karena itu rumus (2.6) masih tetap dapat digunakan. Namun apabila proporsi dari rank kembar ini cukup besar, maka dalam perhitungan �_� perlu dimasukkan faktor koreksinya.

Pengaruh rank kembar ini terhadap perubah X akan mengurangi besarnya

jumlah kuadrat �(=∑ �2) menjadi lebih kecil dari �

3_−�

12

,

atau �2 < �3_−�

12

dan besarnya faktor koreksi tersebut adalah

�

=

�3−�

12

Dimana t = jumlah rank kembar dari penelitian.

(23)

�

=

∑ �

2_{+∑ �}2_{−∑ �} � 2

2�(∑ �2)(∑ �2) (2.7)

dengan ketentuan:

∑ �

2

=

�3−�

12

− ∑ �

�

∑ �

2

=

�3−�

12

− ∑ �

�

2.3.2. Uji Signifikansi �_�

Jika subjek-subjek yang dipergunakan untuk menghitung nilai

�

_� ditarik dari

populasi secara acak, harus dipergunakan skor untuk menderteminasi apakah kedua perubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya. Untuk tujuan tersebut diperlukan pengujian terhadap �₀ yang menyatakan bahwa kedua perubah yang diteliti tidak berkorelasi dalam populasinya dan nilai berbeda dengan nol hanya karena pengaruh kebetulan saja dengan hipotesa sebagai berikut:

�0 = Tidak ada korelasi antara X dan Y

�1 = Ada korelasi antara X dan Y

Untuk � < 25, penentuan signifikansi �_�

dapat diuji dengan:

�

=

�

_�

�

�−2

1−�_�2

(2.8)

�0 diterima bila −�1

2�� (� −2) ≤ � ≤+�12�� (� −2) �0 ditolak bila �>�1

2��(� −2)�� <−�12��(� −2) Untuk penentuan signifikansinya dapat ditunjukkan melalui tabel-B. Jika �> 25, penentuan signifikansi �_�

dapat diuji dengan:

�=�_� .√� −1 (2.9)

2� ≤ � ≤+ �12� �0 ditolak bila �> + �1

2��<−�12�

(24)

2.3.3. Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Rank Spearman

Langkah-langkah penentuan koefisien korelasi rank Spearman adalah sebagai berikut :

 Berilah rangking observasi-observasi pada variabel X atau Y mulai 1

hingga N.  Daftar N subjek.

 Tentukan harga �_� untuk setiap subjek dengan mengurangkan ranking Y

pada ragking X. Kuadratkan masing-masing harga untuk menentukan �_� kemudian jumlahkan.

 Dalam observasi-observasi X dan Y besar hitung �_� dengan rumus :

�

=

∑ x

2₊_{∑ �}2₋_{∑ �} � 2

2 ∑ �2 ∑ �2 ,jika proporsi angka sama

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3−� , jika proporsi angka tidak sama

 Jika subjek-subjek merupakan sampel random dari populasi tertentu,

dapat diuji apakah harga observasi �_� memberikan petunjuk adanya asosiasi antara variabel X dan variabel Y dalam populasinya dengan syarat :

a. Untuk � < 25, signifikansi suatu harga sebesar harga observasi �_� dapat ditetapkan dengan menghitung � dengan menggunakan rumus:

�= �_��−2

1−��2

b. Untuk � > 25, penentuan signifikansi �_�dapat diuji dengan : �=�_� .√� −1

 Lalu tentukan harga signifikannya dengan melihat tabel harga-harga

(25)

2.4 Metode Korelasi Rank Kendall

Koefisien korelasi rank Kendall (τ), juga digunakan sebagai ukuran korelasi dengan jenis data yang sama seperti data di mana korelasi rank Spearman (�_�) dapat dipergunakan dengan syarat jika pengukurannya paling tidak dalam skala ordinal bagi kedua perubah tersebut. Artinya jika sekurang-kurangnya tercapai pengukuran ordinal terhadap variabel-variabel X dan Y, sehingga setiap subjek dapat diberi rangking pada X maupun Y, maka korelasi rank kendall akan memberikan suatu ukuran tingkat asosiasi atau korelasi antara kedua himpunan ranking itu. Metode korelasi rank Kendall diperkenalkan oleh M.G Kendall pada tahun 1938.

Koefisien korelasi rank kendall adalah rasio:

�

=

skornyata (��)

Maksimumskorkemungkinan

�

=

fungsi minimum dari angka konversi atau pertukaran rank.

Pada umumnya nilai maksimum skor ditentukan oleh susunan ��

2�, yang dapat

diuraikan menjadi 1

2�(� −1). Dengan demikian hasil penyesuaian ini merupakan

pembagi terhadap skor nyata. Sebagai pembilang yang merupakan penjumlahan skor dari pasangan-pasangan selanjutnya diberi simbol S. Dengan demikian

�

=

₁ �

2�(�−1)

(2.10)

dengan:

�

= koefisien korelasi rank kendall

N = jumlah objek atau individu yang di rank pada X dan Y. S = penjumlahan skor dari pasangan-pasangan

2.4.1. Rank Kembar

(26)

nilai rank kembar tersebut adalah merubah besarnya penyebut pada rumus

�

.

Dalam hal ini rumus

�

menjadi:

�

=

�

��1₂�(�−1)−�_��1

2�(�−1)−��

(2.11)

dengan : �_� =1

2∑ �(� −1)

� : jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya untuk perubah X.

�_� = 1

2∑ �(� −1)

� : jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya untuk perubah Y.

2.4.2. Uji Signifikansi �

Untuk � ≤10, signifikansi hubungan antara kedua peubah dapat dideterminasi dengan terlebih dahulu mencari nilai S kemudian pergunakan tabel D pada lampiran. Jika � ≤ �, �₀ ditolak.

Jika � > 10, signifikansi

�

dapat dipertimbangkan untuk

mempergunakan pendekatan sebaran normal dengan �_� = 0 dan simpangan baku

�

=

�

_9�2(2�+5₍_�−1₎

dengan rumus :

�

=

�−��

�_�

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1)₎

(2.12)

Hipotesisnya:

�0 = Tidak ada korelasi yang cukup berarti antara dua variabel tersebut.

�1 = Adanya korelasi yang cukup berarti antara dua variabel tersebut.

2� ≤ � ≤

+�1

2� �0 ditolak bila �> +�1

2�

��< −�1

(27)

Untuk menentukan signifikansi z-nya pergunakan tabel A.

2.4.3. Langkah – Langkah Pengujian Korelasi Rank Kendall.

Langkah-langkah penentuan koefisien korelasi rank Kendall adalah sebagai berikut :

 Berilah rangking observasi-observasi pada variabel X dan Y dari 1

hingga N.

 Susunlah N subjek sehingga ranking-ranking X untuk subjek-subjek ada

dalam urutan wajar, yakni 1, 2, 3, …, N.

 Amatilah ranking-ranking Y dalam urutan yang bersesuaian dengan

ranking X yang ada dalam urutan wajar. Tentukan harga S untuk urutan ranking Y.

 Hitung korelasi rank kendall dengan rumus :

�

=

₁ �

2�(�−1)

, jika tidak terdapat angka sama

�

=

�

�1₂�(�−1)−�_��1

2�(�−1)−��

, jika terdapat angka sama

 Pengujian signifikansi keeratan hubungan kedua perubah X dan Y

bergantung pada besarnya N:

a. Untuk � ≤10, Tabel D koefisien korelasi ranking Kendall menunjukkan kemungkinan yang berkaitan dengan harga-harga sebesar harga-harga observasi S.

Jika � yang dihasilkan dengan metode yang sesuai sama atau kurang dari �,�₀ ditolak untuk menerima �₁.

b. Untuk �> 10, Tabel A memperlihatkan kemungkinan berkaitan dengan suatu harga sebesar z observasi dengan menghitung harga z yang berkaitan dengan � menggunakan rumus:

�

=

�

�2_9�(2�+5₍_�−_!))

(28)

�₀ diterima bila −�1

2� ≤ � ≤

+�1

2�

�₀ ditolak bila �> +�1

2��

< −�1

(29)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1. Contoh Aplikasi Pengujian Korelasi Rank Spearman dan Korelasi Rank Kendall Pada Data Soal

Kasus 1

Dari suatu penelitian pengaruh kelompok yang tertekan untuk penyesuaian individu dalam suatu situasi moneter yang kurang stabil, peneliti menentukan nilainya dalam skala F yang telah diketahui, untuk mengukur otoriterisme (tingkah laku dalam memerintah), dan pengukuran terhadap aspirasi status sosial (diartikan sebagai usaha untuk mencapai status sosial tertentu) dari 12 orang mahasiswa.

(30)

[image:30.595.155.507.96.280.2]

Tabel 3.1 Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa Mahasiswa Otoriterisme Aspirasi Status Sosial

A B C D E F G H I J K L 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81

Perhitungan Korelasi Rank Spearman

Untuk menghitung korelasi rank Spearman antara kedua himpunan, perlu dilakukan ranking dari masing-masing nilai dalam dua rangkaian. Misalnya mahasiswa A, D, H masing-masing memiliki nilai otoriterisme 82, 40, 83, rank dari masing-masing urutan adalah 2, 1, 3. Begitu juga pada nilai aspirasi status sosial memiliki nilai 42, 37, 56, rank dari masing-masing urutan adalah 3, 1, 6. Hasil rank secara keseluruhan dari nilai tabel (3.1) diperlihatkan dalam tabel (3.2) yang juga memperlihatkan nilai �_� serta �_�2dengan hasil sebagai berikut:

Tabel 3.2 Rank Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial Untuk 12 Orang Mahasiswa

Mahasiswa Rank Otoriterisme

Rank Aspirasi

[image:30.595.163.512.535.748.2]

(31)

Menurut tabel (3.2) seorang mahasiswa (mahasiswa J) mempunyai nilai tertinggi pada penilaian otoriterisme, tapi juga memperlihatkan nilai tertinggi pada pengukuran aspirasi status sosialnya, dengan demikian mahasiswa tersebut menduduki rank ke-12 pada kedua perubah tersebut. Dapat pula dilihat dari tabel (3.2) bahwa tidak ada beda yang lebih besar dari tiga atau katakanlah bahwa ��maksimum = 3.

Dari data yang ditunjukkan dalam tabel (3.2) dapat dihitung harga �_� dengan menerapkan rumus (2.6):

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3_−�

= 1

−

6(52)

123₋₁₂

= 0,82

Menurut hasil pengamatan dari 12 orang mahasiswa ini, korelasi antara otoriterisme dan aspirasi status sosial adalah �_� = 0,82. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan kekuatan korelasi sangat kuat.

Pengujian Signifikansi �_�

Untuk menguji signifikansi antara otoriterisme dan aspirasi status sosial dapat dilihat sebagai berikut.

hipotesis :

�0 = Tidak ada korelasi antara otoriterisme dengan aspirasi status sosial.

�1 = Ada korelasi antara otoriterisme dengan aspirasi status sosial.

Apabila N < 25, penentuan signifikansi �_� dapat diuji dengan menggunakan rumus (2.8)

�� = 0,82.

� = 12.

�

=

�

_�

�

�−2

(32)

� = 0,82�₁₋12−2 (0,82)2 = 4,53

Tabel B memperlihatkan bahwa pada α = 0,01 didapatkan �_{��}= �1

2��(�−2) =�0

,01

2 ��(12−2)= 3,169. Maka �ℎ�� = 4,53 >�� = 3,169. Dengan demikian �₀ ditolak pada α = 0,01 dengan kesimpulan bahwa otoriterisme ada hubungannya dengan aspirasi status sosial dalam populasinya atas dasar 12 orang mahasiswa yang dicuplik.

Perhitungan Korelasi Rank Kendall

Telah kita hitung nilai �_� Spearman dari 12 orang mahasiswa yang diukur mengenai sifat otoriterisme dengan aspirasi status sosial. Nilai untuk keduabelas orang mahasiswa tersebut terlihat pada tabel (3.1) dan nilai ranknya disajikan

pada tabel (3.2). Atas dasar nilai tersebut maka dapat pula kita mengetahui nilai

�

.

Untuk menghitung korelasi rank Kendall, dari tabel 3.2 dapat

dikemukakan kembali untuk kebutuhan nilai

�

yang dapat kita lihat pada tabel 3.3

berikut ini:

Tabel 3.3 Rank Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial Untuk 12 Orang Mahasiswa

Subjek A B C D E F G H I J K L Rank

aspirasi status sosial

3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9

Rank

otoriterisme 2 6 5 1 10 9 8 3 4 12 7 11

Untuk keperluan perhitungan

�

terlebih dahulu harus mengadakan penyusunan [image:32.595.114.521.513.631.2]

(33)

[image:33.595.136.504.99.201.2]

Tabel 3.4 Rank Secara Natural Nilai Otoriterisme dan Aspirasi Status Sosial dari 12 Orang Mahasiswa

Subjek D C A B K H I E L G F J Rank

aspirasi status sosial

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rank

otoriterisme 1 5 2 6 7 3 4 10 11 8 9 12

Setelah menyusun rank aspirasi status sosial (X) secara natural, kita dapat menentukan nilai S dari susunan rank Y.

�= (11−0) + (7−3) + (9−0) + (6−2) + (5−2) + (6−0) + (5−0) +

(2−2) + (1−2) + (2−0) + (1−0)

= 44

Nilai rank otoriterisme (Y) yang paling kiri adalah 1, yang sesuai dengan susunan pada X, sehingga terdapat 11 angka yang lebih besar disebelah kanannya, dan tidak ada angka rank yang lebih kecil dengan demikian komponen S nya adalah (11-0). Rank yang kemudian adalah rank 5, yang mempunyai 7 rank sebelah kanannya yang lebih besar, dan 3 yang lebih kecil. Jadi komponen S-nya adalah (7-3). Dengan cara yang sama untuk rank-rank selanjutnya, maka didapatkan nilai S = 44.

Dengan diketahuinya nilai S dan N = 12 dengan mempergunakan rumus (2.10), maka nilai � adalah

�

=

₁ �

2�(�−1)

=

₁ 44

2(12)(12−1)

= 0,67

(34)

Pengujian Signifikansi τ

Telah kita pelajari mengenai hubungan antara otoriterisme dengan aspirasi status sosial dari 12 orang mahasiswa, di mana τ= 0,67. Dapat diuji apakah kedua peubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya, dengan mempergunakan rumus (2.12).

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1)₎

�

=

0.67

�₉2₍[₁₂2(₎₍12₁₂₋₁)+5]₎

�= 3,03

Dengan mempergunakan Tabel A, dapat ditentukan bahwa untuk �_{��} =

�1

2� =�0,005 = 2,57. Jadi disini Ho ditolak karena �ℎ�� = 3,03 > �� = 2,57 . Hal ini berarti ada korelasi yang kuat antara otoriterisme dengan aspirasi status sosial dari 12 orang mahasiswa dengan resiko kekeliruan sebasar 1%.

Kasus 2

Kemampuan mengajar sebanyak 15 orang dosen fakultas ekonomi di Perguruan Tinggi X dinilai secara rangking oleh seorang Dekan dan seorang Pembantu Dekan. Rangking 1 diberikan kepada dosen yang terbaik, rangking 2 diberikan kepada dosen yang terbaik kedua, dan seterusnya hingga rangking ke 15.

(35)

[image:35.595.162.391.105.332.2]

Tabel 3.5 Nilai Dekan dan Pembantu Dekan dari 15 Orang Dosen Dosen Dekan Pembantu Dekan

A B C D E F G H I J K L M N O 9 11 6 12 1 8 2 3 5 4 15 10 14 7 13 14 10 8 12 2 6 4 5 7 3 15 9 13 1 11

Perhitungan Korelasi Spearman

Untuk menghitung korelasi rank Spearman antara kedua himpunan, perlu dilakukan rangking dari masing-masing nilai dalam dua rangkaian. Misalnya mahasiswa A, E, J, masing memiliki nilai Dekan 9, 1, 4, rank dari masing-masing urutan adalah 9, 1, 4. Begitu juga pada nilai pembantu dekan memiliki nilai 14, 2, 3, rank dari masing-masing urutan adalah 14, 2, 3. Hasil rank dari nilai tabel (3.5) diperlihatkan dalam tabel (3.6) yang juga memperlihatkan nilai �� yang didapat dengan cara variabel X dikurang variabel Y serta ��2 dengan

(36)

[image:36.595.162.462.105.347.2]

Tabel 3.6 Rank Nilai Dekan dan Pembantu Dekan Untuk 15 Orang Dosen Dosen R.Dekan R.P. Dekan d �2

A B C D E F G H I J K L M N O 9 11 6 12 1 8 2 3 5 4 15 10 14 7 13 14 10 8 12 2 6 4 5 7 3 15 9 13 1 11 -5 1 -2 0 -1 2 -2 -2 -2 1 0 1 1 6 2 25 1 4 0 1 4 4 4 4 1 0 1 1 36 4 Σ 90

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3_−�

= 1

−

6(90)

153₋₁₅

= 0,84

Menurut hasil pengamatan dari 15 orang dosen, korelasi antara dekan dan pembantu dekan adalah �_� = 0,84. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan kekuatan korelasi sangat kuat.

Untuk menguji signifikansi antara dekan dan pembantu dekan dapat dilihat sebagai berikut.

hipotesis :

�0 = Tidak ada korelasi antara dekan dan pembantu dekan.

(37)

Apabila N< 25, penentuan signifikansi �_� dapat diuji dengan menggunakan rumus (2.8)

�� = 0,84.

� = 15.

�

=

�

_�

�

�−2 1−��2

� = 0,84� 15−2

1−(₀,84)2

= 5,58

Tabel B memperlihatkan bahwa pada �= 1% didapatkan �_{��} =

�0,005��13 = 3,012. Maka�ℎ�� = 5,58 >�� = 3,012. Dengan demikian �0

ditolak dengan kesimpulan bahwa ada korelasi yang kuat antara dekan dengan pembantu dekan dalam memberikan penilaian terhadap ke-15 orang dosen dengan resiko kekeliruan sebesar 1%.

Perhitungan Korelasi Rank Kendall

Telah kita hitung nilai �_� dari 15 orang dosen yang diukur mengenai Dekan dan Pembantu Dekannya. Nilai untuk kelimabelas orang dosen tersebut terlihat pada tabel (3.5) dan nilai ranknya disajikan pada tabel (3.6). Atas dasar nilai tersebut

maka dapat pula kita mengetahui nilai

�

.

�

yang dapat kita lihat pada tabel [image:37.595.113.523.657.729.2]

(3.7) berikut ini:

Tabel 3.7 Rank Nilai Dekan dan Pembantu Dekan Untuk 15 Orang Dosen

Subjek A B C D E F G H I J K L M N O Rank Dekan 9 11 6 12 1 8 2 3 5 4 15 10 14 7 13 Rank

Pembantu Dekan

(38)

�

terlebih dahulu harus mengadakan penyusunan [image:38.595.109.521.192.279.2]

rank secara natural dengan hasil terlihat pada tabel 3.8 berikut ini :

Tabel 3.8 Rank Secara Natural Nilai Dekan dan Pembantu Dekan Untuk 15 Orang Dosen

Subjek E G H J I C N F A L B D O M K Rank

Dekan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Rank

Pembantu Dekan

2 4 5 3 7 8 1 6 14 9 10 12 11 13 15

Setelah menyusun rank X secara natural, kita dapat menentukan nilai S dari susunan rank Y.

�= (13−1) + (11−2) + (10−2) + (10−1) + (8−2) + (7−2) + (8−0) + (7−0) + (1−6) + (5−0) + (4−0) + (2−1) + (2−0) +

(1−0) + (0)

= 72

Nilai rank pembantu dekan (Y) yang paling kiri adalah 2, yang sesuai dengan susunan pada X, sehingga terdapat 13 angka yang lebih besar disebelah kanannya, dan 1 yang lebih kecil dengan demikian komponen S nya adalah (13-1). Rank yang kemudian adalah rank 4, yang mempunyai 11 rank sebelah kanannya yang lebih besar, dan 2 yang lebih kecil. Jadi komponen S nya adalah (11-2). Dengan cara yang sama untuk rank-rank selanjutnya, maka didapatkan nilai S=72.

Dengan diketahuinya nilai S dan N = 15 maka dengan mempergunakan rumus (2.10) nilai � adalah

�

=

₁ �

2�(�−1)

=

₁ 72

2(15)(15−1)

(39)

Nilai � = 0,69 adalah nilai derajat keeratan antara dekan dengan pembantu dekan yang ditunjukkan oleh 15 orang dosen. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan kekuatan korelasi kuat.

Telah kita pelajari mengenai hubungan antara dekan dengan pembantu dekan dari 15 orang dosen, di mana τ= 0,69. Kita anggap bahwa ke-15 orang dosen tersebut diturunkan dari populasi secara acak. Dapat kita uji apakah kedua peubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya, dengan mempergunakan rumus (2.12).

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1)₎

�

=

0.69

�₉2₍[₁₅2(₎₍15₁₅₋₁)+5]₎

�

=

3,59

�1

2� =�0,005 = 2,57. Jadi disini Ho ditolak karena �ℎ�� = 3,59 > �� = 2,57 . Hal ini berarti ada korelasi yang kuat antara dosen dengan pembantu dekan dari 15 orang dengan resiko kekeliruan sebasar 1%.

Kasus 3

(40)

[image:40.595.162.469.104.343.2]

Tabel 3.9 Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktik dari 16 Orang Mahasiswa Mahasiswa Ujian Teori Ujian Praktek

A B C D E F G H I J K L M N O P 66 73 84 56 30 96 82 61 76 48 81 55 78 45 57 91 62 65 91 6 40 88 73 56 70 45 79 60 75 46 59 95

Perhitungan korelasi rank Spearman

Untuk menghitung korelasi rank Spearman antara kedua himpunan, perlu dilakukan rangking dari masing-masing nilai dalam dua rangkaian. Misalnya mahasiswa B, G, M, masing-masing memiliki nilai Ujian Teori 73, 82, 78, rank dari masing-masing urutan adalah 8, 4, 6. Begitu juga pada nilai ujian praktikum memiliki nilai 62, 73, 75, rank dari masing-masing urutan adalah 8, 6, 5. Hasil rank dari nilai tabel (3.9) diperlihatkan dalam tabel (3.10) yang juga

(41)

[image:41.595.171.511.105.376.2]

Tabel 3.10 Rank Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa Mahasiswa Rank Ujian

Teori

Rank Ujian Praktikum

�� 2

A B C D E F G H I J K L M N O P 9 8 3 12 16 1 4 10 7 14 5 13 6 15 11 2 9 8 2 10 16 3 6 13 7 15 4 11 5 14 12 1 0 0 1 2 0 -2 -2 -3 0 -1 1 2 1 1 -1 1 0 0 1 4 0 4 4 9 0 1 1 4 1 1 1 1 Σ 32

Dari data yang ditunjukkan dalam tabel (3.10) dapat dihitung harga �_� dengan menerapkan rumus (2.6) dengan hasil sebagai berikut:

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3_−�

= 1

−

6(32)

163−16

= 0,95

Menurut hasil pengamatan dari 16 orang mahasiswa ini, korelasi antara nilai ujian teori dan ujian praktikum adalah �_� = 0,95. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan bahwa kekuatan korelasi sangat kuat.

Untuk menguji signifikansi antara ujian teori dengan ujian praktek dapat dilihat sebagai berikut.

hipotesis :

�0 = Tidak ada korelasi antara ujian teori dengan ujian praktikum.

(42)

�� = 0,95.

� = 16.

� = 0,95�₁₋16−2 (0,95)2 = 11,38

Tabel B memperlihatkan bahwa nilai kritis pada � = 1% didapatkan �� =�0,005��14 = 2,977. Maka �ℎ�� = 11,38 >�� = 2,977. Dengan

demikian �₀ ditolak dengan kesimpulan bahwa ujian teori ada hubungannya dengan dengan ujian praktik dalam populasinya atas dasar 16 orang mahasiswa yang dicuplik resiko kekeliruan sebesar 1%..

Perhitungan Korelasi Rank Kendall

Telah kita hitung nilai �_� dari 16 orang mahasiswa yang diukur mengenai nilai ujian teori dengan ujian praktikum. Nilai untuk keenambelas orang mahasiswa tersebut terlihat pada tabel (3.9) dan nilai ranknya disajikan pada tabel (3.10).

Atas dasar nilai tersebut maka dapat pula kita mengetahui nilai

�

.

Untuk menghitung korelasi rank Kendall, dari tabel (3.10) dapat

�

(3.11) berikut ini:

Tabel 3.11 Rank Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa Subjek A B C D E F G H I J K L M N O P Nilai

Teori 9 8 3 12 16 1 4 10 7 14 5 13 6 15 11 2 Nilai

Praktikum 9 8 2 10 16 3 6 13 7 15 4 11 5 14 12 1

�

terlebih dahulu harus mengadakan penyusunan

(43)

[image:43.595.114.525.113.186.2]

Tabel 3.12 Rank Secara Natural Nilai Ujian Teori dan Ujian Praktikum dari 16 Orang Mahasiswa

Subjek F P C G K M I B A H O D L J N E Nilai

Teori 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Nilai

Praktikum 3 1 2 6 4 5 7 8 9 13 12 10 11 15 14 16

Setelah menyusun rank X secara natural, kita dapat menentukan nilai S dari susunan rank Y.

�= (13−2) + (14−0) + (13−0) + (10−2) + (11−0) + (10−0) + (9−0) + (8−0) + (7−0) + (3−3) + (3−2) + (4−0) + (3−0) +

(1−1) + (1−0) + (0−0)

= 100

Nilai rank praktikum (Y) yang paling kiri adalah 3, yang sesuai dengan susunan pada X, sehingga terdapat 13 angka yang lebih besar disebelah kanannya, dan ada 2 angka rank yang lebih kecil sebelumnya dengan demikian komponen S nya adalah (13-2). Rank yang kemudian adalah rank 1, yang mempunyai 14 rank sebelah kanannya yang lebih besar, dan tidak ada yang lebih kecil sebelumnya. Jadi komponen S-nya adalah (14-0). Dengan cara yang sama untuk rank-rank selanjutnya, maka didapatkan nilai S = 100.

Dengan diketahuinya nilai S dan N = 16 dengan mempergunakan rumus (2.10), maka nilai � adalah

�

=

₁ �

2�(�−1)

=

1 100 2(16)(16−1)

= 0,833

(44)

Telah kita pelajari mengenai hubungan antara ujian teori dengan ujian praktikum dari 16 orang mahasiswa, di mana τ= 0,833. Kita anggap bahwa ke-16 orang mahasiswa tersebut diturunkan dari populasi secara acak. Dapat kita uji apakah kedua peubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya, dengan mempergunakan rumus (2.12):

� = 0,833

� = 16

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1₎

�

=

0.833

�₉2₍[₁₆2(₎₍16₁₆₋₁)+5]₎

�= 4,50

�1

2� =�0,005 = 2,57. Jadi disini Ho ditolak karena �ℎ�� = 4,50 >�� = 2,57. Hal ini berarti ada korelasi yang cukup berarti antara ujian teori dengan ujian praktikum 16 orang mahasiswa dengan resiko kekeliruan sebasar 1%.

Kasus 4

(45)

[image:45.595.159.489.113.393.2]

Tabel 3.13 Nilai Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman

Salesman Aptitude Test Skor Jumlah Mobil yang Terjual A B C D E F G H I J K L M N O P Q R 72 88 70 87 71 85 89 93 98 96 86 82 88 83 80 97 94 95 341 422 322 440 287 415 463 497 510 512 432 390 453 374 385 531 496 500

Perhitungan Korelasi Spearman

(46)

[image:46.595.171.505.124.424.2]

Tabel 3.14 Rank Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman

Salesman R. Aptitude Test Skor

R. Jumlah Mobil yang Terjual

d �2

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R 16 8,5 18 10 17 12 7 6 1 3 11 14 8,5 13 15 2 5 4 16 11 17 9 18 12 7 5 3 2 10 13 8 15 14 1 6 4 0 -2,5 1 1 -1 0 0 1 -2 1 1 1 0,5 -2 1 1 -1 0 0 6,25 1 1 1 0 0 1 4 1 1 1 0,25 4 1 1 1 0 Σ 24,5

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3−�

= 1

−

6(24,5)

183₋₁₈

= 0,974

(47)

Untuk menguji signifikansi antara aptitude test skor dan banyaknya jumlah mobil yang terjual oleh masing-masing salesman tersebut dapat diuji sebagai berikut: �0 = Tidak ada korelasi antara aptitude test skor dan banyaknya jumlah mobil

yang terjual oleh masing-masing salesman.

�1 = Ada korelasi yang kuat antara aptitude test skor dan banyaknya jumlah

mobil yang terjual.

� =�_��−1 1−��2

� = 0,974� 18−2

1−(0,974)2

= 16,75

Tabel B memperlihatkan bahwa nilai kritis pada � = 1% didapatkan �� =�0,025��16 = 2,921. Maka �ℎ�� = 16,75 >�� = 2,921. Dengan

demikian �₀ ditolak dengan kesimpulan bahwa terdapat korelasi yang kuat antara aptitude test skor dengan banyaknya jumlah mobil yang terjual dalam memberikan penilaian terhadap ke-18 orang salesman dengan resiko kekeliruan sebesar 1%.

Perhitungan Korelasi Rank Kendall

Telah kita hitung nilai �_� 18 orang salesman yang diukur mengenai aptitude test skor dan jumlah mobil yang terjual. Nilai untuk delapanbelas orang salesman tersebut terlihat pada tabel (3.13) dan nilai ranknya disajikan pada tabel (3.14).

(48)

�

(3.15) berikut ini:

Tabel 3.15 Rank Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman

Salesman A B C D E F G H I J K L M N O P Q R Rank

Aptitude test skor

16 8,5 18 10 17 12 7 6 1 3 11 14 8,5 13 15 2 5 4

Rank Jumlah Mobil yang terjual

16 11 17 9 18 12 7 5 3 2 10 13 8 15 14 1 6 4

�

rank secara natural dengan hasil terlihat pada tabel (3.16) berikut ini :

Tabel 3.16 Rank Secara Natural Rank Aptitude Test Skor dan Jumlah Mobil Yang Terjual Untuk 18 Orang Salesman.

Salesman P J I R H Q G M D K B F L O N A C E Rank

Aptitude Test Skor

2 3 1 4 6 5 7 8,5 10 11 8,5 12 14 15 13 16 18 17

Rank Jumlah Mobil yang terjual

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Setelah menyusun rank Y secara natural itu, kita dapat menentukan nilai S dari susunan rank X.

�= (16−1) + (15−2) + (15−0) + (14−0) + (12−1) + (13−0) + (11−0) + (10−0) + (8−1) + (7−1) + (7−0) + (6−0) +

(4−1) + (3−1) + (3−0) + (2−0) + (−1) + (1−0)

[image:48.595.116.561.449.593.2]

(49)

Nilai rank Aptitude test skor (X) yang paling kiri adalah 2, yang sesuai dengan susunan pada Y, sehingga terdapat 16 angka yang lebih besar disebelah kanannya, dan 1 yang lebih kecil dengan demikian komponen S nya adalah (16-1). Rank yang kemudian adalah rank 3, yang mempunyai 15 rank sebelah kanannya yang lebih besar, dan 2 yang lebih kecil. Jadi komponen S nya adalah (15-2). Dengan cara yang sama untuk rank-rank selanjutnya, maka didapatkan nilai S = 138.

Atas dasar hasil determinasi S = 138, sekarang dapat ditentukan nilai �_� dan �_� nya. Ternyata tidak ada nilai kembar pada perubah Y (jumlah mobil yang

terjual) dengan demikian �_� = 0. Pada perubah X (aptitude test skor) ternyata ada

satu kelompok nilai kembar dengan � masing-masing = 2. Nilai rata-rata tersebut adalah 8,5. Dengan demikian nilai �_� adalah :

�� = 1 2� ∑ �(� −1)

_{= 1 2}� [2(2−1)]

= 1 �� = 0

�= 138 � = 18

Maka dengan mempergunakan rumus (2.11), maka nilai � adalah

�

=

�

��1₂�(�−1)−�_��1

2�(�−1)−��

=

138

��1₂18(18−1)−1��1

218(18−1)−0�

=

138

(12,328)(12,369)

= 0,904

(50)

Telah kita pelajari mengenai hubungan antara aptitude test skor dengan jumlah mobil yang terjual dari 18 orang salesman, di mana τ= 0,05. Kita anggap bahwa ke-18 orang salesman tersebut diturunkan dari populasi secara acak. Dapat kita uji apakah kedua peubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya, dengan mempergunakan rumus (2.12).

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1)₎

�

=

0.904

�₉2₍[₁₈2(₎₍18₁₈₋₁)+5]₎

�

=

5,239

�1

2� =�0,005 = 2,57. Jadi disini Ho ditolak karena �ℎ�� = 5,239 > ��= 2,57 . Hal ini berarti ada korelasi yang cukup berarti antara aptitude test skor dan banyaknya jumlah mobil yang terjual dari 18 orang salesman dengan tingkat kekeliruan sebesar 1%.

Kasus 5

(51)

[image:51.595.171.483.106.538.2]

Tabel 3.17 Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien.

Pasien Umur (Th) Tekanan Darah

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60 50 43 39 71 65 73 44 26 35 58 31 66 52 18 37 57 72 80 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155 148 127 125 173 169 176 132 115 123 139 120 144 133 117 136 149 163 171

Perhitungan Korelasi Rank Spearman

(52)

[image:52.595.170.511.104.572.2]

Tabel 3.18 Rank Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien. Pasien Umur R.Umur Tekanan

Darah

R.Tekanan Darah

D �2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60 50 43 39 71 65 73 44 26 35 58 31 66 52 18 37 57 72 80 13 21,5 3,5 26 9 18 14 17 24 21,5 6 10 16 20 23 5 8 2 19 29 27 11 28 7 15 30 25 12 3,5 1 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155 148 127 125 173 169 176 132 115 123 139 120 144 133 117 136 149 163 171 13 23,5 6 27 10,5 21 9 14 29,5 16 8 7 12 22 23,5 7 4 1 20 29,5 24 17 25 15 19 28 18 10,5 5 3 -0 -2 -2,5 -1 -1,5 -3 5 3 -5,5 5,5 -2 3 4 2 -0,5 3 4 1 -1 -0,5 3 -6 -3 -8 -4 2 7 1,5 -1,5 -2 0 4 6,25 1 2,25 9 25 9 30,25 30,25 4 9 4 4 0,25 9 16 1 1 0,25 9 36 9 64 16 4 49 2,25 2,25 4 373

�

= 1

−

6 ∑ ��

2 � �=1

�3−�

= 1

−

6(373)

(53)

Menurut hasil pengamatan dari 30 orang pasien ini, korelasi antara umur dan tekanan darah adalah �_� = 0,917. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan kekuatan korelasi sangat kuat.

Untuk menguji signifikansi antara umur dan tekanan darah dapat diuji sebagai berikut:

�0= Tidak ada korelasi antara umur dan tinggi rendahnya tekanan darah

seseorang.

�1 = Ada korelasi antara umur dan tinggi rendahnya tekanan darah seseorang.

Apabila N > 25, penentuan signifikansi �_� dapat diuji dengan menggunakan rumus (2.9):

�=�_� .√� −1

= 0,917 .√30−1

= 4,94

Nilai kritis pada α =1% = ± �1

2� =�0,005 = 2,57 �0 diterima bila -2,57 ≤ �ℎ�� ≤ +2,57

�0 ditolak bila � > +2,57 ��<−2,57

Kesimpulan:

�0 ditolak karena �ℎ�� = 4,94 >�� = 2,57. Hal ini berarti ada korelasi

yang cukup berarti kuat antara umur dan tekanan darah seseorang dengan resiko kekeliruan sebasar 1%.

Perhitungan Korelasi Rank Kendall

(54)

(3.17) dan nilai ranknya disajikan pada tabel (3.18). Atas dasar nilai tersebut maka

dapat pula kita mengetahui nilai

�

.

Untuk menghitung korelasi rank Kendall, dari tabel (3.18) dapat

�

(3.19) berikut ini:

Tabel 3.19 Rank umur dan tekanan darah untuk 30 pasien.

Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Umur 13 21,5 3,5 26 9 18 14 17 24 21,5 6 10 16 20 23 Tekanan

Darah 13 23,5 6 27 10,5 21 9 14 29,5 16 8 7 12 22 23,5

Sambungan Tabel 3.19

Pasien 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Umur 5 8 2 19 29 27 11 28 7 15 30 25 12 3,5 1 Tekanan

Darah 2 4 1 20 29,5 24 17 25 15 19 28 18 10,5 5 3

�

rank secara natural dengan hasil terlihat pada tabel (3.20) berikut ini :

Tabel 3.20 Rank Secara Natural Umur dan Tekanan Darah Untuk 30 Orang Pasien.

Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Umur 1 2 3,5 3,5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tekanan

Darah 3 1 5 6 2 8 15 4 10,5 7 17 10,5 13 9 19

Sambungan Tabel 3.20

Pasien 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Umur 16 17 18 19 20 21,5 21,5 23 24 25 26 27 28 29 30 Tekanan

Darah 12 14 21 20 22 16 23,5 23,5 29,5 18 27 24 25 29,5 28

[image:54.595.113.538.339.402.2]

(55)

�= (27−2) + (28−0) + (25−2) + (24−2) + (25−0) + (22−2) + (15−8) + (22−0) + (19−2) + (20−0) + (13−6) + (17−1) +

(15−1) + (16−0) + (11−4) + (14−0) + (13−0) + (9−3) +

(9−2) + (8−2) + (9−0) + (7−1) + (6−1) + (1−5) + (5−0) +

(2−2) + (4−0) + (3−0)

= 343

Nilai rank Tekanan darah (Y) yang paling kiri adalah 3, yang sesuai dengan susunan pada X, sehingga terdapat 27 angka yang lebih besar disebelah kanannya, dan 2 yang lebih kecil dengan demikian komponen S nya adalah (27-2). Rank yang kemudian adalah rank 1, yang mempunyai 28 rank sebelah kanannya yang lebih besar, dan tidak mempunyai rank lebih kecil. Jadi komponen S nya adalah (28 - 0). Dengan cara yang sama untuk rank-rank selanjutnya, maka didapatkan nilai S=343.

Atas dasar hasil determinasi S = 343, sekarang dapat ditentukan nilai �_� dan �_� nya. Pada perubah X (umur) ternyata ada dua kelompok nilai kembar

dengan � masing-masing =2. Nilai rata-rata tersebut adalah 31₂ dan 211₂.

Sedangkan pada perubah Y (tekanan darah) ada tiga kelompok nilai kembar

dengan � masing-masing =2. Nilai rata- rata tersebut adalah101₂, 231₂, 291₂,

dengan demikian nilai �_� dan �_�adalah :

�� =1₂∑ �(� −1)

=1

2�2�(2−1) + (2−1)��

= 2

�� =1₂∑ �(� −1)

=1₂�2�(2−1) + (2−1) + (2−1)��

(56)

Maka dengan mempergunakan rumus (2.11), maka nilai � adalah

�

=

�

��1₂�(�−1)−�_��1

2�(�−1)−��

=

343

��1₂30(30−1)−2��1

230(30−1)−3�

= 0,79

Nilai �= 0,79 adalah nilai derajat keeratan antara umur dengan tekanan darah yang ditunjukkan oleh 30 orang pasien. Dari hasil nilai korelasi tersebut dapat diinterpretasikan kekuatan korelasi kuat.

Telah kita pelajari mengenai hubungan antara umur dengan tekanan darah dari 30 orang pasien, di mana τ= 0,03. Kita anggap bahwa ke-30 orang pasien tersebut diturunkan dari populasi secara acak. Dapat kita uji apakah kedua peubah tersebut berhubungan erat dalam populasinya, dengan mempergunakan rumus (2.12).

�

=

�

�_9�2(2�+5₍_�−1)₎

�

=

0,79

�₉2₍[₃₀2(₎₍30₃₀₋₁)+5]₎

�

=

6,13

Dengan mempergunakan Tabel A, dapat ditentukan bahwa untuk�_{��} =

�1₂0,01 = 2,57. Jadi disini Ho ditolak karena �_ℎ�� = 6,13 >�_{��} = 2,57. Hal

(57)

[image:57.595.170.420.102.254.2]

Tabel 3.21 Perbandingan Nilai Korelasi

No N Koefisien Korelasi

Rank Spearman Rank Kendall 1

2 3 4 5

12 15 16 18 30

0,82 0,84 0,95 0,974 0,918

0,67 0,69 0,833 0,904 0,79

Dari tabel (3.21) diatas dapat kita lihat hasil perbandingan korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall sebagai berikut :

1. Nilai korelasi tertinggi pada masing – masing jumlah pasangan observasi terletak pada koefisien korelasi rank Spearman dengan nilai korelasi terletak antara nilai 0,80 – 1,00. Artinya hubungan nilai korelasi ini sangat kuat dibandingkan nilai korelasi rank kendall ada dibawah 0,8 pada pengujian jumlah pasangan variabel (N) yang sama. Contoh pada N=12 nilai �_� = 0,82 sedangkan nilai τ = 0,67.

(58)

BAB 4

KESIMPULAN

4.1. Kesimpulan

Dari pembahasan bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa :

1. Dari data kasus yang telah dihitung pada bab sebelumnya, yaitu baik dengan�_� maupun τ untuk data yang sama ternyata bahwa nilai dari kedua perhitungan tersebut tidak sama. Hal ini memberikan gambaran bahwa pada umumnya antara �_� dan τ mempunyai skala pengukuran yang berbeda, sehingga satu dengan yang lainnya tidak dapat langsung diperbandingkan. Namun demikian keduanya dapat dipergunakan untuk mengolah data dengan tujuan korelasi dalam keampuhan yang sama besarnya, yang berarti dapat dipergunakan untuk menolak Ho pada data yang sama serta taraf nyata yang sama pula.

[image:58.595.198.449.538.690.2]

2. Adapun hasil nilai koefisien korelasi secara lengkap masing-masing data soal dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel 3.21 Perbandingan Nilai Korelasi.

No N Koefisien Korelasi

Rank Spearman Rank Kendall 1

2 3 4 5

12 15 16 18 30

0,82 0,84 0,95 0,974 0,918

(59)

Terlihat nilai korelasi yang dihasilkan dari penggunaan korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall bahwa korelasi sangat kuat masing-masing data terletak pada korelasi rank Spearman, dimana nilai korelasi yang didapat berkisar antara 0,8 – 1,00. Sedangkan nilai korelasi rank Kendall pada masing – masing data nilainya lebih rendah dari hasil korelasi rank Spearman. Artinya penggunaan korelasi rank Spearman lebih baik dari korelasi rank kendall.

(60)

4.2.Saran.

1. Dalam penggunaan metode korelasi rank Spearman dan korelasi rank Kendall diperoleh ketentuan data sebagai berikut:

jika N > 25, menggunakan metode korelasi rank Spearman jika N < 25, menggunakan metode korelasi rank Kendall.

(61)

DAFTAR PUSTAKA

Hasan Iqbal.2003. Pokok-Pokok Materi Statistik 1. PT Bumi Aksara: Jakarta. J.Supranto.2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Erlangga: Jakarta.

M.Sudrajat S W.1985. Statistika Non Parametrik. Armico: Bandung.

Saleh Samsubar. 1985. Statistik Non Parametrik.BPFE Indonesia: Yogyakarta. Siegel Sidney. 2011. Statistik Nonparametrik Untuk Ilmu – Ilmu Sosial. PT

Gramedia : Jakarta.

Spiegel Murray.2004. Statistik. Erlangga: Jakarta.