GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK
JARINGAN AFILIASI
TESIS
Oleh
MIDUK TAMPUBOLON 097021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK JARINGAN
AFILIASI
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MIDUK TAMPUBOLON 097021006/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK JARINGAN AFILIASI
Nama Mahasiswa : Miduk Tampubolon Nomor Pokok : 097021006
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal: 16 juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Dr. Saib Suwilo, MSc
ABSTRAK
Model graf acak eksponensial yang memuat pergantian k-bintang dan pergan-tian 2-path memberikan hasil yang lebih baik pada kekonvergenan model untuk jaringan afiliasi yang besar dibandingkan dengan model Markov. Pada jaringan bi-partit, perkiraan maksimum likelihood menjadi teknik yang lebih baik dari perki-raan pseudolikelihood untuk graf acak eksponensial. Dalam tesis ini diperkenalkan pendekatan heuristik menggunakan jarak Mahalanobis yang dinyatakan dengan dm =
q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ), dan menunjukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang sesuai untuk digunakan. Nilai t-ratio dan jarak Mahala-nobis yang kecil mengindikasikan kesesuaian model graf acak eksponensial.
ABSTRACT
The exponential random graph with alternating k-stars and alternating two-path gives much better result model convergence in large affiliation networks compared to Markov model. For bipartite networks, maximum likelihood estimation tech-niques are better than pseudolikelihood estimation techtech-niques for exponential ran-dom graph model. This thesis introduces a heuristic approach using Mahalanobis distance which denoted by dm =
q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ), and shows how to select the goodness of fit approach models. The small value of t-ratio and small Mahalanobis distance indicate goodness of fit for exponential random graph model.
KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-Nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK JARINGAN AFILIASI. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Scselaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera utara. Prof. Dr. Herman Mawengkangselaku Ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ban-tuan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Scselaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini
Seluruh Staf Pengajarpada Program Studi Magister Matematika FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar-gaan setinggi-tingginya kepada kedua orangtua dan mertua tercinta Maringan Tampubolon / Betty br Panjaitan dan Bosur Parluhutan Simorangkir / Berliana br Hutabarat yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih pada isteri tersayang Desi Dameria br Simorangkir yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perku-liahan hingga sampai penulisan tesis ini. Terakhir, ucapan terimakasih kepada anak-anak tersayang Eben Tampubolon , Elena Febyola br Tampubolon dan Elyssa Patricia br Tampubolon yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Miduk Tampubolon dilahirkan di Siborongborong pada tanggal 11 Septem-ber 1972 dari pasangan Bapak Maringan Tampubolon & Ibu Betty br Panjaitan dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pen-didikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 5 Siborongborong tahun 1985, Sekolah Me-nengah Pertama (SMP) Negeri 1 Siborongborong tahun 1988, Sekolah MeMe-nengah Atas (SMA) Negeri 1 Siborongborong tahun 1991. Pada tahun 1991 memasuki Perguruan Tinggi Negeri Universitas Sumatera Utara FMIPA Program Studi Ma-tematika pada Jenjang Strata 1 lulus tahun 1998.
Pada tahun 1991 - 1992, penulis menjadi tentor pada bimbingan belajar TEKNOS Medan. Kemudian pada tahun 1993 - 1994, penulis menjadi tentor di bimbingan belajar Medica Medan. Pada tahun 1995 - 1998, penulis menjadi tentor di bimbingan belajar BIMA Medan. Pada tahun 1998-2000 menjadi tentor di Visi Plus College Medan. Pada tahun 2001 - 2005 menjadi guru di Perguru-an Eka Prasetya MedPerguru-an. Pada tahun 2004, penulis mengikuti Test CPNS dPerguru-an Lulus menjadi Dosen Kopertis Wilayah I dan ditempatkan di Universitas HKBP NOMMENSEN Medan.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
BAB 3 LANDASAN TEORI 7
3.1 Representasi Jaringan Bipartit 7
3.2 Graf Acak Bernoulli 8
3.3 Asumsi Markov 9
3.4 Asumsi Empat-Cycle 10
3.5 Asumsi Tiga-Path 10
3.6 Model Kluster 11
3.7 Simulasi 13
BAB 4 PEMBAHASAN 15
4.1 Model Spesifik 15
4.2 Pergantian k-bintang 17
4.2.1 Simulasi dengan Pergantian k-bintang 19
4.3 Pergantian k-2-Path 21
4.3.1 Simulasi dengan Pergantian k-2-path 22
4.4 Kesesuaian Model 24
4.5 Analisa Kesesuaian Model 24
4.5.1 Jaringan Southern Women 25
4.5.2 Hasil Perhitungan Pseudolikelihood dan Maksimum
Likelihood 26
4.5.3 Pemilihan Model 28
4.5.4 Hubungan Antar Direktur 30
4.5.5 Lima Puluh Institusi Finansial Top 31
4.5.6 Hubungan Komponen Terbesar dari 500 Perusahaan
Top (1996) 33
BAB 5 KESIMPULAN 37
ABSTRAK
Model graf acak eksponensial yang memuat pergantian k-bintang dan pergan-tian 2-path memberikan hasil yang lebih baik pada kekonvergenan model untuk jaringan afiliasi yang besar dibandingkan dengan model Markov. Pada jaringan bi-partit, perkiraan maksimum likelihood menjadi teknik yang lebih baik dari perki-raan pseudolikelihood untuk graf acak eksponensial. Dalam tesis ini diperkenalkan pendekatan heuristik menggunakan jarak Mahalanobis yang dinyatakan dengan dm =
q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ), dan menunjukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang sesuai untuk digunakan. Nilai t-ratio dan jarak Mahala-nobis yang kecil mengindikasikan kesesuaian model graf acak eksponensial.
ABSTRACT
The exponential random graph with alternating k-stars and alternating two-path gives much better result model convergence in large affiliation networks compared to Markov model. For bipartite networks, maximum likelihood estimation tech-niques are better than pseudolikelihood estimation techtech-niques for exponential ran-dom graph model. This thesis introduces a heuristic approach using Mahalanobis distance which denoted by dm =
q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ), and shows how to select the goodness of fit approach models. The small value of t-ratio and small Mahalanobis distance indicate goodness of fit for exponential random graph model.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu jaringan afiliasi menggambarkan hubungan antara dua atau lebih himpunan node dimana masing-masing himpunan memiliki keadaan umum yang berbeda. Misalnya suatu jaringan hubungan direktur: satu himpunan node meru-pakan himpunan yang menyatakan direktur, dan yang lainnya menyatakan perusa-haan. Hubungan yang digambarkan adalah direktur-direktur yang duduk pada anggota dewan perusahaan. Banyak himpunan dalam jaringan merupakan mode dari jaringan tersebut. Tesis ini berfokus pada dua mode jaringan yang sering disebut jaringan bipartit.
Dalam jaringan bipartit analisa data yang mendiskripsikan interaksi antara dua himpunan node pada dua level yang berbeda dianggap sangat penting, di-mana node dari satu level merupakan anggota dari node pada level yang lebih tinggi. Breiger (1974) telah menggolongkan jenis fenomena umum ini dalam The duality of person and group, yaitu hubungan timbal balik antara elemen-elemen dari dua himpunan yang berbeda. Dalam tesis ini dua himpunan yang berbe-da dinyatakan oleh orang berbe-dan perkumpulan dengan hubungan seseorang aberbe-dalah anggota dari suatu perkumpulan.
2
oleh Agneessens et al. (2004). Pattison dan Robin (2004) memperkenalkan model graf acak eksponensial untuk jaringan afiliasi. Tetapi dalam semua studi di atas teknik yang digunakan sangat sulit.
Snijders (2002) memperkenalkan metode untuk pendekatan prakiraan mak-simum dari model graf acak eksponensial atas simulasi Monte Carlo, tetapi ternya-ta beberapa model spesifik ternya-tak berhubungan dimana tidak ada sebuah parameter yang menghasilkan distribusi graf yang sesuai untuk menggambarkan data yang sebenarnya, dengan demikian model spesifik menjadi masalah penting. Snijders et al. (2006) memperkenalkan sebuah himpunan model spesifik baru yang menam-bah kemungkinan pencapaian hasil dari gabungan model untuk data jaringan satu mode.
Asumsi-asumsi bersyarat baru untuk jaringan satu mode diperkenalkan oleh Snijders et al. (2006) dapat digunakan pada jaringan bipartit, tetapi untuk graf bipartit asumsi tersebut memerlukan perubahan bentuk parameter, dimana hasil dari beberapa parameter tidak dapat dipakai dalam model jaringan satu mode. Selanjutnya selain asumsi bersyarat ditambahkan parameter untuk kelompok bi-partit dan susunannya, yang tidak dapat dipasangkan dalam kasus satu mode.
Pengerjaan dalam model statistika dari jaringan masih belum cukup, bebe-rapa perubahan spesifik yang sesuai untuk jaringan satu mode harus juga dikerja-kan untuk tipe data bipartit. Dalam tesis ini diperlihatdikerja-kan ketika asumsi Snijders et al. (2006) dan asumsi bersyarat tiga-path dilanjutkan pada kasus bipartit, mo-del yang ditambahkan memberikan hasil yang lebih baik terhadap variasi jaringan bipartit. Selanjutnya sama seperti pada jaringan satu mode, perkiraan maksimum likelihood untuk model bipartit dapat menunjukkan kesimpulan yang berbeda dibandingkan dengan pseudolikelihood, dan model spesifik baru kadang-kadang diperlukan untuk tujuan penyatuan model.
Mahala-3
nobis yang dinyatakan dengan dm = q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ), dan menun-jukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang sesuai untuk digunakan.
1.2 Perumusan Masalah
Model graf acak eksponensial telah banyak diperkenalkan, tesis ini mem-bahas permasalahan tentang bagaimana membandingkan model graf acak ekspo-nensial yang lebih sesuai untuk jaringan bipartit.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah membandingkan model graf acak eksponensial untuk jaringan bipartit dengan pendekatan statistika yang lebih tepat yang diperoleh dari asumsi-asumsi bersyarat tentang hubungan diantara kelompok jaringan dan memberikan test hipotesa tentang bagaimana proses hu-bungan kelompok jaringan dasar mempengaruhi keseluruhan jaringan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang berhubungan dengan jaringan bipartit serta memberikan kemudahan untuk meng-analisa tentang bagaimana proses hubungan jaringan dasar mempengaruhi jaringan umum.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur dengan mengumpulkan informasi dari bebe-rapa jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan secara singkat model graf acak eksponensial.
4
3. Menganalisa model graf acak eksponensial yang sesuai untuk jaringan
bipartit.
4. Memperkenalkan model pendekatan heuristik menggunakan jarak Maha
lanobis dan menunjukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Model graf acak eksponensial diperkenalkan oleh Frank dan Strauss (1986), Wasserman dan Pattison (1996) adalah suatu bagian model stokastik yang meng-gunakan struktur jaringan lokal memodelkan bentuk dari hubungan jaringan un-tuk sebuah jaringan dengan nomor tertentu dari node-node. Sebuah himpunan jaringan bipartit X(n, m) memuat semua jaringan bipartit (n, m) yang mungkin. Selanjutnya jaringan dapat direpresentasikan oleh sebuah variabel acak X dima-na jaringan tersebut merupakan himpudima-nan hubungan variabel-variabel Xij yang
dapat disimbolkan dengan X ={Xij}.
Dari teorema Hammersley-Clifford (Besag, 1974), model untuk X memiliki sebuah bentuk yang ditentukan oleh himpunan tersebut dari neighbourhood Q. Pendekatannya menunjukkan cara menyeleksi model dari model-model graf acak eksponensial. Model graf acak eksponensial memiliki bentuk umum seperti di bawah ini:
P(X =x) = 1
k exp P
QθQZQ(x) (2.1)
dimana untuk model homogen himpunan neighbourhood q adalah isomorfis de-ngan Q, ZQ(x) dinyatakan oleh ZQ(x) =Pq∈Q(Πxij∈qxij), θQ adalah parameter
dank =P
x∈X(exp P
QθQZQ(x)) adalah konstanta normal yang dibentuk seluruh
ruang graf X(n, m).
Untuk hubungan variabelXij padaX,Cij menyatakan komplemen dariXij,
x+ menyatakan graf denganxij = 1, danx menyatakan graf dengan xij = 0 maka
distribusi bersyarat dari hubungan variabel Xij dinyatakan dengan:
logit{P(Xij = 1 |Cij} =log{ 1−PP(X(Xij=1ij=1|C|Cij
ij } (2.2)
=P
6
dimana uQ(xij) merupakan statistika perubahan dari Q yang diperoleh dengan
mengubah xij dari 1 menjadi 0 yaitu:
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Representasi Jaringan Bipartit
Andaikan P1, P2, P3, ..., Pn menyatakan elemen dari himpunan P, dan A1,
A2,A3, ..., Am menyatakan elemen dari himpunan A. Suatu jaringan bipartit
(n, m) yang mempunyai n node dari P dan m node dari A, dapat direpresen-tasikan oleh sebuah matriks persegi panjang (X) berordo nxm dengan nomor baris dan nomor kolom sama dengan nomor node dari masing-masing himpunan. Jika node i pada P terhubung dengan node j pada A maka elemen Xij = 1,
ji-ka tidak 0. Gambar 3.1 menunjukji-kan sebuah contoh dari representasi matriks jaringan bipartit (5, 6) dimana lingkaran menyatakan elemen himpunan P dan persegi menyatakan elemen himpunanA. MatriksX merupakan matriks adjasen-si.
X =
0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
8
Dua jaringan satu mode dapat diperoleh dari sebuah jaringan bipartit. Se-bagai contoh, dari sebuah jaringan bipartit anggota klub ( jika orang i terhubung dengan klub j, maka i merupakan anggota j ) dapat diperoleh sebuah jaringan orang dengan orang sedemikian hingga jika dua orang mempunyai klub yang sama, maka terdapat suatu hubungan diantara mereka, dengan cara yang sama sebuah jaringan klub dengan klub dapat dibentuk. Namun dengan mengubah jaringan bipartit menjadi dua jaringan satu mode beberapa informasi akan hilang.
3.2 Graf Acak Bernoulli
Model graf acak eksponensial paling sederhana adalah model Bernoulli, yang didasarkan pada asumsi neighbourhood bahwa semua variabel Xij saling bebas.
Peluang dari jaringan bipartitx dinyatakan oleh :
P(X =x) = 1k exp{θZL(x)} (3.1)
dengan ZL(x) merupakan jumlah dari hubungan dalam jaringan dan adalah
pa-rameter kepadatan. Graf yang dihasilkan oleh model Bernoulli disebut graf acak Bernoulli. Kepadatan jaringan didefenisikan dengan :
d(x) = mn1
Kepadatan d(x) merupakan perkiraan dari peluang homogen P(Xij = 1),
se-hingga maksimum likelihood dari θ dapat diperoleh dengan : ˆ
θ=logit(d(x)) =log{ 1−d(dx()x) } (3.3)
Nilai negatif dari θ akan menghasilkan distribusi jaringan dengan rata-rata kepa-datan kurang dari 0,5.
9
Daerah tertutup terkecil pada jaringan bipartit adalah empat-cycle yang dino-tasikan dengan C4(x), dan C(x) didefenisikan dengan empat kali perbandingan
jumlah empat-cycle dengan jumlah tiga-path L3(x) :
C(x) = 4C4(x)
L3(x) (3.4)
Pada jaringan bipartit Bernoulli dengan hubungan semua variabel saling bebas, peluang tiga-path tertutupXij adalah P(Xij = 1). Sehingga kepadatand(x) dari
jaringan Bernoulli juga memenuhi koefisien Kluster.
3.3 Asumsi Markov
Asumsi ketergantungan Markov menyatakan statistika graf memuat bintang-bintang (stars) dengan ukuran yang berbeda (k-bintang-bintang adalah node berderajat k) dan segitiga-segitiga untuk graf satu mode. Dengan asumsi Markov dapat dijelaskan kecenderungan lokal tertutup pada jaringan satu mode menggunakan parameter segitiga, namun graf bipartit tidak dapat berbentuk segitiga-segitiga, hanya mempunyai edge dan konfigurasi bintang, dimana bintang merupakan tipe hubungan dari dua himpunan node yang berbeda.
Skvoretz and Faust (1999) memperkenalkan model graf eksponensial untuk jaringan afiliasi menggunakan asumsi Markov, memuat statistika jaringan untuk kepadatan dan nomor-nomor bintang untuk ukuran yang berbeda. Meraka juga menggunakan beberapa statistika jaringan umum yang bukan Markovian. Model tersebut disesuaikan dengan metode pseudo likelihood.
10
3.4 Asumsi Empat-Cycle
Asumsi empat-cycle menyatakan bahwa dalam jaringan satu mode, jika xik = xjl = 1 atau xil = xjk = 1 maka hubungan dua variabel Xij dan Xkl
adalah tergantung (bersyarat), yaitu jika terdapat hubungan antara node i dan k, dan hubungan antara node j dan l, atau terdapat hubungan antara node i dan l, dan hubungan antara node j dan k, maka Xij dan Xkl merupakan bagian dari
sebuah empat-cycle.
Snijders et al (2006) memperkenalkan asumsi ini untuk jaringan satu mode. Pada jaringan bipartit, tidak terdapat hubungan di dalam himpunanAatau him-punan B sehingga jika {i, l} ∈A dan {j, k} ∈P maka hanya xik =xjl= 1 yang
memenuhi syarat untukXij dan Xkl membentuk sebuah empat-cycle, seperti
di-tunjukkan Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Empat-Cycle
3.5 Asumsi Tiga-Path
Asumsi tiga-path menyatakan bahwa hubungan dua variabel Xij dan Xkl
adalah tergantung (bersyarat) jika terdapat satu hubungan xik atau xjl, dimana
{i, l} ∈ A dan {j, k} ∈ P dengan demikian Xij dan Xkl merupakan bagian dari
11
Gambar 3.3 Tiga-path
Asumsi tiga-path ini lebih umum dari asumsi empat-cycle karena asumsi tiga-path berlaku dalam konfigurasi model yang menggunakan asumsi empat-cycle tetapi asumsi cycle tidak berlaku pada konfigurasi model dengan asumsi empat-path.
3.6 Model Kluster
12
Gambar 3.4 Konfigurasi Model Kluster
Untuk jaringan bipartit (n, m) model graf acak eksponensial dapat dinyatakan dengan persamaan (3.5). Persamaan ini juga sesuai dengan model kluster oleh Pattison and Robins (2004).
P(X =x) = 1k exp{θZL(x)}+
dengan θ adalah parameter kepadatan untuk statistika edge : ZL(x) =
Misalkanxi+ danxj+ menyatakan derajat node i dari himpunan
perkumpu-lan (A) dan derajat node j dari himpunan orang (P),ζAk danζPk adalah parameter
k-bintang untuk perkumpulan dan orang, maka :
13
α adalah parameter untuk statistika tiga-path. Misalkan xi+ dan xl+
me-nyatakan derajat node i dan l dari himpunan A, k dari node himpunan P, dan L2il menyatakan banyaknya dua-path antara i dan l maka
L2il(x) = n P
k=1
xik xlk (3.9)
statistika tiga-path dapat ditentukan dengan
ZL3(x) =
β adalah parameter untuk statistika empat-cycle dimana ZC4(x) =
Strategi simulasi untuk model graf acak eksponensial yang digunakan dalam tesis ini didasarkan pada Algoritma Metropolis-Hastings, yaitu :
1. Dari graf x dengan ruang X(n, m) dibentuk beberapa graf.
2. Sepasang node i dan j dipilih secara acak. Untuk jaringan bipartit, node
i dan j harus dari himpunan yang berbeda. Hubungan xij ditambah atau
dihilangkan untuk membentuk calon x′graf sedemikian hingga: x′ij = 1−xij
3. Gunakan statistika perubahan uq dari Qseperti yang didefenisikan
per-samaan (2.3), yang dapat juga dinyatakan dengan :
14
Calon graf x′ diterima dengan peluang min(1, r), dimana r dinyatakan dengan: r= PP((XX==xx′)) =expP
Q
θQuQ(xij) (3.13)
3.8 Estimasi Maksimum Likelihood Rantai Markov Monte Carlo Cara estimasi maksimum likelihood untuk model graf acak eksponensial diperkenalkan oleh Snijders (2002) berdasarkan metode aproksimasi stokastik yang diperkenalkan oleh Robins and Monro (1951). Vektor dari estimasi mak-simum likelihood ˆθ menghasilkan distribusi graf X dengan nilai harapan dari statistika graf sama dengan statistika graf yang diamati z(x).
E(z(X)|θˆ) =z(x) (3.14)
dimanaz(X) adalah vektor dari statisitika graf, dan xadalah graf yang diamati. Untuk menentukan apakah ˆθ dapat menghasilkan distribusi graf yang diha-rapkan sebagai pusat jaringan yang diamati, test konvergen t-ratio untuk masing-masing statistika graf dinyatakan oleh :
tQ =
zQ(x)−Eˆ(zQ(X)|θˆ) ˆ
σQzQ(x)|θˆ (3.15)
dimana X adalah distribusi graf yang disimulasikan dengan penambahan pa-rameter ˆθ, dan ˆσ adalah estimasi kesalahan standar untuk parameter θQ yang
dihitung dari akar estimasi matriks kovarians. Jika |tQ |≤0.1,∀Q maka
aproksi-masi menunjukkan kekonvergenan. Jika | θˆQ |> 2ˆσQ, dapat disimpulkan bahwa
ˆ
θQ signifikan berbeda dari 0, dan konfigurasi zQ dalam jaringan yang diamati
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1 Model Spesifik
Model-model yang telah dijelaskan pada bab 3 mengalami kegagalan
penca-paian hasil pada masalah kekonvergenan, dimana perubahan beberapa hubungan
xij dapat menimbulkan statistika perubahan yang besar untuk hubungan variabel
xkllainnya. Jika parameter perkumpulan dari empat-cycle atau k-bintang (k ≥2)
adalah positif maka jaringan yang paling mungkin adalah sebuah jaringan yang mendekati lengkap, jika parameter adalah negatif maka kemungkinan terbesar
mendekati graf kosong.
Sebagai illustasi, sebuah simulasi dibuat pada jaringan bipartit (20,30), de-ngan parameter θ = −3,0 dan parameter empat-cycle β diubah dari 0 sampai 0,02 dalam langkah 0,001. Parameter lain dalam simulasi ini bernilai 0. Untuk
setiap himpunan parameter (θ, β) 100.000 graf yang disimulasikan dibagi dalam beberapa pasangan, dan setiap graf sampel ke 10.000 diambil, sehingga terdapat 10 graf untuk setiap himpunan parameter yang merepresentasikan distribusi graf.
16
Gambar 4.1 Simulasi Model θ dan β (Sumber: Wang Peng et al. (2008))
Segitiga dengan titik ujung menghadap ke atas menyatakan simulasi yang diawali
dari graf kosong, dan segitiga dengan titik ujung ke bawah menyatakan simulasi
yang diawali dari graf lengkap. Gambar 4.1. menunjukkan bahwa ketika β ∈ (0,012,0,015) model membentuk dua daerah distribusi graf yang mendekati graf kosong atau graf lengkap. Dengan penambahan atau pengurangan nilai parameter
kepadatan, interval dua daerah akan berubah ke arah kanan atau kiri. Model mendekati kegagalan jika letaknya terlalu banyak mendekati graf lengkap atau
17
4.2 Pergantian k-bintang
Untuk jaringan bipartit (n, m) dengan spesifikasi pada persamaan (3.5), dapat dimodelkan dua tipe bintang berukuran n dan m. Model yang memuat
bintang ukuran besar atau node dengan derajat tinggi dapat menyebabkan
kega-galan model. Spesifikasi dalam tesis ini menggunakan parameter tunggal yaitu parameter bobotλs, λs ≥1, untuk seluruh distribusi derajat. Parameter tersebut
memperkecil efek dari perubahan statistika pada bintang ukuran besar. Bobot
dari bintang mempunyai pergantian tanda, k-bintang dengan k genap berbobot
positif dan k-bintang dengan k ganjil berbobot negatif. Karena terdapat dua him-punan node P dan A, maka statistika pergantian k-bintang didefenisikan dalam dua bagian sebagai berikut :
zKSA(λs, x) =
Bobot dari bintang dengan ukuran besar diperkecil oleh perpangkatanλs dan
per-gantian tanda, dimana statistika perper-gantian k-bintang merupakan jumlah barisan
bobot geometri berganti tanda.
Dari statistikazSPk(x) yang telah didefenisikan pada persamaan (3.8), maka
persamaan (4.2) dapat dituliskan dengan :
18
Dengan menggunakan rumus binomial didapat :
zKSP(λs, x) =λ2s
(4.4) dapat disederhanakan menjadi :
zKSP(λs= 1,0, x) = 2zL(x)−n+ n P
j=1
I{x+j = 0} (4.5)
dimanazL(x) menyatakan banyak edge, dan I menyatakan fungsi biner dengan :
I{x+j = 0}=
1 jika (x+j = 0) 0 untuk lainnya.
Statistika perubahan dalam pergantian k-bintang dihitung dengan
menggu-nakan rumus :
dimana I adalah fungsi biner.
Dengan menetapkan pergantian tanda untuk bintang, diasumsikan bahwa
parameter untuk bintang dengan ukuran yang berbeda juga mempunyai
19
parameter untuk masing-masing bintang berukuran k dinotasikan dengan ζk
ma-ka :
ζk+1 =− λζks, dimana ζ2 =ζ, k ≥2 (4.9)
Jika λs = 1, parameter pergantian k-bintang memodelkan node tertentu dengan
jelas. Jika λs = 2, perbedaan statistika perubahan dari 5-bintang dan 6-bintang
kurang dari 0,04, dengan demikian model untuk node dengan derajat lebih dari 5
hampir sama. Jikaλs → ∞,pergantian k-bintang hampir sama dengan 2-bintang.
4.2.1 Simulasi dengan Pergantian k-bintang.
Simulasi perbandingan model kepadatan dan 2-bintang dengan model kepa-datan dan pergantian k-bintang menunjukkan bahwa model kepakepa-datan dan
per-gantian k-bintang memberikan cakupan yang lebih baik terhadap ruang graf.
Gambar 4.2 menunjukkan simulasi model kepadatan L dan 2-bintang SP2
pa-da graf bipartit dengan ukuran node (30, 20). Parameter kepapa-datan ditetapkan
θ =−3,0 dan parameter ζP2 diubah dari 1 sampai 1 dengan langkah 0,1. Untuk
masing-masing ζP2 , setiap simulasi graf ke 100.000 dipilih dari 1.000.000
simu-lasi graf, banyak hubungan L untuk graf sampel digambarkan berlawanan arah dengan nilai parameterζP2 . Hasilnya menunjukkan bahwaLdanζP2 lebih
20
Gambar 4.2 Simulasi Model θ dan ζP2 (Sumber: Wang Peng et al. (2008))
Hasil dari simulasi model kepadatan dan pergantian k-bintang pada jaringan bipartit ukuran (30, 20) dengan strategi yang sama ditunjukkan pada Gambar 4.3.
Dari gambar terlihat bahwa pada saat parameter pergantian k-bintang
21
Gambar 4.3 Simulasi Model θ dan ζKSP (Sumber: Wang Peng et al. (2008))
4.3 Pergantian k-2-Path
Pergantian k-2-path didefenisikan dengan cara yang sama seperti pergantian
k-bintang dimana bobot geometri negatif digunakan pada distribusi derajatnya.
Nilai k-2-path dinyatakan dengan :
ztP(x, k) =
dimana node i dan l merupakan node dari himpunan A.
Menggunakan bobot parameter λt dan pergantian tanda, statistika
pergan-tian k-2-path dinyatakan dengan :
22
perubahan untuk KCP adalah nilai bobot (k-1)-2-path yang memiliki node i dan
l dengan l ∈A:
4.3.1 Simulasi dengan Pergantian k-2-path
Simulasi dilakukan untuk graf bipartit (30, 20) node, diawali dari graf kosong
dan graf lengkap. Parameterθ ditetapkan untukθ =−3,0, dan parameterβKCP
untuk KCP diubah dari -1 sampai 10. Hasil simulasi diperlihatkan pada gambar
4.4. Dibandingkan dengan gambar 4.1, hasil simulasi ini menunjukkan cakupan
23
24
4.4 Kesesuaian Model
Statistika sederhana yang baik untuk model graf acak eksponensial adalah t-ratio, yang telah didefenisikan pada persamaan (3.15), dimana t-ratio yang kecil
merupakan indikasi dari model yang baik atau sesuai. Nilai absolut t-ratio harus
lebih kecil dari 0,1 untuk menyatakan bahwa model mempunyai kesesuaian.
Jarak Mahalanobis dipergunakan oleh Wang Peng et al. (2008) untuk
menentukan korelasi antara statistika secara keseluruhan dari model yang sesuai.
Jarak Mahalanobis adalah ukuran jarak yang menunjukkan berapa jauh bagian jaringan dari pusat distribusi jaringan yang direpresentasikan oleh distribusi
statis-tika graf pada model graf acak eksponensial. MisalkanZ(x) = (z1(x), z2(x), ..., zQ
(x)) merupakan vektor dari statistika jaringan yang diamati, µ = (µ1, µ2, ..., µQ)
merupakan vektor dari rata-rata yang bersesuaian diperoleh graf simulasi, danP
merupakan matriks kovarian, jarak Mahalanobis dM dihitung dengan :
dm = q
(Z(x)−µ)TP−1
(Z(x)−µ) (4.15)
Jarak Mahalanobis yang kecil menyatakan pusat graf yang dibangkitkan dari
mo-del adalah tertutup pada jaringan yang diamati.
4.5 Analisa Kesesuaian Model
Analisa kesesuaian model graf acak eksponensial untuk jaringan bipartit diperlihatkan pada beberapa jaringan afiliasi berikut. Jaringan pertama dikenal
dengan jaringanSouthern Women, merupakan jaringan afiliasi klasik tentang
par-tisipasi dalam 14 kegiatan sosial informal oleh 18 wanita di Natchez, Missisipi
sela-ma sembilan bulan, yang datanya dikumpulkan oleh Davis et al (1941). Jaringan kedua dan ketiga adalah dua jaringan afiliasi yang menggambarkan bagaimana
25
4.5.1 Jaringan Southern Women
Sejak dipublikasikan tahun 1940, jaringan Southern Women telah dianalisa menggunakan beberapa teknik analisa jaringan sosial, termasuk beberapa model
graf acak eksponensial untuk jaringan afiliasi oleh Skvoretz and Faust (1999),
Freeman (2003) memberikan analisa yang luas terhadap data tersebut, Pattison and Robins (2004) juga menggunakan Pseudolikelihood untuk menganalisa data
ini. Jaringan Southern Woman diperlihatkan pada gambar 4.5 dengan lingkaran
merepresentasikan wanita dan bujursangkar merepresentasikan kejadian.
26
4.5.2 Hasil Perhitungan Pseudolikelihood dan Maksimum Likelihood
Skvoretz and Faust (1999) menyelidiki beberapa model graf acak
eksponen-sial yang mungkin untuk data pada jaringanSouthern Women, memuat beberapa
statistika jaringan yang sesuai dengan asumsi Markov :
P(X =x) = 1
k exp{θZL(x) +ζSP2zSP2(x) +ζSA2zSA2(x)} (4.16)
Hasil perhitungan pseudolikelihood dan maksimum likelihood dengan stan-dar errornya diperlihatkan oleh tabel 4.1.
Tabel 4.1 Pseudolikelihood dan Maksimum likelihood Southern Women
P L M L SE t−ratio L -2.374 -2.031 (0.314) 0.043 SP2 0.131 0.064 (0.059) 0.028
SA2 0.186 0.180 (0.039) 0.017
Dari tabel 4.1 terlihat bahwa semua t-ratio untuk perhitungan maksimum likelihood kurang dari 0,1 dan ini merupakan indikasi kekonvergan model yang
baik. Dengan membandingkan pseudolikelihood dan maksimum likelihood terlihat
nilai parameter hampir sama untuk kejadian 2-bintang (SA2). Namun untuk
pa-rameter kepadatan (L) dan parameter wanita 2-bintang perbedaannya signifikan. Perbedaan perhitungan parameter ini akan menyebabkan perbedaan distribusi
graf yang direpresentasikan oleh model. Untuk menunjukkan perbedaan di dalam
distribusi graf, kesesuaian model telah ditaksir menggunakan simulasi distribusi graf.
27
diamati. Nilai t-ratio dan jarak Mahalanobis (dM) ditunjukkan pada tabel 4.2,
de-nganSP notasi untuk bintang wanita, SA notasi untuk bintang kejadian,KCP
no-tasi pergantian k-2-path yang dibentuk oleh 2-path dengan wanita sebagai pusat,
KCA notasi pergantian k-2-path yang dibentuk oleh 2-path dengan pusat suatu
kejadian, DP notasi distribusi derajat dari node wanita danDA notasi distribusi
derajat dari node kejadian.
Tabel 4.2 Kesesuaian Model untuk Pseudolikelihood dan Maksimum likelihood
P L M L
KSP -10.709 0.028
KSA -10.814 -0.010
KCP -84.056 0.127
KCA -100.875 -0.113
StddevDP 1.940 0.970
StddevDA 1.239 -0.021
SkewDP 2.791 0.455
Clust.Coef. -9.361 0.833
dM 436.067 8.068
Perhitungan pseudolikelihood menggambarkan ketidaksesuaian dengan
da-ta dimana terdapat nilai t-ratio yang lebih besar dari 2,0. Jarak Mahalanobis
yang besar untuk pseudolikelihood juga mengindikasikan bahwa jaringan yang diamati jauh dari pusat distribusi graf. Sedangkan perhitungan maksimum
like-lihood menggambarkan kesesuaian untuk masing-masing statistika jaringan, di-mana nilai t-ratio yang terbesar adalah 1,005, dan untuk maksimum likelihood
jarak Mahalanobisnya cukup kecil dibandingkan dengan jarak Mahalanobis untuk
28
4.5.3 Pemilihan Model
Untuk jaringan yang diamati, beberapa model graf acak eksponensial de-ngan jumlah parameter yang berbeda dapat dibentuk berdasarkan asumsi
neigh-boorhood. Namun tidak semua model akan memberikan hasil yang sesuai dengan
pengamatan. Model yang ideal harus terpusat, menggambarkan kesesuaian de-ngan jaride-ngan aslinya dan mudah dimengerti.
Pada jaringan Southern Women , untuk menentukan model terbaik telah
diuji lima model graf acak eksponensial yaitu model (4.17)-(4.21):
P(X =x) = 1
k exp{θZL(x)} (4.17)
P(X =x) = 1k exp{θZL(x) +ζP2 ZSP2(x) +ζA2 ZSA2(x)} (4.18)
P(X =x) = k1 exp{θZL(x) +ζP2 ZSP2(x) +ζA2 ZSA2(x) +αzL3(x)} (4.19)
P(X =x) = 1
k exp{θZL(x) +ζKSP ZKSP(x, λ) +ζKSA ZKSA(x, λ)},
λ= 2,0 (4.20)
P(X =x) = 1k exp{θZL(x) +ζKSP ZKSP(x, λ) +ζKSA ZKSA(x, λ)+
βKCPzKCP(x, λ) +βKCAzKCA(x, λ)}, λ= 2,0 (4.21)
29
Tabel 4.3 Hasil perhitungan parameter model (4.17)-(4.21)
M L (SE)
Model (4.17) Model (4.18) Model (4.19) L -0.605 (0.127) -2.031 (0.314) -2.713 (0.413)
SP2 0.064 (0.059) 0.560 (0.176)
SA2 0.180 (0.039) 0.503 (0.131)
L3 -0.040 (0.018)
Model (4.20) Model (4.21) L -3.418 (1.638) 3.384 (3.220) KSP 0.407 (0.663) 2.973 (0.687)
KSA 1.089 (0.587) -4.561 (1.788)
KCP 0.299 (0.112)
KCA -0.985 (0.265)
Untuk memilih model terbaik dari kelima model di atas, dilakukan simu-lasi untuk masing-masing model dan disesuaikan kembali dengan data aslinya.
Hasil statistika yang tidak sesuai dengan t−ratio >2,0 dan jarak Mahalanobis ditunjukkan pada tabel 4.4.
Tabel 4.4 Hasil perhitungan parameter model (4.17)-(4.21)
Modelt−ratio
Statistika Mod(4.17) Mod(4.18) Mod(4.19) Mod(4.20) Mod(4.21)
SA3 2.585 0.085 0.054 1.883 0.054
StddevDP 1.180 0.970 0.215 0.864 2.058
StddevDA 4.261 0.455 0.198 2.749 0.450
Clust.Coe 3.149 0.833 2.133 2.411 1.183
dM 19.479 8.068 10.260 15.982 10.905
Model Bernoulli (4.17) memberikan hasil yang baik untuk kepadatan (L) dari jaringan, tetapi tidak untuk kejadian 3-bintang (SA3) distribusi derajat
keja-dianDA atau koefisien kluster. Jarak Mahalanobis yang besar juga mengindikasikan
jaringan yang diamati jauh dari pusat graf yang disimulasikan.
Dibandingkan dengan model (4.17), model (4.18) memberikan kesesuaian yang lebih baik untuk jaringan yang diamati, dimana semua t-rationya kurang
30
model tidak selalu menjadi jaminan kesesuaian model semakin baik. Model (4.19)
mengandung parameter 3-path L3, dan hasil perkiraan menunjukkan semua
pa-rameter dalam model ini signifikan. Namun dibandingkan dengan model yang lebih sederhana (4.18), model tersebut mempunyai jarak Mahalanobis yang lebih
besar, dan koefisien klusternya tidak begitu baik.
Model (4.20) memuat pergantian k-bintang dan model (4.21) memuat
per-gantian 2-path. Dibandingkan model (4.20), model (4.21) memberikan kesesuaian
yang lebih baik untuk distribusi derajat kejadianDA dan koefisien kluster, tetapi
lebih buruk untuk distribusi derajat wanita DP. Namun kedua model ini
meng-hasilkan jarak Mahalanobis yang besar dan lebih rumit dari model (4.18). Jadi
dapat disimpulkan untuk jaringan Southern Women model terbaik dari model yang telah diuji adalah model (4.18). Pada model (4.18) distribusi bersyarat dari
wanita i mengikuti kejadian j diberikan oleh :
−2,031uL(xij + 0,064uSP2(xij) + 0,180uSA2SA2(xij) (4.22)
4.5.4 Hubungan Antar Direktur
Pada studi simulasi yang dilakukan oleh Robins and Alexander (2004),
struktur jaringan hubungan antar direktur perusahaan dari Amerika Serikat dan Australia pada tahun 1996 telah dibandingkan. Statistika jaringan yang
dia-mati dibandingkan melalui simulasi distribusi jaringan acak dengan kepadatan
yang sama, kemudian nilai statistika digunakan sebagai indikasi perbedaan an-tara jaringan yang diamati dan distribusi jaringan acak. Dalam tesis ini contoh
modelnya digunakan berdasarkan data yang sama. Contoh pertama adalah data dari 50 institusi finansial top di Australia (1996), contoh kedua adalah hubungan
31
4.5.5 Lima Puluh Institusi Finansial Top
Pada tahun 1996 terdapat 366 direktur yang bekerja di 50 institusi finansial top Australia. Jaringannya diperlihatkan pada gambar 4.6, bujursangkar
me-nyatakan perusahaan dan lingkaran meme-nyatakan direktur. Jika seorang direktur
menjabat sebagai dewan pengurus suatu perusahaan maka keduanya terhubung. Terdapat 395 hubungan yang memberikan fungsi kepadatan 0,022. Jaringan node
(366 , 50) ini lebih besar dari jaringan node (18 , 14) Shouthern Women .
32
Jaringan ini digunakan sebagai contoh untuk menunjukkan model (4.21)
dengan pergantian k-bintang dan pergantian 2-path pada jaringan yang besar.
Dalam jaringan ini terdapat 30 komponen diluar hubungan komponen terbesar dengan 14 perusahaan dan 80 direktur, perusahaan dengan derajat terbesar
mem-punyai 14 direktur, kebanyakan direktur berderajat 1 atau 2, hanya 1 direktur
yang berderajat 4 dan satu berderajat 3. Kedua direktur yang berderajat 4 dan 3 akan mempersulit pembentukan model yang sesuai dalam distribusi derajat
di-rektur.
Suatu metode untuk kesesuaian model memperlakukan kedua direktur di atas sebagai kasus spesial dan menganggap hubungan mereka sebagai eksogen,
sehingga untuk contoh ini model (4.21) dapat ditinjau dari dua kasus yaitu dengan efek eksogen dan tanpa efek eksogen. Hasil perkiraan parameternya disajikan pada
tabel 4.5.
Tabel 4.5 Perkiraan Parameter model (4.21)
EFEK Tanpa Efek Eksogen Dengan Efek Eksogen
M L SE t−ratio M L SE t−ratio
L 0.298 1.602 -0.027 2.573 2.531 0.080
KSP -2.021 0.867 -0.051 -4.496 2.060 0.037
KSA 0.662 0.857 -0.028 0.617 0.972 0.078
KCP -0.420 0.038 -0.005 -0.047 0.038 0.022
KCA -5.147 0.617 -0.062 -5.157 0.588 0.047
Untuk model tanpa efek eksogen, perkiraan parameter kepadatan,
pergan-tian k-bintang pada perusahaan dan perganpergan-tian 2-path pada direktur tidak
berbe-da signifikan berbe-dari 0. Terlihat ukuran negatif yang besar untuk pergantian k-bintang pada direktur dan pergantian 2-path pada perusahaan. Untuk
mem-bandingkan kedua kasus di atas, digunakan 3.000 dari 5.000.000 graf simulasi sebagai representasi distribusi graf. Rata-rata dan standar deviasi dari statistika
33
Tabel 4.6 Perbandingan Kesesuaian Model (4.21)
Tanpa Efek Eksogen Efek Dengan Efek Eksogen z(x) M ean SE t−ratio M ean SE t−ratio SP3 0.021 0.143 34.708 5.019 0.137 -0.139
SkewDP 2.477 0.444 5.083 4.760 0.678 -0.041
dM 74.794 4.496
Model tanpa efek eksogen memberikan kesesuaian pada kebanyakan
statisti-ka graf kecuali 3-bintang pada direktur dan kecondongan distribusi derajat pada
direktur, yang diindikasikan oleh t-ratio yang besar dan jarak Mahalanobis yang besar. Direktur dengan derajat 4 tidak hanya memberikan 4-bintang tetapi juga
empat dari lima 3-bintang pada direktur yang diamati. Sebaliknya pada model
dengan efek eksogen dengan derajat yang besar memberikan kesesuaian yang baik, diindikasikan oleh t-ratio yang kecil dan jarak Mahalanobis yang kecil.
Sesuai dengan model bersyarat, direktur berderajat besar dengan efek
ekso-gen, distribusi bersyarat dari direktur i menjabat dewan perusahaan j diberikan oleh :
2,573uL(xij)−4,496uKSP(xij, λ)+0,617uKSA(xij, λ)−0,047uKCP(xij, λ)−
5,157uKCA(xij, λ), λ = 2,0 (4.23)
34
35
Model Markov dengan penambahan parameterL3 dan C4 mengalami
kega-galan pada contoh ini dan tidak konvergen. Sedangkan model (4.21) dengan pa-rameter kepadatan, pergantian k-bintang dan pergantian 2-path untuk direktur dan perusahaan dengan λ = 2,0 adalah konvergen. Hasil perkiraan parameter disajikan pada tabel 4.7.
Tabel 4.7 Perkiraan Parameter untuk model (4.21)
Efek M L SE t−ratio L -2.667 0.593 0.016 KSP 2.048 0.704 0.014
KSA -0.229 0.232 0.007
KCP 0.041 0.003 0.003
KCA -2.063 0.293 0.010
Dari tabel terlihat sebuah nilai positif besar untuk efek bintangKSP.
direk-tur Perkiraan parameter untuk pergantian 2-path yang dipusatkan pada perusa-haan KCA adalah negatif dan signifikan, mengindikasikan bahwa direktur tidak
cenderung menjadi dewan ganda. Efek yang sama diberikan oleh perkiraan pa-rameter yang positif dan signifikan untuk pergantian k-bintang pada direktur
KSP yang mengindikasikan lebih banyak direktur menjabat sebagai anggota
de-wan dibeberapa perusahaan daripada yang diharapkan pada jaringan acak, pada saat yang bersamaan terdapat banyak direktur dengan derajat rendah.
Efek dari KCP adalah positif tetapi tidak signifikan, bersama dengan efek
dari KCA yang negatif dan signifikan, mengindikasikan ketika pasangan-pasangan
direktur boleh menjabat beberapa anggota dewan secara bersamaan, mereka tidak cenderung menjabat dewan yang banyak. Dengan kata lain, direktur-direktur saling melengkapi dalam aktivitas mereka tetapi tidak saling meniru satu sama lain.
36
dan pergantian 2-path. Diharapkan bintang dengan orde kecil juga akan mem-berikan kesesuaian yang baik, namun hasil test yang ditunjukkan pada tabel 4.8 memuat ketidaksesuaian statistika (t−ratio >2,0), dalam hal ini menunjukkan ketidaksesuaian model 3-bintang direktur, distribusi derajat direktur (DP). Model
juga gagal menghasilkan empat-cycle (C4), koefisien kluster. Sehingga parameter
3-bintang dan empat-cycle tidak menghasilkan model konvergen.
Tabel 4.8 Ketidaksesuaian Statistika Untuk Model (4.21)
M ean SE t−ratio SP3 248.785 21.606 6.675
C4 30.351 7.191 16.081
StddevDP 0.791 0.037 5.001
SkewDP -0.194 0.161 12.811
Clust.Coef. 0.027 0.005 16.642
dM 84.538
BAB 5 KESIMPULAN
Asumsi Bernoulli bukan merupakan syarat cukup model graf acak eksponen-sial. Asumsi Markov mengembangkan model untuk konfigurasi jaringan tetapi model mungkin mengalami kegagalan dengan perkiraan maksimum likelihood. Model untuk jaringan bipartit yang memuat pergantian k-bintang dan pergantian 2-path membuktikan bahwa metode perkiraan maksimum likelihood lebih sesuai untuk model graf acak eksponensial. Dengan menggunakan t-ratio dan jarak Ma-halanobis untuk menguji model yang berbeda, proses seleksi model menunjukkan bahwa model untuk jaringan afiliasi dengan parameter yang lebih banyak tidak selalu merupakan model yang paling sesuai, dan model yang terpilih lebih simpel tetapi dapat menjelaskan struktur jaringan.
Model untuk jaringan hubungan lima puluh direktur menunjukkan model graf acak eksponensial yang simpel dengan hanya empat parameter dapat meng-hasilkan kesesuaian yang baik untuk jaringan yang besar. Hubungan 500 perusa-haan top menunjukkan batasan spesifik dengan pergantian k-bintang dan pergan-tian 2-path pada jaringan yang sangat besar, bahwa tidak semua jaringan akan mengikuti model dengan asumsi pergantian k-bintang atau pergantian 2-path. Namun masih dapat digunakan t-ratio untuk membandingkan jaringan yang dia-mati dengan distribusi jaringan.
DAFTAR PUSTAKA
Agnessens, F. , Roose, H. , and Waege , H. 2004. Choices of theatre events : p* models for affiliation networks with attributes.Metodoloski zvezki,1(2) : 419439.
Besag, J. 1974. Spatial interaction and the statistical analysis of lattice systems . Journal of the Royal Statistical Society.Series B (Methodological), 36(2):192-236.
Breiger, R. L. 1974. The duality of person and groups.Social Forces,53 (2) : 181190.
Frank, O. and Strauss, D. 1986. Markov graphs. Journal of the American Statistical Association, 81:832-842.
Latapy, M. , Magnien, C. and Vecchio, N. D. 2008. Basic notions for the analysis of large two-mode networks. Social Networks,30(1) : 3148.
Pattison, P. E. and Robins, G. L. 2004. Building models for social space: Neighbourhood based models for social networks and affiliation struc-tures.Mathematics and Social Sciences,42(168) : 1129.
Robins, G. L. and Alexander, M. 2004. Small worlds among interlocking direc-tors: Network structure and distance in bipartite graphs. Computational &
Mathematical Organization Theory,10:6994.
Skvoretz, J. and Faust, K. 1999. Logit models for affiliation networks.Sociological Methodology,29 : 253280.
Snijders, T. A. 2002. Markov Chain Monte Carlo estimation of exponensial random graph models. Journal of Social Structure,3 : 2.
Snijders, T. A., Pattison, P. E., Robins, G. L., and Handcock, M. 2006. New specifications for exponential random graph models. Sociological Methodology.,36:99-153.
Wang, P., Sharpe, K., Robins, G. L., and Pattison, P. E. 2008. Exponensial random graph (p*) models for affiliation networks.,11-27
Wasserman, S. and Pattison, P. E. 1996. Logit models and logistic regres-sion for social networks, i. an introduction to Markov graphs and p*.
