PENAKSIR RASIO-PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

1

PENAKSIR RASIO-PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

Dessy Nuryalita1*, Rustam Efendi2, Haposan Sirait2 1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia

*

cy_dhesi@yahoo.com

ABSTRACT

This paper discusses three estimators for the population mean in the stratified random sampling, the exponential ratio estimator and exponential product estimator proposed by Singh [4] and combination exponential ratio-product estimator proposed by Singh and Vishwakarma [3]. The three estimators are biased estimators. The most efficient estimator is an estimator that has the smallest mean square error obtained by comparing the mean square error of each estimator.

Keywords: ratio estimator, product estimator, bias, stratified random sampling and mean square error

ABSTRAK

Pada artikel ini dibahas tiga penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, yaitu penaksir rasio eksponensial dan penaksir produk eksponensial yang diajukan oleh Singh [4] serta penaksir kombinasi rasio-produk eksponensial yang diajukan oleh Singh dan Vishwakarma [3]. Ketiga penaksir ini merupakan penaksir bias. Penaksir yang efisien merupakan penaksir yang memiliki mean square error terkecil yang diperoleh dengan membandingkan mean square error dari masing-masing penaksir.

Kata kunci: penaksir rasio, penaksir produk, bias, sampling acak berstrata dan mean square error

1. PENDAHULUAN

Penaksir rasio dan penaksir produk merupakan salah satu cara penaksir yang mengambil manfaat hubungan pengamatan antara

x

_i dan

y

_i. Penaksir dengan menggunakan metode rasio dan metode produk merupakan penaksir bias. Maka penaksir yang efisien untuk penaksir bias adalah penaksir yang memiliki mean square error (MSE) terkecil [2]. Bentuk penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adalah

2 X R y_Rst  ˆ_st , dengan st st st x y

Rˆ  menyatakan penaksir untuk rasio populasi. Bentuk penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adalah

X P y_Pst st

ˆ  ,

dengan Pˆ_st  x_sty_st menyatakan penaksir untuk produk populasi. Notasi y_st menyatakan rata-rata sampel acak berstrata karakter Y dan x_st menyatakan rata-rata sampel acak berstrata dari variabel tambahan karakter X.

Pada artikel ini masing-masing dibahas penaksir rasio eksponensial dan penaksir produk eksponensial pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Singh [4], yaitu:

         st st st ER x X x X y y exp (1) dan          X x X x y y st st st EP exp . (2)

Kemudian penaksir rasio (1) dan penaksir produk (2) dikombinasi menjadi penaksir kombinasi rasio-produk eksponensial untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Singh dan Vishwakarma [3], yaitu





                                                     X x X x X x y x X x X x X y y st st st st st st st st K exp 1 exp , (3)

nilai  adalah konstan diperoleh pada saat menentukan MSE,  1 dan  merupakan konstanta antara 0 dan 1. Dari ketiga penaksir untuk rata-rata populasi tersebut masing-masing merupakan penaksir bias. Maka untuk mendapatkan penaksir yang efisien adalah dengan menghitung MSE untuk masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE yang diperoleh maka akan semakin efisien penaksir tersebut.

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Pengambilan sampel acak sederhana merupakan suatu metode untuk mengambil n unit sampel dari N unit populasi, sehingga setiap elemen C_mN sampel yang berbeda

3

mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai unit sampel. Pengambilan sampel ini adalah pengambilan sampel acak tanpa pengembalian agar karakteristik unit-unit lebih akurat [2].

Untuk menentukan bias dan MSE pada sampling acak sederhana digunakan teorema variansi dan kovariansi.

Teorema 2.1 [2: h.27] Variansi rata-rata

 

y pada sampel acak sederhana adalah

 







f



n s N n N n s y V    1 2 2 , (4)

dengan f n N adalah fraksi penarikan sampel.

Bukti: Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [2].

Teorema 2.2 [2: h.29] Jika y dan _i x adalah sebuah pasangan yang bervariasi _i ditetapkan pada unit dalam populasi y dan x adalah rata-rata dari sampel acak sederhana berukuran n, maka kovariansinya dinotasikan dengan

 

_







      N i i i Y x X y N nN n N x y Cov 1 1 1 , .

Bukti: Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [2].

3. SAMPLING ACAK BERSTRATA

Dalam penelitian dapat diperoleh informasi mengenai populasi yang dapat digunakan untuk meningkatkan presisi atau ketelitian penarikan sampel. Penarikan sampel acak berstrata adalah metode yang dapat mengambil keuntungan dari tipe informasi mengenai populasi.

Untuk dapat menggunakan sampling acak berstrata harus dipenuhi beberapa syarat berikut:

1. Harus ada kriteria yang jelas yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi populasi ke dalam strata-strata.

2. Harus ada data dari populasi mengenai kriteria yang digunakan untuk membuat stratifikasi.

3. Harus disesuaikan dengan maksud dan tujuan dari penelitian.

Teorema 3.1 [2: h.105] Untuk penarikan sampel acak berstrata, variansi dari y adalah _st

 

h h l h h h h h st n S N n N y V 2 1 2



    , (5)

4 dengan _h merupakan penimbang stratum ke-h.

Bukti: Variansi rata-rata sampel acak berstrata dinotasikan dengan

 





2 Y y E y V _st  _st  , atau dapat juga ditulis dalam bentuk

 













_               _ 





   j j k j h h h j h k h h h h st E y Y E y Y y Y y V 1 1 2 2    . (6) Karena









0 1         



  k j h j j h h j h y Y y Y E   ,

maka persamaan (6) menjadi

 





      _ 



 2 1 2 h h k h h st E y Y y V  . (7)

Variansi rata-rata unit sampel pada stratum ke-h dinotasikan dengan

 





2 h h h E y Y y V   ,

sehingga persamaan (7) menjadi

 

 

      



 h k h h st V y y V 1 2  . (8)

Kemudian substitusikan persamaan (4) ke persamaan (8) sehingga terbukti

 

h h h h h k h h st n S N n N y V 2 1 2  



  .

□

4. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIAL UNTUK RATA-RATA POPULASI

Bias yang dihasilkan dapat dihitung untuk melihat seberapa besar kesalahan taksiran tersebut. Sebelumnya telah dibuktikan bahwa kedua penaksir yang diajukan merupakan penaksir bias.

Bias dan MSE penaksir rasio eksponensial (1) untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata y_ER adalah

5

 

      _ 



 xh yxh k h h h ER S S R X y B 2 1 8 1 ₂ 1 2  dan

 

_        



 yh xh yxh k h h h ER S RS R S y MSE 2 2 2 1 2 4   . (10)

Bias dan MSE penaksir produk eksponensial (2) untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata y_EP adalah

 

      _ 



 xh yxh k h h h EP S S R X y B 2 1 8 1 2 1 2  dan

 

_        



 yh xh yxh k h h h EP S RS R S y MSE 2 2 2 1 2 4   . (11)

Bias dan MSE penaksir kombinasi rasio-produk eksponensial (3) untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata y_K adalah

 

_            _{  }         



 xh yxh k h h h K RS S X y B       2 2 1 2 1 2 2 1 2 dan

   

y V y R



 

S





A C A



MSE _xh k h h h st K * 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1    



     , (12) dengan         2 1  A dan





 

st st st x RV x y C*  cov , .

5. PENAKSIR YANG EFISIEN

Untuk menentukan penaksir yang efisien dari penaksir yang bias, dapat ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaksir.

1. Perbandingan antara persamaan (10) dengan persamaan (12).

Penaksir kombinasi rasio-produk

 

y_K lebih efisien dari penaksir rasio

 

y_ER , jika                  A A C A A 2 1 2 4 2 1 2 2 1 2 1 _ * . (13)

6

2. Perbandingan antara persamaan (10) dengan persamaan (12).

Penaksir kombinasi rasio-produk

 

y_K lebih efisien dari penaksir produk

 

y_EP , jika                  A A C A A 2 1 2 4 2 1 2 2 1 2 1 *  . (14) 6. CONTOH

Sebagai contoh pembahasan, digunakan data yang dipublikasikan oleh Badan Pusat Statistik [1] tentang luas panen dan produksi tanaman padi pada tahun 2012.

Untuk mengetahui rata-rata produksi padi dengan memanfaatkan informasi tambahannya yaitu luasnya tanah yang ditanami padi di tiap-tiap provinsi. Dari 33 provinsi yang ada di Indonesia, dibagi menjadi tiga strata berdasarkan wilayah bagiannya dan kemudian akan diambil sampel sebanyak 9 propinsi diperoleh dari 4 provinsi pada strata pertama, 3 provinsi pada strata kedua dan 2 provinsi pada strata ketiga. Setiap sampel diambil secara acak sederhana berdasarkan setiap stratanya. Sehingga diperoleh informasi sebagai berikut:

Y = produksi padi (ton), X = luas panen padi (hektar), N = 33,

n = 8.

Dengan menggunakan Microsoft Excel diperoleh nilai-nilai sebagaimana yang tertera pada pada Tabel 1.

Tabel 1. Nilai-nilai yang diperlukan untuk membandingkan MSE.

h 1 2 3 h N 18 11 4 h n 4 3 2 h X 575127.89 273450.82 20795.50 h Y 3032617.06 1285436.36 79558.50 xh S 651214.82 272584.10 12202.80 yh S 3953454.26 1385495.67 44965.27 h  0.19 0.41 0.25 2 h  0.30 0.01 0.01

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh dari data luas panen dan produksi padi seperti pada Tabel 1 ke persamaan (13) dan (14) maka,

(i) MSE

 

y_K MSE

 

y_ER jika 0.250.69. (ii) MSE

 

y_K MSE

 

y_EP jika 0.751.19.

7

Sehingga penaksir kombinasi rasio-produk (y_K) merupakan penaksir yang efisien dibandingkan dengan penaksir rasio (y_ER) dan penaksir produk (y_EP)_.

7. DAFTAR PUSTAKA

[1] Badan Pusat Statistik. Tabel Luas Panen, Produktivitas, Produksi Tanaman Jagung Seluruh Provinsi. Available from: http://www.bps.go.id/tnmn_pgn.php?kat=3. Diakses pada 11 Juni 2013.

[2] Cochran, W. G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R Osman. Universitas Indonesia, Jakarta.

[3] Singh, H. P & G. K. Vishwakarma. 2005. Combined Ratio-Product Estimator of Finite Population Mean in Stratified Sampling. Metodologia de Encuestas. 8: 35-44. [4] Singh, R., M. Kumar, S. Malik & M. K. Chaudhary. 2009. Improved Exponential