Persaingan Harga Dan Lokasi Perluasan Model Hotelling

(1)

zsxa%xa-r6ocg

Ilinu a h h l i 6e&l '(lntukliidupku &n &Kidupan Ilinu 6ukan untukdi6an&gat&an

letapi untukdiamal&an S e m e n 6anyakilmu

S e m e n renrlhli hati &&an cong&ljhn merasa timi

~ u n a & n Lmu &ti!@ Xatigunrlhlijugagem6ira

lerapkan ilmu s a t Datang du&

clbn

6aKagia

Gunakan Lmu tatkah

X a m 6er&ata atau &tam sen611 6aliasa Karena ilinu menyah&an e t a

(2)

G/!QPit

'LOO

o % \ ( O

PERSALNGAN HARGA DAN LOKASI

Perluasan Model Hotelling

AD1 PRIYONO

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

(3)

RINGKASAN

AD1 PRIYONO. Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling. Dibimbmg oleh DOMINICUS SAVIO PRIYARSONO dan FARIDA HANUM.

Setiap produsen biasanya diasumsikan memaksimumkan imbalan (laba) yang diperolehnya dan karena itulah produsen hams mampu menentukan strategi yang efektifuntuk melawan pesaingnya. Karya ilmiah ini m e m b e r i i analisis persakgan spasial duopoli dengan variabel strategi berupa harga, lokasi, serta harga dan lokasi. Pas= berbentuk garis lurus (linear) dan konsumen menyebar merata di sepanjang pasar. Biaya transpovtasi dibebankan kepada konsumen. Karena produk yang ditawarkan bersifat homogen maka konsumen akan membeli produk dengan harga pembelian yang terendah.

(4)

PERSAINGAN HARGA DAN LOKASI

AD1 PRIYONO

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Program Studi Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

(5)

Judul

:

Persaingan Harga dan Lokasi

:

Perluasan Model Hotelling

Narna

:

Adi Priyono

NRP

:

GO5497015

Menyetujui,

Dr. Ir.

D.

S. Privarsono

P e m b i i i g I

Dra. ~ a r i d a

~ a n u m .

M.Si.

P e m b i i i g I1

(6)

RIWAUAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tegal pada tanggal 19 September 1978 sebagai anak kedua dari tiga

bersaudara, anak dari pasangan Mukdi dan Endang Budiastuti.

Tahun 1997 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Depok dm pada tahun yang sama lulus seleksi

masuk IPB melalui jalw Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis diterima pada Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten Matematika Dasar pada tahun ajaran

(7)

PRAKATA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan atas rahmat dan petunjuk Allah SWT sehingga karya

ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini disusun sejak bulan Februari 2001 dengan judul

Persaingan Harga dan Lokasi : Perluasan Model Hotelling.

Selesainya penyusunan karya ilmiah ini juga berkat bantuan dari berbagai pihak, terutama

penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. D. S. Priyarsono dan lbu &a. Farida Hanum, M. Si. selaku pembiibing, serta Bapak Ir. Toni Bakhtiar, M.Sc. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan

terima kasib juga penulis sampaikan kepada Bapak, Ibu, Wido, mba Teni, dan lik Tien, juga seluruh

keluarga atas doa, kasih sayang, dan dukungan yang tak berbatas jumlabnya. Untuk rekan-rekan : Danny,

Udin, Ludfi, Lya, Anda, M i i n , Ipunk, Jaenudin, Enny, Agung, Imam, Adji, terima kasih atas dukungan

yang telah kalian beriian. Terima kasih pula untuk rekan-rekan angkatan 34 dan seluruh staf jurusan

matematika.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, November 200 1

(8)

[image:8.595.71.496.50.802.2]

Halaman

...

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN

...

vi

PENDAHULUAN

...

Latar Belakang 1

Tujuan

...

1

LANDASAN TEORI

...

Teori Permain an 1

Duopoii Hotelling

...

. .

1 Permainan Statis dan Pennainan D~namrs

...

2 Subgame Perfect Nash Equilibrium pada Permainan Dua Tahap

dengan Informasi Lengkap tetapi Tidak Sempuma

...

2

PEMBAHASAN

Konsep Dasar dalam Persaingan Spasial

...

3 Persaingan dengan Variabel Harga dan Parameter Lokasi

...

5 Persaingan dengan Variabel Lokasi dan Parameter Harga

...

10

...

Persaingan dengan Variabel Harga dan Lokasi 11

...

DAFTAR PUSTAKA 14

...

(9)

DAFTAR

GAMBAR

Halaman

1

.

Lokasi kedua perusahaan dan konsumen Hotelling

...

2

.

Lokasi perusahaan dan konsumen

...

4

3

.

Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution)

...

4

.

Fungsi permintaan pemsahaan 1 (nonatomic distribution)

...

5

.

Lokasi perusahaan 1 dan 2

...

6

.

Fungsi permintaan perusahaan 1

...

7

.

p; harga kesetimbangan

...

8

.

p; bukan harga kesetimbangan

...

8

D m A R LAMPIRAN

Halaman

1

.

Detinisi dan ilustrasi fimgsi kuasikonkaf

...

2 . Bukti syarat cukup untuk fimgsi imbalan yang kuasikonkaf

3

.

Bukti persamaan (1)

...

4 . Gambar penurunan fimgsi permintaan perusahaan 1

...

5

.

Bukti Proposisi 1

...

6 . Bukti Proposisi 2

7

.

Harga kesetimbangan kuadratik

...

.

8 Kecenderungan perusahaan menjauhi pesaingnya

...

.

9 Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi

(10)

Latar Belakang

Persaingan antarprodusen tidak dapat dipisahkan dari kegiatan industri dan perdagangan. Tiap produsen ingin mendapatkan laba setinggi mungkii, antara lain dapat dilakukan dengan cara memperluas pangsa pasar. Berbagai macam shategi dan cara dilakukan untuk mencapai tujuannya itu, termasuk penentuan harga dan lokasi yang tepat. Dalam suatu model pasar duopoli, setiap produsen harus mampu menyusun shategi yang efektif untuk melawan produsen yang lainnya

untuk mendapat konsumen sebanyak mungkin.

Dalam ha1 ini, biasanya tiap produsen membuat diferensiasi dalam menghadapi pesaingnya.

Model Hotelliig sering digunakan untuk menjelaskan persaingan spasial antarprodusen, tiap produsen akan menentukan barga dan lokasi yang tepat untuk memaksiiumkan labanya. Pada hllisan ini akan dipaparkan analisis model Hotelling yang telah dimodifikasi beberapa bagiannya.

Tulisan ini merupakan rekonshuksi dari sebagian isi buku Location Theory yang ditulis oleh J.J.Gabszewicz dan J.F. Thisse (1986).

Tujuan

Tulisan ini bertujuan memberikan suatu analisis persaingan spasial antarprodusen dengan variabel shategi yang berbeda, yalcni harga saja, lokasi saja, serta harga dan lokasi sekaligus.

LANDASAN

TEORI

Teori Permainan

Teori permainan adalah suatu kumpulan alat analisis yang dirancang untuk meningkatkan pemahaman atas situasi tertentu diiana terdapat interaksi antara para pembuat keputusan. Ada dua asumsi yang mendasari teori permainan, yakni :

adanya fungsi tujuan yang bersifat eksogenus dan terdefinisi dengan baik

setiap pembuat keputusan mempertimbangkan ekspektasinya tentang perilaku pembuat keputusan yang lain.

Model teori permainan merupakan

representasi abstrak dari suatu situasi diiana para pembuat keputusan saling berinteraksi. Dengan teori ini kita dapat melihat hasil dari interaksi antara para pembuat keputusan yang bergantung pada bentuk interaksi itu sendiri. Cakupan aplikasi teori ini begitu luas, yakni meliputi analisis ekonomi, politik, sosiologi, psikologi, dan biologi. Meskipun dapat dibahas secara verbal, teori permainan secara leb'ih tajam dapat dianalisis dengan bantuan matematika.

Definisi 1

Pemain adalah pembuat keputusan yang mengambil pilihan aksi dari gugus shategi yang ada.

Definisi 2

Ruang shategi (St) adalah himpunan pilihan aksi yang dapat diambil oleh pemain ke-i dalam suatu permainan.

Definisi 3

Imbalan (Ui) adalah fungsi yang menentukan hasil yang diperoleh pemain ke-i atas kombiasi aksi yang dipilih oleh setiap pemain.

Definisi 4

Kesetimbangan adalah suatu kondisi ketika sudah tidak ada dorongan lagi bagi setiap pemain untuk secara sepihak mengubah pilihan aksinya.

Definisi 5

Kesetimbangan Nash adalah suatu kondisi ketika imbalan yang diperoleh tiap pemain lebih besar atau sama dengan imbalan yang diterimanya jika ia mengambil piliian aksi yang lain.

Duopoli Hotelling

Duopoli Hotelling merupakan suatu model teori permainan yang dimainkan oleh dua orang pemain. Para pemainnya adalah perusahaan yang saling bersaing untuk mendapatkan konsumen sebanyak mungkin untuk memperoleh laba maksimum dengan shategi pilihan (diferensiasi) lokasi dan harga. Misalkan kedua pemain tersebut adalah perusaham 1

(11)

-

*

-

o A B

e

Gambar 1.

Lokasi perusahaan dan konsumen model Hotelling.

Konsumen diasumsikan tersebar merata di sepanjang garis

e

dan setiap konsumen membeli tepat satu unit produk per satuan waktu. Tanpa

mengurangi keumuman, biaya produksi

diasumsikan nol. Karena barang yang

ditawarkan kedua pemsahaan bersifat homogen maka konsumen akan membeli dari perusahaan yang menawarkan harga pembelian @arga produk + biaya hansportasi) yang palmg rendah. Biaya hansportasi ditanggung oleh konsumen dan diasumsikan linear terhadap jarak yang ditempuh konsumen ke pemsahaan. Misalkan p, dan p2masing-masing adalah harga produk dari perusahaan 1 dan perusahaan 2, d m c ialah biaya transportasi, dengan c > 0 . Jadi dalam model teori permainan ini shateginya adalah p, E S1 =

[o,

w)dan p, E S2 =

[o,

w)serta imbalan yang diperoleh masing-masing pemain diberikan oleh laba yang didapat.

Pada tulisan ini akan dijelaskan analisis model Hotelling dengan modifikasi pada beberapa bagiannya seperti :

fungsi biaya transportasi :

t ( s ' , s " ) = ~ ~ s ' - s " ~ + d ( s ' - s " ) ~ , c > ~ , d > ~ ,

fungsi seperti ini sering disebut sebagai fungsi biaya hansportasi yang linear- kuadratik. Disini s', s" menyatakan lokasi, dengan sf, s" E [0,1].

* permainan berlangsung dalam dua tahap

(hoo stage game)

0 menggunakan konsep Subgame-Perfect

Nash Equilibrium

Permainan Statis dan Permainan Dinamis Dalam teori permainan dikenal istilah permainan statis dan permainan dinamis. Suatu permainan dikatakan statis jika permainan tersebut berlangsung hanya dalam satu tahap lalu selesai. Dalam permainan statis tiap pemain secara simultan memilih shategi dari gugus strategi yang ada, kemudian tiap pemain akan menerima imbalan herdasarkan kombinasi strategi yang mereka pilih kemudian permainan selesai. Suatu permainan dikatakan dinamis jika dilakukan leb'i dari satu tahap (secara bertahap)

Definisi 6

Suatu permainan diatakan mempunyai informasi lengkap apabila fungsi imbalan dari setiap pemain dietahui oleh semua pemain dalam permainan tersebut.

Definisi 7

Suatu permainan diatakan mempunyai informasi sempuma apabila dalarn setiap tahap permainan, para pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oieh pemain lain pada tahap sebelumnya.

Misalkan S, adalah ruang shategi dari pemain ke-i

pada tahap ke-j. Misalkan pula a U E Ssadalah aksi

yang dipilih pemain ke-i pada tahap kej. Maka jalannya permainan dua tahap dengan infomasi

lengkap dan sempuma adalah sebagai berikut : 1.Tahap I; pemain 1 dan pemain 2 secara serentak

memilih a,, dan a,, dari ruang strategi S,, dan

s 2 1

.

2. Tahap 11; kedua pemain mengamati hasil dari tahap I dan kemudian secara serentak memilih a,, dan

au dari mang strategi S12 dan S,,.

3. Setelah itu pemain 1 mendapat imbalan U,(all ,a2, ,al2 ,a2,)dan pemain 2 mendapat imbalan ~ , ( a , , ,a2, ,a,,,a,

).

Subgame Perfect Nash Equilibrium pada

Permainan Dna Tahap dengan Informasi Lengkap tetapi Tidak Sempurna

Jalannya permainan dua tahap dengan informasi lengkap tetapi tidak sempuma adalah sebagai herikut :

1.Pemain 1 dan 2 s e w a simultan berturut-turut memilih a,, E S,, dan a2, E S2,.

2.Pemain 1 dan 2 mengamati hasil pada tahap pertama, kemudian memilih secara simultan berturut-turut a,, E S12 d m a2, E SZ2.

3. Imbalan yang diterima oleh pemain 1 dan pemain 2 berturut-turut adalah U, (a,,

,

a,, ,aI2,a,

)

dan

~z(flI,,fl2l,aI,,fl22).

Definisi 8

Bentuk normal dari suatu permainan dengan n-

pemain terdiri atas ruang shategi para

(12)

Definisi 9 Jika kedua pemain mengantisipasi bahwa tindakan Bentuk ekstensif permainan adalah bentuk pada tahap kedua akan memberikan basil normal permainan yang disertai dengan urutan _{(ar2 ( a l 1 ,}_a21

),

_{a;2 (allr}_{a Z 1 ) ) ,}_{maka interaksi antara} kejadian permainan.

kedua pemain pada tahap pertama adalah sebagai

Definisi 10

Subgame adalah bagian dari permainan yang

dimulai dari suatu titik simpul pada bentuk ekstensif permainan.

Definisi 11

Kesetimhangan Nash merupakan subgame-

perfect jika strategi para pemain merupakan kesetimbangan Nash pada setiap subgame.

Definisi 12

Pada permainan yang berlangsung dalam dua tahap dengan informasi lengkap tetapi tidak sempuma, maka subgame-perfect outcomenya

addah : ( a t , a;, ,a;, (a;,, a;, (a;,, a;,

)),

tetapi subgame-perfect Nash equilibriumnya

adalah : (a;] ,a;l, a:2 (all ,a21

),

a; ( a l l , aZ1

I),

dengan tanda

*

menunjukkan kondisi

kesetimbangan.

berikut :

1.Pemain 1 dan 2 secara simultan berturut-torut memilih all dan a,, dari ruang strategi Sll dan

s21

2. Imhalan yang didapat oleh pemain 1 dan pemain 2

untuk i=1,2.

Misalkan pilihan aksi ( a , a

)

adalah kesetimbangan Nash yang tunggal maka

(a;,, a;,, a;2 (a;,. all

b

a12 (a;,,

41

1

merupakan subgame-perfect outcome dari permainan dua tahap tersehut.

Suatu kombimasi aksi diatakan subgame-perfect

Nash equilibrium jika kombimasi aksi tersehut

merupakan kesetimbangan Nash, dan strategi yang dipili oleh para pemain tersebut m e ~ p a k a n kesetimbangan Nash pada setiap subgame.

KONSEP DASAR DALAM

PERSAINGAN

SPASIAL

Kerangka spasial sangat cocok untuk menjelaskan konsep industri yang berdasarkan penyebaran lokasi perusahaan dan konsumen. Misalkan suatu gugus perusahaan N = {1

,...,

n)

memproduksi suatu produk homogen dengan gugus konsumen M = (1

,...,

m } . Tiap perusahaan

j , j E N berada pada sejumlah lokasi s , di S ;

dan setiap konsumen i, i e M berada pada s i e S

.

Biaya transportasi per satu unit barang untuk jarak antara lokasi konsumen i dan perusahaan j dinotasikan dengan f(si ,s

/).

Diasumsikan perusahaan ke-j memproduksi barang dengan hiaya marginal yang konstan sebesar c j . Diasumsikan pula hahwa ada dua kemungkiman tindakan konsumen, yakni tidak membeli atau membeli tepat satu unit produk per satuan waktu. Jumlah perusahaan adalah terbatas finite) dan konsumen i mempunyai batasan harga tertinggi yang bersedia dibayarkan untuk satu unit harang yakni harga resewasi, yang diiotasikan dengan n i

.

Dalam persaingan spasial, harga yang ditentukan oleh perusahaan menentukan jumlah permintam terhadap produknya. Misalkan ada n perusahaan dan vektor harga produk dalam industri tersehut dinotasikan dengan

6,

,...,

p, ) Konsumen i membeli dari perusahaan j jika dan hanya jika memenuhi kondisi berikut :

i. pi + t ( s i , s j ) < z i ;

..

1,. pi

+

t k i , S j ) = z E n { p X f k i , s k ) i

iii. jika ada suatu kondisi k # j sedemikian sehingga

Didehisikan pangsa pasar perusahaan j pada

harga p 1p , , . . p yang dinotasikan oleh

~ ~

,...,

p j (

,...,

pp a ) ~ dengan j = 1,2

,...,

n sebagai

gugus konsumen i e

M

yang telah memenuhi ketiga

(13)

A,,(P~

....,

p n ) = I E ~ l p j + t k i , s j ) > z i , v = l ,..., n,)

Maka himpunan

dj(pl

,...,

pj

,...,

pn), j = ~

,...,

n adalah kumpulan m konsumen.

S e l m a tiap konsumen membeli paling banyak satu unit produk, maka permintaan terhadap perusahaan j pada tingkat harga

(PI,....

P . ) adalah Aj(p1

,...,

pj

,...,

P,),

dan

dapat juga dinotasikan dengan ~,(p~,...,~,).

"'1 m,

[image:13.602.77.515.67.733.2]

S 2 Gambar 2 . Lokasi perusahaan dan konsumen.

Contoh berikut ini akan memberi gambaran mengenai permintaan atas suatu perusahaan. Diasumsikan ada dua kelompok konsumen yang identik dengan harga reservasi rr dan ada dua perusahaan yang identik dengan biaya marginal

c = 0 menempati lokasi seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Perusahaan 1 dan 2 s e w a berturut-turut berada pada s , dan s 2 , konsumen yang berada di s , sebanyak ml sedangkan di s , sebanyak m2 konsumen.

Gambar 3 mengilustrasikan permintaan atas perusahaan 1 dengan harga tetap

F2

sedemikian sehingga t ( s l , s 2 ) < F 2 < f f < F 2 + + I ( S , , S ~ ) . Permintaan atas perusaham 1 tersebut dibagi menjadi

3 wilayah :

wilayah I, untuk p, > n maka permintaan atas. perusahaan 1 adalah nol.

wilayah 11, untuk

F ,

- t ( s l , s 2 ) < p, _<n maka perusahaan 1 mensuplai konsumen yang berada di

s, yakni sejumlah m,

.

wilayah 111, untuk 0 5 p, <

3,

-t(s,,s,) maka perusahaan 1 mendapat xluruh konsumen di sl dan juga di s ,

.

Gambar 3. Fungsi permintaan perusahaan 1 (atomic distribution).

Dapat dilihat bahwa h g s i permintaan pada contoh ini tidak kontinu di p, = [0,m). Contoh ini merupakan perpaduan prinsip mutually

exclusive oleh konsumen dan sebaran konsumen

yang berkelompok pada suatu lokasi (atomic distribution).

Akan ditunjukkan satu contoh lagi yang menggambarkan h g s i permintaan perusahaan yang kontinu dengan menggunakan asumsi konsumen yang tersebar merata pada setiap lokasi pasar (nonatomic distribution). Konsumen menyebar merata di sepanjang pasar ( S G S ) dengan fungsi kepekatan kontinu

~ ( s ) dan setiap konsumen mempunyai harga

reservasi yang sama n(s).

Permintaan terhadap perusahaan j pada harga

(p,

,...,

p ,

)

diberikan oleh :

dengan Aj ( p , ,...,p,,

)

adalah pangsa pasar bagi perusahaan j yang memenuhi tiga kondisi yang telah disebutkan sebelumnya.

Sejumlah konsumen yang semuanya identik ( z ( s ) = z , V s E S ) tersebar merata di sepanjang pasar

dengan kepekatan sama dengan 1. Perusahaan 1 dan perusahaan 2 berturut-turut berada di sl dan di s ,

.

Dengan menggunakan h g s i biaya transportasi linear

(14)

~ n t u k c(s2 -s,)<p2 < n . < & +c(s2 -s,) maka i. jika p, > n, maka Dl = 0

'T-PI ii. jika 2n-P2 -c(s2 - s , ) ~ ~ , < n , maka Dl =-

c

iii. jika

P2

-c(s2 - s l ) < p , < 2 z - F 2 -c(s2 -sl)maka

4

= F2 -PI +C(SZ -1) 2c

iv. jika pl <jT2 -c(sz -sl),maka Dl =s2 -sl

.

[image:14.602.69.512.60.491.2]

Fungsi pmintaan ini diilustrasikan pada tertarik membeli produknya.

Gambar 4. Tampak jelas pada gambar bahwa Setelah dijelaskan konsep dasar dalam persaingan pennintaan terhadap perusahaan 1 kontinu, spasial, sekarang akan dibahas analisis persaingan

yakni selama pemsahaan m e n d a n harganya antarprodusen dengan variabel yang berbeda-beda.

s e w a perlahan semakin banyak konsumen yang

$2 -S1 0, (PI.

Pz

Gambar 4. Fungsi permintaan pemsahaan 1 (nonotomic distribution).

MODEL

I

PERSAINGAN DENGAN VARIABEL HARGA DAN PARAMETER LOKASI

Pada bagian ini produsen berinteraksi dalam suatu persaingan dengan konsumen diasumsikan menyebar merata (nonatomic distribution), seperti pada contoh kedua di atas. Akan dilihat apakah asumsi konsumen yang menyebar merata menjamin eksistensi harga kesetimbangan

.

Untuk mendapatkan solusi bagi masalah eksistensi, biasanya didasarkan pada argumen titik tetap. Argumen ini dapat diterapkan bila fungsi imbalan pemain merupakan fungsi kuasikonkaf.' Dalam teori oligopoli, syarat cukup untuk memastikan fungsi imbalan yang

I

Maslah eksistensi kesetimbangan Nash pada permainan

noncooperolive lihat Friedman, 1977.

Definisi dan ilushasi fungsi kuasikonkaf dapat dilihat

kuasikonkaf yakni fungsi permintaan yang konkaf (cekung ke bawah) (lihat Lampiran 2).

Misalkan A adalah fungsi kepekatan konsumen, dan t fungsi biaya transportasi, maka fungsi pennintaan pemsahaan j diberikan oleh :

,

P

Karena A,

(pl

,...,

p j

,...,

pn )merupakan fungsi dari t

,

jadi fungsi permintaan bergantung pada fungsi A dan 1 .

Untuk memberikan ilustrasi mengenai ha1 ini, maka kembali digunakan contoh dengan nonatomic distribution yang telah dijelaskan sebelumnya. Diasumsikan bahwa fungsi biaya transportasi merupakan fungsi naik dan temunkan dua kali.

(15)

Misalkan F(p,

,

p 2 ) adalah notasi untuk lokasi batas pasar antara pemsahaan 1 dan perusahaan 2, sedemikian sehimgga :

PI + 1 ( s - s , ) = p 2 +t(s2

-s).

Dan dengan penghitungan diperoleh :

(lihat Lampiran 3).

Ketika T terletak antara s, dan s2

,

maka

D I ( P I , P Z ) = ~ ~ I , P Z ) - ~ I D ~ ( P , . P ~ ) = s ~ - & , ~ 2 )

Kekonkafan fungsi Dl sama dengan kekonkafan

~ ( p ,

,

p2

)

di p,

,

maka agar b g s i permintaan perusahaan 1 konkaf, azs/ap? haruslah takpositif.

Misalkan

p2

adalah suatu nilai tetap dan

p2

+ t ( s I , s 2 ) > 2 t ( s 1 , s 2 ) . Maka pada saat nilai pi = jT2 +t(sI,s,bdidapat F(pi,jT2)= s,

.

Dan untuk p; =

p2

-t(sI.s2

1

didapat T(p;,

F 2 )

= s 2 . Sehingga dengan persamaan (1) diperoleh :

dengan

ketika perusahaan 1

: 2 ni~ai

-

ap:

menetapkan harga sebesar pi dan perusahaan 2 menetapkan harga

F 2 .

ketika perusahaan 1

: 2 ni~ai

-

ap:

pem~ahaan 2 menetapkan harga rj,

.

Maka kecuali jika a2s/ap? sama dengan no1 pada

interval

b;,

pi1

a2T/ap;

pasti berubah tandanya pada interval ini, sehimgga

F

tidak konkaf pada semua daerah asal [ ~ , n ] . Hal ini menunjukkan bahwa pada masalah lokasi ketika ada batas pasar yang terletak antara lokasi kedua p e ~ ~ & a a n , asumsi fungsi permintaan konkaf tidak selalu dapat terpenuhi. Tentu saja kekonkafan fungsi permintaan banya syarat cukup untuk eksistensi kesetimbangan harga. Meski demikian, seperti dijelaskan di atas, dengan menguji kekonkafan, meski fungsi laba perusahaan kontinu ternyata tidak menjamin eksistensi harga kesetimbangan

.

Pada contoh kasus berikut ini diasumsikan panjang pasar sama dengan 1, dan fimgsi biaya transportasi adalah lmear-kuadratik :

t ( s ' , s W ) = c l s ' - s " l + d ( ~ ' - s " ) ~ , c > ~ , d > ~

untuk setiap lokasi s' dan s" di [0,1].

Misalkan kedua perusahaan terletak pada lokasi yang

1 1

simetris s ' - 2 ---adan s2 = - + a , ( $ > a > 0 ) 2 (lihat

Gambar 5).

I II

- . s

.o

s , 112

-

s

s, 1

Gambar 5. Lokasi perusahaan 1 dan 2.

Untuk mendapatkan fungsi permintaan perusahaan 1 maka terlebih dahulu harus digambarkan berbagai kemungkinan penentuan harga oleh perusahaan I (lihat Lampiran 4).

[image:15.599.284.504.286.525.2]

(16)

Untuk nilai tetap ji,

,

maka fungsi permintaan pemsahaan 1 adalah sebagai berikut :

f

0, jika p , 2 p; =

F2

+

2ac

+

2ad; wilayah 1

p2

- p , +2ad+c

D ~ G ~ , P ~ ) = {

4ad+ZE

,

jika p; > p, > p,"=

p2

-2ac-4a2d; wilayah 3

ji2 - p l +2ad-2ac

..

I

4ad

,

jlkapm,> pl 2 pi"=

F2

-2ac-2ad; wilayah 4

1, jika p ; 5 pl 2 0 wilayah 5

Tampak pada Gambar 6 bahwa fungsi permintaan sehingga menyebabkan fungsi permintaan menjadi pemsahaan I linear. Tapi ketika harga p, = pr

,

tidak konkaf. Sedangkan fungsi laba perusahaan 1

1 dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi

dengan batas pasar tepat pada s, =-+a, h g s i pmintaan dengan p , .

2

permintaan menunjukkan kekakuan atau patah

0 -..(I I

-

1 - + a 1 1 [image:16.595.72.509.78.639.2]

2 2 2 DI ( P I 2 p2

1

Gambar 6. Fungsi permintaan pemsahaan 1.

Jetas bahwa fungsi labs Perusahaan bergantung _{pas, terletak antara lokasi kedua perusahaan, dan}_p; pada p 2 , nilai parameter a Cjarak antara dua

juga merupakan tanggapan terbaik terhadap p;

.

pemsahaan), serta c dan d (yang mengukur

proporsi relatif linear dan kuadratik dari fungsi Untuk memastikan bahwa ( P ; , P;

)

mem~akan harga

biaya transportasi). kesetimbangan, maka pasangan harga tersebut hams

~ ~ a b i l a ada harga kesetimbangan ( & , p ; ) , mencegah perusaham

harganya secara sepihak untuk menarik konsumen maka haruslah P; mervakan tanggapan terbaii _{dari wilayah pasar pesaingnya. Perhatikan kedua}

(17)

P I

= p i . p i P; P; p i P I

Gambar 7. p; harga kesetimbangan. Gambar 8. p; bukan harga kesetimbangan.

Berdasarkan nilai a, c, dan d

,

maka ada dua ha1 yang mungkin terjadi pada saat perusahaan 2 menetapkan p

;

:

Pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar 7, p,(p,

,

p;)maksimum pada p;, tidak hanya di wilayah 3, melainkan juga pada seluruh daerah asal shategi. Sehingga perusaham 1 tidak akan mengubah harganya menjadi

p,

(harga yang memberikan laba lebii besar dan mengambil pangsa pasar perusahaan 2 ).

.

Kedua, seperti ditunjukkan pada Gambar 8, laba perusahaan 1 lebii besar jika ditetapkan harga sebesar

p,

dibandingkan dengan p;

sehmgga (p;

,

pi)

bukan harga kesetimbangan

.

Proposisi 1 berikut ini menunjukkan bahwa kasus kedua terjadi bila a < 114 dan c/d > 21711

-

4a.

Proposisi 1

Misalkan t(s, st)= cls -s'l +d(s - s')',

jika c/d > 16a2/(l-2a)' maka tidak ada harga kesetimbangan.

1 1

ii.Uutuk - < a < - ,

6 4

jika cld > 2a/(l-4a)maka tidak ada harga

Dari Proposisi 1, dapat diambil kesimpulan bahwa harga kesetimbangan tidak ada ketika lokasi kedua perusahaan berdekatan (nilai a kecil), dan ketika proporsi linear dari fungsi biaya hansportasi relatif lebii besar daripada proporsi kuadratik.

Sedangkan pada saat c = 0 , nantinya akan ditunjukkan bahwa fungsi permintaan perusahaan 1 konkaf (selama

a2~/apIz

= O pada [p;:p;]) sehingga harga kesetimbangan akan dijamin keberadaannya. Sebalknya, bila d = 0 maka kita kembali ke model Hotelling. Untuk menjelaskan kedua kasus ini, akan digunakan model Hotelling yang ditulis oleh d'Aspremont (1979).

Pada model ini, pasar berbentuk garis lums dengan panjang

& .

Pemsahaan 1 terletak di A dengan jarak dari sebelah kanan titik 0 sebesar a , dan pemsahaan 2 terletak di B dengan jarak dari sebelah kiri titik

t

adalah sebesar b

,

( a + b s e , a r o , b ? 0 ) .

Tanpa mengurangi keumuman, biaya produksi diasumsikan nol. Konsumen tersebar merata di sepanjang garis dan mengkonsumsi tepat satu unit barang per satuan waktu. Karena barang homogen, konsumen akan membeli produk dengan harga pembelian (harga produk

+

biaya hansportasi) yang terendah.

Jika d = Omaka fungsi biaya hansportasi adalah linear, dan fungsi laba kedua perusahaan sebagai berikut :

kesetimbangan

(18)

1 1 1

ap, +-(t-a-b)p, +-plp2 - - p I 2 , jika

IPI

- p z I s c ( e - a - b h

2 2c 2c

!PI, jika P , < P , - c ( e - a - b ) ; 0, jika p, > p 2 + c ( t - a - b ) .

ep2, jika p2 < P , -c(e-a-b); 0, jika p2 z p , +c(e-a-b).

Proposisi berikut ini menunjukkan eksistensi harga kesetimbangan dengan menggunakan fungsi biaya transportasi linear.

Proposisi 2: Untuk a +b = B

,

titik kesetimbangan yang tunggal diberikan oleh p; = p; = 0 . Untuk

a

+

b < f!

,

ada satu titik kesetimbangan jika dan

hanya jika

dan jika ada titik kesetimbangan ditentukan secara tunggal oleh :

Bukti : (lil~at Lampiran 6).

Berdasmkan Proposisi 2, maka apabila dipertimbangkan lokasi yang simetris di sekitar pusat pasar (a = b) maka syarat (2) dan (3) akan menjadi a = b

<

t/4. Dengan kata lain, pemsahaan 1 dan peNS&aan 2 hams menempati lokasi di luar

kuartil pasar untuk mendapatkan harga

kesetimbangan

.

Jiia c = 0 maka fungsi biaya transportasi adalah kuadratik, sehimgga fungsi permintaan kedua peN~kIhaan sebagai berikut :

+=

..

e - a - b

a

+

, j i a O s a + P2 - P I +-

s t ;

k(t!-a-b) 2 2c(&-a-b) 2 e - a - b

P2 - P I ₊_- _{> & ;} 2c(!-a-b) 2

& - a - b 0, jika a

+

P2-PI +- < o ;

a ( e - 0 - 6 ) 2

p I - p Z

++

,

j ~ k a

..

0

s

b

+

P I - P z +-e - a - b

i e ;

2c(f!-a-b) 2 k ( e - a - b ) 2 e - a - b

P1-P2 +- >

e

;

2c(e-a-b) 2 e-0-6 0, jika b + P I -P2 +- < o ;

2c(e-a-b) 2

Karena turunan kedua dari fungsi permintaan [p;:p;] sehingga fungsi permintaan perusahaan 1

perusaham dengan nO1, maka konkaf, dan begitu pula dengan perusahaan 2.

(19)

Sedangkan h g s i laba kedua perusahaan masing-masing didapat dengan mengalian harga dengan fbngsi permintaan sebagai berikut:

P , ( P I , P ~ ) = P I . D I ( P I , P ~ ) (6) P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ . D ~ ( P , > P ~ ) (7)

Kedua fbngsi laba tersebut menjamin eksistensi harga kesetimbangan, di setiap lokasi kedua pemsahaan. Dan pasangan harga kesetimbangan

p,

,

p2 tersebut ditentukan oleh :

( *

'1

p - a - (91

(lihat Lampiran 7).

Pasangan harga kesetimbangan tersebut merupakan titik kesetimbangan Nash yang tunggal

untuk nilai tetap a

dan

b , tanpa adanya syarat kondisi bagi parameter a dan b

.

Jika kedua harga kesetimbangan tersebut disubstitusikan ke fbngsi laba kedua perusahaan maka akan didapatkan nilai a ~ , ( p , . , P20)laa dan a ~ ~ ( p , ' , p ~ * ) l a b adalah negatif (lihat Lampiran 8).

Hal ini menunjukkan adanya kecenderungan dari setiap perusahaan untuk menjauhi pesaingnya. Dari penjelasan di atas jelas bahwa eksistensi harga kesetimbangan bukan disebabkan oleh kekontinuan h g s i permintaan melainkan lebii disebabkan oleh kekonkafan fbngsi permintaan. Dengan h g s i biaya transportasi yang kuadratik maka eksistensi harga kesetimbangan dijamin untuk setiap lokasi yang dipilih setiap pemain.

MODEL I1

PERSAINGAN DENGAN VARIABEL LOKASI DAN PARAMETER HARGA

Pada sejumlah industri, pemsahaan tidak menggunakan harga sebagai strategi karena terikat oleh perjanjian kartel atau harga ditentukan oleh mekanisme pasar. Dalam teori lokasi selain dengan mengurangi harga, untuk menarik konsumen dapat dilakukan dengan bersaing menentukan lokasi toko yang memastikan penjualan sebanyak mungkim. Jika lokasi kedua pemsahaan cukup dekat, maka permintaan tiap pemsahaan bergantung pada kedua lokasi pemsahaan. Misalkan ada dua perusahaan yang masing-masing memiliki satu toko bersaing pada pasar linear yang panjangnya satu. Lokasi perusahaan 1 yakni s, < 112 sedangkan perusahaan 2 terletak pada s2 = s, -E,E> 0 dan sangat kecil. Ukuran pasar bagi pemsahaan 2 adalah sl -c/2. Kemudian misalkan perusahaan 2 memilih lokasi

S; = s , +E, maka ukuran pasar pemsahaan 2

menjadi l - s ,

-

612 yang nilainya lebih besar dari S , - ~ / 2 selama s1 < 112

.

Dengan kata lain

perpindahan perusahaan di luar titik tengah 112

Dalam ha1 ini ukuran pasar bagi suatu pemsahaan adalah gugus konsumen yang letaknya iebii dekat ke perusahaan tersebut daripada ke pesaingnya. Diasumsikan ada dua perusahaan terletak pada p a w yang panjangnya sahl dan konsumen menyebar merata di sepanjang pasar. Misalkan lokasi pemsahaan 1 di luar titik pusat, maka pemahaan 2 dapat memaksimumkan imbalannya dengan menentukan lokasi di dekat pemsahaan 1 pada sisi yang lebih panjang. Tetapi kemudian pemsahaan 1 punya insentif untuk 'melompati' pesaingnya selama diizinkan untuk menambah ukuran pasarnya. Perilaku seperti ini mencegah lokasi selain titik pusat sebagai lokasi kesetimbangan. Sedangkan jika kedua pemsahaan berlokasi di pusat pasar, tiap perusahaan mendapat 112 bagian pasar, sehingga pergerakan suatu perusahaan secara sepihak akan menyebabkan pengurangan ukuran pasamya. Dengan kata lain, satu-satunya lokasi kesetimbangan untuk kedua perusahaan adalah di tengah-tengah pasar.

(20)

MODEL

III

PERSAINGAN DENGAN VARIABEL HARGA DAN LOKASI

Jiia sebelumnya perusahaan diasumsikan hanya Permainan serentak (simultaneous game) menggunakan strategi tunggal yakni harga saja Pada permainan ini, strategi bagi perusaham

- - -

i, atau lokasi ~ a h . Maka sekarang perusaham _dengan_i_{=1,2 adalah (Pi,~;). Dan kesetimbangan} dibolehkan memilih lokasi dan harga sekaligus.

pembahasan h i dapat dimodelkan menjadi dua, harga-lokasi adalah strategi (pf,sj) sedemikian yakni dengan permainan serentak dan permainan sehingga

,

Vp, 2 0,Vs; E

S,

i = 1,2, i # j :

dua tahap.

.P;(~~,S~).(P;,S~))=PJD;(~J.S~).~;,S;))

2 P;.,((P; .Sf ).(P;,s;))=p;((P; ,s; )(p;,sj))

Pada permainan serentak ini tidak ada + ~ e d ~ ~ , s; = s;. kesetimbangan harga-lokasi, apapun fimgsi

biaya transportasinya. Untuk membuktiiannya, Dan haruslah P; = P; # O agar kedua perusaham

misalkan ada kesetimbangan harga-lokasi. Maka mendapatkan laba positif Tetapi dengan argumen pada kesetimbangan ini tiap perusahaan Bertrand, yang menyatakan bahwa ketika kedua mendapatkan laba yang positif dan berimplikasi perusahaan berada pada suatu lokasi yang sama maka

p; + 0 dm p; + 0. ~k~ muncul dua kasus: permahaan memimi harm 1eb.i besar

mempunyai insentif untuk mengubah harganya

+

Pertama, s,'

+

s;

.

_{menjadi lebii kecil dari harga pesaingnya maka pada}

Tanpa mengurangi keumuman kita asumsikan _{& h i m diperoleh}_p,'₌_p;₌₀

.

_{Hal h i kontradiisi} laba perusahaan 2 lebii besm atau sama dengan

laba perusahaan 1. Maka perusahaan 1 dapat dengan pemyataan p; = p;

*

.

Permainan dua tahap (M-stage game) meningkatkan labanya dengan memili Fl = sz

Pada permainan ini, lokasi dipili lebii dahulu (pada

dan mengubah harganya menjadi _{tahap pertama) baru kemudian menentukan harga}

p,

= pp;

-

E, E > 0 sangat kecil, @ada tahap kedua).

sehingga _Misalkan

(P;

_(sl_,s2

).

_p;_(sl_{,sz))harga kesetimbangan}

PI

(61

,q

b

6;

,s;

))>

P Z ( ~ ; 3 s ;

b

6;

>s;)) berkaitan dengan pasangan lokasi (sl ,s,), maka titik

dan sekarang permahaan 1 menda~atkan _{seluruh pe+ct} _{equilibrium untuk pasangan harga-lokasi} pasar dengan harga

pl

=pi

-&, sehingga _adalah

(6;.

_s;_{)(p;,s;))sedemikian sehingga}_:

P~((F,.sI~(P;~~;))>P~(~;~s;~(P;,s;)).

Hal ini kontradiii dengan pernyataan (pf

,

sf

)

adalah kesetimbangan harga-lokasi.

ii. =p;(s;,s;)

iii. P;(sf,s;)~~(sf,s;;pj(~f,~j)p;(~f,~;))~p~(~i,s;)~j(si,s;;~f(sj,s;)~;k~,s;))

Meskipun lokasi dipilih pada tahap pertma, _kuadratik,_t(s,_s')=_{d(s -s')2;s,sf} _E

s

₌_[o,I~_d_>_0. namun pada saat memilih lokasi tiap perusahaan _{Sehingga fimgsi permintaan tiap perusahaan adalah} mengantisipasi konsekuensi pilihan mereka _{sebagai berlkut}

: terhadap pilian harga pada tahap selanjulnya.

(21)

dan

jika p, > p ; = F ~ +d(s: - s : )

D I ( P I , ~ s , ) = { ~ / - p , + d ( s ~ - s ~ ) 2 4 2 - S I )

,

j ~ k a

..

p; > p i ? p ; = & - d ( s 2 - s 1 X 2 - s 1 - s , ) jika p, < P;;

jika p2 2 p ; = p l + d ( s 2 -s l J 2 - s , - s 2 A

p,

- p 2 +d(s2 - ~ , X z - s , - s 2 )

..

~ 2 ( j S ; , p 2 ) =

1

::

,

j~ka p ; > p 2 2 p ; = p l - d ( S : - s ; )

2 4 2

-

9 )

jika p2 < p ; .

Dari limgsi pennintaan di atas tampak bahwa untuk setiap lokasi ( s I . s 2 ) , limgsi permintam konkaf yang berimpliiasi pada limgsi laba yang kuasikonkaf pada harga, sehiigga menjamin adanya harga kesetimbangan

( P : ( ~ I > ~ ~ X P ; ( ~ I ~ ~ ~ ) ) .

Dengan menggunakan s p a t turunan pertama diperoleh :

(lihat Lampiran 9).

Pasangan harga pada persamaan (10) dan (1 1) merupakan harga kesetimbangan yang tunggal

untuk (s, , s 2 ) . Lalu substitusikan harga tersebut ke

limgsi laba (limgsi permintaan dikalikan harga kesetimbangan ) keduaperusahaan sehingga limgsi laba hanya m e ~ p a k a n h g s i dari s, dan s 2 ,

yakni:

(lihat Lampiran 10).

Dengan menggunakan syarat turunan pertama, dari pesaingnya akan mendatangkan laha yang leb'i ternyata diperoleh aP,/as, bernilai negatif besar sehingga perusaham 1 dan perusahaan 2 akan bergerak sejauh mungkii dari pesaingnya. Hal ini sedangkan aP2/as2 bernilai positif, yang dapat ditunjukkan sebagai berikut :

(22)

Hal ini menyebabkan tiap perusahaan memilih sehingga perfect equilibrium untuk pasangan harga lok=i perusaham pads titik ujung-ujung Pmar, _{lokasi adalah}

:

((&

,s;

1

(p;, s;))= ((d,~), (d,l))

KESIMPULAN

Pada persaingan spasial duopoli yang pennintaan konkaf dan harga kesetimbangan menggunakan variabel strategi harga, eksistensi dijamin keberadaannya. Sebaliiya, untuk fungsi barga kesetimbangan ditentukan oleh kekonkafan biaya transportasi yang berbentuk linear, harga fungsi permintaan, bukan oleh kekontinuan fungsi kesetimbangan ada untuk kondisi tertentu.

(23)

DAFTAR

PUSTAKA

Chiang, A. 1984. Fundamental Methods of Gibbons, R 1992. Game Theory for Applied

Mathematical Economics. Third Edition. Mc Economist. Pi-imceton University Press. Ney

Graw

-

Hill International Book Company. . ~ Jersey. Singapore.

Purcell, E. J. & D. Varberg. 1996. Kalkulus dun d'Aspremont, C., J. J. Gabszewicz, and J-F Geometri Analitis. Jilid I . Terjemahan I

Thisse. 1979. On Hotelling's Stability in Nyoman S. et a/. Erlangga, Jakarta.

Competition. Econometrics,

47:

1145-1 150.

Rasmusen, E. 1990. Games and Information. Friedman, J. W. 1977. Oligopoly and The Theory Blackwell Ltd. Cambridge.

of Games. North Holland, Amsterdam.

Gabszewicz, J. J. and J-F Tbisse. 1986. Location

Theory. Hawood Academic Publishers. New

(24)

(25)

Lampirau 1.

Definisi (himpunan konveks)

Suatu himpunan K dikatakan himpunan konveks jika Vx,

,

x, c K maka X E K ,

dengan X = ~ l + ( l - A ) x , , O s A s l . Defiuisi dan ilustrasi fungsi kuasikonkaf

Suatu fungsi f merupakan fungsi kuasiionkafjika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang mempakan himpunan konveks) dari f , dan untuk OQ<i :

AV) rAu)

-+

~ h u y i - h ) v j >XU)

dan f merupakan fungsi kuasikonkafsempuma jika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang merupakan himpunan konveks) dari f , dan untuk OQ<l :

flv) >flu) -t ffhu+(l-h)vl >xu).

4

6"'

Kuasikonkaf sempuma Kuasikonkaf

Lampirau 2.

Bukti syarat cukup untuk fungsi imbalan yang kuasikonkaf Teoremal :

Misalkan f fungi yang terdehisi pada himpunan konveks Q.

Jika f fungi konkafmakaf fungsi kuasikonkaf. -

Bukti:

Misalkanf merupakan fungsi konkaf. Maka krdasarkan definisi :

(1) fihu+(l-h)vI> ;\Xu) + (1-hxv), untuk setiap u, v 6 Q, dan 0SX1.

diasumsikanflv) >Xu) maka (2) Mu)

+

(1-hxv) ~ 1 1 ) . Dari pertidaksamaan (1) dan (2) maka

(3) nhw+(l-h)vl >Xu) denganflv) >Xu).

Berdasarkan pertidaksamaan (3) maka f merupakan fungsi kuasikonkaf. qed.

Akan dibuktikan :

Jika f i g s i permintaan (D) konkaf maka fungsi imbalan ( P = p D ) kuasi konkal: Pertama kali akan dibuktikan bahwa

Jika D fungsi konkafmaka P =pD merupakan fungsi konkaf. Bukti :

Diketahui bahwa fungsi permintaan (D) konkcdmaka krdasarkan definisi :

(4) m u )

+

(1-h)D(v)

<

D[hu+(l-h)v], untuk setiap u, v E R, dan OshSl.

Untuk suatu konstanta p 2 0 maka

p m u ) +pfl-h)D(v) <pLyhu+(l-h)v]

(51

~(PDXU) + (1-h) @Dl@) 2 @D)lhu+(l-h)vI. Jadi fungsi P =pD mempakan fungsi konkaf.

(26)

Lampiran 3.

Bukti persamaan (1) pl i t ( ? - s , ) = p2 +t(s2 - F ) '(F-st)-t(s, - s ) = ~ , - p ,

Karena t merupakan fungsi naik maka

Karena t merupakan fungsi yang terturunkan dua kali maka seh'mgga :

Lampiran 4.

(27)

Lampirau 5. Bukti Proposisi 1 I'roposisi 1

Misalkan f ( s , s 1 ) = 4 s - s ' l + d ( ~ - s ' ) ~ ,

i.Untuk 0 < a <

A,

jika c/d > 1 6 ~ ~ / ( 1 - 2 a ) ~ maka tidak ada harga kesetimbangan. 6

1

ii.Untuk -

s

a <

A,

jika cld > ~ a t ( l - 4 a ) maka tidak ada harga kesetimbangan.

6 4

Bukti :

Misalkan (p;

,

p;)adalah harga kesetimbangan. Ada 3 kasus yang mungkin terjadi :

pmm& (P;,P;)cD1 ={(PI 3 P 2 ) i + a < 4 1 .P2)S1}

Dengan menggunakan persamaan p, +c(i-sl )+d(S-s,

)Z

= p, +c(i-s, )+d(S-s2)2 didapat solusi p2

-

pI +2ad -2ac p, - p,

+

2ad -2ac

?(PI 9 P2 = s e h m g g a ~ , ( P ~ , P , ) = P ~ - 4ad dan

4ad

p, -p, +2ad+2ac

~ ~ ( P I ~ P ~ ) = P z

4ad

Dengan syarat turunan pertama :

3

=0dan

3=0

didapt

fi,

dan

fi2

sedemikian sehmgga

@'I 8 ~ 2

1

F(j,,

A )

< ? + a . Jadi (p;,p;)tidak k a d a di dalam Dl, dan karena itu haruslah memenuhi

.!,

~ ( p ; , p;)= 1, tetapi p; hukan respon terbaik dari perusahaan 2 karena P, (p;

,

p;)= 0

.

~ a d i tidak ada harga kesetimbangan di Dl.

Dengan argumen yang sama seperti di atas, tetapi indeks 1 dan 2 d i n g dipxhbrkan, ditunjukkan bahwa

4

tidak memuat harga kesetimbangan.

1 1

.

Ketiga, ( P ; , P ; ) E ~ ~ ={(PI.P2ki-aSi(Pl.P2)5

ila}

2

Dengan m e n p a k a n persamaan p, +c(S-s, )+d(F-s,

)

= p, +c(s, -i)+d(s2 -5), didapat solusi

p, -p, + 2 a d + c P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ 4ad+2c

~ n g a n syarat turunan pertama diperoleh p; = p; = 2ad + c

dan

P,(P;, p;)=f', (P;, P;

)=

ad +c/: Misalkan diberikan p;

,

akan diselidiki tanggapan terbaik dari perusahaan 1 (&)pada

dan pada

(28)

Nilai maksimum dari p , ~ ( p l , p;)pada [O,m)dicapai pada harga

Fl

= 2ad+ac+c/2. Lalu didapat

>--a, jadi tidak ada tanggapan terbaik terhadap p; pada A , .

4ad 2

Sedangkan pada A,, dengan cara yang sama didapat nilai maksimum dari p,Sb,,p;)pada [0, m) dicapai pada harga pi = 2ad +c/2 -ac

,

Untuk c/d 5 4a/(l - ~ a ) , ~ ( p ; , pi)< 1 sehingga

ii,

= p;

Untuk c/d > 4a/(l-2a),S(p;, p;)> 1 yang berimplikasi pi bukan tanggapan terbaik perusahaan 1

terhadap

pi.

Pada kasus ini jika 1

-

S(p,

,

pi)=

0 maka

Fl

= c(1- 2a). Jadi

F,

= 2ad

+

c/2

-

ac untuk c/d 5 4a/(l- 2a)dan

.

jj,

=c(l-2a) untnk c/d >4ai(l-2a). 1. Pertama, misalkan c/d

r

4a/(l-2a)maka

p,b,,p;)> P,(p;,P;) jika c/d >16a2/(l-2a)Z dan 16a2/(1-20)' <4a/(l-2a)jika a<1/6.

16a2 c 4a

Sehingga jika a<l/6dan <-5- maka tidak ada harga kesetimbangan di D 3 . ( 1 - ~ a ) ~ d (1-2a)

2. Kedua, misalkan c/d > 4a/(l- 2a)maka

P,

b , , p;)>

4

(p;, p;) jika c/d > 2a/(l-4a), asumsikan a < 114 lalu

4a 2a 1

-

>

(<)-

jika a < (2)-

(1-2a) (1-4a) 6

Jadi tidak ada harga kesetimbangan di D,

1

Jika a < - dan 16a2 <- c atau 6 ( l - ~ a ) ~ d

1 1 2a c

Jika - < a < - d a n

-

<-.

6 4 (1-4a) d

Syarat diatas juga berlaku untuk perusahaan 2, dengan mengasumsikan perusahaan 1 menetapkan harga

P; . qed

Lampiran 6. Bukti Proposisi 2

Proposisi 2

*

Untnk a

+

h = !

,

titik kesetimbangan yang unik diberikan oleh p ₁

*

- _-Pz =O.Untuka+b<f,adasatu

titik.kcsetimbangan jika dan hanya jika

dan jika add titik kesetimbangan ditentukan secara tun& oleh :

(29)

( +)

.

Untuk a c b =

e

berarti kedua prcdusen berada pada suatu titik lokasi yang sama sehingga biaya transportasi yang dibebankan oleh kedua produsen kepada setiap konsumen sama bsamya. Karena itu setiap konsumen &pat membeli barang yang memiliki harga terendah tanpa memperhatikan biaya

transportasi. Setiap prcdusen betusaha mendapatkan konsumen yang paling banyak sehingga yang

memiliki harga lebih tinggi

akan

menurunkan harga sehiigga menjadi lebih rendah dari yang lain, ha1

ini terjadi terus menerus sampai akhimya harga kesetimbangan

akan

tercapai pada p,' = p,' = 0.

.

Untuk a

+

b < t

,

akan dibuktikan : Jika ada satu titik kesetimbangan (p,., p,') maka

d e a n ' pI =

.(!

+

y)

(4) d m p2.

=c(!-y)

(5).

Pertamq

akan

ditunjukkan bahwa setiap kesetimbangan hams memenuhi kondisi

Ip,' - p,*l < c(t - a - b)

.

Akan dibuktikan dengan metode kontradiksi.

MisaUtan

merupakan harga kesetimbangan tetapi p,' -p,.l >c(e-a-b), artinya sdah satu prcdusen yang harganya lebih

besar

mendapat l a b = 0 dan karena itu ia

akan

mengubah harganya

hingga sama dengan yang lain agar mendapatkan l a b Hal ini kontradiksi dengan (p,., p,')adalah harga

kesetimbangan.

M i d a n

(p,',

p,') merupakan harga kesetimbangan tetapi

lpl*

-p2'l

= c(e - a - b )

.

Misalkan p2* -PI* = c ( e - u - b ) :

Jika p,' = 0 maka perusahaan 1 mendapat lab=O sebingga ia akan mengubah harganya menjadi lebii

kecil d a i p,' + c ( t - a - b ) agar mendapatkan laba. Hal ini kontradiksi dengan (p,.,p,') adalah

harga kesetimbangan.

+

Jika p,' > 0 maka

akan

muncul dua kemungkinan :

.

Perusahaan 1 mendapatkan semua konsumen sehingga perusahaan 2 menurunkan harganya supaya mendapatkan l a b . Kontradiksi dengan

(p,.,

p,')adatah harga kesetimbangan.

Perusahaan 1 h a n y mendapat sebagian konsumen, misalkan q, < e kemudian ia perlu

menurunkan harga untuk mendapatkan seluruh konsumen dan meningkatkan labanya. Jadi untuk

(30)

Jadi telah ditunjukkan bahwa setiap kesetimbangan

6,.,

p,') harts memenuhi

IPI'

-P2'l <

e(e

-a-b). Jadi untuk setiap harga kesetimbangan ( p l , p ) , p,. h a u s memaksimumkan

1

upI +-(e -a - b)p,

+

( 1 / 2 c ) ~ ~ * ~ , -(1/2c)p,~ pada interval harga

6,'

-c(t -a

-

b), p,'

+

c(e - a- b)), 2

1

dan p,' harus memaksiiunkan bp, +--(e-a-b)P2 + ( 1 / 2 c ) ~ , ' ~ ~ -(1/2c)p,~ pada interval harga

Dengan s w a t turunan pertama maka :

1 P,* PI.

%=a+-(e-a-b)+---=O

PI

-

7 _2c _c

1 PZ*

&=a+-(f-a-b)+-

C 2 2c

1 ~ 2 '

...

p,' =ac+-c(j-a-b)+-

2 2 (#I)

-- aPz -b+-(e-a-b)+---=O 1 PI' PZ'

ap2 2 2c c

1 PI*

k = b + - ( P - a - b ) + -

C 2 2c

1 PI'

...

p,' =be+-c(e-a-b)+- (#2)

2 2

kemudian substitusi (#2) ke ( # I ) :

1 1 1 1 .

p,' =ac+-c(C-a-b)+-bc+-c(t-a-b)+-p1

2 2 4 4

3 * 1 3

- p , =ac+-bc+-c(l-a-b)

4 2 4

. 4 2

p, =-nc+-bc+c((-0-6)

3 3

. 4 7

p, = c -u+--b+E-a-b ( 3 3

= C ( r +?I

I

(31)

dengan cara y n g sama substitusikan (#I) ke (#2) :

1 1 1 1 .

p,' =bc+-c(!-a-b)+-ac+-c(e-a-b)+-p2

2 2 4 4

Sekarang akan dihuktikan bahwa (4) dan (5) benar-benar suatu kesetimbangan. Ingat bahw untuk menjadi

kesetimbangan, strategi p,'harus memaksimumkan (p,,p,.) tidak hanya pada interval di atas. tetapi

pada seluruh daerah asal S,

,

dan begitu pula dengan p,'

.

Mari dilihat bahwa hal ini h a r hanya pada suatu himpunan terbatas dari lokasi y n g mungkin.

Diberikan a dan b , agar p,*menjadi suatu strategi kesetimbangan terhadap p,'maka untuk setiap

E > O ,

2

a-b

(*) ~ , ( ~ , * , ~ ~ * ) = f

ze[p2'

-c(t-a-a)-a]

Bagian kanan dari pertidaksamaan di atas adalah laba perusaham 1 jika ia memberikan harga pembelian

yang sedikit lebih kecil dari p,'

.

(32)

Dengan cara xrupa dapat dituliskan pula bagi perusaham 2 sebagai krikut :

2

a-b

P 2 ( p , . , p 2 * ) = i [ ( - j ] re(pl*-c(e-a-b))

( t )Untuk a

+

b <

e

akan dib&ikan jika : ( f + ~ ) ' r:t(a+'2b)

...

(2)

.

. . . .

. .

-

p; =.it+?) (5)

Bukti :

2

4

(I+?) t - e ( ~ + 2 b )

...

(2) 3

(33)

Untuk E z 0 yang sangat kecil, maka dapat dituliskan :

-

f-- > _ & ( B - c ( e - a - b ) - E )

...

p2)

2

=(

Perhatikan pertidaksamaan (*I) dan (*2) juga h g s i imbalan (profit) yang telab diberikan, maka kedua pertidaksamaan tersebut bagian kanannya adalah laba perusaham jika mendapat seluruh konsumen/pasar

( C ) , sehingga &pat dituliskan :

Jika kedua persamaan pl dan p2 di atas disubstitusikan ke dalam fungi prolit Liap perusahaan diperoleh :

2 2

a - b a - b

P ~ ( P ~ , P ~ ) = $ ~ + - ) 3 d- P ~ ( P ~ . P ~ ) = + ( ( - - )

-

3

Sehingga &pat dituliskan kembali sebagai :

2

...

r e [ p 2 -c ( e - a - b ) - E ] (#I)

(34)

Karena prdan

p;

m e ~ p a k a n harga kesetimbangan, maka dengan cara yang sama seperti pembuktian ke

arah sebaliknya, dapat dibuktikan bahwa p; dan

p;

memenuhi kondisi lp; -p;l< c(e-a-b)

.

qed

Lampiran 7.

Harga kesetimbangan kuadratik P , ( P ~ , P ~ ) = P ~ . D ,

Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan penama :

a4

-

~ 2 ' PI' e-a-b

--a+

+-

= 0

PI

zc(e-a-b)-c(e-a-b) 2

e - a - b

' 1 = a + P2 +-

C ( C - a - b ) 2c(e-a-b) 2

Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan pertama :

ap2 PI e-a-b

-=b+

+

=

o

a,,,

2c(e-a-b)-c(!-a-b) 2

(35)

Untuk mendapatkan p 2 * , substiwikan (*l) ke dalam ('2) :

Lampiran 8.

Kceendernngan pernsahaan menjauhi pesaingnya

kemudian substitusikan nilai-nil2 p1' dan p2* yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada prrsanaan di

(36)

2

a - b Jadi P,(p,.,p2*)=~(!-a-b@+-] 3

kemudian substitusikan nilai-nilai p,'dan p2'yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada persamaan di

(37)

2

ap2

-

b-a

--f

ab 2

Lampiran 9.

Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi

Bukti :

. -

..

(38)

Lalu substitusikan persamaan (2) ke persamaan ( I ) :

p; +d(s2 -s,)(2-s1 -s2)+2d(s: - s f )

P; =

4

Kemudian substitusikan persamaan (10) ke persamaan (2) :

d(s2 -sIX2+s1 + s 2 ) + 3 d ( s 2 -slX2-s, - s 2 )

P; =

6

Lampiran 10.

Fungsi laba perusahaan untuk pcrsaingan harga dan lokasi

Akan dibuktikan &((s, , p ; ) ( s 2 , p ; ) ) = d ( s 2 -s1X2+sI +s2)2 ( 1 1 ) 18

(39)

Fungsi laba kedua perusahaan adalah sebagai berikut :

...

4((S1.~)(S2.P;))=$(slrsZ)4 (5)

...

P ~ ( ( ~ , P ; ) ( S Z . P ; ) ) = P ; ( S I . S ~ ) Q (6)

Kemudian substitusikan persamaan (10) dan (3) ke persamaan (5) :

4 ( k 1 , P ; ) ( s 2 7 ~ ) ) = $ ( S 2 -sl&+sl + S 2 ) 2

...

(I2)

Substitusikan juga persamaan (1 1) dan (4) ke persamaan (6) :

...

(40)

G/!QPit

'LOO

o % \ ( O

PERSALNGAN HARGA DAN LOKASI

AD1 PRIYONO

JURUSAN MATEMATIKA

BOGOR

(41)

(42)

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN

TEORI

Teori Permainan

Definisi 1

Definisi 2

Definisi 3

Definisi 4

Definisi 5

Duopoli Hotelling

(43)

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN

TEORI

Teori Permainan

Definisi 1

Definisi 2

Definisi 3

Definisi 4

Definisi 5

Duopoli Hotelling

(44)

-

*

-

o A B

e

Gambar 1.

Lokasi perusahaan dan konsumen model Hotelling.

Konsumen diasumsikan tersebar merata di sepanjang garis

e

dan setiap konsumen membeli tepat satu unit produk per satuan waktu. Tanpa

mengurangi keumuman, biaya produksi

diasumsikan nol. Karena barang yang

ditawarkan kedua pemsahaan bersifat homogen maka konsumen akan membeli dari perusahaan yang menawarkan harga pembelian @arga produk + biaya hansportasi) yang palmg rendah. Biaya hansportasi ditanggung oleh konsumen dan diasumsikan linear terhadap jarak yang ditempuh konsumen ke pemsahaan. Misalkan p, dan p2masing-masing adalah harga produk dari perusahaan 1 dan perusahaan 2, d m c ialah biaya transportasi, dengan c > 0 . Jadi dalam model teori permainan ini shateginya adalah p, E S1 =

[o,

w)dan p, E S2 =

[o,

w)serta imbalan yang diperoleh masing-masing pemain diberikan oleh laba yang didapat.

Pada tulisan ini akan dijelaskan analisis model Hotelling dengan modifikasi pada beberapa bagiannya seperti :

fungsi biaya transportasi :

t ( s ' , s " ) = ~ ~ s ' - s " ~ + d ( s ' - s " ) ~ , c > ~ , d > ~ ,

fungsi seperti ini sering disebut sebagai fungsi biaya hansportasi yang linear- kuadratik. Disini s', s" menyatakan lokasi, dengan sf, s" E [0,1].

* permainan berlangsung dalam dua tahap

(hoo stage game)

0 menggunakan konsep Subgame-Perfect

Nash Equilibrium

Permainan Statis dan